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  • (2)平行投影【太阳光线产生的投影为平行投影】 如果把透视【投影的中心】移至【无穷远处】,则各【投影线】成为【相互平行】的直线,这种投影法称为平行投影平行投影可以根据投影方向与投影面的夹角分成两类:...

    (2)平行投影

    【太阳光线产生的投影为平行投影】


    如果把透视【投影的中心】移至【无穷远处】,则各【投影线】成为【相互平行】的直线,这种投影法称为平行投影。

    平行投影可以根据投影方向与投影面的夹角分成两类:正投影和斜投影

    1>正投影
    根据投影面与坐标轴的【夹角】又可分为:三视图和正轴侧图
    当投影面与某一坐标轴【垂直】时,得到的投影为三视图,投影方向和这个坐标轴的方向一致;否则得到的投影为正轴侧图。


    『1』.三视图


    1.主视图——>XOZ面(也称为V面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到主视图点的关系,变换矩阵为:

    由三维物体到主视图的投影变换矩阵表示为:
    [x' y' z' 1]=[x y z 1]•Tv=[x 0 z 1]

    2.侧视图——>YOZ面(也称为W面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到侧视图点的关系,变换矩阵为:


    为使侧视图与主视图都画在一个平面内,就要使W面绕Z轴正转90°,即应有一个旋转变换,其变换矩阵为:

    为使主视图和侧视图有一定的间距,还要使W面沿负X方向平移一段距离-Xo,其变换矩阵为:


    ——>俯视图的投影变换矩阵为:


    3.俯视图——>XOY面(也称为H面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到俯视图点的关系,变换矩阵为:


    由三维物体到主视图的投影变换矩阵表示为:
    [x' y' z' 1]=[x y z 1]•Th=[x y 0 1]

    为使俯视图与主视图都画在一个平面内,就要使H面绕X轴顺时针转90°,即应有一个旋转变换,其变换矩阵为:


    为使主视图和俯视图有一定的间距,还要使H面沿Z方向平移一段距离-Zo,其变换矩阵为:


    ——>俯视图的投影变换矩阵为:


    【三视图的计算】
    a.确定三维物体上【各点】的位置坐标;
    b.引入齐次坐标,求出所做变换相应的【变换矩阵】
    c.将所作变换用矩阵表示,通过【运算】求得三维物体上各点经变换后的点的坐标值;
    d.由变换后得到的二维点【绘出】三维物体投影后的三视图。

    【特点】
    物体的一个坐标面平行于投影面,其投影能反映形体的实际尺寸
    【不足之处】
    一种三视图上只有物体一个面的投影,所以三视图难以形象地表示出形体的三维性质,只有将主、侧、俯三个视图放在一起,才能综合出物体的空间形状。


    『2』.正轴测图

    当投影面与【三个坐标轴】之间的夹角都【相等】时为等轴测
    当投影面与【两个坐标轴】之间的夹角都【相等】时为正二测
    当投影面与【三个坐标轴】之间的夹角都【不相等】时为正三测

    空间物体的正轴测图是以V面(XOZ面)为轴测投影面,先将物体绕Z轴转Y角,

    接着绕X轴转-α角,最后向V面投影,变换矩阵为:T=Tz•Tx•Tv


    【三视图与轴测图比较】

    2>斜投影

    【平行投影特点】
    平行投影保持物体的【有关比例不变】
    物体的各个面的【精确视图】由平行投影而得;
    没有给出三维物体外表的真实性表示。
    【轴测投影图】是用【平行投影法】形成的,【视点在无穷远处】


    【三维图形变换小结】


    根据T3D在变换中所起的具体作用,进一步可将T3D分成四个矩阵,即:


    平面几何投影的分类:

    转载于:https://www.cnblogs.com/Penglimei/p/9750439.html

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  • 1.透视投影 如下a图,透视投影是从某个...2.平行投影 如下b图,平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影。在平行投影中,同一时刻改变物体的方向和位置,其投影也跟着发生变化;投影大小与物体和投影面之间的距离...

    1.透视投影

    如下a图,透视投影是从某个投影点将物体投影到单一投影面上所得到的图形,透视投影符合人们心理习惯,即离视点近的物体大,离视点远的物体小,远到极点即为消失。在透视投影中,同一灯光下,改变物体的位置和方向,其投影也跟着发生变化

    2.平行投影

    如下b图,平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影。在平行投影中,同一时刻改变物体的方向和位置,其投影也跟着发生变化;投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。
    在这里插入图片描述

    3.正投影

    正投影是平行投影的一种特殊形式,投影方向和投影面垂直,正投影法的特点是,能准确、完整地表达出形体的形状和结构,且作图简便,度量性较好

    投影变换:给定视点、视线方向,计算出当前顶点的投影点的坐标

    在OpenGL中有三个函数glFrustum(),gluPerspective(),glOrtho()

    1.void glFrustum(GLdouble left,GLdouble Right,GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far)

    创建一个透视型的视椎体,其操作是创建一个透视投影的矩阵,并且用这个矩阵乘以当前矩阵。
    这个函数的参数之定义,只定义近才见面的左下角点和右上角点的三维空间坐标,即(left,bottom,-near)和(right,top,-near),最后一个参数far是裁减面的,离视点的距离值,其左下角和右上角空间坐标由函数根据透视投影原理自动生成,near和far为正值,即必须>0
    在这里插入图片描述

    2.void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect,GLdouble zNear,GLdouble zFar);

    创建一个对称的透视型视椎体,其操作是创建一个对称的透视投影矩阵。参数fovy定义视野在Y-Z平面的角度,范围是[0.0, 180.0],参数aspect是投影平面宽度与高度的比例;参数near和far分别是近远裁剪面到视点的距离,沿Z负轴,总为正值
    在这里插入图片描述
    总结:以上两个函数视点都在原点,视线沿z轴指向负方向
    void mydisplay()
    {

    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    LoadIdentity();
    Frustum(left,right,bottom,top,near,far)

    }

    3.glOrtho(GLdobule left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far)

    六个参数,前面来给个是x轴最小坐标和最大坐标,中间两个是y轴,最后两个是z轴
    这个函数创建的是一个平行视景体,就是一个长方体区域,实际上是创建一个正射投影矩阵,并且用这个矩阵乘以当前矩阵,所有的near和far值同时为正,或者同时为负u,值不能相同,如果没有其他变换,正射投影的方向平行于z轴,且视点朝向z负轴,这意味着物体在视点前面时far和near都是负值,在视点后面时far和near都为正值,只有在视景体里面的物体才能显示出来
    在这里插入图片描述

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  • 2.平行投影法;投影方法;正投影法的基本特性;正投影法的基本特性;正投影法的基本特性;正投影法的基本特性;正投影法的基本特性;三视图的形成;;三面投影体系;三视图的形成;三视图的平面化;三视图的投影关系—— 三视图...

    画法几何与机械制图 ;绪 论;零 件;;装配图:表达机器或部件的工作原理、零件间装配关系、零件主要结构形状以及装配、检验、安装时所需尺寸数据、技术要求等内容的图样。;装 配 图;3. 本课程的培养要求与学习方法 三种能力的培养: (a) 图形形象思维能力(空间想象能力) (b) 绘制工程图样能力——绘图:手绘与计算机绘图 (c) 工程图样理解能力——读图 ;4.本课程的特点-图形性、基础性和工程性;第一章 投影基础;;2.平行投影法;投影方法;正投影法的基本特性;正投影法的基本特性;正投影法的基本特性;正投影法的基本特性;正投影法的基本特性;三视图的形成;;三面投影体系;三视图的形成;三视图的平面化;三视图的投影关系—— 三视图投影规律; P;;;;各种位置点的投影:;●;;;; 两点确定一条直线,将两点的同名投影用直线连接,就得到直线的同名投影。; 直线上的点的投影特性----从属性和定比性

    从属性:点在空间直线上,点的投影一定在直线的投影上 定比性:点分线段所成比例在投影后保持不变;点C不在直线AB上;例2:判断点K是否在线段AB上。;二、 直线在三个投影面中的投影特性;1、投影面平行线;b?;2、 投影面垂直线; 反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。;3、 一般位置直线;投影特性:;3、 一般位置直线;三、两直线的相对位置;交叉;空间两直线的相对位置分为:平行、相交、交叉。;a;b?;;●;d?;例题 判断两直线的相对位置;一、平面的表示方法;c;平面;X;正垂面的投影特性:1、平面的正面投影a′b′c′积聚为一条线 ;积聚线与OX、OZ夹角反映了平面与H、W的α、? 角,其?=90゜ 2、abc、 a″b″c″ 为? ABC的类似形 ;; 侧垂面的投影特性: 1、平面的侧面投影a″b″c″积聚为一条线 ;积聚线与OY、OZ的夹角反映平面的α、β角,其? = 90゜ 2 、abc、 a′b′c′为? ABC的类似形 ;;x;正平面的投影特性:1、abc 、a″b″c″积聚为一条线,具有积聚性。2、正平面投影 a′b′c′反映? ABC实形 。 ;X

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  • 最基础的CT图像FBP平行束滤波反投影初始代码,采用RL滤波,最邻近插值法
  • 接上文 计算机图形学 学习笔记(七):二维图形变换:平移,比例,旋转,坐标变换等通过三维图形变换,可由简单图形得到复杂图形,三维图形变化则分为三维几何变换和投影变换。6.1 三维图形几何变换三维物体的几何...

    接上文 计算机图形学 学习笔记(七):二维图形变换:平移,比例,旋转,坐标变换等


    通过三维图形变换,可由简单图形得到复杂图形,三维图形变化则分为三维几何变换和投影变换。

    6.1 三维图形几何变换

    三维物体的几何变换是在二维方法基础上增加了对 z 坐标的考虑得到的。

    有关二维图形几何变换的讨论,基本上都适合三维空间。从应用角度来看,三维空间几何变化直接与显示和造型有关,因此更为重要。

    同二维变换一样,三维基本变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换:有平移、比例、旋转、对称和错切等。

    与二维变换类似,引入齐次坐标表示,即:三维空间中某点的变换可以表示成 点的齐次坐标与四阶的三维变换矩阵相乘。

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    平移变换

    若三维物体沿 x, y, z 方向上移动一个位置,而物体的大小与形状均不变,则称为平移变换。

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    点 P 的平移变换矩阵表示如下:

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    比例变换

    比例变换分为局部比例变换和整体比例变换。

    局部比例变换

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    例子:

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    解答:

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    整体比例变换

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    旋转变化

    三维立体的旋转变化是指给定的三维立体绕三维空间某个指定的坐标轴旋转 θ 角度。旋转后,立体的空间位置将发生变化,但形状不变。

    θ 角的正负按右手规则确定,右手大拇指指向旋转轴的正向,其余四个手指指向旋转角的正向。

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    绕 z 轴旋转 θ

    三维空间立体绕 z 轴正向旋转时,立体上各顶点的 x, y 坐标改变,而 z 坐标不变。而 x ,y 坐标可以由二维点绕原点旋转公式得到,由此可得:

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    绕 x 轴旋转 θ

    同理,三维点 p 绕 x 轴正向旋转 θ 角的矩阵计算形式为:

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    绕 y 轴旋转 θ

    三维点 p 绕 y 轴正向旋转 θ 角的矩阵计算形式为:

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    绕任意轴旋转

    求绕任意直线旋转矩阵的原则:

    1. 任意变换的问题->基本几何变换的问题
    2. 绕任意直线旋转的问题->绕坐标轴旋转的问题

    对称变换

    对称变换有关于坐标平面、坐标轴等的对称变换。

    关于坐标平面的对称变换

    关于 xoy 平面进行对称变换的矩阵计算形式为:

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    关于 yoz 平面进行对称变化的矩阵计算形式为:

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    关于 zox 平面进行对称变化的矩阵计算形式为:

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    关于坐标对称的对称变换

    关于 X 轴进行对称变换的矩阵计算形式为:

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    关于 Y 轴进行对称变换的矩阵计算形式为:

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    关于 Z 轴进行对称变换的矩阵计算形式为:

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    6.2 投影变换分类

    如何在二维平面上显示三维物体?显示器屏幕、绘图纸等都是二维的,显示对象是三维的。

    解决方法:投影变换

    平面几何投影

    投影变换就是把三维物体投射到投影面上得到二维平面图形。

    需要记住的一点就是,计算机绘图是产生三维物体的二维图像。但在屏幕上绘制图形的时候,必须在三维坐标系下考虑画法。

    常见的投影法

    这里写图片描述

    两种投影法的本质区别在于透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的,而另一个的距离是无限的。

    透视(中心)投影

    投影线均通过投影中心。在投影中心相对投影面确定的情况下,空间的一个点在投影面上只存在唯一一个投影。

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    透视投影特点:

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    • 物体的投影视图由计算投影线与观察平面之交点而得
    • 透视投影生成真实感视图但不保持相关比例

    平行投影

    如果把透视投影的中心移至无穷远处,则各投影线称为相互平行的直线,这种投影法称为平行投影法。

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    平行投影特点:

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    • 平行投影保持物体的有关比例不变
    • 物体的各个面的精确视图由平行投影而得
    • 没有给出三维物体外表的真实性表示

    平面几何投影的分类

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    6.3 平行投影(三视图、轴视图)

    平行投影可根据投影方向与投影面的夹角分成两类:正投影和斜投影。

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    正投影

    正投影根据投影面与坐标轴的夹角又可分为两类:三视图和正轴侧图。

    当投影面与某一坐标轴垂直时,得到的投影为三视图,这是投影方向与这个坐标轴的方向一致。否则,得到的投影为正轴侧图。

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    三视图

    通常所说的三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种,投影面分别与 X 轴、 Y 轴、Z轴垂直。

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    例子

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    三视图的特点

    物体的一个坐标面平行于投影面,其投影能反应形体的实际尺寸。工程制图中常用三视图来测量形体间的距离、角度以及相互位置关系

    三视图缺点

    三视图只有物体一个面的投影,所以三视图难以形象地表示出形体的三维性质,只有将主视图、侧视图、俯视图三个视图放在一起,才能综合处物体的空间形状。

    三视图的计算

    主视图、俯视图和侧视图是分别将三维物体对正面、水平面和侧面作正平行投影而得到的三个基本视图。

    显然,只要 求得这种正平行投影的变换矩阵,就可以得到三维物体上任意点经变换后相应点,有这些变换后的点即可绘出三维物体投影后的三视图。

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    具体计算步骤如下:

    1. 确定三维物体上各点的位置坐标
    2. 引入齐次坐标,求出所作交换相应的交换矩形
    3. 将所变换用矩阵表示,通过运算求得三维物体上各点经变换后的点坐标值
    4. 由变换后得到的二维点绘出三维物体投影后的三视图

    主视图

    将三维物体 x0z 面(又称 V 面)作垂直投影,得到主视图。

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    俯视图

    将三维物体 x0y 面做垂直投影得到的俯视图。

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    侧视图

    将三维物体 y0z面 作垂直投影得到侧视图。

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    正轴测图投影变换矩阵

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    正轴测有等轴侧、正二测和正三测三种:

    • 当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为等轴侧
    • 当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为正二测
    • 当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等时为正三测

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    正投影图和轴测图

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    空间中的正轴测图:

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    正等轴测图的变换矩阵

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    正二测图的变换矩形

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    6.4 透视投影

    透视投影表示真实看到的物体。

    透视投影是为了获得接近真实三维物体的视觉效果而在二维的纸或者画布平面上绘图或者渲染的一种方法,能逼真地反映形体的空间形象,也称为透视图。

    透视投影是3D渲染的基本概念,也是3D程序设计的基础。

    轴侧投影图是用平行投影法形成的,视点在无穷远处;而透视投影图是用中心投影法形成的,视点在有限远处。

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    透视基本原理

    众所周知,位于空间的任何一个点,它之所以能被人们的眼睛所可见,是因为从改点处发射出来的一条光线能够到达人们的眼睛。

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    该平面为透视投影面,穿点 P’ 为P的透视投影。假如是求空间点的透视投影问题得到了解决,那么空间任何线段、多边形或立体的透视投影也就可以方便地求得。

    因为一条直线段是由两点确定,多边形平面由围成该多边形的各个顶点和边框线段确定,而任何立体也可以看成是由它的顶点和各邻边所构成的一个矿体。

    这就是说,可以通过求出这些顶点的透视投影而获得空间任意立体的透视投影。

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    一点透视

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    多点透视

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    生成透视投影图的方法

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    透视投影实例

    一点透视

    一点透视只有一个灭点。进行透视投影,要很好地考虑图面布局,以避免三维物体的平面或直线积聚成直线或点而影响直观性。具体地说,就是要考虑下列几点:

    1. 三维形体与画面(投影面)的相对位置
    2. 视距,即视点(投影中心)与画面的距离
    3. 视点的高度

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    假定视点(投影中心)在 z 轴上(z= -d 处),投影面在 x0y上,则一点透视的步骤如下:

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    例子:

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    单位立方体的一点透视

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    二点透视投影图的生成

    做二点透视时,通常要将物体绕 y 轴旋转 θ 角,以使物体的主要平面不平行于投影面。

    经透视变换后使物体产生变形,然后再向投影面做正投影。

    构造二点透视的一般步骤:

    1. 将物体平移到适当位置 l、m、n
    2. 将物体绕 y 轴旋转 θ 角
    3. 进行透视变换
    4. 最后向 xoy 面做正投影,即得二点透视图

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    变换结果如下图所示:

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    三点透视投影图的生成

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    构造三点透视的一般步骤如下:

    1. 将物体平移到适当位置
    2. 将物体绕 y 轴旋转 θ 角
    3. 再绕 x 轴旋转 α 角
    4. 进行透视变换
    5. 最后向 xoy 面做正投影,即得三点透视图

    6.5 三维图形变化小结

    三维物体基本几何变换

    三维物体的几何变换是在二维方法基础上增加对 z 坐标的考虑而得到的,有关二维图形几何变换的讨论,基本上都适合于三维空间。

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    三维物体的投影变换

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    两种投影法的本质区别在于:透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的,而另一个的距离是无限的。

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    平行投影的特点

    • 平行投影保持物体的有关比例不变
    • 物体的各个面的精确视图由平行投影而得
    • 没有给出三维物体外表的真实性表示

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    透视投影的特点

    • 物体的投影视图由计算投影线与观察平面之交点而得
    • 透视投影生成真实感视图但不保持相关比例
    • 透视投影比轴测图更富有立体感和真实感

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  • 滤波反投影重建算法(FBP)实现及应用(matlab)

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    滤波反投影重建算法实现及应用(matlab) ...CT重建算法大致分为解析重建算法和迭代重建算法,随着CT技术的发展,重建算法也变得多种多样,各有各的有特点。本文使用目前应用最广泛的重建算法——滤波反投影
  • 3D图形:透视投影

    2021-01-18 11:38:04
    如下图所示,两种投影方式,一种是平行投影也叫作正交投影,正交投影的特点是所有的投影线都是平行的,另外一种则是今天的主题,透视投影,透视投影的特点是投影线是相交于一点的,相交于这个点叫做投影中心. 几何原理...
  • 地图投影(Map Projection) http://baike.baidu.com/view/94066.htm 概念: 地图投影是把地球表面的任意点,利用一定数学法则,转换到地图平面上的理论和方法。 由于地球是一个赤道略宽两极略扁的不规则的梨形...
  • 投影变换(Projective) 各种2D变换的矩阵形式和自由度: 各种2D变换的包含关系: 平移(translation)和旋转(rotation):两者的组合称之为欧式变换(Euclidean transformation)或刚体变换(rigid ...
  • 规定纬线投影平行直线,经线投影为对称于中央经线的正弦曲线,同一纬线上经距相等,纬距向两极缩小。主要用于小比例尺世界地图。在ENVI中对应的正弦曲线投影名称叫sinusoidal,下面介绍定义不同中央经线的...
  • 弱透视投影

    千次阅读 2019-11-02 16:48:07
    转自:弱透视投影、透视投影及正交投影 当我们进行拍照时是一个从3D的物理世界到2D的平面图像的过程,这个过程就是3D投影。对于拍照这个事情其实有着复杂的光学成像过程,而如何在数学上描述这个过程呢? 为了研究...
  • 1.墨卡托(Mercator)投影 1.1 墨卡托投影简介 墨卡托(Mercator)投影,是一种”等角正切圆柱投影”,荷兰地图学家墨卡托(GerhardusMercator1512-1594)在1569年拟定,假设地球被围在一中空的圆柱里,其标准纬线与...
  • 投影变换

    千次阅读 2006-03-18 18:12:00
    投影变换1 >基本概念 在计算机图形软件中所采用笛卡尔(cartesian)直角三维坐标系统,按照z轴方向的不同有两种形式: 1右手系统:当用右手握住z轴时,大姆指指向z轴的正方向(图3.20(a)),其余四个手指从x轴到y轴...

空空如也

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平行投影特点