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  • 平行光线滤波反投影matlab的实现,用Matlab自带的radon函数,自己写iradon函数,shepp-logan模型
  • (2)平行投影【太阳光线产生的投影为平行投影】 如果把透视【投影的中心】移至【无穷远处】,则各【投影线】成为【相互平行】的直线,这种投影法称为平行投影平行投影可以根据投影方向与投影面的夹角分成两类:...

    (2)平行投影

    【太阳光线产生的投影为平行投影】


    如果把透视【投影的中心】移至【无穷远处】,则各【投影线】成为【相互平行】的直线,这种投影法称为平行投影。

    平行投影可以根据投影方向与投影面的夹角分成两类:正投影和斜投影

    1>正投影
    根据投影面与坐标轴的【夹角】又可分为:三视图和正轴侧图
    当投影面与某一坐标轴【垂直】时,得到的投影为三视图,投影方向和这个坐标轴的方向一致;否则得到的投影为正轴侧图。


    『1』.三视图


    1.主视图——>XOZ面(也称为V面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到主视图点的关系,变换矩阵为:

    由三维物体到主视图的投影变换矩阵表示为:
    [x' y' z' 1]=[x y z 1]•Tv=[x 0 z 1]

    2.侧视图——>YOZ面(也称为W面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到侧视图点的关系,变换矩阵为:


    为使侧视图与主视图都画在一个平面内,就要使W面绕Z轴正转90°,即应有一个旋转变换,其变换矩阵为:

    为使主视图和侧视图有一定的间距,还要使W面沿负X方向平移一段距离-Xo,其变换矩阵为:


    ——>俯视图的投影变换矩阵为:


    3.俯视图——>XOY面(也称为H面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到俯视图点的关系,变换矩阵为:


    由三维物体到主视图的投影变换矩阵表示为:
    [x' y' z' 1]=[x y z 1]•Th=[x y 0 1]

    为使俯视图与主视图都画在一个平面内,就要使H面绕X轴顺时针转90°,即应有一个旋转变换,其变换矩阵为:


    为使主视图和俯视图有一定的间距,还要使H面沿Z方向平移一段距离-Zo,其变换矩阵为:


    ——>俯视图的投影变换矩阵为:


    【三视图的计算】
    a.确定三维物体上【各点】的位置坐标;
    b.引入齐次坐标,求出所做变换相应的【变换矩阵】
    c.将所作变换用矩阵表示,通过【运算】求得三维物体上各点经变换后的点的坐标值;
    d.由变换后得到的二维点【绘出】三维物体投影后的三视图。

    【特点】
    物体的一个坐标面平行于投影面,其投影能反映形体的实际尺寸
    【不足之处】
    一种三视图上只有物体一个面的投影,所以三视图难以形象地表示出形体的三维性质,只有将主、侧、俯三个视图放在一起,才能综合出物体的空间形状。


    『2』.正轴测图

    当投影面与【三个坐标轴】之间的夹角都【相等】时为等轴测
    当投影面与【两个坐标轴】之间的夹角都【相等】时为正二测
    当投影面与【三个坐标轴】之间的夹角都【不相等】时为正三测

    空间物体的正轴测图是以V面(XOZ面)为轴测投影面,先将物体绕Z轴转Y角,

    接着绕X轴转-α角,最后向V面投影,变换矩阵为:T=Tz•Tx•Tv


    【三视图与轴测图比较】

    2>斜投影

    【平行投影特点】
    平行投影保持物体的【有关比例不变】
    物体的各个面的【精确视图】由平行投影而得;
    没有给出三维物体外表的真实性表示。
    【轴测投影图】是用【平行投影法】形成的,【视点在无穷远处】


    【三维图形变换小结】


    根据T3D在变换中所起的具体作用,进一步可将T3D分成四个矩阵,即:


    平面几何投影的分类:

    转载于:https://www.cnblogs.com/Penglimei/p/9750439.html

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  • 1.透视投影 如下a图,透视投影是从某个投影点将物体...如下b图,平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影。在平行投影中,同一时刻改变物体的方向和位置,其投影也跟着发生变化;投影大小与物体和投影面之间的距离...

    1.透视投影

    如下a图,透视投影是从某个投影点将物体投影到单一投影面上所得到的图形,透视投影符合人们心理习惯,即离视点近的物体大,离视点远的物体小,远到极点即为消失。在透视投影中,同一灯光下,改变物体的位置和方向,其投影也跟着发生变化

    2.平行投影

    如下b图,平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影。在平行投影中,同一时刻改变物体的方向和位置,其投影也跟着发生变化;投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。
    在这里插入图片描述

    3.正投影

    正投影是平行投影的一种特殊形式,投影方向和投影面垂直,正投影法的特点是,能准确、完整地表达出形体的形状和结构,且作图简便,度量性较好

    投影变换:给定视点、视线方向,计算出当前顶点的投影点的坐标

    在OpenGL中有三个函数glFrustum(),gluPerspective(),glOrtho()

    1.void glFrustum(GLdouble left,GLdouble Right,GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far)

    创建一个透视型的视椎体,其操作是创建一个透视投影的矩阵,并且用这个矩阵乘以当前矩阵。
    这个函数的参数之定义,只定义近才见面的左下角点和右上角点的三维空间坐标,即(left,bottom,-near)和(right,top,-near),最后一个参数far是裁减面的,离视点的距离值,其左下角和右上角空间坐标由函数根据透视投影原理自动生成,near和far为正值,即必须>0
    在这里插入图片描述

    2.void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect,GLdouble zNear,GLdouble zFar);

    创建一个对称的透视型视椎体,其操作是创建一个对称的透视投影矩阵。参数fovy定义视野在Y-Z平面的角度,范围是[0.0, 180.0],参数aspect是投影平面宽度与高度的比例;参数near和far分别是近远裁剪面到视点的距离,沿Z负轴,总为正值
    在这里插入图片描述
    总结:以上两个函数视点都在原点,视线沿z轴指向负方向
    void mydisplay()
    {

    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    LoadIdentity();
    Frustum(left,right,bottom,top,near,far)

    }

    3.glOrtho(GLdobule left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far)

    六个参数,前面来给个是x轴最小坐标和最大坐标,中间两个是y轴,最后两个是z轴
    这个函数创建的是一个平行视景体,就是一个长方体区域,实际上是创建一个正射投影矩阵,并且用这个矩阵乘以当前矩阵,所有的near和far值同时为正,或者同时为负u,值不能相同,如果没有其他变换,正射投影的方向平行于z轴,且视点朝向z负轴,这意味着物体在视点前面时far和near都是负值,在视点后面时far和near都为正值,只有在视景体里面的物体才能显示出来
    在这里插入图片描述

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  • D3DXMatrixShadow 产生一个矩阵,把几何体投影到平面上,神奇的是这个矩阵不论对平行光还是点光,都具有统一的形式。 随着点光源距离平面越来越远,平面上任意两点接收到的光线趋于平行,若点光源位置无穷远,则就是...

    D3DXMatrixShadow 产生一个矩阵,把几何体投影到平面上,神奇的是这个矩阵不论对平行光还是点光,都具有统一的形式(见左边D3DXMatrixShadow的文档链接)。

    Introduction to 3D Game Programming with DirectX9.0 模板缓冲区那一章里提示感兴趣的读者参考Chapter 6, “Me and My (Fake) Shadow,” Jim Blinn’s Corner: A Trip Down the Graphics Pipeline

    《计算机图形学与几何造型导论》用很基本的向量和矩阵(线性代数)的知识,分别推导出了平行投影和透视投影各自的变换矩阵。因为后者我很早就读过了,非常熟悉;只把前者简单地看了看,有了一个思路(随着点光源距离平面越来越远,平面上任意两点接收到的光线趋于平行,若点光源位置无穷远,则就是平行光了),把这两个变换矩阵合二为一。


    齐次坐标

    一维


    数轴L上一点的坐标 x = x/1 = kx/k ( k!=0 ) 即数轴上一点的坐标可以写成两个实数 X、k 的比值,记作 (X,k) k!=0,这就是一维空间的齐次坐标(比例关系X:k)。

    (x,1) 与 k!=0 k(x,1)=(kx,k) 都是数轴L上的同一个点,对应着二维空间中的一条过原点、斜率不为零的直线(除去原点)

    (X,k) k!=0 代表数轴L上的点 x=X/k,若X!=0,k->0  x-> infinity,即无穷远。记 (X,0) X!=0 代表无穷远,对应着二维空间中过原点、斜率为零的直线(除去原点)

    而剩下的 (0,0) 对应着 二维空间的 原点


    二维


    黄色平面(z=1)上某点A的二维坐标 (x,y) = (x/1, y/1) = (kx/k, ky/k) k!=0,kx=X,ky=Y,写成齐次坐标的形式:(X, Y, k) <--> (X/k, Y/k, 1) = (x,y,1) k!=0,比例关系 (X: Y :k) 。

    (x,y,1) 与 (kx,ky,k) k!=0 都表示黄色平面上的同一个点,对应着三维空间中一条过原点、不在xoy平面(灰色)内的直线(除去原点)

    (X, Y, k) k!=0 代表黄色平面上的点(x,y) x=X/k, y=Y/k,k->0, 若X,Y不同时为零,(x,y)= (X,Y)*(1/k) 沿(X,Y)方向趋于无穷远。记 (X,Y,0)代表无穷远,对应着三维空间中过原点、在xoy平面上、方向向量是(X,Y)的直线(除去原点)

    而剩下的 (0,0,0) 对应着 三维空间的 原点

    在黄色平面这个二维世界中,A是一个点光源,它的齐次坐标为 (a,b,w),即二维坐标为 (a/w,b/w) = (a,b)*(1/w),当w->0时,点A不断沿着平行于向量(a,b)的方向(与向量(a,b)的方向相同或相反)向远处移动,最后趋于黄色平面上向量(a,b)方向的直线两端的无穷远。此时A就是一个平行光了,方向是(a,b)。记作(a,b,0)。(a,b,0) 与 (ka,kb,0) k!=0 产生的平行光线是一样的。

    这样平行光、点光源就用齐次坐标统一起来了:(a,b,w) w!=0 时,代表(a/w,b/w)位置的点光源;w=0且a、b不同时为零,代表平行于向量(a,b)的平行光。(0,0,0)含义未定义。

    无穷远 对应 一组共线的非零向量。


    同理可以推广到三维空间、更高维度几何空间点的齐次坐标,运用代数。


    投影矩阵

    平行投影

    投影平面过Q点,法向是N,平行光线的方向向量为u(光线与平面不平行),则投影矩阵 Parallel(Q,N,u) 为(证明见附录),矩阵的值与被变换的点P(x,y,z,1)无关:

    $$\begin{bmatrix}
    I-\frac{N^\top u}{uN^\top} & 0 \\ \\
    \frac{QN^\top}{uN^\top}u & 1 \\
    \end{bmatrix}$$

    透视投影

    投影平面过Q点,法向是N,点光源的位置为u,则投影矩阵 Perspective(Q,N,u) 为(证明见附录),矩阵的值与被变换的点P(x,y,z,1)无关:

    $$\begin{bmatrix}
    (u-Q)N^\top I-N^\top u & -N^\top \\ \\
    QN^\top u & uN^\top \\
    \end{bmatrix}$$

    齐次形式

    (x,y,z,1) Parallel(Q,N,u) = (x',y',z',1)

    (x,y,z,1) Parallel(Q,N,u)uN^T = (x',y',z',1) uN^T ~ (x',y',z';1)

    $$Parallel(Q,N,u)uN^\top=\begin{bmatrix}uN^\top I-N^\top u & 0 \\ \\QN^\top u & uN^\top \\\end{bmatrix}$$

    > Parallel(Q,N,u)uN^T也是平面Q,N和平行光u的平行投影矩阵。


    点光源的位置是u,若表示成齐次坐标(S,w),w是任意不为零的常数,则u=S/w,代入Perspective(Q,N,u)得:

    $$Perspective(Q,N,S,w)=\begin{bmatrix} 
    (\frac{1}{w}S-Q)N^\top I-\frac{1}{w}N^\top S & -N^\top \\ \\ 
    \frac{1}{w}QN^\top S & \frac{1}{w}SN^\top \\ 
    \end{bmatrix}\quad w\neq 0$$

    (x,y,z,1) Perspective(Q,N,S,w) = (X,Y,Z,k)  ~ (X/k,Y/k,Z/k,1)
    (x,y,z,1) Perspective(Q,N,S,w) w =  (X,Y,Z,k) w ~ (X/k,Y/k,Z/k,1)w!=0

    $$Perspective(Q,N,S,w)w=\begin{bmatrix}
    (S-wQ)N^\top I-N^\top S & -wN^\top \\ \\
    QN^\top S & SN^\top \\
    \end{bmatrix}\quad w\neq 0$$

    > w!=0Perspective(Q,N,S,w) w 是平面Q,N和点光源(S,w)的透视投影矩阵。


    统一的表示

    L=(a,b,c,w)=(S,w), a,b,c,w 不同时为零,定义一个矩阵叫做Projection(L,Q,N) 为:$$\begin{bmatrix}
    (S-wQ)N^\top I-N^\top S & -wN^\top \\ \\
    QN^\top S & SN^\top \\
    \end{bmatrix}$$形式上与Perspective(Q,N,S,w) w完全一样。


    w=!0时,L是点光源,其透视投影矩阵是Perspective(Q,N,S,w) w,也就是Projection(L,Q,N)

    现在对于任意的一个给定的S,让w趋向于0,点光源的位置沿着S方向的直线移动;极限情况下 L是一个与S共线的平行光,lim L = lim (S,w) = (S,0);

    而w->0极限情况下 lim Projection(L,Q,N)Parallel(Q,N,S)SN^T,是一个平行投影矩阵。(求极限都是把w=0带入)


    所以,Projection(L,Q,N)在w!=0时表示点光源的透视投影矩阵,在w=0时表示平行光的平行投影矩阵。


    附录

    平行投影



    字母既代表 点或(行)向量,也代表它们的坐标,运用向量代数:
    $$\begin{array}{ll}
    P' = P+ tu \\ 
    (P'-Q)N^\top = 0\end{array}$$
    解得 \( t = {{QN^\top-PN^\top} \over {uN^\top}} \),
    所以 \( P' = P+ \frac{QN^\top u-PN^\top u}{uN^\top} = P + \frac{QN^\top u}{uN^\top} - \frac{PN^\top u}{uN^\top}
    =P (I-\frac{N^\top u}{uN^\top}) + \frac{QN^\top}{uN^\top}u \).
    \( v' = P'-Q = P (I-\frac{N^\top u}{uN^\top}) +  Q(\frac{N^\top u}{uN^\top}-I) = (P-Q) (I-\frac{N^\top u}{uN^\top})= v (I-\frac{N^\top u}{uN^\top}) \).
    符合 仿射变换的定义:P'=PM+w,v'=vM,得:
    \( M=(I-{N^\top u \over uN^\top}),w={QN^\top \over uN^\top} u \)

    透视投影

    质点几何

    ①把位置是P,质量是m!=0的点记做(mP,m),叫做质点坐标。已知某点的质点坐标很容易求出它的位置:mP/m=P。
    (mP,m)~(P,1),~ 代表等价关系(自反、对称、传递的二元关系),a~b: a b同一位置。
    ②质点坐标的好处是质心位置的计算:A(mP,m),B(nQ,n),则A、B的质心为(mP+nQ, m+n) ~ ( (mP+nQ)/(m+n), 1)。


    E是投影点,P' 位于投影平面上,该平面过点Q,法向是N(单位法向量),假定方向朝右(朝左不影响的)
    E到平面的距离=d,P到平面的距离=z,
    假设点E的质量=z,点P的质量=d,
    则P' 所在的位置恰好是E、P两点的质心(杠杆EP的支点)。

    透视投影矩阵

    (E,1)~(Ez,z),(P,1)~(Pd,d),

    (Ez,z)+(Pd,d) = (Ez+Pd, z+d) ~ (P',1)


    其中,\(z=(P-Q)N^\top, \;d=(Q-E)N^\top, \;z+d=(P-E)N^\top \)


    所以,\( (Ez+Pd, z+d)=( (P-Q)N^\top E+(Q-E)N^\top P, \; (P-E)N^\top ) \)


    \( =( PN^\top E -QN^\top E +(Q-E)N^\top P, \; PN^\top -EN^\top) \)


    \( =( P(N^\top E+(Q-E)N^\top I) -QN^\top E, \; PN^\top -EN^\top) \)


    假设$$(P,1)\begin{pmatrix}
    M & b \\
    w & c \\
    \end{pmatrix}_{H} =(Ez+Pd, z+d) \sim (P',1) $$


    则\( M=N^\top E+(Q-E)N^\top I, \; w=-QN^\top E, \; b= N^\top, c=-EN^\top \)


    因为 k (Ez+Pd, z+d)=( k(Ez+Pd), k(z+d) ) ~ (Ez+Pd, z+d) ~ (P',1) k!=0

    所以 矩阵H可以 相差非零因子倍,于是法向朝左或朝右没有关系。



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  • 光线投影算法

    千次阅读 2016-12-08 15:37:13
    光线投射算法是体绘制中的经典算法,由于其绘制出的图像质量最高,因而被广泛研究与应用。

    光线投射算法是体绘制中的经典算法,由于其绘制出的图像质量最高,因而被广泛研究与应用。在介绍光线投影算法之前先介绍一下一些相关的专业术语。
    体绘制:基于体素的数据绘制或可视化 体数据(voxels)
    体绘制基本思想:观察者应该能够从观察平面上绘制的投影感觉到数据的体积


    光线投射算法的基本思想是从视平面每个像素发出一条光线,穿过体数据,基于最基本的光线吸收和发射模型,沿着光线方向对颜色和阻光度进行积累。
    把一系列二维层析图像读入内存,构造成体数据。把体数据读入到计算机内存(显存),构成体纹理。从图像的每一个像素,沿视线方向发射一条光线,光线是以一个平行束的形式前进的,并穿过体积,而不是在碰撞后发散。这些光线穿过整个图像序列(体纹理)。在这个过程中,对图像序列采样获取颜色信息,同时依据光线吸收模型将颜色值及不透明度值进行累加,直至光线穿越整个图像序列,最后得到的颜色累加值就是成像平面上渲染图像的颜色。
    光线投射算法从视点发出一组光线,并遍历整个体数据集,对光线经过的三维数据集上的数据可以间隔均匀地采样,与人类真实视觉相似,适用于透视投影。它从视点发出光线到视平面的每一个像素,穿过视平面到达体数据集,对相交体数据进行采样,并对采样点颜色采用从前往后的方式混合,将混合后的颜色作为该像素的最终颜色值,从而实现三维重建。
    光线投射算法是一种以图像空间为序的经典DVR算法,由Levoy在1988年提出,其基本原理是,成像平面每个像素沿着视线方向发出一条射线穿过体数据,沿着这条射线等距离重采样,求出各重采样的颜色值和阻光度,然后按照由前向后或由后向前的方式合成射线上各重采样点的颜色和阻光度,即得到该像素颜色。

    光线投射算法流程:
    3D体数据—数据预处理—重采样—分类—着色—合成—2D图像

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  • OpenGL 立方体平行投影的绘制

    千次阅读 2019-03-21 22:07:03
    平行投影就是平行光的投影,类似于太阳光照射人到地面形成影子这样的情形。即光源离被照射物体很远。 透视投影就是灯光照射杯子都桌面这样子的。即光源离被照射物体很近。 而平行投影又分为正投影和斜投影,这个...
  • java3D中平行投影的实现

    千次阅读 2007-09-04 10:59:00
    java3D中平行投影的实现 jackjoesh的专栏理论根据:假设一个光的方向是(-1,-1,-1) , 投影到XZ平面一个是直线方程,一个是平面方程,求交而且平面方程还比较特殊,经过原点,法向量是 0 1 0简化后就简单了, 假定v...
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    一、投影 尽管我们创建的世界是3D的,但是我们观察这个世界的界面却是其2D的显示。为了处理这个问题,我们要依赖于投影的概念。投影从本质上来说就是将3D世界坐标“投射”到2D...第一类,叫做平行投影,其投影时所有物
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    2019-01-11 11:23:40
    用平行的光线照射某个物体,所得到的投影称为平行投影平行投影分为正投影和斜投影。 1. 正交投影 从解方程角度看,A x = b 可能无解,因为对任意的 x , Ax 总是在A的列子空间里,若 向量 b 不在列...
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  • 透视投影——消失点的两点证明

    千次阅读 2018-11-02 21:29:10
    任意一组平行直线,如果平行投影平面,则经透视投影后所得到的直线或者重合,或者仍保持平行; 如果不平行投影平面,将不再保持平行,并且必会汇聚于同一点,这个点称为消失点,也称为灭点。 下面我将证明两点...
  • 我们知道在透视法中,相互平行平行线会在无限远处相交于一点,我们称之为理想点(ideal point),对于这个透视成像的介绍,我们在之前的文章[1,2,3]中都或多或少介绍过,同时还引入了齐次坐标系,以便于对投影变换...
  • 弱透视投影

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  • 小科普:这个手机投影仪利用的是凸透镜成像的原理。有了这个手机投影仪,你就可以和爸爸妈妈尽情的享受用手机看大片的乐趣,坐着看,躺着看都可以哦! 如果你手头有闲置不用的鞋盒和手机,你也来试试吧。1、制作物品...
  • 图形学笔记:光线追踪

    千次阅读 2017-01-14 17:13:29
    光线生成投影3D场景到2D图像的转变有不同的投影方式,主要有平行投影和透视投影。其中透视投影和人眼的视觉特点一致。光线在透视投影中,光线的原点是人眼位置,方向为从眼睛到每个像素的方向。交点从眼睛发出的光线...
  • 投影与三维视觉

    千次阅读 2016-12-08 14:54:08
    投影与三维视觉 一 投影 二 仿射变换和透视变换 2.1 POSIT:3D姿态估计 2.2 立体成像 三 三角测量 四 对极几何 五 本征矩阵和基础矩阵   5.1**极线的计算** 六 立体标定 七 立体校正 八 校正映射 九 立体匹配 ...
  • 投影分为:平行投影或者正射投影(parallel projection )和透视投影(perspective projection)。 平行投影对应于带有假想视点的透视投影;也就是说,相机位于离物体无限远的地方,并且具有无限焦距。...
  • 球面投影 (立体和柱面的 投影效果)

    万次阅读 2016-01-08 09:28:17
    【原文来自:... 球面投影 (立体和柱面的 投影效果) Written by Paul Bourke EEG data courtesy of Dr Per Line December 1996, Updated December 1999 立体效果(在2维平面

空空如也

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平行投影的光线