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  • 平面向量

    千次阅读 2015-07-31 23:20:59
     平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量, 物理学中也称作矢量, 与之相对的是只有大小, 没有方向的数量(标量). 平面向量用小写加粗的字母a, b, c表示; 也可以用表示向量的有向线段的...

    一. 描述


            平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量, 物理学中也称作矢量, 与之相对的是只有大小, 没有方向的数量(标量). 平面向量用小写加粗的字母a, b, c表示; 也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.

    二. 一些概念


    有向线段AB:具有方向的线段叫做有向线段, 以A为起点, B为终点的有向线段记作:
    ->
    AB
    AB; (加粗)

    向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模, 记作: |AB|;

    零向量:长度等于0的向量叫做零向量记作:
    ->
    0
    或0; (加粗) (注意粗体格式, 实数"0"和向量"0"是有区别的, 书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆);

    相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;

    平行向量(共线向量): 两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量, 零向量与任意向量平行, 即0//a;

    单位向量: 模等于1个单位长度的向量叫做单位向量, 通常用e表示, 平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i, j表示;

    相反向量: 与a长度相等, 方向相反的向量, 叫做a的相反向量, -(-a) = a,
    零向量的相反向量仍然是零向量;

    三. 表示方法

    3.1 几何表示

    用有向线段表示, 我们以A为起点、B为终点的有向线段记作
    ->                      
    AB
    , 则向量可以相应地记作

    ->
    AB, 但是,区别于有向线段,在一般的数学研究中,向量是可以平移的.

    3.2 坐标表示

            在直角坐标系内, 我们分别取与x轴, y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底. 任作一个向量a, 由平面向量基本定理可知, 有且只有一对实数x, y, 使得: a = xi + yj, 我们把(x, y)叫做向量a的(直角)坐标, 记作: a = (x, y). 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 上式叫做向量的坐标表示.在平面直角坐标系内, 每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示.
    根据定义, 任取平面上两点A(x1, y1), B(x2, y2), 则向量 AB = (x2 - x1, y2 - y1), 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

    3.3 书写方法


    印刷体: 只用小写字母表示时, 采用加粗黑体; 例如: a; 用首尾点大写字母表示时, 需要在字母上加箭头, 如:
    ->
    AB


    手写体:均需在字母上加箭头表示,如:
    ->
    a


    ->
    AB


    四. 运算法则


    // 一个3D向量
    // 很详细

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  • 关于很多平面向量的概念及线性运算习题都不会做,那么老师一对一辅导分享关于平面向量的概念及线性运算习题。 一、平面向量的有关概念 给出下列命题: 有向线段就是向量,向量就是有向线段; 向量a与向量b平行,则a...

    说起高中数学,除了函数知识点让大家头疼,就是平面向量了,但是平面向量作为高中数学的一个重点知识。关于很多平面向量的概念及线性运算习题都不会做,那么老师一对一辅导分享关于平面向量的概念及线性运算习题。
    在这里插入图片描述

    一、平面向量的有关概念

    给出下列命题:

    有向线段就是向量,向量就是有向线段;

    向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;

    向量→AB与向量→CD共线,则A、B、C、D四点共线;

    如果ab,bc,那么ac.

    其中正确命题的个数为(  )

    在这里插入图片描述
    二、对于向量的概念的三点注意

    (1)向量的两个特征:有大小和方向,向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示;

    (2)相等向量不仅模相等,而且方向也相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;

    (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小.

    给出下列命题:

    两个具有公共终点的向量一定是共线向量;

    两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;

    若λa=0(λ为实数),则λ必为零;

    若λa=μb(λ,μ为实数),则a与b共线.

    其中错误命题的个数为(  )

    A.1         B.2

    C.3 D.4
    在这里插入图片描述

    三、 平面向量的线性运算

    平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算,是高考考查向量的热点.常以选择题、填空题的形式出现.

    高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下两个命题角度:

    (1)用已知向量表示未知向量;

    (2)求参数的值.

    (2015·高考北京卷)在ABC中,点M,N满足→AM=2→MC,→BN=→NC. 若→MN=x→AB+y→AC,则x=________;y=________.

    在这里插入图片描述

    四、向量线性运算的解题策略

    (1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则.

    (2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.

    角度一 用已知向量表示未知向量

    1.(2017·唐山统一考试)在等腰梯形ABCD中,→AB=-2→CD,M为BC的中点,则→AM=(  )

    在这里插入图片描述
    角度二 求参数的值

    2.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足→PA+→BP+→CP=0,→AP=λ→PD,则实数λ的值为________.

    在这里插入图片描述
    五、平面向量共线定理的应用

    设两个非零向量a与b不共线.

    (1)若→AB=a+b,→BC=2a+8b,→CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;

    (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

    在这里插入图片描述

    (2017·石家庄市第一次模考)已知A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D,若→OC=λ→OA+μ→OB(λ>0,μ>0),则λ+μ的取值范围是(  )

    在这里插入图片描述

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  • 【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;...平面向量数量积的有关概念【考点聚焦】考点一 平面向量数量积的运算【规律方法】 1.数量积公式a·b=|a||b|...

    【考试要求】

    1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;

    2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;

    3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;

    4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;

    5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

    【知识梳理】

    1.平面向量数量积的有关概念

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    【考点聚焦】

    考点一 平面向量数量积的运算

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    【规律方法】 1.数量积公式a·b=|a||b|cos θ在解题中的运用,解题过程具有一定的技巧性,需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形;也可建立平面直角坐标系,借助数量积的坐标运算公式a·b=x1x2+y1y2求解,较为简捷、明了.

    2.在分析两向量的夹角时,必须使两个向量的起点重合,如果起点不重合,可通过“平移”实现.

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    考点二 平面向量数量积的应用

    角度1 平面向量的垂直

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    【规律方法】

    1.当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角,从而进行运算.

    2.数量积的运算a·b=0⇔a⊥b中,是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.

    角度2 平面向量的模

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    【规律方法】

    1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义.

    2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.

    角度3 平面向量的夹角

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    【规律方法】

    1.研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角可能是0或π;注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接套用公式cos θ=求解.

    2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

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    考点三 平面向量与三角函数

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    【规律方法】 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:

    (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.

    (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.

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    【反思与感悟】

    1.计算向量数量积的三种方法

    定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活运用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.

    2.求向量模的常用方法

    利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.

    3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.

    【易错防范】

    数量积运算律要准确理解、应用,例如,a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律,(a·b)·c不一定等于a·(b·c).

    【核心素养提升】

    【数学运算、数学建模】——平面向量与三角形的“四心”

    1.数学运算是指在明晰运算的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”,学生能进一步发展数学运算能力,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

    2.数学建模要求在熟悉的情境中,发现问题并转化为数学问题,能够在关联的情境中,经历数学建模的过程,理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型,能够培养学生用模型的思想解决相关问题.

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    类型1 平面向量与三角形的“重心”

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    类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题

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    类型4 平面向量与三角形的“外心”问题

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  • Java实现的平面向量

    2014-03-05 11:57:00
    Java实现的平面向量基本运算,其中涉及到了有关数学方面的角度、弧度转换的基本问题,记录一下,...//平面向量(x,y)的基本运算规则,角度弧度的转换等实现 public class Vector2D { private double x; private ...

    Java实现的平面向量基本运算,其中涉及到了有关数学方面的角度、弧度转换的基本问题,记录一下,感觉大学学的线性代数都忘记的差不多了=.=

    下面是一个Vector2D的向量类,里面封装了一些关于向量的基本运算的函数。

    //平面向量(x,y)的基本运算规则,角度弧度的转换等实现
    public class Vector2D {
    	private double x;
    	private double y;
    	
    	public Vector2D()
    	{
    		x = 0;
    		y = 0;
    	}
    	
    	public Vector2D(double _x, double _y)
    	{
    		x = _x;
    		y = _y;
    	}
    	
    	//获取弧度
    	public double getRadian()
    	{
    		return Math.atan2(y, x);
    	}
    	
    	//获取角度
    	public double getAngle()
    	{
    		return getRadian() / Math.PI * 180;
    	}
    	
    	public Vector2D clone()
    	{
    		return new Vector2D(x,y);
    	}
    	
    	public double getLength()
    	{
    		return Math.sqrt(getLengthSQ());
    	}
    	
    	public double getLengthSQ()
    	{
    		return x * x + y * y;
    	}
    	
    	//向量置零
    	public Vector2D Zero()
    	{
    		x = 0;
    		y = 0;
    		return this;
    	}
    	
    	public boolean isZero()
    	{
    		return x == 0 && y == 0;
    	}
    	
    	//向量的长度设置为我们期待的value
    	public void setLength(double value) 
    	{
    		double _angle = getAngle();
    		x = Math.cos(_angle) * value;
    		y = Math.sin(_angle) * value;
    	}
    	
    	//向量的标准化(方向不变,长度为1)
    	public Vector2D normalize()
    	{
    		double length = getLength();
    		x = x / length;
    		y = y / length;
    		return this;
    	}
    	//是否已经标准化
    	public boolean isNormalized()
    	{
    		return getLength() == 1.0;
    	}
    	
    	//向量的方向翻转
    	public Vector2D reverse()
    	{
    		x = -x;
    		y = -y;
    		return this;
    	}
    	
    	//2个向量的数量积(点积)
    	public double dotProduct(Vector2D v)
    	{
    		return x * v.x + y * v.y;
    	}
    	
    	//2个向量的向量积(叉积)
    	public double crossProduct(Vector2D v)
    	{
    		return x * v.y - y * v.x;
    	}
    
    	//计算2个向量的夹角弧度
    	//参考点积公式:v1 * v2 = cos<v1,v2> * |v1| *|v2|
    	public static double radianBetween(Vector2D v1, Vector2D v2)
    	{
    		if(!v1.isNormalized()) v1 = v1.clone().normalize(); // |v1| = 1
    		if(!v2.isNormalized()) v2 = v2.clone().normalize(); // |v2| = 1
    		return Math.acos(v1.dotProduct(v2)); 
    	}
    	
    	//弧度 = 角度乘以PI后再除以180、 推理可得弧度换算角度的公式
    	//弧度转角度
    	public static double radian2Angle(double radian)
    	{
    		return radian / Math.PI * 180;
    	}
    	//向量加
    	public Vector2D add(Vector2D v)
    	{
    		return new Vector2D(x + v.x, y + v.y);
    	}
    	//向量减
    	public Vector2D subtract(Vector2D v)
    	{
    		return new Vector2D(x - v.x, y - v.y);
    	}
    	//向量乘
    	public Vector2D multiply(double value)
    	{
    		return new Vector2D(x * value, y * value);
    	}
    	//向量除
    	public Vector2D divide(double value)
    	{
    		return new Vector2D(x / value, y / value);
    	}
    }
    


    转载于:https://www.cnblogs.com/vokie/p/3602063.html

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空空如也

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平面向量运算法则