向量积
 
目录:
 
向量积的定义。
向量积的点乘。
向量积的叉乘。
 
1.向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
 
2.向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组。向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。那么接下来对点乘公式做一点解释:
 
点乘公式
对于向量a和向量b：
 

 

  
 
 

 

  
 
 
a和b的点积公式为：
 

 

  
 
 
要求一维向量a和向量b的行列数相同。
 
点乘几何意义
 
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式:
 

 

  
 
 
推导过程如下，首先看一下向量组成：
 

 

  
 
 
定义向量：
 

 

  
 
 
根据三角形余弦定理有：
 

 

  
 
 
根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：
 

 

  
 
 
即：
 

 

  
 
 
向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：
 

 

  
 
 
根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：
 a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之
 
 a·b=0 正交，相互垂直。
 
 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间。 
 
3.叉乘公式
 
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
 
对于向量a和向量b：
 

 

  
 
 
a和b的叉乘公式为：
 

 

  
 
 
其中：
 

 

  
 
 
根据i、j、k间关系，有：
 

 

  
 
 
叉乘几何意义
 
在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
 
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 
 

 

  
 
 
在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
 
参考资料:https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 

 

 

  
 
 
向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
 

如图，这是 
 

   ，我们得到了一个实数 
 
 

   ，而其绝对值为平行四边形面积。
 
 

 

  
 
 

如图，这是 
 

   ，我们得到了一个垂直与已知两向量的法向量，且其模长为平行四边形面积。
 
 

 

  
 
 
运算定理
 

 

   均为向量， 
 
 

   为 
 
 

   的夹角 
 
 
1， 
 

  
 
 
2， 
 

  
 
 
3， 
 

  
 
 
运用1，已知三点坐标，求三角形面积
 
以任意一个点坐标为基准，做差得到两个向量，这两个向量可围成向量三角形。
例如点 
 

   ，点 
 
 

   ，点 
 
 

  
 
 
得到向量 
 

   和 
 
 

  
 
 
使用公式2，然后取绝对值，得到三角形面积 
 

   。 
 
 
空间向量外积求三角形面积可以很容易的推广到平面。 
 
令 
 

 

  
 
 
则有 
 

 

  
 
 
故 
 

 

  
 
 
三角形是最简单的几何图形，而在计算机领域求多边形面积是非常重要的，而用向量外积算出的有向面积，是解决求多边形面积的重要方法，它适用于凸多边形和凹多边形，非常灵活，简洁优美。 
 
运用2，已知平面，求平面的法向量
 
找到平面内不共线的两向量 
 

   ，这两个向量决定了这个平面 使用公式2，得到向量 
 
 

   ，按照向量外积的定义， 
 
 

   垂直于 
 
 

  
 
 
故所求向量 
 

   即平面的法向量 
 
 
向量外积得到的法向量，有很多用途，尤其是物理上的，例如3D图像渲染在CG和游戏领域非常重要，而好的视觉效果多半取决于环境光的仿真，光的传播有一个最基本的定理，那就是光线与平面的法线所成的反射角等于入射角，而与利用向量外积求平面法线，是最简洁优美的。
 
运用3，求三棱锥体积
 
由三个不共面向量 
 

   所决定的平行六面体的体积为
 
 

 

  
 
 
故由三个不共面向量所决定的三棱锥的体积为 
 

  
 
 
运用4，高中数学外挂
 
用它来做高中数学题简直就是开挂。
 
已知三点坐标，求三角形面积这个问题。按照高中数学的套路，无非就是两点间距离公式算三边长，然后要么用海伦公式算面积，要么用余弦定理求出余弦值，换成正弦值，再求面积，这两种方法海伦公式稍微简便一点，但无非都难算了一些。而使用向量外积则简洁优美，我直接算 
 

   的值就是面积了。
 
 
已知平面，求平面的法向量这个问题。按照高中数学的套路，无非找出平面内两个不共线向量 
 

   ，然后设平面的法向量 
 
 

   然后根据向量垂直 
 
 

   和 
 
 

   联立解得 
 
 

   为含参的式子(因为一个平面的法向量有无数个)，最后取一个容易计算的法向量。而使用向量外积，那就很简单了，计算 
 
 

   就搞定了。
 
 
已知三棱锥的各个点坐标，求它的体积这个问题。按照高中数学的套路，无非就是用余弦定理和正弦定理暴算一个面的面积，再用向量的余弦定理暴算点到面的距离，然后求出体积。如果使用上述的公式，一步就能算出体积，非常方便。

向量积（cross product）在中文中又被称为外积、叉积、矢积、叉乘。从英文中可以看到，叉乘或者叉积更符合直译标准。在学习的时候，就没有完全的数学描述，有时间看一下原版的线性代数书籍，弄的更严谨一些。直观描述一般都是通过图例来实现的，这里就不免俗了，毕竟存在的就是合理的。
 
直观描述 
 所谓图例说明，也就是用二维或者三维空间的东西来表示通用的概念。那么我们看下图。 
 
   
   
 
    
   
 
   
 如图所示，三维空间中，向量a、b，夹角是θ，则向量积a×b的结果为一个向量，该向量的模为: 
 
   $$\left| {a \times b} \right| = \left| a \right|\left| b \right|\sin \theta$$  
 向量的方向遵守“右手定则”，即四指延向量积第一向量向第二向量劣角（小于180度的角）方向旋转，拇指伸直方向即为结果向量方向。上图中给出了a×b和b×a的结果向量，可见二者模相同，方向相反。
数学描述 
 用一般化数学语言描述向量积，以三维空间为例，设在三个坐标轴上的单位向量分别为i、j、k，向量a表达式为（x，y，z），向量b的表达式为（p，q，r），则向量积可以表示为以下行列式的形式。 
 
   $$a \times b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
   i & j & k  \\
   x & y & z  \\
   p & q & r  \\
\end{array}} \right|$$  
 对于二维空间（平面）上的向量，在计算向量积时，需要将其扩展到三维空间（即第三维补0），即可应用以上公式计算。
向量积的性质
 
  
模：三维空间中，向量积的模即为两个向量组成平行四边形的面积。
代数规则： 
 反交换律：a×b=-b×a 
 加法分配率：a×(b+c) = a×b+a×c 
 兼容标量乘法：(ra)×b = a×(rb) = r(a×b) 
 雅可比恒等式：a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b) = 0 
 拉格朗日公式：(a×b)×c = b(a∙c)-a(b∙c) ; a×(b×c) = b(a∙c)-c(a∙b)

 
【考试要求】
 
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
 
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
 
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
 
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
 
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
 
【知识梳理】
 
1.平面向量数量积的有关概念
 

  
 
 

  
 
 

  
 
 

  
 
 
【考点聚焦】
 
考点一　平面向量数量积的运算
 

  
 
 
【规律方法】　1.数量积公式a·b＝|a||b|cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了.
 
2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.
 

  
 
 
考点二　平面向量数量积的应用
 
角度1　平面向量的垂直
 

  
 
 
【规律方法】
 
1.当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.
 
2.数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
 
角度2　平面向量的模
 

  
 
 
【规律方法】
 
1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
 
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
 
角度3　平面向量的夹角
 

  
 
 

  
 
 
【规律方法】
 
1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝求解.
 
2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
 

  
 
 

  
 
 
考点三　平面向量与三角函数
 

  
 
 
【规律方法】　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：
 
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
 
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
 

  
 
 

  
 
 
【反思与感悟】
 
1.计算向量数量积的三种方法
 
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
 
2.求向量模的常用方法
 
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
 
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
 
【易错防范】
 
数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a·b)·c不一定等于a·(b·c).
 
【核心素养提升】
 
【数学运算、数学建模】——平面向量与三角形的“四心”
 
1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
 
2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.
 

  
 
 
类型1　平面向量与三角形的“重心”
 

  
 
 
类型3　平面向量与三角形的“垂心”问题
 

  
 
 
类型4　平面向量与三角形的“外心”问题