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  • 相似三角形其实是一套定理的集合,它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中,边、角的关系】一、相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示,读...

    微信公众号:数学与计算作者:灵魂计算者欢迎 关注 | 赞赏 | 点在看阅读时间:1255字数  

    相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合,它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中,边、角的关系

    一、相似三角形的概念

    对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示,读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。

    二、相似三角形的基本定理

    平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。

    三、三角形相似的判定

    1、三角形相似的判定方法

    ①、定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似

    ②、平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

    ③、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等,两三角形相似。

    ④、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。

    ⑤、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例,两三角形相似

    2、直角三角形相似的判定方法

    ①、以上各种判定方法均适用

    ②、定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

    ③、垂直法:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

    相似常见类型

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    二、相似常见结论

    1

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    若DE//AB,

    则DG/AF=GE/BF

    2

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    若AD平分∠BAC,

    则AB/AC=BD/CD

    3

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    若四边形ABCD是平行四边形,

    则AE⊃2;=EF·FG

    4

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    若∠DAC=∠DBC,则△ADE~△BCE ,

    可推导出△AEB~△DEC

    即上下相似可得左右相似

    同理,左右相似可得上下相似

    相似三角形常见解题技巧

    1、三角形叉叉图

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    此类题目常常考察求线段比例或者线段长度。

    图中四对线段比AE/ED、AF/BF、CD/BD、CE/EF,知二求二。

    常用辅助线做法:过点作三角形边的平行线

    遵循原则:所做辅助线不能破坏原有线段比例

    2、三角形的可解性

    在一个三角形中,必然存在三角、三边、三高、周长、面积这十一个量,若已知其中任意三个不全为角的条件,则可求出其他八个条件(简称知三求八)。

    常见辅助线做法:作三角形边上的高

    遵循原则:

    ①特殊角原则,即作高时常常把特殊角放在直角三角形中进行求解

    ②最长边原则,即作高时常常选择作最长边上的高,使得高在内部

    ③偶数边原则,即常常将偶数边作为直角三角形的斜边,方便计算

    3、线段长度求法

    ①计算比:直接计算线段长度

    做法:利用可解性直接求出所求比例线段的数值

    ②共线比:所求比例的两条线段在同一条直线上

    做法:利用三角形叉叉图,构造平行线求解

    ③共三角形比:所求比例的两条线段在同一三角形中

    做法:寻找或者构造与之相似且知内比的三角形进行求解

    ④相似比:所求比例的两条线段在两个相似三角形中

    三、习题

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  • 初中三年数学几何公式、定理梳理,今天分享给大家,家长可以为孩子转发,让孩子的几何学习更方便些。1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条...

    初中三年数学几何公式、定理梳理,今天分享给大家,家长可以为孩子转发,让孩子的几何学习更方便些。

    1.过两点有且只有一条直线

    2.两点之间线段最短

    3.同角或等角的补角相等

    4.同角或等角的余角相等

    5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

    6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

    7.平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

    8.如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行

    9.同位角相等,两直线平行

    10.内错角相等,两直线平行

    11.同旁内角互补,两直线平行

    12.两直线平行,同位角相等

    13.两直线平行,内错角相等

    14.两直线平行,同旁内角互补

    15.定理三角形两边的和大于第三边

    16.推论三角形两边的差小于第三边

    17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

    18.推论1直角三角形的两个锐角互余

    19.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

    20.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

    21.全等三角形的对应边、对应角相等

    22.边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

    23.角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

    24.推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等

    26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

    27.定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

    28.定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上

    29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

    30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等

    31.推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

    32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合

    33.推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

    35.推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形

    36.推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

    37.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

    38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

    39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

    40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

    41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

    42.定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

    43.定理2如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

    44.定理3两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

    45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

    46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a+b=c

    47.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c,那么这个三角形是直角三角形

    48.定理四边形的内角和等于360°

    49.四边形的外角和等于360°

    50.多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

    51.推论任意多边的外角和等于360°

    52.平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

    53.平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

    54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等55.平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

    56.平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

    57.平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

    58.平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

    59.平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

    60.矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

    61.矩形性质定理2矩形的对角线相等

    62.矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

    63.矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

    64.菱形性质定理1菱形的四条边都相等

    65.菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

    66.菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2

    67.菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

    68.菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

    69.正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等

    70.正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

    71.定理1关于中心对称的两个图形是全等的

    72.定理2关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分

    73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

    74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

    75.等腰梯形的两条对角线相等

    76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

    77.对角线相等的梯形是等腰梯形

    78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等

    79.推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰

    80.推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边

    81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半

    82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h

    83.(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc

    如果ad=bc,那么a:b=c:d

    84.(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

    85.(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么

    (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

    86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

    87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例

    88.定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边

    89.平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

    90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

    91.相似三角形判定定理1两角对应相等,两三角形相似(ASA)

    92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

    93.判定定理2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)

    94.判定定理3三边对应成比例,两三角形相似(SSS)

    95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

    96.性质定理1相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

    97.性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

    98.性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

    99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

    100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

    101.圆是定点的距离等于定长的点的集合

    102.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

    103.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

    104.同圆或等圆的半径相等

    105.到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆

    106.和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线

    107.到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线

    108.到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

    109.定理不在同一直线上的三个点确定一条直线

    110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

    111.推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

    ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

    ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

    112.推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等

    113.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

    114.定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

    115.推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

    116.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

    117.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

    118.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

    119.推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

    120.定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

    121 .①直线L和⊙O相交d﹤r

    ②直线L和⊙O相切d=r

    ③直线L和⊙O相离d﹥r

    122.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

    123.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

    124.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

    125.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

    126.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

    127.圆的外切四边形的两组对边的和相等

    128.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

    129.推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

    130.相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等

    131.推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

    132.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

    133.推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

    134.如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

    135.①两圆外离d﹥R+r

    ②两圆外切d=R+r

    ③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

    ④两圆内切d=R-r(R﹥r)⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

    136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

    137.定理把圆分成n(n≥3):

    ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

    ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

    138.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

    139.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

    140.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

    141.正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长

    142.正三角形面积√3a/4a表示边长

    143.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

    144.弧长计算公式:L=n∏R/180

    145.扇形面积公式:S扇形=n∏R/360=LR/2

    146.内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

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  • 初中阶级,相似三角形的判定,只给出了判定的方法,并没有给出这些方法的证明,在这里,我想对这些方法的证明,给出我的浅见。相似三角形判定的方法主要有三个:方法一:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的...

    初中阶级,相似三角形的判定,只给出了判定的方法,并没有给出这些方法的证明,在这里,我想对这些方法的证明,给出我的浅见。
    相似三角形判定的方法主要有三个:
    方法一:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
    方法二:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
    方法三:如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。


    方法一

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    ΔABC和ΔADE中,∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,求证:ΔABC∽ΔADE。
    为了方便证明,将两个三角形合并到一个图形当中。
    首先证明三个角对应相等。
    ∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,可以推出∠ACB=∠AED。
    三个角对应相等证明完,接下证明三角边对应成比例。
    ∠ABC=∠ADE,可证出BC//DE,可得AB:DB=AC:CE=k。
    设AB=a,BC=b,得AC=ak,CE=bk。
    作CF//AD,可得CE:AC=EF:DF=k1,
    可得,EF=bk1,DF=ak1.
    四边形BCFD是平行四边形,可得BC=DF=ak1。
    可得AB:AD=AC:AE=BC:DE=a:(a+b)
    所以,两个三角形相似。
    方法二
    这道题主要运用到平行线分线段成比例逆用,也就是,直线分线段成比例,那么直线平行。

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    如图所示,AB:BD=AC:CE,求证:BC//DE.
    这个用到反证法。
    若BC不平行于DE,那么过D点作DF//BC,与AE所在的直线相交于F
    可得,AB:BD=AC:CF.
    因为AB:BD=AC:CE,所以CE=CF,可知E、F两点重合。
    所以BC//DE。
    接下来我们来证明方法二

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    为了方便,还是将两个三角形合并到一个图形中。
    ΔABC和ΔADE中,AB:AD=AC:AE,求证:ΔABC∽ΔADE。
    AB:AD=AC:AE,可得BC//DE,可得∠ABC=∠D。
    所以,两个三角形相似。
    方法三

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    ΔADE和ΔOPQ中,AD:OP=AE:OQ=DE:PQ.
    作AB=OP,AC=OQ,
    可得,AB:AD=AC:AE,
    可得,ΔADE∽ΔABC,
    可得,BC:DE=AB:AD=AC:AE。
    可得,BC=PQ。
    可得,ΔABC全等于ΔOPQ
    所以,两个三角形相似。

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  • 数学要项定理公式证明辞典简介本书译自笹部贞市郎先生编著的《数学要项定理公式证明辞典》(圣文社1980年第六次印刷本),囊括了初等数学及高等数学中基本概念,定理、公式的详细证明和解法。对现代数学好些分支(线性...

    记得数学各个的公式,证明起来就会比较容易了,脑海中自然而然就会解答出来。下面是学习啦小编给大家整理的数学要项定理公式证明辞典,供大家参阅!

    数学要项定理公式证明辞典简介

    本书译自笹部贞市郎先生编著的《数学要项定理公式证明辞典》(圣文社1980年第六次印刷本),囊括了初等数学及高等数学中基本概念,定理、公式的详细证明和解法。对现代数学好些分支(线性规划、对策论、拓补、群论、图论、电子计算机原理等等)也做了概述。

    数学要项定理公式证明辞典介绍

    《数学要项定理公式证明辞典》是1990年2月四川教育出版社出版的图书,作者是日笹部贞市郎,高隆昌、王世璠、田景黄、罗朝杰(译)。

    数学要项定理公式证明辞典目录

    第一章 数·式及其运算

    1.整式

    1·1 整式的四则运算

    1·2 因式分解

    1·3 乘余定理·因式定理

    1·4 恒等式·待定系数法

    1·5 约数·倍数

    1·6 整数的性质·整数论

    2.分式

    2·1 约分·通分

    2·2 分式的四则运算

    2·3 繁分式

    2·4 比例式

    3. 无理数·无理式

    3·1 平方根·不尽根数

    3·2 开方法

    3·3 无理数的计算

    3·4 无理式的计算

    4. 实数的绝对值

    4·1 绝对值的意义·记号

    4·2 含有绝对值符号的式子的计算

    5.虚数·复数

    5·1 虚数、复数的意义

    5·2 复数的计算

    第二章 方程与不等式

    1. 线性方程

    1·1 方程的意义和历史概述

    1·2 线性方程ax+b=0(a≠0)

    1·3 线性方程组

    2.二次方程

    2.1 二次方程的意义和求根公式

    2·2 二元二次方程组

    3.高次方程

    3·1 特殊的高次方程

    3·2 三次方程的解法

    3·3 四次方程的解法

    3·4 根与系数的关系

    3·5 二项方程

    4.方程的一般理论

    4·1 三次、四次方程的解法

    4·2 代数学的基本定理

    4·3 根的变换

    4·4 判别式·结式

    4·5 实系数方程

    4·6 根的存在范围

    5.不等式

    5·1 线性不等式

    5·2 二次不等式

    5·3 高次不等式

    5·4 不等式的性质

    5·5 绝对不等式

    5·6 集合的包含关系与不等式

    6.分式方程,分式不等式

    第三章 函数与图形

    1.函数

    1·1 定义

    1·2 隐函数·显函数

    1·3 单调函数

    1·4 偶函数·奇函数

    1·5 反函数

    2.函数的图象

    2·1 图象的定义

    2·2 图象的移动

    3.线性函数的图象

    3·1 线性函数

    3·2 含有绝对值符号的函数

    3·3 高斯记号

    3·4 最大·最小

    4.二次函数的图象

    4·1 二次函数

    4·2 二次函数的最大值、最小值(1)

    4·3 二次函数的最大值、最小值(2)

    5.分式函数、无理函数的图象

    5·1 分式函数的图象

    5·2 图象的合成

    5·3 分式函数的最大值、最小值

    5·4 无理函数的图象

    5·5 无理函数的最大值、最小值

    第四章 指数与对数

    1.对数的历史

    2.指数法则的推广

    2·1 指数法则

    2·2 指数的推广

    3.指数函数

    3·1 指数函数

    3·2 指数函数的性质

    4.对数及其基本性质

    5.对数函数

    6.常用对数

    7.自然对数

    8.函数尺、对数尺和计算尺

    9.全对数坐标纸、半对数坐标纸和计算图表

    10.函数方程式

    第五章 三角学

    1.概述

    1·1 角的测定方法

    1·2 扇形

    2.任意角的三角函数

    2·1 三角函数的定义

    2·2 特殊角的三角函数值

    2·3 三角函数间的关系

    2·4 三角函数的图象

    3.加法定理

    3·1 加法定理

    3·2 同角正弦、余弦的合成公式

    3·3 三个角的和的三角函数

    3·4 倍角、半角的三角函数

    3·5 三角函数的和、差、积的变换公式

    3·6 三角恒等式

    3·7 三角级数的和

    4.三角方程·三角不等式

    4·1 三角方程

    4·2 三角不等式

    4·3 三角函数的最大值、最小值

    4·4 消去法

    4·5 反三角函数

    5.三角形与三角函数

    5·1 直角三角形与三角函数

    5·2 正弦定理

    5·3 余弦定理

    5·4 正切定理

    5·5 确定三角形形状的问题

    5·6 三角形的半角公式

    5·7 三角形的面积

    5·8 三角形的内切圆、外接圆、旁切圆

    5·9 三角形的中线、角平分线

    5·10 四边形的性质

    5·11 正多边形的性质

    5·12 三角形的解法

    6.三角函数在测量中的应用

    6·1 测量的意义

    6·2 三角函数在测量上的应用

    第六章 复数与向量

    1.复数的基本性质

    1·1 虚数单位

    1·2 复数的定义

    1·3 复数的四则运算

    1·4 共轭复数

    1·5 复数的模

    1·6 复数的极坐标形式(复数的三角表示式)

    1·7 复数的旋转

    2.复数与图形

    2·1 复数的四则运算的图示

    2·2 复数的性质

    2·3 映射

    2·4 二直线的夹角

    2·5 在图形上的应用

    3.棣莫佛定理

    3·1 棣莫佛定理

    3·2 棣莫佛定理和倍角公式

    3·3 二项方程

    4.向量

    4·1 向量

    4·2 向量的相等、和、差及向量与实数的积

    4·3 向量的性质

    4·4 拉米定理

    4·5 向量的分量

    4·6 向量的内积

    4·7 空间向量

    4·8 向量方程

    5.复数与向量

    5·1 复数与向量

    5·2 向量的旋转

    第七章 图形与方程

    1.点与直线

    1·1 直线上点的坐标

    1·2 平面上点的坐标

    1·3 轨迹与方程

    1·4 直线方程

    1·5 两条直线平行与垂直的条件

    1·6 通过两直线交点的直线

    1·7 点到直线的距离

    1·8 两条直线的交角

    2.圆的方程

    2·1 圆的方程

    2·2 圆与直线

    2·3 通过圆与圆或圆与直线交点的圆

    3.二次曲线

    3·1 抛物线·椭圆·双曲线的方程

    3·2 二次曲线与直线

    4.坐标的变换

    4·1 曲线的移动

    4·2 坐标轴的平移

    4·3 坐标轴的旋转

    4·4 一般的二次曲线及二次曲线的分类

    4·5 斜交系中二次曲线方程

    5.不等式和区域

    5·1 等值线

    5·2 正区域·负区域

    6.曲线的表示方法

    6·1 用参数表示的方法

    6·2 极坐标

    7.空间图形

    7·1 空间点的直角坐标

    7·2 轨迹和方程

    7·3 球面方程

    7·4 直线方程

    7·5 平面方程

    7·6 空间曲线及曲面

    第八章 排列·组合与二项式定理

    1.排列

    1·1 不同元素的排列

    1·2 含相同元素的排列与重复排列

    2.组合

    2·1 不同元素的组合

    2·2 重复组合

    3.二项式定理

    3·1 二项式定理

    3·2 二项式系数间的关系

    3·3 一般的二项式定理

    3·4 多项式定理

    第九章 数列和级数

    1.数列的定义

    1·1 定义和例

    1·2 单调数列

    1·3 有界数列

    2.等差数列

    2·1 等差数列

    2·2 等差中项、相加平均

    2·3 调和数列·调和中项·调和平均

    3.等比数列

    3·1 等比数列

    3·2 等比中项·几何平均

    3·3 各种平均值之间的关系

    3·4 累积金和分期付款

    4.各种数列的和

    4·1 乘幂数列的和

    4·2 差分数列

    4·3 通项是n的整式的数列

    4·4 分数项数列

    4·5 Σanxn(an是等差数列)

    4·6 二重数列与相似形

    5.数学归纳法

    5·1 归纳公理

    5·2 数学归纳法

    6.数列的收敛、发散

    6·1 数列收敛、发散的定义

    6·2 关于收敛数列的定理

    6·3 关于发散数列的定理

    6.4 无穷数列的例题

    7.用递推公式表示的数列

    7·1 二项递推公式(一次式)

    7·2 三项递推公式(一次式)

    7·3 与两个数列有关的递推公式

    7·4 两项递推公式(分数式)

    7·5 其他递推公式

    8.级数

    8·1 级数

    8·2 正项级数

    8·3 关于交错级数的定理

    8·4 绝对收敛级数

    8·5 条件收敛级数

    8·6 幂级数

    8·7 各种级数的例题

    9.小数·连分数

    9·1 p进制

    9·2 循环小数

    9·3 用小数作实数的分类

    9·4 连分数

    10.复数数列·级数

    10·1 复数数列

    10·2 复数数列·级数的收剑性

    第十章 函数的极限和连续

    1.函数的极限

    1·1 定义

    1·2 基本性质

    1·3 常用函数的极限

    1·4 分式函数的极限

    1·5 无理函数的极限

    1·6 三角函数的极限

    1·7 反三角函数的极限

    1·8 指数函数的极限

    1·9 对数函数的极限

    2.函数的连续

    2·1 定义

    2·2 基本性质

    2·3 基本的连续函数

    2·4 关于连续函数的著名定理

    2·5 一致连续·连续延拓

    第十一章 微分学

    1.导数

    1·1 平均变化率和导数

    1·2 导数的几何意义

    1·3 可导与连续

    1·4 左导数和右导数

    2.微分法的定理

    2·1 基本初等函数的导函

    2·2 函数的和、差、数积的微分法

    2·3 复合函数的微分法

    2·4 函数乘积的微分法

    2·5 函数商的微分法

    2·6 反函数的微分法

    2·7 指数函数和对数函数的导函数

    2·8 对数微分法

    2·9 参数表示的函数的微分法

    2·10 隐函数的微分法

    3.导函数的应用

    3·1 切线方程

    3·2 法线方程

    3·3 速度与加速度·平面上点的运动

    3·4 其他应用

    4.关于导函数的定理

    4·1 罗尔定理

    4·2 微分学中值定理

    4·3 柯西中值定理

    5.函数的增减

    5·1 增函数·减函数

    5·2 极大和极小

    5·3 最大和最小

    6.高阶导函数及其应用

    6·1 二阶导函数和n阶导函数

    6·2 莱布尼兹定理和递推公式

    6·3 曲线的凹凸和拐点

    6·4 极大与极小的差别

    7.曲线的形状

    7·1 一般方法

    7·2 渐近线和孤立点

    7·3 曲率和曲率半径

    7·4 直角坐标系下常用曲线的形状

    7·5 用参数表示的常用曲线的形状

    7·6 用极坐标表示的常用曲线的形状

    8.其他应用

    8·1 无穷小和无穷大的阶

    8·2 微分

    8·3 近似公式和误差

    8·4 一次插值法

    8·5 二次插值法(牛顿公式)

    8·6 四则运算的误差

    8·7 洛比达定理

    8·8 不定型的极限值

    8·9 求近似根的牛顿法

    8·10 泰勒展开式·马克劳林展开式及其余项形式

    8·11 幂级数的逐项微分法

    8·12 偏导数

    第十二章 积分学

    1.不定积分

    1·1 原函数和不定积分

    1·2 不定积分的法则与公式

    1·3 常用初等函数的不定积分公式

    1·4 有理函数的积分法

    1·5 无理函数的积分法

    1·6 超越函数的积分法

    1·7 各种函数的不定积分的例题

    2.定积分

    2·1 有理整函数的定积分

    2·2 定积分

    2·3 定积分的基本性质

    2·4 换元积分法·分部积分法

    2·5 广义定积分

    2·6 定积分的例题

    2·7 有关定积分的不等式的例题

    2·8 由定积分表示的函数

    2·9 定积分的近似计算

    3.定积分的应用

    3·1 利用定积分导出级数和的例题

    3·2 平面图形的面积

    3·3 平面曲线的长

    3·4 旋转体体积

    3·5 旋转曲面的面积

    3·6 平均值

    3·7 积分法在物理学上的应用

    4.微分方程

    4·1 n阶微分方程的解法

    4·2 一阶微分方程常用的解法

    4·3 二阶微分方程的解法

    第十三章 概率·统计

    1.概率

    1·1 概率的定义

    1·2 概率计算的基本定理

    2.统计

    2·1 频数分布及频数分布图

    2·2 相关分析

    2·3 总体与样本

    2·4 期望值

    2·5 统计的假设检验

    第十四章 初等几何学

    1.总论

    1·1 几何学简史

    1·2 预备知识

    2.有关直线的基本定理

    2·1 两直线的夹角和平行

    2·2 三角形的性质

    2·3 平行四边形的性质

    3.有关面积和比例的基本定理

    3.1 多边形的面积

    3.2 比例

    4.有关圆的基本定理

    4·1 圆的基本性质

    4·2 圆周角

    4·3 圆的比例

    5.轨迹

    5·1 轨迹的证明

    5·2 基本轨迹

    6.几个定理

    6·1 利用近世几何学方法处理的几个定理

    6·2 与三角形有关的定理

    6·3 与多边形有关的定理

    7.作图题

    7·1 作图题的解法

    7·2 基本作图题

    7·3 各种类型的作图题

    7·4 作图不能问题

    8.空间图形

    8·1 直线和平面的位置关系

    8·2 多面角

    8·3 多面体

    第十五章 近世数学

    Ⅰ 集合

    1.集合与逻辑

    1·1 集合

    1·2 命题

    1·3 逻辑演算及符号

    1·4 逻辑法则和布尔代数

    1·5 命题逻辑

    1·6 谓词逻辑

    2.集合与运算

    2·1 半群

    2·2 群

    2·3 半群的同态·群的同态

    2·4 环

    2·5 域

    2·6 有序域

    2·7 格

    2·8 数

    3.集合与拓扑

    3·1 拓扑的概念

    3·2 映射的基本性质

    3·3 拓扑空间

    3·4 分离公理

    3·5 距离空间

    3·6 实数的连续性

    Ⅱ 代数

    1.线性代数

    1·1 n维向量及其运算

    1·2 向量的数乘

    1·3 向量的长度·两个向量的内积·两个向量

    的正交

    1·4 线性无关·线性相关

    1·5 向量空间·子空间·基底

    2.矩阵

    2·1 矩阵及其运算(加减)

    2·2 矩阵的积

    2·3 逆矩阵

    3.行列式

    4.行列式的应用

    4·1 联立线性方程组

    4·2 矩阵的秩和向量的线性无关

    5.矩阵运算的应用

    Ⅲ 线性规划与对策论

    1.线性规划

    1·1 什么是线性规划

    1·2 向量

    1·3 凸集合

    1·4 线性规划问题

    1·5 单纯形法

    1·6 F坐标(双变数)

    2.对策论

    2·1 何谓对策

    2·2 决定性的对策和单纯战略

    2·3 非决定性的对策与混合战略

    2·4 2×2得分矩阵的解

    Ⅳ 电子计算机的原理

    1.电子计算机概述

    1·1 电子计算机的组成

    1·2 数据的表示

    2.电子计算机的运算原理

    2·1 开关代数

    2·2 运算的基本电路和计算的编排

    3.程序设计

    3·1 程序设计

    3·2 自动程序设计

    Ⅴ 整数论

    1.前言

    2.整数的基本性质

    2·1 基本术语的定义

    2·2 整数的基本性质

    2·3 环·整环(或叫整区)·域

    3.基本性质的事理

    3·1 公理系

    3·2 直接的结果

    3·3 理想

    4.整数论的问题

    4·1 素数问题和不定方程

    4·2 一次不定方程和连分式

    5.同余

    5.1 同余的基本性质

    5·2 同余类·剩余系

    5·3 欧拉函数

    5·4 群

    6.原根和指数

    6·1 原根

    6·2 指数

    7.同余方程

    7·1 同余方程

    7·2 一次同余式

    7·3 二次同余式与平方剩余

    8.代数整数

    8·1 定义

    8·2 因数分解与理想

    9.二次域的整数和二元二次不定方程

    9·1 二次域

    9·2 欧几里得整环

    9·3 理想类

    9·4 二次不定方程

    10.结束语

    Ⅵ 近世几何学

    1.平行线公理

    2.射影几何学

    3.拓扑

    4.图论

    5.四色问题

    附录

    数表

    索引

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    千次阅读 2017-10-07 01:21:34
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  • 参考:... 在文本挖掘中计算2篇文章相似度常用向量空间模型中的余弦定理公式判断。 ...2、 余弦定理 ...在空间模型中,两条线的夹角越小,它们的余弦值就越大,而它们越相似(重叠或者平行)
  • 在这之前,我们先了解一下通量的...由于数学上的相似性,高斯定理也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量,例如引力或者辐照度。 欢迎关注微信公众号“理工学派”(ID: sciengpi),获取更多自然科学方面的文章。
  • 平面几何定理及公式

    2008-07-17 15:10:00
    平面几何定理及公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中...
  • 文章目录3 有关实数定理的深度思考3.1 连续性和完备性的关系3.2 实数定理是从哪里来的3.3 实数定理之间的关系与异同3.3.1 序关系:确界原理,上下极限定理,单调有界定理,闭区间套定理3.3.2 点集特征:列紧性定理、...
  • 射线源和探测器作相对平行直线运动的计算机层析成像扫描系统(OPLCT)结构简单,成本低,易于实现便携或可移动的应用需求。该扫描方式的前期研究采用顺序子集-同时迭代重建算法,该算法存在图像重建时间长、不...
  • 相似中的计算 一知识要点 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线所得到的对应线段的必相等 推论平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段的比相等 相似三角形的判定 平行于三角形一边的...
  • 射线源和探测器作相对平行直线运动的计算机层析成像扫描系统(OPLCT)结构简单,成本低,易于实现便携或可移动的应用需求。该扫描方式的前期研究采用顺序子集-同时迭代重建算法,该算法存在图像重建时间长、不能实现...
  • 勾股定理证明评监

    千次阅读 2007-11-05 21:29:00
    导读: 勾股定理(又叫「毕氏定理」)说:「在一个直角三角形中,斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。」据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过4000年!又据记载,现时世上一共有超过300个对这定理的...
  • 第二章 广义动能定理 内容提要:本章首先通过物理学的动量定理,爱因斯坦的成功方程式和稻盛和夫的成果方程式推导得到广义动量定理Fαt=MV。广义动量定理的本质是力量在时间上的积累效应。然后分析了广义动量定理中...
  • 第二章 广义动能定理 内容提要:本章首先通过物理学的动量定理,爱因斯坦的成功方程式和稻盛和夫的成果方程式推导得到广义动量定理Fαt=MV。广义动量定理的本质是力量在时间上的积累效应。然后分析了广义动量定理中...
  • 平行宇宙

    2005-07-11 17:26:00
    平行宇宙 原作:(美)马克斯·铁马克原载:《科学美国人》 2003.5翻译:focus平行宇宙是否有另一个你正在阅读和本文完全一样的一篇文章?那个家伙并非你自己,却生活在一个有着云雾缭绕的高山、一望无际的原野、...
  • 平面几何中的几个著名定理

    万次阅读 2011-11-05 14:59:10
    几何学起源于土地测量,几千年来,人们对几何学进行了深入的研究,现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支....平面几何中有不少定理,除了教科书中所阐述的一些定理外,还有许多著名的定理
  • 在机器学习以及很多应用场景里面各种相似性、分类相关的距离数学公式的原理

空空如也

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