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平面向量内积的坐标运算与距离公式
德清乾元职高
朱见锋
【教材分析】
：
本课是在平面向量坐标运算、
内积定义基础上学习的，
主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点
间的距离公式，是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据，是进一步学习相关数学知识的重要基础。
【教学目标】
1.
掌握平面向量内积的坐标表示，会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题．
2.
能够根据平面向量的坐标，判断两向量是否垂直，求两向量的夹角等。
3.
通过学习平面向量的坐标表示，使学生进一步了解数学知识的相同性，培养学生辩证思维能力．提高学生数学知识
的应用能力。
【教学重点】
：平面向量内积的坐标公式式，平面向量垂直的充要条件，平面内两点间距离公式的应用．
【教学难点】
：平面向量内积的坐标公式的推导和应用。
【教学方法】
本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法．

高中数学《平面向量高考题专项》
2020年高考已经结束，我们专门整理了近3年各地的平面向量高考题题型，为同学们能够更加明确高考中平面向量考查的具体内容与题型，这样也有利于同学们在学习认知上，可以更好的掌握方向。
题型一：平面向量的垂直与平行
该题型主要考查平面向量的基础坐标表示，还有相应的垂直关系与平行关系相应的公式运用，在解答分析的基础上，应该注意运算的准确度，属于简易题型，计算是至关重要的一个环节。
技巧：注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错。
题型二：平面向量数量积分析
该题型主要考查平面向量的数量积内容，掌握数量积基础公式运用和公式中各个数据的重要性，运算过程中，需要掌握平面向量相关模的公式技巧和平方技巧，细心注意题型中涉及的对象不同，应对的方向必须有所不同的特点，因题而异。
技巧一：计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角。
技巧二：平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直知识，考查学生的转化能力和计算求解能力。
技巧三：渗透了数学运算、直观想象素养，使用转化思想得出答案。
题型三：平面向量线性运算与多种延伸知识的结合
涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算。
学会利用定义、利用向量的坐标运算、利用数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。
该题型考查平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合和方程思想解题。还要掌握根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要。具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

【考试要求】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
【知识梳理】
1.平面向量数量积的有关概念
【考点聚焦】
考点一　平面向量数量积的运算
【规律方法】　1.数量积公式a·b＝|a||b|cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了.
2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.
考点二　平面向量数量积的应用
角度1　平面向量的垂直
【规律方法】
1.当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.
2.数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
角度2　平面向量的模
【规律方法】
1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
角度3　平面向量的夹角
【规律方法】
1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝求解.
2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
考点三　平面向量与三角函数
【规律方法】　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
【反思与感悟】
1.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
2.求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
【易错防范】
数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a·b)·c不一定等于a·(b·c).
【核心素养提升】
【数学运算、数学建模】——平面向量与三角形的“四心”
1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.
类型1　平面向量与三角形的“重心”
类型3　平面向量与三角形的“垂心”问题
类型4　平面向量与三角形的“外心”问题

向量内积的坐标表示
7.11向量内积的坐标表示 授课人：邱群灯 * 7.11  向量内积的坐标表示 向量的内积          a⊥b        a · b=0 (判断两向量垂直的依据)  运算律： 1． 2． 3．         平面向量基本定理： 如果          是同一平面内的两个不共  线向量，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有与一对实数                      ， 使                         ． 7.11 向量内积的坐标表示 ①            _____     ②           ______  ③           ______    ④            _____  单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求 1 1 0 0      能否推导出    的坐标公式?  两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即 7.11向量内积的坐标表示 (1)设a =(x，y)，则                          或|a |=                   . 性质 若设       、       则  即平面内两点间的距离公式． (2)写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐  标表示式.  7.11向量内积的坐标表示 例题讲解 例1．设        ，         ，求    .  解： a 、b 夹角的余弦值？  7.11平面向量数量积的坐标表示 例2．已知     ，     ，      ，求证      是直角三角形.  证明：∵ ∴  是直角三角形.  7.11  向量内积的坐标表示 例3．求               与向量的夹角为   的单位向量．  解：设所求向量为   ∵ a 与b 成                ∴       又                                                         ……②   联立解之：        ，                    或           ，  ……①  另一方面  ∴ 7.11向量内积的坐标表示 练习： (1)已知     ，      且     ，求  .  (2)已知a =(4，2)，求与a 垂直的单位向量.  (3)      中，        ，        ，求k 的值.  *