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  • 在二维平面内,已知共点的多条线基本可以通过解析几何的方法将点求出。但是在计算机中,由于浮点数等计算误差,导致多条线中相交的点不在同一位置。另外,在现实情况中,测距...欧几里得空间中二维平面直线交点 ...

    在二维平面内,已知共点的多条线基本可以通过解析几何的方法将点求出。但是在计算机中,由于浮点数等计算误差,导致多条线中相交的点不在同一位置。另外,在现实情况中,测距、测坐标等传感器所带来的误差,将多条线本应共点的位置出现偏差,给数据融合带来麻烦。此篇通过利用matlab中拟合及优化的方法,来将本应共点的多条线优化出来。若有不对及可以改进的地方,请大家多多指正。


    欧几里得空间中二维平面两直线交点

    首先,利用高中知识,我们来定义:

    欧几里得空间中,二维平面笛卡尔点坐标x=(x_p,y_p)^{T};线的斜截式方程:l_i:y=k_ix+b_i

    在求线交点时,最少应该有两条线存在,也就是i\geq 2。所以我们求交点时就可以联立方程组:

    \left\{\begin{matrix} y=k_1x+b1\\ y=k_2x+b2 \end{matrix}\right. \Rightarrow x=(-\frac{b_2-b_1}{k_2-k_1},-\frac{b_2k_1-b_1k_2}{k_2-k_1}) 

    然而,这个结果对于计算机来说,看起来不太优雅。所以我们就利用大学代数几何知识建立方程:

    Ax=b\Rightarrow x=A^{-1}b

    \begin{bmatrix} -k_1 &1 \\ -k_2&1 \end{bmatrix}\binom{x_p}{y_p}=\binom{b_1}{b_2}\Rightarrow \binom{x_p}{y_p}=\begin{bmatrix} -k_1 &1 \\ -k_2&1 \end{bmatrix}^{-1}\binom{b_1}{b_2}

    计算出结果是一样的。

    此时,对于以上方程组的解,也就是两线交点,分成了三种情况:1. 无解;2. 唯一解;3. 以及无数解。

    从而对应着两条线的三种情况:1. 两直线平行;2. 两直线相交;3. 和两直线重合。

    反映在斜截式方程里就是:1. k_1=k_2, b_1\neq b_2;2.  k_1\neq k_2, b_1\neq b_2;3. k_1=k_2, b_1= b_2

    最后反映在矩阵中就是:1. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩r(\begin{bmatrix} A |b \end{bmatrix})>r(A);2.增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩,且满秩r(\begin{bmatrix} A |b \end{bmatrix})=r(A)=n,n为系数矩阵A的行数;3. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩,但不满秩r(\begin{bmatrix} A |b \end{bmatrix})=r(A)<n

    也可以说,当\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}\neq0时,两直线有交点;当\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0时,没有交点,或是两直线重合。此条件可以判断两直线是否有交点。

    我们用matlab画出这三种情况:

    1. 两平行直线\left\{\begin{matrix} y=-x+1\\ y=-x+2 \end{matrix}\right.;2. 两相交直线\left\{\begin{matrix} y=3x-2\\ y=-2x+3 \end{matrix}\right.,交点坐标x=(1,1)^{T};3. 两重合直线\left\{\begin{matrix} y=-x+1\\ y=-x+1 \end{matrix}\right.

    在欧式二维空间中,平行线不会有交点,则会有无解的情况出现,在运算中就还要多一步进行判断。下面我们利用在射影空间的齐次坐标来进行运算。


    欧几里得二维空间在射影空间中两直线的交点

    在射影空间中,我们饮用了齐次坐标:

    齐次点坐标x\equiv (x_1,x_2,x_3)

    线的一般式方程Ax+By+C=0,对应于齐次点坐标的线方程为l_1x_1+l_2x_2+l_3x_3=0,齐次线坐标为l\equiv [l_1,l_2,l_3]

    而我们此篇研究的是欧几里得二维空间,所以在我们在运算结束后,将齐次点坐标归一化,得到非齐次点坐标。

    利用射影空间,两条平行线的交点,也就是解不会作为无解来定义,可以被认为是无限远点,作为一个解来运算。这样方便了我们的判断和运算。

    在射影空间中,点在直线上被定义为l^{T}x=x^{T}l=0;通过两点直线被定义为l\equiv x_1\times x_2;两直线交点被定义为x\equiv l_1\times l_2

    还是以上三对直线,其各自齐次坐标为

    1. l _1\equiv [1,1,-1];l _2\equiv [1,1,-2],交点为x=(1,1,0)^{T},代表无穷远点。归一化为x_n=(\frac{1}{0},\frac{1}{0},1)^{T},代表在欧式二维平面上相交于无穷点,也就是平行;

    2. l _1\equiv [3,-1,-2];l _2\equiv [2,1,-3],交点为x=(5,5,5)^{T}。归一化为x_n=(1,1,1)^{T}

    3. l _1\equiv [1,1,-1];l _2\equiv [-1,-1,1],交点为x=(0,0,0)^{T},代表在射影空间中,两条射线相交于射影中心,从而说明它们是同一条直线。

    若从另一个角度分析,也可以将线的齐次坐标升维致至空间平面方程,通过平面之间的交点来求线的交点。

    射影空间中线的齐次坐标在欧氏空间中表示过空间原点面的法向量。此空间平面和归一化平面相交所构成的线,就是在欧氏空间二维平面的直线。所以两条二维平面直线相交,也可以认为是空间中两个平面同时相交于归一化平面。可列方程:

    \left\{\begin{matrix} l_1_1x+l_1_2y+l_1_3z=0\\ l_2_1x+l_2_2y+l_2_3z=0 \\ z=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \begin{bmatrix} l_1_1& l_1_2&l_1_3 \\ l_2_1& l_2_2 &l_2_3 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{bmatrix}

    从上面的方程式看,和上一部分的方程式是一样的。


    由此可见在二维平面上求两直线交点可以用到欧氏几何解析法以及射影空间的解析法。然而对于计算机编程者来说,利用射影空间的齐次坐标来计算是一个好的选择。特别地,在后面部分,多线相交求交点时,齐次坐标求解交点将是很好的工具。

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  • 利用eigen库内矩阵运算函数,写了LinesPositionRelationship3D类。实现了确定三维空间任意两条直线位置关系并获得在平行交错条件下的两直线距离的功能。该类是在确定空间两圆柱轴线关系下的副产品。
  • 平面直线的交点

    千次阅读 2019-07-12 15:44:38
    平面直线的交点 在3D中,线L平行于平面P或者在单个点上与其相交。令L由参数方程式给出:P(S)= P0 + s(P1-P0) = P0 +su,并且平面P由其上的点V0法向量N=(A,B,C)给出。我们首先通过测试n·u=0(直线方向向量u垂直于...

    平面与直线的交点

    在3D空间中,直线L平行于平面P或者与其相交。令L的方程如下:

    P(S)= P0 + s(P1-P0) = P0 +su
    

    并且平面P由其上的点V0和法向量N=(A,B,C)给出。

    • 首先通过测试n·u=0(直线方向向量u垂直于平面法线n)来检查L是否与P平行。如果等于0,那么L和P是平行的或者L完全位于平面P中。
    • 不相交或重合可以通过测试L中的任何一个特定的点(比如P0)被包含在平面P内 ,即是否满足方程:n·(P0-V0)= 0。
    • 如果直线L和平面P不平行,则L和P 在唯一点P(si)相交,该点使用类似于2D中两条线的交点的方法计算。如下图所示:

    在这里插入图片描述

    在交点处,向量P(S)-V0 = W +su垂直于向量n, 其中W = P0-V0。这相当于点积条件:n·(W + su)= 0。整理可得:

    在这里插入图片描述

    如果线L是从P0到P1的线段,则只需检查0<=si<=1以验证该线段与平面之间存在交叉。对于正射线,当si>=0时与平面有交点。计算交点代码如下:

    Eigen::Vector3d LinePlaneIntersection(const Eigen::Vector3d &u, const Eigen::Vector3d &p0,
        const Eigen::Vector3d &n, const Eigen::Vector3d &v0)
    {
        double s = (n.dot(v0) - n.dot(p0)) / n.dot(u);
        return s * u + p0;
    }
    
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  • ①两直线重合 ②两直线平行 且不平行于向量 ③两直线相交 三个向量共面但s1与s2不平行 四、直线与平面的关系,点直线和平面的关系 1、直线与平面的关系: 设 , . 记s为l的方向向量 ;π的法向量为 (1)l在π上 s...

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    一、向量

    1、简单的高中那些就不说了....

    2、左右手系:

    右手系:将右手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为右手系。

    左手系:将左手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为左手系。

    b1a99290c17c3a761d5d87f78d578e5b.png

    3、单位向量的方向:设向量

    ,p的长度为
    ,则它的单位向量可以表示为

    所以向量投影的定义为:

    其中方向余弦是:

    三个方向余弦的平方和等于1,

    4、向量的内积:两个向量a和b的内积记作

    ,定义为下面的实数,
    ,若a与b中有一个为0的向量,则

    其中:

    5、对于任意的向量a,b,c,以及任意实数λ,有

    (1)若

    ,则

    (2)

    (3)

    (4)

    6、向量的外积:

    (1)定义:两个向量a与b的外积记作

    ,它仍是一个向量,将其长度规定为:
    ,它的方向规定为与a,b均垂直,并且使
    成右手系。

    (2)性质:

    ①若a,b中有一个为0,则a×b=0。

    ②a×b=0的充分必要条件是a与b共线

    外积的几何意义:当a与b不平行时,

    表示以a和b为领边的平行四边形的面积。

    (3)外积的计算性质:对于任意的向量a,b,c,以及任意实数λ,外积有

    ;②
    ;③

    (4)外积的计算:设

    为了方便记忆可以写成:

    e342bc9a4a6a1ccd686e5f6294108f68.png

    7、向量的混合积:

    (1)定义:三个向量a,b,c的混合积记作(a,b,c),它是一个数,规定

    (2)几何意义:以三个非零向量a,b,c为棱作一个平行六面体,其底面积为|a×b|,高为

    ,其中θ为c与a×b的夹角。于是该平行六面体的体积为

    (3)在空间直角坐标系中建立混合积的坐标表达式:

    从而有:

    670bf52e55e29b5c55fad9f67fe69b1f.png

    注意,有的地方是写成

    2bb4646e02416fa2c516460c8ff764ba.png

    此时他们定义的混合积是:

    二、空间平面及其方程

    1、平面的点法式方程:π平面的法向量

    是π平面上的一点,因此其
    平面方程为:

    (其实很简单,记住原理使法向量和平面上的一条向量垂直就可以了)

    2、平面一般式方程

    ,其中
    ,这个方程称为平面的一般式方程

    (1)设C≠0,则方程可以化成:

    对照平面的点法式方程,我们可以知道这是一个
    法向量的平面。

    (2)特点:

    D=0时,方程表示一个过原点的平面。

    当D≠0时,若A,B,C中只有一个为零,则平面平行于某个坐标轴

    (如只有C=0时,平面的法向量与z轴垂直,因此平面平行于z轴)

    ③当D≠0时,若A,B,C中只有一个不为零,则平面平行于某坐标面

    (如只有A≠0,则平面的法向量平行于x轴,因此平面平行于yOz面

    3、平面的截距式方程:当abc≠0时,平面

    x、y、z轴上的截距分别为 a、b、c,因此这种形式的平面称为平面的截距式方程。

    4、平面的三点式方程:用三点可以确定一个平面,三个点都在这个平面上面,设

    。则这三个点构成的三个向量他们的混合积等于0,所以得到方程

    288e4fc804f2f4605ffb01bf218cddda.png

    5、两平面间的关系设两个平面:

    结论:

    (1)两个平面重合

    (2)两个平面平行

    (3)两个平面相交

    6、同轴平面束:经过同一条直线所有平面的集合叫做同轴平面束。

    设l为平面π1和平面π2的交线,则可以设λ1和λ2,就可以得到

    直线l为轴平面束方程:

    三、空间直线及其方程

    1、直线的点向式方程(或者叫直线的对称式方程):

    ,向量
    是l的方向向量,
    所以P(x,y,z)在l上
    向量P0P平行于s

    则有

    。此方程称为直线的点向式方程。

    2、直线的一般式方程:当

    时,由方程组确定:

    d72e24bdc2947b03a1fb069bff96e072.png

    3、直线与直线的关系:设两条空间直线:

    分析:l1过点

    ,方向向量

    l2过点

    ,方向向量

    两直线固定点的向量P1P2为:

    (1)共面与异面的判断:s1、s2、P1P2的混合积为0

    共面,否则两直线异面。

    86be560d23ae058bb720066840171f08.png

    (2)共面后判断是否重合、平行、相交

    ①两直线重合

    ②两直线平行

    且不平行于向量

    ③两直线相交

    三个向量共面但s1与s2不平行

    四、直线与平面的关系,点和直线和平面的关系

    1、直线与平面的关系:

    ,
    .

    记s为l的方向向量

    ;π的法向量为

    (1)l在π上

    s
    垂直于n,且点
    满足平面π的方程

    (2)l与π平行

    方向向量s与n垂直,但是点
    不满足平面π的方程

    (3)l与π相交

    方向向量s与n
    不垂直

    (4)l与π垂直

    s//n(即
    s×n=0

    2、直线与平面相互之间的夹角(都是锐角)

    l1、l2的方向向量分别为s1,s2。平面π1和π2的法向量分别为n1和n2。

    (1)两条直线的夹角:s1和s2的夹角为θ,把

    (因为两直线的夹角一定为锐角)称为两直线的夹角。

    (2)两个平面的夹角:n1与n2的夹角是θ,把

    (因为平面的夹角一定为锐角)称为平面的夹角的夹角。

    (3)平面与直线的夹角:设s1和n1的夹角为θ,把

    称为直线l1与平面π1的夹角。有

    3、距离问题:

    (1)点到直线的距离:

    是空间一定点,过点
    且方向向量为s的直线用
    表示;点P0到l的距离用
    表示。

    设θ为向量s与向量P1P0的夹角,则从图中可以得到有

    又因为从外积公式得到

    所以

    85df0c125bbf365d4b0a082a2e8a42fe.png

    (2)点到平面的距离:

    是空间一定点,过点
    且法向量n的平面用
    表示;点P0到l的距离用
    表示。

    设θ为向量n与向量P1P0的夹角,则从图中可以得到,

    内积公式可以得到

    所以可以得到:

    9b339e6df3bec88e3ee2cb64151bb1ca.png

    (对于π平面的方程为:Ax+By+Cz+D=0,

    则公式为

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  • 对应题目 UPC NO.78场 问题 E: 阅兵队形 plane ...在所有直线中应该最少删除多少条直线使得剩下的直线两两都不相互平行(重合也是平行)。 求出最多可以构成多少条两两互不平行的直线。 输入 第一行,整

    对应题目

    UPC NO.78场 问题 E: 阅兵队形 plane
    题目描述
    70 周年阅兵的时候,飞机在空中排练着队形,Yyx 很好奇,他想知道这么训练有素的队形到底是如何造就的呢?他记录下了飞行路径上的各个端点。
    他发现:把整个天空看做一个平面直角坐标系,飞行路径是所有过任意两个端点的直线。
    如果这些飞机可能会撞在一起,或者说只要这些直线有交点,就可能发生事故。
    在所有直线中应该最少删除多少条直线使得剩下的直线两两都不相互平行(重合也是平行)。
    求出最多可以构成多少条两两互不平行的直线。

    输入
    第一行,整数 n。
    接下来 n 行,每行两个整数 x,y,表示这个端点的横坐标与纵坐标。
    输出
    一行,一个整数 ans,表示答案。

    样例输入
    4
    -1 1
    -2 0
    0 0
    1 1
    样例输出
    4

    提示
    对于所有数据,2≤N≤200,-1000≤Xi≤1000,-1000≤Yi≤1000。
    在所有直线中应该最少删除多少条直线使得剩下的直线两两都不相互平行。

    题意:


    在坐标纸上有N个不重合的点,两两可以连一个线段并延伸成直线,请问在这些直线里最多能选出多少条使得他们两两不平行也不重合(题目可能有点饶头,要求的就是题目描述的最后一行,它的上面一句和样例的提示纯属 出自出题人的 “善意”… )。

    下面2种算法思路的直线都是通过n^2枚举出来的

    思路1:


    首先讲一种常见的思路:运用斜率+特判来解决问题。
    具体做法:
    考虑斜率k
    特判直线垂直于x轴的情况(k负一个特殊值)
    用map进行判断

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int n,ans,x1[520],y1[520];
    map<double,bool>f;
    
    int main()
    {
        cin>>n;
        for(int i=1; i<=n; i++)  cin>>x1[i]>>y1[i];
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=i+1; j<=n; j++)
            {
                int lx = x1[i]-x1[j];
                int ly = y1[i]-y1[j];
                double k;
                if(lx==0)  k=5.25;
                else k = (double)ly/lx;
                if(!f[k]) {f[k]=1;    ans++;}
            }
        cout<<ans<<endl;
        return 0;
    }
    
    /*
    另一写法:求出每两个点间的斜率,排序后判断
    #include<bits/stdc++.h>
    #define N 201
    #define eps 1e-6
    #define PI acos(-1.0)
    using namespace std;
    struct Point {double x, y;} p[N];
    double a[N*N];
    int n;
    
    double FindSlewRate(Point p1, Point p2)
    {
        Point p;
        p.x = p2.x-p1.x;
        p.y = p2.y-p1.y;
        if(abs(p.x)<eps)  return PI/2;     //斜率不存在
        double tmp = atan(p.y/p.x);
        if(tmp<0)  return PI+tmp;
        return tmp;
    }
     
    int cmp(const void *c, const void *d){
        return *(double *)c > *(double *)d ? 1:-1;
    }
    
    int main()
    {
        while(~scanf("%d", &n))
        {
            for(int i=0; i<n; i++)
                scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
            
            int rt=0;
            for(int i=0; i<n; i++)
                for(int j=i+1; j<n; j++)
                    a[rt++] = FindSlewRate(p[i], p[j]);
            
            qsort(a,rt,sizeof(a[0]),cmp);
            
            int ans=1;
            for(int i=1; i<rt; i++)
                if(a[i] != a[i-1])    ans++;
            
            printf("%d\n", ans);
        }
        return 0;
    }
    */
    

    思路2:


    再介绍一种运用向量的做法:考虑使用向量进行判断两点是否平行
    具体做法:
    需要对向量进行特殊处理
    1.首先让x不小于0
    2.如果x==0那么y就取绝对值
    3.x , y 除以 (x , y) 的绝对值的最大公因数
    这样的话,每一种方向的向量就只有唯一的表示方法
    用桶进行判断(注意y可能为负)

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int x[520],y[520];
    bool flag[5200][5200];
    int n,ans;
    int main()
    {
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)    cin>>x[i]>>y[i];
        
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
            {
                int lx=x[i]-x[j];
                int ly=y[i]-y[j];
                if(lx<0) 
                {
                    lx = -lx;
                    ly = -ly;
                }
                else if(lx==0)    ly=abs(ly);
                int gcd = __gcd(lx,abs(ly));
                lx /= gcd;
                ly /= gcd;
                if(!flag[lx][ly+2005])
                {
                    ans++;
                    flag[lx][ly+2005] = 1;
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  • 平面上两直线的夹角求法解析

    万次阅读 2019-04-01 13:21:49
    在2004年审定的人教AB版教材中,平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到.但是,该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式:,平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行...
  • 求空间平面直线的交点

    千次阅读 2017-12-07 21:36:00
    问题重述与几何模型 已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,...可行性:已知直线上不重合两点,可以确定一条直线,已知直线平面,则一定可以得到两者之间的关系。 向量法 当已知平面的一般式方程时(ax+by+cz+d=0),n⃗=(a,...
  • 直线分割平面

    千次阅读 2017-12-04 10:22:00
    路路分蛋糕问题 蛋糕终于是买回来了,路路的朋友们已经迫不及待来吃...从题目中提供的条件来看,蛋糕按照常理可以抽象为一个圆形(平面图形),而切开的印痕可以抽象为一条直线,所以这个问题需要研究平面内的n条
  • 直线平面的交点

    万次阅读 多人点赞 2016-04-24 17:46:13
    如何求点到平面的交点今天遇到一个小问题,如何求点到平面的交点,并如何将其高效实现,下面就从数学的原理以及编程实现来探究一下这个小问题。目录如何求点到平面的交点目录 问题重述与几何模型 数学分析 编程实现
  • 总结图形学方法处理直线相交问题
  • 2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.3第1课时两条直线相交平行与重合的条件练习新人教B版必修2
  • R=S=2时,两直线重合 R=S=3时,两直线相交 R=3,S=2时,两直线平行 定理2: 设直线g和平面 π \pi : g : { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , π : A 3 x + B 3 y + C...
  • 在高考数学里,空间直线平面的平行有关的知识内容题型,一直是近几年高考命题的热点,成为立体几何重要的基础考点。如何巧妙快速的判定空间直线平面平行位置关系,如何在平面内寻找一条直线,探索该直线平面...
  • 观察平面上的直线,因为它的法向量与直线上的方向向直线,它们的方向都会相同,不是平行就是重合,所以之后,直线的方向就确定了。
  • 二维平面内两直线交点计算

    千次阅读 2019-03-08 22:03:17
    二维平面内两直线交点计算
  • 2)平面中的两条直线的相对位置有三种情况,相交、平行、重合; 假设有两条直线,他的方程为a1x+b1y=c1;a2x+b2y=c2,判断两条直线的位置关系的代码如下: //----------------- //a1x+b1y=c1 //a2x+b2y=c2 //----...
  • 判断平面上两条直线是否相交

    千次阅读 2018-11-15 06:10:44
    判断平面上两条直线是否相交
  • if((x3*k1+b1)==y3)//如果直线C->D上点在直线A->B上表明两条直线重合了 cout; else//否则平行 cout; } if(k1!=k2)//如果斜率不相等,表明斜率一定存在 { x=(b2-b1)/(k1-k2); y=(k1*x)+b1; cout; printf(...
  • 和直线

    2017-03-08 07:58:02
    直线表示直线可以用直线上的一点P0+t*v来表示(其中v是一个向量,他主要是提供一个方向,大小无所谓,t是参数,可以粗略理解为y=kx+b里的x)。而v其实很容易求得,只需要知道这条直线上两个不同的点A,B,B-A就是v。...
  • 介绍曲线的切线与法平面和曲面的切平面与法线方程
  • 直线相交 首先引出计算几何学中一个最基本的问题:如何判断向量在的顺时针方向还是逆时针方向? 把p0定为原点,p1的坐标是(x1,y1),p2的坐标是(x2,y2)。向量的叉积(cross product)实际上就是矩阵的行列式: ...
  • 笔者认为,所谓高维几何,就是把高维向量空间,同时视为点的集合,研究她的子集的性质子集之间的关系的学科,就是高维几何(是否如此,请给予点评)。  那么点与向量有什么关系,他们的表示方法有何区别,在以往的...
  • 三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形。常见的三角形按边分有普通三角形(三条边都不相等),等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形) ...
  • 3Blue1Brown有个视频,就是在一个马克杯上画三个不同的房子,还有三哥不同的设施(供气、供电供水),每一个房子都要连接三个设施 一共要画九条线,任意两条线不能相交【官方双语】众多科普YouTuber深陷图论谜题,...
  • C#基础教程-c#实例教程,适合初学者

    万次阅读 多人点赞 2016-08-22 11:13:24
    本章介绍C#语言的基础知识,希望具有C语言的读者能够基本掌握C#语言,并以此为基础,能够进一步学习用C#语言编写window应用程序Web应用程序。当然仅靠一章的内容就完全掌握C#语言是不可能的,如需进一步学习C#语言...
  • 三度带是在六度带的基础上分成的,它的中央子午线与六度带的中央子午线分带子午线重合,即自 1.5 度子午线起每隔经差 3 度自西向东分带,带号依次编为三度带第 1 、 2 … 120 带。我国的经度范围西起 73 °东至 ...

空空如也

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平面和直线重合