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  • (2)平行投影【太阳光线产生的投影为平行投影】 如果把透视【投影的中心】移至【无穷远处】,则各【投影线】成为【相互平行】的直线,这种投影法称为平行投影平行投影可以根据投影方向与投影面的夹角分成两类:...

    (2)平行投影

    【太阳光线产生的投影为平行投影】


    如果把透视【投影的中心】移至【无穷远处】,则各【投影线】成为【相互平行】的直线,这种投影法称为平行投影。

    平行投影可以根据投影方向与投影面的夹角分成两类:正投影和斜投影

    1>正投影
    根据投影面与坐标轴的【夹角】又可分为:三视图和正轴侧图
    当投影面与某一坐标轴【垂直】时,得到的投影为三视图,投影方向和这个坐标轴的方向一致;否则得到的投影为正轴侧图。


    『1』.三视图


    1.主视图——>XOZ面(也称为V面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到主视图点的关系,变换矩阵为:

    由三维物体到主视图的投影变换矩阵表示为:
    [x' y' z' 1]=[x y z 1]•Tv=[x 0 z 1]

    2.侧视图——>YOZ面(也称为W面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到侧视图点的关系,变换矩阵为:


    为使侧视图与主视图都画在一个平面内,就要使W面绕Z轴正转90°,即应有一个旋转变换,其变换矩阵为:

    为使主视图和侧视图有一定的间距,还要使W面沿负X方向平移一段距离-Xo,其变换矩阵为:


    ——>俯视图的投影变换矩阵为:


    3.俯视图——>XOY面(也称为H面)为投影面

    由投影变换前后三维物体上点到俯视图点的关系,变换矩阵为:


    由三维物体到主视图的投影变换矩阵表示为:
    [x' y' z' 1]=[x y z 1]•Th=[x y 0 1]

    为使俯视图与主视图都画在一个平面内,就要使H面绕X轴顺时针转90°,即应有一个旋转变换,其变换矩阵为:


    为使主视图和俯视图有一定的间距,还要使H面沿Z方向平移一段距离-Zo,其变换矩阵为:


    ——>俯视图的投影变换矩阵为:


    【三视图的计算】
    a.确定三维物体上【各点】的位置坐标;
    b.引入齐次坐标,求出所做变换相应的【变换矩阵】
    c.将所作变换用矩阵表示,通过【运算】求得三维物体上各点经变换后的点的坐标值;
    d.由变换后得到的二维点【绘出】三维物体投影后的三视图。

    【特点】
    物体的一个坐标面平行于投影面,其投影能反映形体的实际尺寸
    【不足之处】
    一种三视图上只有物体一个面的投影,所以三视图难以形象地表示出形体的三维性质,只有将主、侧、俯三个视图放在一起,才能综合出物体的空间形状。


    『2』.正轴测图

    当投影面与【三个坐标轴】之间的夹角都【相等】时为等轴测
    当投影面与【两个坐标轴】之间的夹角都【相等】时为正二测
    当投影面与【三个坐标轴】之间的夹角都【不相等】时为正三测

    空间物体的正轴测图是以V面(XOZ面)为轴测投影面,先将物体绕Z轴转Y角,

    接着绕X轴转-α角,最后向V面投影,变换矩阵为:T=Tz•Tx•Tv


    【三视图与轴测图比较】

    2>斜投影

    【平行投影特点】
    平行投影保持物体的【有关比例不变】
    物体的各个面的【精确视图】由平行投影而得;
    没有给出三维物体外表的真实性表示。
    【轴测投影图】是用【平行投影法】形成的,【视点在无穷远处】


    【三维图形变换小结】


    根据T3D在变换中所起的具体作用,进一步可将T3D分成四个矩阵,即:


    平面几何投影的分类:

    转载于:https://www.cnblogs.com/Penglimei/p/9750439.html

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  • 投影几何性质 平行线(Parallel Lines) 消失点(Vanishing Point) 投影几何性质 all right,让我们快速谈谈透视投影的几个几何属性。这个数字试图展示的是一些事情。 首先是点到点。这看起来很清楚。我在...

    目录

    投影几何性质

    平行线(Parallel Lines)

    消失点(Vanishing Point)


    投影几何性质

    all right,让我们快速谈谈透视投影的几个几何属性。这个数字试图展示的是一些事情。

    首先是点到点。这看起来很清楚。我在这里有一些点(如图1),我要把这一点放在我的地平面上,right?所以这是我的投影中心O(如图2),我看到某些点在平面内,这是图像中的那一点(如图3),right?因为它只是穿过的单一射线。

    1 2

    在透视投影中其他一些事情就是线条,所以这里是一条线(如图1),投影。考虑它的一种方法就是,这是我的原点(如图2),想想它经过这里,经过那里,它扫过整个平面(如图3)。

    1 2

    3 4

    并且该平面与此相交(如图1),由该线在地面上形成的平面和点,中心投影沿着该线与图像平面相交(如图2)。这就是说,点不仅指向点,还要点线。

    1 2

    如果直线到直线,点到点,多边形会变成什么? 它们变成水星(Mercury)。不是,多边形会变成多边形,all right? 不是复杂的事(rocket science),但这是透视投影中的线条不变形性,线条映射到我们充分利用的线条。

    平行线(Parallel Lines)

    透视投影中的一件很酷的事情,你已经知道的是,世界上的平行线几乎总是在图像中的某个点上相遇。 所以这是一个例子(如图),它是地平面上的两条平行线,它们投射到图像中的两条线(如图2)。 你可以看到它们在这一点相遇,有时被称为图像中的“消失”(Vanishing)点。 典型的例子是铁路轨道,轨道本身都收敛到某一点(如图3),所以我们可以直观地思考这个问题,但真正酷的是你可以直接从数学中看到它。

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    3 4

    我们来想一下什么是3维空间中的直线。3维空间中的直线可以参数化为单个值和单个参数。在这种情况下,我们要用 t 。我们有x (t) y (t) z (t) (如图1)当 t 从负无穷到正无穷 或者 0 到任意值时,你会沿着这条线移动。3维空间中的直线从3维空间中的某一点开始,这里是x0 y0 z0(如图2),然后它沿着某个向量移动,现在,我们用向量a b c(如图3)。a在x方向上,b在y方向上,c在z方向上,乘以 t 的值。

    1 2

    现在,让我们来看看这条直线上的所有点在图像平面中的位置,all right? 对于每个x y z,已知 t 的x '和y '是多少? 我们知道 x y z 到x '的投影方程就是 fx / z ,对于 y就是 fy / z (如图1)。在这里,我们把它代入另一边关于 t 的表达式中。这就是直线上所有点的位置(如图2),但当 t 变大时,会发生什么呢? 在 t 的极限趋于无穷时,我现在假设 c 不为 0,我们等下会讲到,okay? x '的极限是fa / c。y '的极限是fb / c(如图3)。

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    缺失的是什么? 缺少的是x0 y0 z0 ? 换句话说,这条线从世界的哪个点出发并不重要,我可以从这里开始,我可以从这里开始,我可以从这里开始(教授比手势)。只要这些点都朝a b c的方向移动,它们都会在图像中的这一点收敛(如图1)。这就是为什么在世界上平行的线都会收敛于一个点。轨道和沿着轨道的感觉,因为它们在同一个方向平行,它们都会聚到同一个点。

    1

    c 等于 0 是什么意思?(如图)c 等于 0意味着 z 值不变。假设我像这样拿着相机,我的像平面是垂直的,所以 z 是垂直的。如果z值不变,则表示世界上的直线与我的像平面平行。它不会离得更远或更近,它会保持平行,这些线都会保持平行线。这就是为什么我说世界上几乎所有的平行线都收敛于一点。如果平行线是垂直的或与像平面对齐的,它们不会收敛。

    消失点(Vanishing Point)

    这些点称为消失点(Vanishing Point)。 这里证明了每组平行线(如图),即它们都在同一方向,在不同的点上相遇。 另一件事是,平行线都在同一平面上,它们都会收敛到共线消失点。 你知道这是地平线,这是世界上一组平行线, 他们在这里收敛(如图2)。 这是另一组平行线,他们会收敛在一起(如图3)。 如果我有相同的平行线离开相机,他们就会像这样收敛,all right?

     1 2

     3 4

    而地平线就是这条线(如图), 那是因为我绘制的所有平行线都在地平面上,所以它们的消失点都会收敛在地平线上。 

    顺便说一句,当你把图像放在一起时,它会使消失点保持一致。 就像,你在这里拍摄一块建筑物,并在那里放置其他东西,而不是实际拍照,实际上有点难。 所以如果你想尝试找一个假的图像。 也就是说,这些内容已被Photoshop整合在一起。 去你当地的超市小报,您经常可以找到消失点看起来不正确的图片,这是因为它是由图像的一部分组成的,这些图像不是用相机与这些平行线对齐的,而是以相同的方式对齐。

    还有一点,也许你们中的一些人真的上过艺术课,在你们决定失去灵魂成为一名工程师之前。也许他们教会了你三点透视法。这是一张三点透视图(如图1)。基本上他们说的是如果我有一个立方体在空中,它定义了三组平行线。像左边的脸,右边的脸,和下面的。你可以看到这里画的这就是它的来源,平行线会聚到不同的消失点。

    1

    这是另一个例子(如图),我认为这是Zisserman的产品,我不确定,所以只是一个非常古雅的旧建筑。右边有一个消失点(如图2),在电线上,左边有一个消失点(如图3)。不用讨论其他的,你可以看到地平线的位置,okay,就在那边(如图4),那里的所有线路,例如地面上的会收敛的线。

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     ——学会编写自己的代码,才能练出真功夫。 

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    中心投影法

    中心投影法——投射线汇交于投射中心的投影方法。

    平行投影法

    平行投影法——投射线互相平行的投影方法。

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    相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影,弱透视投影以及透视的一些性质
    2019/10/22 FesianXu

    前言

    相机中的成像其本质是从3D实体世界中的物体投影到2D成像平面上,在这个过程中存在着许多投影相关的内容,本文讨论了一些透视投影的内容,作为笔者在学习过程中的笔记。如有谬误,请联系指正。转载请注明出处。

    ∇ \nabla 联系方式:

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    知乎专栏: 计算机视觉/计算机图形理论与应用

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    相机的针孔模型

    我们曾经在[1]中讨论过关于相机的针孔模型的话题,这里我们要再次提起下这个模型。针孔模型(pinhole model) 是最简单的可以成像的“设备”,然而其可以精确地得到 透视投影(Perspective Projection) 的几何信息,这里所说的透视投影,定义为:

    将三维物体的信息映射到二维平面上,称之为透视投影。( Such a mapping from three dimensions onto two dimensions is called perspective projection. )

    在这里插入图片描述

    Fig 1.1 相机的针孔模型及其透视投影成像。

    在针孔模型中,光线通过一个无限小的孔,并且在成像平面上呈现出倒像。呈现出倒像不方便我们的分析,因此我们在分析时通常假设成像平面在焦点之前,距离同样也是焦距(未归一化之前,归一化之后距离就是1了,称之为归一化坐标系)。

    透视投影的方程

    我们需要用代数方式描述透视投影中的比例关系,如图Fig 2.1所示,根据相似三角形的知识,我们有:
    从 O A ′ B ′ 和 O A B 的 关 系 , 有 : O B ′ O B = A ′ B ′ A B ⇒ f z = r ′ r (2.1) 从OA^{\prime}B^{\prime}和OAB的关系,有: \\\begin{aligned}\dfrac{OB^{\prime}}{OB} &= \dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{AB} \\ & \Rightarrow \\\dfrac{f}{z} &= \dfrac{r^{\prime}}{r}\end{aligned}\tag{2.1} OABOABOBOBzf=ABAB=rr(2.1)

    从 A B C 到 A ′ B ′ C ′ 的 关 系 , 有 : B C B ′ C ′ = A C A ′ C ′ = A B A ′ B ′ ⇒ x x ′ = y y ′ = r r ′ (2.2) 从ABC到A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}的关系,有: \\\begin{aligned}\dfrac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}} &= \dfrac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}} = \dfrac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}} \\& \Rightarrow \\\dfrac{x}{x^{\prime}} &= \dfrac{y}{y^{\prime}} = \dfrac{r}{r^{\prime}}\end{aligned}\tag{2.2} ABCABCBCBCxx=ACAC=ABAB=yy=rr(2.2)

    其中的 O B ′ = f OB^{\prime} = f OB=f是焦距。

    联合公式(2.1)和(2.2),我们有透视投影公式:
    x ′ = x f z y ′ = y f z z ′ = f (2.3) \begin{aligned}x^{\prime} &= \dfrac{xf}{z} \\y^{\prime} &= \dfrac{yf}{z} \\z^{\prime} &= f \end{aligned}\tag{2.3} xyz=zxf=zyf=f(2.3)

    在这里插入图片描述

    Fig 2.1 透视投影示意图。

    用矩阵形式表达就是:
    [ x h y h z h w ] = [ f 0 0 0 0 f 0 0 0 0 f 0 0 0 1 0 ] [ x y z 1 ] (2.4) \left[\begin{matrix}x_h \\y_h \\z_h \\w\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}f & 0 & 0 & 0 \\0 & f & 0 & 0 \\0 & 0 & f & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\y \\z \\1\end{matrix}\right]\tag{2.4} xhyhzhw=f0000f0000f10000xyz1(2.4)

    透视投影的若干性质

    1. 多对一映射,在透视投影中,已知了投影点 A ′ A^{\prime} A之后,其实体点 A A A并不是唯一的,而是存在于过焦点连线 O A ′ OA^{\prime} OA上的任意一点都有可能(不过要在 A ′ A^{\prime} A之后呢,所以应该是在 O A ′ OA^{\prime} OA的延长射线上。)
    2. 放缩和投影缩放。
      • 当一个平面或者一条直线平行于成像平面时,透视投影的影响其实就是对这个平面/直线进行了缩放(scaling)。
      • 当一个平面或者直线不平行于成像平面时,透视投影的会产生非线性的投影扭曲(projective distortion),可以将其分解成平行于成像平面的分量的缩放。

    在这里插入图片描述

    Fig 2.2 尺度缩放和投影缩放。

    焦距的若干影响

    如图Fig 2.3 所示,不同焦距有着不同的影响,注意到 A B = A ′ B ′ AB = A^{\prime}B^{\prime} AB=AB,我们发现,焦距越小,其视角越大,属于广角摄像头(wide-angle camera);焦距越大,其视角越小,但是分辨率会提高,属于望远镜摄像头(more telescopic)。

    在这里插入图片描述

    Fig 2.3 不同焦距的影响。

    在透视投影中,在投影过程中,实际的平行关系通常不能保留下来,实际上,透视投影保留不了角度,距离等大部分的几何关系,但是保留了直线的“直”的这个属性。[2]

    正交透视投影和弱透视投影

    注意到透视投影一般来说是非线性的,其不保留原始元素的大部分几何属性,比如平行,角度等,为了分析方便,我们假设当焦距无限大时,我们在成像平面上会存在一个所谓的正交投影,这个正交投影可以保留平行关系。其每个投影线都是平行的。这个称之为正交投影(orthographic projection)

    在这里插入图片描述

    Fig 3.1 正交投影。

    公式描述如:
    x ′ = x y ′ = y (3.1) \begin{aligned}x^{\prime} &= x \\y^{\prime} &= y\end{aligned}\tag{3.1} xy=x=y(3.1)
    矩阵形式:
    [ x h y h z h w ] = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] (3.2) \left[\begin{matrix}x_h \\y_h \\z_h \\w\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\y \\z \\1\end{matrix}\right]\tag{3.2} xhyhzhw=1000010000000001xyz1(3.2)

    正交投影的尺度大小是和原始物体的大小一致的,当考虑的正交头像的尺度缩放时,就有了弱透视投影(weak perspective projection)

    在这里插入图片描述

    Fig 3.2 弱透视投影。

    公式如:
    x ′ = x f z ≈ x f z ˉ y ′ = y f z ≈ y f z ˉ (3.3) \begin{aligned}x^{\prime} &= \dfrac{xf}{z} \approx \dfrac{xf}{\bar{z}} \\y^{\prime} &= \dfrac{yf}{z} \approx \dfrac{yf}{\bar{z}} \end{aligned}\tag{3.3} xy=zxfzˉxf=zyfzˉyf(3.3)
    矩阵形式:
    [ x h y h z h w ] = [ f 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z ˉ ] [ x y z 1 ] (3.2) \left[\begin{matrix}x_h \\y_h \\z_h \\w\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}f & 0 & 0 & 0 \\0 & f & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & \bar{z}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\y \\z \\1\end{matrix}\right]\tag{3.2} xhyhzhw=f0000f000000000zˉxyz1(3.2)

    Reference

    [1]. https://blog.csdn.net/LoseInVain/article/details/102632940

    [2]. Hartley R, Zisserman A. Multiple View Geometry in Computer Vision[J]. Kybernetes, 2008, 30(9/10):1865 - 1872.

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空空如也

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平行投影的性质