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  • 在高考数学里,空间直线与平面的平行有关的知识内容和题型,一直是近几年高考命题的热点,成为立体几何重要的基础考点。如何巧妙快速的判定空间直线与平面平行位置关系,如何在平面内寻找一条直线,探索该直线与平面...
    a6e326075aa60ac5f3f030bde2b5aded.gifa7790032391cd529f167f851f40107d7.png在高考数学里,空间直线与平面的平行有关的知识内容和题型,一直是近几年高考命题的热点,成为立体几何重要的基础考点。如何巧妙快速的判定空间直线与平面平行位置关系,如何在平面内寻找一条直线,探索该直线与平面平行等,这些问题一直是常见的热点问题。重点考查考生的空间想象能力、计算能力、推理论证能力,以及转化思想的应用。跟着包Sir一起来看看动态教辅里是如何来帮助大家学习这一部分知识的吧~小编乱入1互动启思f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png题型1 直线的倾斜角与斜率、直线方程引言掌握基础知识,养成画图的习惯,培养平面几何的想象能力是解题的关键.例题1  经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(  )A.x+y-2=0B.x+y-1=0C.x=1或y=1D.x+y-2=0或x-y=0互动启思638f2767328307d66ff26f057115987d.gif一点呈析答案: D解析: 当直线过原点时,满足题意,此时直线方程为04f5c6aaa219c92794cce7ce2a406e1f.png,即xy=0;当直线不过原点时,设直线方程为7b245b47816c501da4113711f7c14d82.png,代入M(1,1),解得a=2,所以直线的方程为+=1,即xy-2=0.综上所述,所求直线的方程为xy-2=0或xy=0.故选例题2  已知直线l平分圆C:x2+y2-6x+6y+2=0的周长,且直线l不经过第三象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围为(  )37167f57e442caffa6567395402b2159.png互动启思0f45e5040f8d34d5393a46e6bdd8f039.gif一点呈析答案: A解析: Cx2y2-6x+6y+2=0的标准方程为(x-3)2+(y+3)2=16,故直线l过圆C的圆心(3,-3).因为直线l不经过第三象限,所以4c545056a2790aadead5a02640b2c150.png,故选A.f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png题型2 两条直线的位置关系引言经常会涉及到直线的平行和垂直问题,所以要注意直线平行、垂直的时候,直线的解析式所满足的条件,并且要特别注意不要多解.例题1 “m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的   (  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件互动启思b8d59703a7a05057a66f6bb3bb8928fc.gif一点呈析答案:A解析:pm=-1;q:直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3xmy+3=0垂直.将m=-1代入两直线方程,它们的斜率之积为-1,故两直线垂直,从而由p可以推出q;但当m=0时,两直线也垂直,故由q不一定能推出p.因而pq的充分不必要条件.故选A.例题2  已知直线l:d556fe2fab1d8a515ca4871d4de35e0f.png,M是l上一动点,过M作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,B,则在A,B连线上,且满足85f7ed1ad86fb3abbbc3b3413e401907.png的点P的轨迹方程是             互动启思6210863d3f678a40e12c11ce662a92f4.gif一点呈析答案:3x+2y-4=0解析:设P(x,y)为轨迹上任一点,A(a,0),B(0,b).57f0b013db9e41aa34418c35cceb3b22.png,∴659e56d12127ecc04a96f307d9930a77.png∵点M在直线l上,∴f735f5124383e110817146e74ba44b6b.png整理得3x+2y-4=0,即3x+2y-4=0为点P的轨迹方程.2知识助攻f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png1.直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角①定义:平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按 逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角 α称为直线的倾斜角.规定:直线与x轴平行或重合时,直线的倾斜角为 0° ②范围:倾斜角α的范围是  0°≤α<180°. (2)直线的斜率①定义:当直线的倾斜角α≠90°时,直线的倾斜角α 正切值 叫做这条直线的斜率,常记作k tanα 当直线的倾斜角α=90°时,直线的斜率 不存在 ②过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1y1),P2(x2y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k3010cf8c2ed4f87e611581414f79c3af.png.x1x2,则直线P1P2的倾斜角为90°,斜率不存在。③范围:直线的斜率的范围为                                           .敲黑板(1)不要忽视“直线的斜率不存在”这一情况.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数k=tanα的单调性,如图所示.29fe175dc3eb60548260fe2da6ec2291.png(2)由直线的斜率k求倾斜角α的取值范围时,要对应正切函数的图像来确定,并注意图像的不连续性和函数的定义域.如:由-1≤k≤1,得d48c90211851f4cd680bd10e49077de5.png.f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png2. 直线的方程(1) 直线的五种形式55c78057464e933fe7ff6732d53f88ab.png(2) 求直线方程常用的方法①根据已知条件,设出适当的直线方程;②把已知条件构造成含待定系数的方程(组);③求解待定系数;④将求得的系数代入设出的直线方程.敲黑板若使用斜截式或点斜式设直线方程时,应先讨论斜率k是否存在.同理,在使用截距式前要讨论截距是否存在,是否为0.f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png3.两条直线的位置关系(1)两条直线的位置关系直线l1yk1xb1l2yk2xb2直线l3A1xB1yC1=0与l4A2xB2yC2=0的位置关系如下表:015b85abb353e1a079cf67cdcba75594.png(2)两条直线的交点坐标当两条直线相交时,两直线的方程联立的方程组的解即为交点坐标.(3)距离公式①两点间的距离:平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式为|P1P2|=3c5cf09fd7b84b8abd546a752f22c66f.png②点到直线的距离:平面上的点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式为d=320f20fe9071bf264883d32296b6dadb.png③两条平行直线间的距离:直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离公式为d=718f1ee2ee23df20c5e23181dbcbdedc.pngf5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png4.两条直线平行与垂直的判定及应用(1)两条直线平行或垂直的判定方法<1>已知两直线的斜率一定存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在相应坐标轴上的截距不相等;②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为-1.<2>两直线的斜率可能不存在若两直线斜率不存在,当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行;否则,两直线重合.若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则两直线互相垂直.<3>已知两直线的一般方程直接应用有关结论判定;也可利用直线方程求出斜率(或判定出斜率不存在),转化为<1><2>中的情形进行判定.(2)两条直线平行与垂直的应用
    • 根据直线的位置关系求参数值

    当直线方程中的系数含有参数时,参数的不同取值决定了直线的不同位置,因此应对参数的取值进行分类讨论,一般分为斜率存在和斜率不存在两种情况,再根据不同情况下应满足的关系,列式求解.或直接应用“知识划重点”中l3,l4所满足的条件列式求解.敲黑板根据位置关系转化为等量关系(不等关系)时,要注意等价性.如两直线平行⇔k1=k2且b1≠b2(或A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0),此时不要只得出k1=k2(或A1B2-A2B1=0).另外,求出参数值时注意代回检验,避免产生增根.
    • 根据直线的位置关系求解直线方程

    解答这类题通常有两种方法:①根据l1∥l2⇒k1=k2,l1⊥l2⇒k1·k2=-1确定待求直线的斜率,再由点斜式得到直线的方程.②由两直线平行(垂直)的方程特征设出方程,再由待定系数法求解.f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png5.两条直线的交点与距离(1)求两直线的交点坐标设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则方程组3bbcd6d86448f0b3bb9de535d9fafcfb.png的解就是两条直线的交点坐标.①若方程组有唯一解,则两条直线 相交 ,此解就是交点的坐标;②若方程组无解,则两条直线 无公共点 ,此时两条直线 平行 ,反之亦成立.(2)距离公式的应用
    • 求距离

    应用距离公式求解即可.敲黑板①求点到直线的距离时,必须把直线方程化为一般式Ax+By+C=0.②求两条平行直线间的距离时,一定要把直线方程中x,y的系数化成一致的.
    • 已知距离求有关方程或有关量

    借助距离公式首先建立方程(组)得出参数的值或满足的关系式,然后结合题中其他条件确定方程、点的坐标等.敲黑板若已知点到直线的距离求直线方程,用一般式可避免讨论.否则,应讨论斜率是否存在.f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png6.对称问题(1) 点关于点对称若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)关于点C(a,b)对称,则由中点坐标公式得05b8c29fde6363c24675466bd799c6de.png从而可解.(2)直线关于点对称方法1:根据两对称直线平行,求出已知直线上任一点的对称点,由点斜式可求对称直线的方程;方法2:在已知直线上任取两点,分别求出两个对称点,由两点式可求得对称直线的方程.(3)点关于直线对称若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则满足方程组7344f640de1636aa0b7923bcde76764b.png进而求解(4)直线关于直线对称(1)若l1∥l2,l1与l2关于直线l对称,则可利用平行线间距离公式求解;(2)若l1∩l2=A,l1与l2关于直线l对称,且点A在直线l上,求出直线l1上任一点关于直线l的对称点B,由 两点式 可求得对称直线的方程.敲黑板点关于点的对称是基本问题,也是各种对称问题可转化的最终问题.抓住两点:一是“垂直”,两对称点连线与对称轴垂直;二是“平分”,两对称点连线段的中点在对称轴上.声明:以上内容摘自包学习APP_动态教辅《 数学丨动态题型包 》,欢迎来包学习和更多小伙伴一起学习更多知识吧。c79161691cef18b290ffba06024dbe90.png点击
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    数据可视化

    /*
    能力一般,水平有限,希望对正在阅读的你有帮助,祝好!
    */

    数据可视化是展示数据的一个非常好的方式,对于多数从事与数据处理相关工作的人而言,“优秀的可视化图形会自己解释要表达的数据规律”是基本的认识。在python语言环境下,要论应用最广的绘图package非matplotlib莫属。本文将以matplotlib 和 seaborn package为基础绘制简单的数据可视化图形。

    数据集:iris数据集,可从uci的ml repository获取,或者从sklean、seaborn等package中获得。

    uci iris dataset: http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Iris

    语言: python

    package: pandas、matplotlib、seaborn等

    了解数据集

    数据集包含3个类,每个类包含50个实例,其中每个类代表一种iris植物类型。一个类与另两个类是线性可分的;后者是不可线性分离的。

    导入package

    import os
    import pandas as pd
    import seaborn as sns
    import matplotlib.pyplot as plt
    import warnings
    warnings.filterwarnings(action='ignore')
    sns.set(style='white', color_codes=True)
    plt.style.use('seaborn-whitegrid')
    

    导入数据集并对其进行描述统计

    
    # load data
    iris = sns.load_dataset(name='iris')
    
    # 简单了解一下数据集的结构
    iris.head(3)
    
    # 描述统计
    iris.describe()
    
    
    原始数据集结构:
       sepal_length  sepal_width  petal_length  petal_width species
    0           5.1          3.5           1.4          0.2  setosa
    1           4.9          3.0           1.4          0.2  setosa
    2           4.7          3.2           1.3          0.2  setosa
    
    描述统计结果
           sepal_length  sepal_width  petal_length  petal_width
    count    150.000000   150.000000    150.000000   150.000000
    mean       5.843333     3.057333      3.758000     1.199333
    std        0.828066     0.435866      1.765298     0.762238
    min        4.300000     2.000000      1.000000     0.100000
    25%        5.100000     2.800000      1.600000     0.300000
    50%        5.800000     3.000000      4.350000     1.300000
    75%        6.400000     3.300000      5.100000     1.800000
    max        7.900000     4.400000      6.900000     2.500000
    
    

    接下来看一下数据集中每个类的样本量。你会发现如前文所述,每一类均有50个实例。

    iris.species.value_counts() #iris['species'].value_counts()
    
    # result
    setosa        50
    versicolor    50
    virginica     50
    Name: species, dtype: int64
    

    绘制特定图形

    了解完数据集后,就让我们开始基于数据集绘制一些简单的图形,对数据集进行可视化描述。

    1. 散点图

    这里利用pandas对象的 .plot() 方法绘制

    plt.figure(figsize=(16, 8), dpi=320)
    colors = ['blue', 'yellow', 'red']
    iris.plot(kind='scatter', x='sepal_length', y='sepal_width', c=colors, s=15)
    plt.title(u'sepal_length VS sepal_width', fontsize=15)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    2. 带边缘直方图的散点图

    带边缘直方图的散点图可以在可视化两变量之间关系(散点图)的同时分别给出变量自身的分布情形(直方图)。本案例中利用seaborn库实现。具体代码如下:
    注:另一种实现思路:利用matplotli库,先有 plt.GridSpec()生成对象,再有add_subplot()分别生成散点图区域和直方图区域,最后分别利用 .scatter() 和 .hist() 方法绘制特定图像。

    plt.figure(figsize=(100, 5), dpi=420)
    sns.jointplot(x='sepal_length', y='sepal_width', data=iris, color='red')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    3. 箱形图(boxplot)

    箱形图主要用于可视化原始数据分布的特征。可以显示出一组数据的最大值、最小值、中位数、及上下四分位数。
    简图:点击查看箱形图简图

    plt.figure(figsize=(5, 5), dpi=420)
    sns.boxplot(x='species', y='petal_length', data=iris)
    sns.stripplot(x='species', y='petal_length', data=iris, jitter=True, 
    				edgecolor='white', size=4)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 文中通过分析子午圈弧长和平行圈弧长与高斯平面直角坐标的近似对应关系,以及子午线收敛角的影响,提出了根据两点的高斯平面直角坐标及其中一点的大地坐标,计算另一点大地坐标的方法,并编制了相应的AutoCAD计算程序。
  • 1函数的单调性2函数的奇偶性3函数在某处的导数的几何意义4几种常见函数的导数5导数的运算法则6求函数的极值7分数指数幂8根式的性质9有理数指数幂的运算性质10对数公式11常见的函数图像12同角三角函数的基本关系式13...

    今天为大家整理了高中数学必备公式知识点,速来围观!!

    1

    函数的单调性

    4bc68246123a3d50f727edf2e545493d.png

    2

    函数的奇偶性

    79751d009e1ee3b79d2a8adf26b9a239.png

    3

    函数在某处的导数的几何意义

    e76d974e9cd7103a64b9cb8f141083ae.png

    4

    几种常见函数的导数

    fd49fb06d0a812d6d944819dc72eaf18.png

    5

    导数的运算法则

    eda297469f7dc5318411c725fb24484f.png

    6

    求函数的极值

    97fdb7eabb61bfca54a681ab0bc5ab96.png

    7

    分数指数幂

    0c0a8dca9ef3c5ad7b25cafcb0abfb2d.png

    8

    根式的性质

    3d2cc042517aae9e73f00d5a36b3f193.png

    9

    有理数指数幂的运算性质

    58a3affe3636c3b9efd55e337ba8da90.png

    10

    对数公式

    ae77331add87481560409954927c0114.png

    11

    常见的函数图像

    348125bc277171658cc26b1ddaec5b41.png

    12

    同角三角函数的基本关系式

    e350837780b429f7dd2368468ef02e5c.png

    13

    正弦、余弦的诱导公式

    45075d9477d124001f204932ba9cd935.png

    14

    和角与差角公式

    141667940232b265a71246377b5dcdb7.png

    15

    二倍角公式

    9dfcfcb1d93137841e437839ce957c80.png

    16

    三角函数的周期

    ff6960899d6cd9037330a166459be8bd.png

    17

    正弦定理

    cf85bbb5ea709d142418b7eb6fdd7748.png

    18

    余弦定理

    dd8cb9fb125bb87b3ed66b90481379d1.png

    19

    面积定理

    67a2bcf76bb545092c331317d2734c11.png

    20

    三角形内角和定理

    8e4c8b7c4df916949c41d0b90c7d8f30.png

    21

    a与b的数量积

    52db12fe24e55dd9ccc45684e8fcfd17.png

    22

    平面向量的坐标运算

    75ac8d0fee1cb92c830b2c4d3cb7de62.png

    23

    两向量的夹角公式

    1233d0e0cd622f4190453b11ff662641.png

    24

    平面两点间距离公式

    7e938fbac68b017b36b564e49077bbb5.png

    25

    向量的平行与垂直

    0cf64a681bce39438aafe2a31f31d851.png

    26

    数列通项公式与前n项和的关系

    777589def4e4d5b9d34d6fcbe176b4da.png

    27

    等差数列通项公事与前n项和公式

    2bd3d67ab3ec7fc1dd3afae7edef80d3.png

    28

    等差数列的性质

    2687323284f62ca17cf95112c2e56ce8.png

    29

    等比数列的通项公式与前n项和公式

    f1ac64e713414c50999aa5809fe955d2.png

    30

    等比数列的性质

    f5a56f3f62be79af8c53151a645d2b28.png

    31

    常用不等式

    5c9710766437fc50fef17c6fbee2d591.png

    32

    直线的三角方程

    03b9c30fa733e3c2025d6e002bf0c76f.png

    33

    两条直线的垂直和平行

    51d1550ba87306b208e6cb01b52e01e5.png

    34

    点到直线的距离

    9bf65d16068c7acf345bf89d3c123ded.png

    35

    圆的两种方程

    b7e13b3defd8877e8d185c997568bcd7.png

    36

    点与圆的位置关系

    f16efced6852a08f7e86985c3eb1982a.png

    37

    直线与圆的位置关系

    7211f186d63e3cceff592574707398a2.png

    38

    椭圆、双曲线、抛物线的性质

    5e933850078889abb94833a807eba5f2.png

    39

    双曲线方程与渐近线方程的关系

    ebda30ef6e02d8bf7f9bd475ed5a3108.png

    40

    抛物线的焦半径公式

    c32fa9ddde9723d3e7466c978df8396e.png

    41

    平方差标准差的计算

    95701598a586a6b42b1ec3b7e41770b1.png

    42

    回归直线方程

    4c1062b67d88f43cc3bf8eadab4645c1.png

    43

    独立性检验

    29641b1a9fd8d99d2da99907c2d13936.png

    44

    复数

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    45

    参数方程、极坐标化为直角坐标

    86c81a83fdd770d72b23957aefc4b7c1.png

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  • 对数公式11.常见的函数图像12.同角三角函数的基本关系式13.正弦、余弦的诱导公式14.和角与差角公式15.二倍角公式16.三角函数的周期17.正弦定理18.余弦定理19.面积定理20.三角形内角和定理21....

    801f3fe74781efcdb183e940b25b0d39.png

    \

    1.函数的单调性

    192de6db9ef6489a88d629d9c0343626.png

    2.函数的奇偶性

    52b18f1c8c9848da5ee9552ba0d09ed3.png

    3.函数在某处的导数的几何意义

    2872399b42dbb4ed44eabe6ace930ab1.png

    4.几种常见函数的导数

    236e3e917a333ca05491663115ad672f.png

    5.导数的运算法则

    ef604cf8fafe7d2b88cb0c9a2bd83619.png

    6.求函数的极值

    d3de94e8d4a302c42abad3dc51a84aff.png

    7.分数指数幂

    860f8ef10523fb1464bc6b93911063de.png

    8.根式的性质

    2f38ad237d3cdeda66e3597acc340fbc.png

    9.有理数指数幂的运算性质

    125264933c7e586b6c5ddcc3e9869123.png

    10.对数公式

    167eb4cffd502a050942b5d06dc6fb14.png

    11.常见的函数图像

    28916c08dc2bdb1cacf514cca26515e5.png

    12.同角三角函数的基本关系

    c7fda4762f774732f0d3bd4dbc51c58f.png

    13.正弦、余弦的诱导公式

    f9be4217695e447ccda005c3193afd35.png

    14.和角与差角公式

    f36dd7591bc611a338f1c979c0fe1d06.png

    15.二倍角公式

    e7f526dc755ceec6aa6bf3cc8a16477f.png

    16.三角函数的周期

    b5e199fd3ea6f8ae80876a6aedb185d0.png

    17.正弦定理

    06d0003d5d92fdd80cac7a11a1c6aa95.png

    18.余弦定理

    4b4e120c6c40298e3ccca3f59f5b7595.png

    19.面积定理

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    20.三角形内角和定理

    179367dfe112859b961d2ef8f22d0be9.png

    21.a与b的数量积

    4ce1f3e637812898c4892006494736a3.png

    22.平面向量的坐标运算

    d38a5bf503526f5285fdcf20d095f256.png

    23.两向量的夹角公式

    761cf87c9701b12d9ad3a1fcd9711933.png

    24.平面两点间距离公式

    1e2bf200796352952fe5006cb30658d8.png

    25.向量的平行于垂直

    c5a7ca964331b4b0c9d9923904824705.png

    26.数列通项公式与前n项和的关系

    4b18562100130d8382d7d5fb9722ae03.png

    27.等差数列通项公式与前n项和公式

    a6d1b904a1a8e1c48bb5e254843fa07c.png

    28.等差数列的性质

    26bd31b9e08eb63005cf35be08892bb2.png

    29.等比数列的通项公式与前n项和公式

    af57a62c9b84586f4bdffab119f9a1bf.png

    30.等比数列的性质

    44e5c15e3bc757d0d0be698dfd553433.png

    31.常用不等式

    feb1634f8af9656dbf82ea42f0cbe149.png

    32.直线的三角方程

    787e1d3faa2f1171ab69f9e480593fe2.png

    33.两条直线的垂直和平行

    6357167f79edbeb578ec33b66685d0c0.png

    34.点到直线的距离

    e3a2bf002f5c67e483cebbd3e465d1a0.png

    35.圆的两种方程

    124dac051f1bd06c843cf0673764bc5e.png

    36.点与圆的位置关系

    1e856c846ba56f7afbbcbd54fe366122.png

    37.直线与圆的位置关系

    ffaeaae95046b27cb8b656477b4d25cc.png

    38.椭圆、双曲线、抛物线的性

    6edbe814a2f61dd014426f9cdccc6cfc.png

    39.双曲线方程与渐近线方程的关系

    bb6d4401c661dc77df670587d251a1d3.png

    40.抛物线的焦半径公式

    fbced14cddc629e13e91400e78014d05.png

    41.平方差标准差的计算

    be461f8c7cc7b49004dfbf224921c289.png

    42.回归直线方程

    d47107a3ac712c8d51831b841da3cf06.png

    43.独立性检验

    000b54c7e4f2e714359e49a26e5a6536.png

    44.复数

    e8ab9d345af003fdbbf48e0129a95763.png

    45.参数方程、极坐标化直角坐标

    2e73b63e973e5ac30ae5a2a7d61ef196.png

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空空如也

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平行线坐标公式