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  • 1.透视投影 如下a图,透视投影是从某个投影点将物体...如下b图,平行投影是在一束平行光线照射下形成投影。在平行投影中,同一时刻改变物体方向和位置,其投影也跟着发生变化;投影大小与物体和投影面之间距离...

    1.透视投影

    如下a图,透视投影是从某个投影点将物体投影到单一投影面上所得到的图形,透视投影符合人们心理习惯,即离视点近的物体大,离视点远的物体小,远到极点即为消失。在透视投影中,同一灯光下,改变物体的位置和方向,其投影也跟着发生变化

    2.平行投影

    如下b图,平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影。在平行投影中,同一时刻改变物体的方向和位置,其投影也跟着发生变化;投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。
    在这里插入图片描述

    3.正投影

    正投影是平行投影的一种特殊形式,投影方向和投影面垂直,正投影法的特点是,能准确、完整地表达出形体的形状和结构,且作图简便,度量性较好

    投影变换:给定视点、视线方向,计算出当前顶点的投影点的坐标

    在OpenGL中有三个函数glFrustum(),gluPerspective(),glOrtho()

    1.void glFrustum(GLdouble left,GLdouble Right,GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far)

    创建一个透视型的视椎体,其操作是创建一个透视投影的矩阵,并且用这个矩阵乘以当前矩阵。
    这个函数的参数之定义,只定义近才见面的左下角点和右上角点的三维空间坐标,即(left,bottom,-near)和(right,top,-near),最后一个参数far是裁减面的,离视点的距离值,其左下角和右上角空间坐标由函数根据透视投影原理自动生成,near和far为正值,即必须>0
    在这里插入图片描述

    2.void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect,GLdouble zNear,GLdouble zFar);

    创建一个对称的透视型视椎体,其操作是创建一个对称的透视投影矩阵。参数fovy定义视野在Y-Z平面的角度,范围是[0.0, 180.0],参数aspect是投影平面宽度与高度的比例;参数near和far分别是近远裁剪面到视点的距离,沿Z负轴,总为正值
    在这里插入图片描述
    总结:以上两个函数视点都在原点,视线沿z轴指向负方向
    void mydisplay()
    {

    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    LoadIdentity();
    Frustum(left,right,bottom,top,near,far)

    }

    3.glOrtho(GLdobule left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far)

    六个参数,前面来给个是x轴最小坐标和最大坐标,中间两个是y轴,最后两个是z轴
    这个函数创建的是一个平行视景体,就是一个长方体区域,实际上是创建一个正射投影矩阵,并且用这个矩阵乘以当前矩阵,所有的near和far值同时为正,或者同时为负u,值不能相同,如果没有其他变换,正射投影的方向平行于z轴,且视点朝向z负轴,这意味着物体在视点前面时far和near都是负值,在视点后面时far和near都为正值,只有在视景体里面的物体才能显示出来
    在这里插入图片描述

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  • (2)平行投影【太阳光线产生的投影为平行投影】 如果把透视【投影的中心】移至【无穷远处】,则各【投影线】成为【相互平行】的直线,这种投影法称为平行投影平行投影可以根据投影方向与投影面的夹角分成两类:...

    (2)平行投影

    【太阳光线产生的投影为平行投影】


    如果把透视【投影的中心】移至【无穷远处】,则各【投影线】成为【相互平行】的直线,这种投影法称为平行投影。

    平行投影可以根据投影方向与投影面的夹角分成两类:正投影和斜投影

    1>正投影
    根据投影面与坐标轴的【夹角】又可分为:三视图和正轴侧图
    当投影面与某一坐标轴【垂直】时,得到的投影为三视图,投影方向和这个坐标轴的方向一致;否则得到的投影为正轴侧图。


    『1』.三视图


    1.主视图——>XOZ面(也称为V面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到主视图点的关系,变换矩阵为:

    由三维物体到主视图的投影变换矩阵表示为:
    [x' y' z' 1]=[x y z 1]•Tv=[x 0 z 1]

    2.侧视图——>YOZ面(也称为W面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到侧视图点的关系,变换矩阵为:


    为使侧视图与主视图都画在一个平面内,就要使W面绕Z轴正转90°,即应有一个旋转变换,其变换矩阵为:

    为使主视图和侧视图有一定的间距,还要使W面沿负X方向平移一段距离-Xo,其变换矩阵为:


    ——>俯视图的投影变换矩阵为:


    3.俯视图——>XOY面(也称为H面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到俯视图点的关系,变换矩阵为:


    由三维物体到主视图的投影变换矩阵表示为:
    [x' y' z' 1]=[x y z 1]•Th=[x y 0 1]

    为使俯视图与主视图都画在一个平面内,就要使H面绕X轴顺时针转90°,即应有一个旋转变换,其变换矩阵为:


    为使主视图和俯视图有一定的间距,还要使H面沿Z方向平移一段距离-Zo,其变换矩阵为:


    ——>俯视图的投影变换矩阵为:


    【三视图的计算】
    a.确定三维物体上【各点】的位置坐标;
    b.引入齐次坐标,求出所做变换相应的【变换矩阵】
    c.将所作变换用矩阵表示,通过【运算】求得三维物体上各点经变换后的点的坐标值;
    d.由变换后得到的二维点【绘出】三维物体投影后的三视图。

    【特点】
    物体的一个坐标面平行于投影面,其投影能反映形体的实际尺寸
    【不足之处】
    一种三视图上只有物体一个面的投影,所以三视图难以形象地表示出形体的三维性质,只有将主、侧、俯三个视图放在一起,才能综合出物体的空间形状。


    『2』.正轴测图

    当投影面与【三个坐标轴】之间的夹角都【相等】时为等轴测
    当投影面与【两个坐标轴】之间的夹角都【相等】时为正二测
    当投影面与【三个坐标轴】之间的夹角都【不相等】时为正三测

    空间物体的正轴测图是以V面(XOZ面)为轴测投影面,先将物体绕Z轴转Y角,

    接着绕X轴转-α角,最后向V面投影,变换矩阵为:T=Tz•Tx•Tv


    【三视图与轴测图比较】

    2>斜投影

    【平行投影特点】
    平行投影保持物体的【有关比例不变】
    物体的各个面的【精确视图】由平行投影而得;
    没有给出三维物体外表的真实性表示。
    【轴测投影图】是用【平行投影法】形成的,【视点在无穷远处】


    【三维图形变换小结】


    根据T3D在变换中所起的具体作用,进一步可将T3D分成四个矩阵,即:


    平面几何投影的分类:

    转载于:https://www.cnblogs.com/Penglimei/p/9750439.html

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  • D3DXMatrixShadow 产生一个矩阵,把几何体投影到平面上,神奇的是这个矩阵不论对平行光还是点光,都具有统一...随着点光源距离平面越来越远,平面上任意两点接收到的光线趋于平行,若点光源位置无穷远,则就是平行光了

    D3DXMatrixShadow 产生一个矩阵,把几何体投影到平面上,神奇的是这个矩阵不论对平行光还是点光,都具有统一的形式(见左边D3DXMatrixShadow的文档链接)。

    Introduction to 3D Game Programming with DirectX9.0 模板缓冲区那一章里提示感兴趣的读者参考Chapter 6, “Me and My (Fake) Shadow,” Jim Blinn’s Corner: A Trip Down the Graphics Pipeline

    《计算机图形学与几何造型导论》用很基本的向量和矩阵(线性代数)的知识,分别推导出了平行投影和透视投影各自的变换矩阵。因为后者我很早就读过了,非常熟悉;只把前者简单地看了看,有了一个思路(随着点光源距离平面越来越远,平面上任意两点接收到的光线趋于平行,若点光源位置无穷远,则就是平行光了),把这两个变换矩阵合二为一。


    齐次坐标

    一维


    数轴L上一点的坐标 x = x/1 = kx/k ( k!=0 ) 即数轴上一点的坐标可以写成两个实数 X、k 的比值,记作 (X,k) k!=0,这就是一维空间的齐次坐标(比例关系X:k)。

    (x,1) 与 k!=0 k(x,1)=(kx,k) 都是数轴L上的同一个点,对应着二维空间中的一条过原点、斜率不为零的直线(除去原点)

    (X,k) k!=0 代表数轴L上的点 x=X/k,若X!=0,k->0  x-> infinity,即无穷远。记 (X,0) X!=0 代表无穷远,对应着二维空间中过原点、斜率为零的直线(除去原点)

    而剩下的 (0,0) 对应着 二维空间的 原点


    二维


    黄色平面(z=1)上某点A的二维坐标 (x,y) = (x/1, y/1) = (kx/k, ky/k) k!=0,kx=X,ky=Y,写成齐次坐标的形式:(X, Y, k) <--> (X/k, Y/k, 1) = (x,y,1) k!=0,比例关系 (X: Y :k) 。

    (x,y,1) 与 (kx,ky,k) k!=0 都表示黄色平面上的同一个点,对应着三维空间中一条过原点、不在xoy平面(灰色)内的直线(除去原点)

    (X, Y, k) k!=0 代表黄色平面上的点(x,y) x=X/k, y=Y/k,k->0, 若X,Y不同时为零,(x,y)= (X,Y)*(1/k) 沿(X,Y)方向趋于无穷远。记 (X,Y,0)代表无穷远,对应着三维空间中过原点、在xoy平面上、方向向量是(X,Y)的直线(除去原点)

    而剩下的 (0,0,0) 对应着 三维空间的 原点

    在黄色平面这个二维世界中,A是一个点光源,它的齐次坐标为 (a,b,w),即二维坐标为 (a/w,b/w) = (a,b)*(1/w),当w->0时,点A不断沿着平行于向量(a,b)的方向(与向量(a,b)的方向相同或相反)向远处移动,最后趋于黄色平面上向量(a,b)方向的直线两端的无穷远。此时A就是一个平行光了,方向是(a,b)。记作(a,b,0)。(a,b,0) 与 (ka,kb,0) k!=0 产生的平行光线是一样的。

    这样平行光、点光源就用齐次坐标统一起来了:(a,b,w) w!=0 时,代表(a/w,b/w)位置的点光源;w=0且a、b不同时为零,代表平行于向量(a,b)的平行光。(0,0,0)含义未定义。

    无穷远 对应 一组共线的非零向量。


    同理可以推广到三维空间、更高维度几何空间点的齐次坐标,运用代数。


    投影矩阵

    平行投影

    投影平面过Q点,法向是N,平行光线的方向向量为u(光线与平面不平行),则投影矩阵 Parallel(Q,N,u) 为(证明见附录),矩阵的值与被变换的点P(x,y,z,1)无关:

    $$\begin{bmatrix}
    I-\frac{N^\top u}{uN^\top} & 0 \\ \\
    \frac{QN^\top}{uN^\top}u & 1 \\
    \end{bmatrix}$$

    透视投影

    投影平面过Q点,法向是N,点光源的位置为u,则投影矩阵 Perspective(Q,N,u) 为(证明见附录),矩阵的值与被变换的点P(x,y,z,1)无关:

    $$\begin{bmatrix}
    (u-Q)N^\top I-N^\top u & -N^\top \\ \\
    QN^\top u & uN^\top \\
    \end{bmatrix}$$

    齐次形式

    (x,y,z,1) Parallel(Q,N,u) = (x',y',z',1)

    (x,y,z,1) Parallel(Q,N,u)uN^T = (x',y',z',1) uN^T ~ (x',y',z';1)

    $$Parallel(Q,N,u)uN^\top=\begin{bmatrix}uN^\top I-N^\top u & 0 \\ \\QN^\top u & uN^\top \\\end{bmatrix}$$

    > Parallel(Q,N,u)uN^T也是平面Q,N和平行光u的平行投影矩阵。


    点光源的位置是u,若表示成齐次坐标(S,w),w是任意不为零的常数,则u=S/w,代入Perspective(Q,N,u)得:

    $$Perspective(Q,N,S,w)=\begin{bmatrix} 
    (\frac{1}{w}S-Q)N^\top I-\frac{1}{w}N^\top S & -N^\top \\ \\ 
    \frac{1}{w}QN^\top S & \frac{1}{w}SN^\top \\ 
    \end{bmatrix}\quad w\neq 0$$

    (x,y,z,1) Perspective(Q,N,S,w) = (X,Y,Z,k)  ~ (X/k,Y/k,Z/k,1)
    (x,y,z,1) Perspective(Q,N,S,w) w =  (X,Y,Z,k) w ~ (X/k,Y/k,Z/k,1)w!=0

    $$Perspective(Q,N,S,w)w=\begin{bmatrix}
    (S-wQ)N^\top I-N^\top S & -wN^\top \\ \\
    QN^\top S & SN^\top \\
    \end{bmatrix}\quad w\neq 0$$

    > w!=0Perspective(Q,N,S,w) w 是平面Q,N和点光源(S,w)的透视投影矩阵。


    统一的表示

    L=(a,b,c,w)=(S,w), a,b,c,w 不同时为零,定义一个矩阵叫做Projection(L,Q,N) 为:$$\begin{bmatrix}
    (S-wQ)N^\top I-N^\top S & -wN^\top \\ \\
    QN^\top S & SN^\top \\
    \end{bmatrix}$$形式上与Perspective(Q,N,S,w) w完全一样。


    w=!0时,L是点光源,其透视投影矩阵是Perspective(Q,N,S,w) w,也就是Projection(L,Q,N)

    现在对于任意的一个给定的S,让w趋向于0,点光源的位置沿着S方向的直线移动;极限情况下 L是一个与S共线的平行光,lim L = lim (S,w) = (S,0);

    而w->0极限情况下 lim Projection(L,Q,N)Parallel(Q,N,S)SN^T,是一个平行投影矩阵。(求极限都是把w=0带入)


    所以,Projection(L,Q,N)在w!=0时表示点光源的透视投影矩阵,在w=0时表示平行光的平行投影矩阵。


    附录

    平行投影



    字母既代表 点或(行)向量,也代表它们的坐标,运用向量代数:
    $$\begin{array}{ll}
    P' = P+ tu \\ 
    (P'-Q)N^\top = 0\end{array}$$
    解得 \( t = {{QN^\top-PN^\top} \over {uN^\top}} \),
    所以 \( P' = P+ \frac{QN^\top u-PN^\top u}{uN^\top} = P + \frac{QN^\top u}{uN^\top} - \frac{PN^\top u}{uN^\top}
    =P (I-\frac{N^\top u}{uN^\top}) + \frac{QN^\top}{uN^\top}u \).
    \( v' = P'-Q = P (I-\frac{N^\top u}{uN^\top}) +  Q(\frac{N^\top u}{uN^\top}-I) = (P-Q) (I-\frac{N^\top u}{uN^\top})= v (I-\frac{N^\top u}{uN^\top}) \).
    符合仿射变换的定义:P'=PM+w,v'=vM,得:
    \( M=(I-{N^\top u \over uN^\top}),w={QN^\top \over uN^\top} u \)

    透视投影

    质点几何

    ①把位置是P,质量是m!=0的点记做(mP,m),叫做质点坐标。已知某点的质点坐标很容易求出它的位置:mP/m=P。
    (mP,m)~(P,1),~ 代表等价关系(自反、对称、传递的二元关系),a~b: a b同一位置。
    ②质点坐标的好处是质心位置的计算:A(mP,m),B(nQ,n),则A、B的质心为(mP+nQ, m+n) ~ ( (mP+nQ)/(m+n), 1)。


    E是投影点,P' 位于投影平面上,该平面过点Q,法向是N(单位法向量),假定方向朝右(朝左不影响的)
    E到平面的距离=d,P到平面的距离=z,
    假设点E的质量=z,点P的质量=d,
    则P' 所在的位置恰好是E、P两点的质心(杠杆EP的支点)。

    透视投影矩阵

    (E,1)~(Ez,z),(P,1)~(Pd,d),

    (Ez,z)+(Pd,d) = (Ez+Pd, z+d) ~ (P',1)


    其中,\(z=(P-Q)N^\top, \;d=(Q-E)N^\top, \;z+d=(P-E)N^\top \)


    所以,\( (Ez+Pd, z+d)=( (P-Q)N^\top E+(Q-E)N^\top P, \; (P-E)N^\top ) \)


    \( =( PN^\top E -QN^\top E +(Q-E)N^\top P, \; PN^\top -EN^\top) \)


    \( =( P(N^\top E+(Q-E)N^\top I) -QN^\top E, \; PN^\top -EN^\top) \)


    假设$$(P,1)\begin{pmatrix}
    M & b \\
    w & c \\
    \end{pmatrix}_{H} =(Ez+Pd, z+d) \sim (P',1) $$


    则\( M=N^\top E+(Q-E)N^\top I, \; w=-QN^\top E, \; b= N^\top, c=-EN^\top \)


    因为 k (Ez+Pd, z+d)=( k(Ez+Pd), k(z+d) ) ~ (Ez+Pd, z+d) ~ (P',1) k!=0

    所以 矩阵H可以 相差非零因子倍,于是法向朝左或朝右没有关系。



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  • 投影的定义一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的...平行投影特征:平行投影的投影线是平行的。①等高的物体垂直于地面放置时,在太阳光下,他们的影子一样长;②等长的物体平行于地面放置时...

    投影的定义

    一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面。

    投影包括平行投影和中心投影

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    平行投影:由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。

    中心投影:由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

    平行投影特征:

    平行投影的投影线是平行的。

    ①等高的物体垂直于地面放置时,在太阳光下,他们的影子一样长;

    ②等长的物体平行于地面放置时,他们在太阳光下的影子一样长,且影长等于物体本身的长度;

    ③两个物体竖直在地面上,两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似,相似三角形对应边成比例。

    已知物体影子可以确定光线,同一时刻关线是平行的光线下行成的,过已知物体顶端及影子顶端作直线,过其他物体顶端作此线的平行线,便可求出同一时刻其他物体的影子。

    中心投影特征

    中心投影的投影线交于一点。

    ①等高的物体垂直于地面放置时,在灯光下,离点光源近的物体的影子短;离点光源远的物体影子长。

    ②等长的物体平行于地面放置时,一般情况下,离点光源越近,影子长;离点光源越远,影子越短,但不会小于物体本身的长度。

    ③点光源、物体边缘的点以及它的影子上的对应点在同一条直线上,根据其中两个点,就可以求出第三点的位置。

    ④空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成了垂直相交的直线,

    中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多但直观性强,看起来与人的视觉效果一致。

    ⑤如果一个平面图形所在的平面与投射面平行,那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的,并且中心投影后得到的图形与原图形相似。

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    三视图的画法技巧

    首先布局主视图,先画出主视图的布局线,形成图样的大致轮廓,然后再以布局线为基准图元绘制图样的细节。

    布局左视图和俯视图,视图间的投影关系要满足“长对正”、“高平齐”、“宽相等”的原则。利用辅助投影线来绘制左视图和俯视图。

    布局左视图:由于主视图里包含了左视图的许多几何信息,因此可以从主视图画一些投影线将几何特性投影到左视图中。然后根据辅助线绘制左视图的轮廓和局部细节。

    布局俯视图:绘制完主视图和左视图后,俯视图延长度及宽度方向的尺寸就可以通过主视图和左视图的投影得到,为方便左视图向俯视图投影,可将左视图复制到新位置即和俯视图对齐并旋转90度,这样就可以很方便地画出投影线了。再根据辅助线画出俯视图的轮廓线和局部细节。

    四棱锥三视图的画法

    正视图:等腰三角形。

    侧视图:等腰三角形。

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    俯视图:矩形中央加一个点

    投影与视图

    1、投影

    投影的定义:用光线照射物体,在地面上或墙壁上得到的影子,叫做物体的投影。

    平行投影:由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。

    中心投影:由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

    2、视图

    当我们从某一角度观察一个实物时,所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

    主视图:在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图。

    俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图。

    左视图:在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图,有时也叫做侧视图。

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    2008-09-21 10:12:00
    与光轴平行的光线射入凸透镜时,理想的镜头应该是所有的光线聚集在一点后,再以锥状的扩散开来,这个聚集所有光线的一点,就叫做焦点。 2、弥散圆(circle of confusion) 在焦点前后,光线开始聚集和扩散,点的影...
  • 【兰伯特漫反射公式】 【理解】 同样一束平行光照射到一个物体表面上,物体朝向和光线有不同...物体单位表面沿着与光线垂直的投影面积为cosɵ,所获得能量为Ecosɵ=cosɵ,在数值上cosɵ=n●I 。 ...
  •  LCD 液晶显示器是 Liquid Crystal Display 简称,LCD 构造是在两片平行的玻璃当中放置液态晶体,两片玻璃中间有许多垂直和水平细小电线,透过通电与否来控制杆状水晶分子改变方向,将光线折射出来产生画面...
  • 对非共面以及非平行度下傅里叶变换轮廓术(FTP)物体三维形貌测量系统进行了分析,采用两个参考平面辅助分析系统光路结构,引入了一个能使双光轴共面等效虚拟投影出瞳中心。基于光线跟踪原理给出了相位与高度...
  • 相机前方的透镜堆=对进入相机的光线传播会产生影响,并且透镜与成像平面不可能完全平行,这使得光线穿过透镜后的投影到成像平面时的位置发生变化。 这种由透镜引起的畸变称为径向畸变,这种畸变越靠近图像边缘就会越...
  • Transform(CSS动态属性开始)

    千次阅读 2019-07-12 15:03:49
    1、基本概念 基本概念:transform 属性向元素应用 2D 或 3D 转换;该属性允许我们对元素进行旋转、缩放、...从某一点发射出去的光线,是互不平行的,然后就会有一个近大远小的效果。比如:家里的灯泡,我们把一个...
  • 目录 聚焦于对象实战 聚焦于对象实战-解决方案 不断变化的焦距 景深 聚焦于对象实战 ...我们知道,来自p的光线在折射后平行于主轴,穿过主轴的一点就是焦距。这个距离是 f (如图1),另一边...
  • 3D图像重建可视化方法

    千次阅读 2012-08-31 14:47:34
    其中,沿着从视点到投影平面的平行光线,各个体素密度值所呈现亮度将以某种方式加以衰减,并且最终在投影平面上呈现是亮度最大体素。通过计算沿着穿过被扫描物体每条射线上所遇到最大像素密度而产生,...
  • cv 景深

    2019-09-30 19:22:00
    光轴平行的光线射入凸透镜时,理想的镜头应该是所有的光线聚集在一点后,再以锥状的扩散开来,这个聚集所有光线的一点,就叫做焦点。在焦点前后,光线开始聚集和扩散,点的影像变成模糊的,形成一个扩大的圆,这个圆...
  • 景深

    2019-07-31 11:46:04
    与光轴平行的光线射入凸透镜时,理想的镜头应该是所有的光线聚集在一点后,再以锥状的扩散开来,这个聚集所有光线的一点,就叫做焦点。 2、弥散圆(circle of confusion) 在焦点前后,光线开始聚集和...
  • 焦散

    千次阅读 2012-10-03 18:17:05
    “焦散”是指当光线穿过一个透明物体时,由于对象表面不平整,使得光线折射并没有平行发生,出现漫折射,投影表面出现光子分散。  比如,一束光照射一个透明玻璃球,由于球体表面是弧形,那么在球体后...
  • 题意:给你一颗由n个圆台组成的柠檬树,再给你一个光线,问你这棵树的投影的面积。思路:由于光线平行的,所以圆的投影还是原来的圆,样例的投影如下图: 其中DE,CF为原来圆台的母线,现在为两个圆的切线。最后...

空空如也

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平行投影的光线