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  • 斜率相同 在判断是否等同的 如果不是则平行; 斜率不同 求交点; #include #include #include using namespace std; const double eps = 1e-9;//注意精度; const double inf = 1e10; double x1, y, x2, y2, x3...
    利用斜率;
    斜率相同 在判断是否等同的 如果不是则平行;
    斜率不同 求交点;
    
    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    const double eps = 1e-9;//注意精度;
    const double inf = 1e10;
    
    double x1, y, x2, y2, x3, y3, x4, y4;
    
    bool dx(double x1, double x2)
    {
        return abs(x1-x2) < eps;//两点相同;
    }
    
    double xl(double x1, double y1, double x2, double y2)//求斜率;
    {
        if(dx(x1, x2)) return inf;//平行y轴 无斜率;
        return (y1-y2)/(x1-x2);
    }
    
    int main()
    {
        int t;
        cout << "INTERSECTING LINES OUTPUT" << endl;
        scanf("%d", &t);
        while(t--)
        {
            scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &x1, &y, &x2, &y2, &x3, &y3, &x4, &y4);
            double k1 = xl(x1, y, x2, y2), k2 = xl(x3, y3, x4, y4);
            if(dx(k1, k2))
            {
                if((dx(x1, x2) && dx(x1, x3)) ||(dx((y-k1*x1), (y3-k2*x3)))) cout << "LINE" << endl;
                else cout << "NONE" << endl;
            }
            else
            {
                double b1 = y-k1*x1, b2 = y3-k2*x3;
                printf("POINT %.2lf %.2lf\n", (b1-b2)/(k2-k1), k1*(b1-b2)/(k2-k1)+b1);
            }
        }
        cout << "END OF OUTPUT" << endl;
        return 0;
    }
    

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  • 直线相交,平行重合模板。。 一、判断是否共线 相当于判断三点是否共线,叉积等0是即为共线。二、判断是否平行 设向量A=(a,b) 向量B=(c,d) 若向量A与B平行则a/c=b/d;三、求交点 这里也用到叉积的...

    直线相交,平行,重合模板。。

    一、判断是否共线      相当于判断三点是否共线,叉积等0是即为共线。二、判断是否平行     设向量A=(a,b)        向量B=(c,d)  若向量A与B平行则a/c=b/d;三、求交点

    这里也用到叉积的原理。假设交点为p0(x0,y0)。则有:

    (p1-p0)X(p2-p0)=0

    (p3-p0)X(p2-p0)=0

    展开后即是

    (y1-y2)x0+(x2-x1)y0+x1y2-x2y1=0

    (y3-y4)x0+(x4-x3)y0+x3y4-x4y3=0

    将x0,y0作为变量求解二元一次方程组。

    假设有二元一次方程组

    a1x+b1y+c1=0;

    a2x+b2y+c2=0

    那么

    x=(c1*b2-c2*b1)/(a2*b1-a1*b2);

    y=(a2*c1-a1*c2)/(a1*b2-a2*b1);

    因为此处两直线不会平行,所以分母不会为0。

    说到底还是脊模板记公式啊。。。,

    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    //using namespace std;
    struct point
    {
     double x,y;
    };
    point inter(point u1,point u2,point v1,point v2)//根据公式求两直线的交点 ,可以作为两直线交点的模板啊。。。
    {
     point ret=u1;
     double t=((u1.x-v1.x)*(v1.y-v2.y)-(u1.y-v1.y)*(v1.x-v2.x))
             /((u1.x-u2.x)*(v1.y-v2.y)-(u1.y-u2.y)*(v1.x-v2.x));
     ret.x+=(u2.x-u1.x)*t;
     ret.y+=(u2.y-u1.y)*t;
     return ret;
    }
    bool judge(point p1,point p2,point p3)//判断平行的。。
    {
     if((p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x)==0)
     return true;
     else
     return false;
    }
     
    int main()
    {
     int cas;
     point p1,p2,p3,p4,ans;
     scanf("%d",&cas);
     printf("INTERSECTING LINES OUTPUT\n");
     while(cas--)
     {
      scanf("%lf%lf%lf%lf",&p1.x,&p1.y,&p2.x,&p2.y);
      scanf("%lf%lf%lf%lf",&p3.x,&p3.y,&p4.x,&p4.y);
      if(judge(p1,p2,p3)&&judge(p1,p2,p4))//判断是否重合,一条直线与另外两个点分别叉积 
      printf("LINE\n");
      else if((p1.x-p2.x)*(p3.y-p4.y)-(p1.y-p2.y)*(p3.x-p4.x)==0)//排除了重合的情况,这里当然就是判断平行了 
      printf("NONE\n");
      else
      {
       ans=inter(p1,p2,p3,p4);
       printf("POINT %.2f %.2f\n",ans.x,ans.y);
      }
     }
     printf("END OF OUTPUT\n");
     return 0;
    }

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  • 给你两条直线,问你两个直线的位置,相交或者平行或者重合,相交的话输出相交的点 解题思路 求出两条直线的一般式 判断重合要用叉积判断 #include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm&...

    题目链接

    题目大意

    给你两条直线,问你两个直线的位置,相交或者平行或者重合,相交的话输出相交的点

    解题思路

    求出两条直线的一般式
    判断重合要用叉积判断

    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<algorithm>
    #include<math.h>
    using namespace std;
    double eps=1e-8;
    
    double cross(double x1,double y1,double x2,double y2,double x3,double y3)
    {
        double xx1=x2-x1,yy1=y2-y1;
        double xx2=x3-x1,yy2=y3-y1;
        return xx1*yy2-yy1*xx2;
    }
    
    int main()
    {
        double x1,x2,y1,y2,x3,y3,x4,y4;
        int n;
        while(~scanf("%d",&n))
        {
    
        printf("INTERSECTING LINES OUTPUT\n");
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lf %lf %lf %lf %lf %lf %lf %lf",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3,&x4,&y4);
            double A1=x2-x1,B1=-(y2-y1),C1=-y1*(x2-x1)+x1*(y2-y1);
            double A2=x4-x3,B2=-(y4-y3),C2=-y3*(x4-x3)+x3*(y4-y3);
            if((A1*B2-A2*B1)!=0)
            {
                printf("POINT ");
                double m=A1*B2-A2*B1;
                printf("%.2f %.2f\n",((C1*A2)-(C2*A1))/m,((C2*B1)-(C1*B2))/m);
            }
            else
            {
                if(fabs(cross(x3,y3,x1,y1,x2,y2))<eps&&fabs(cross(x4,y4,x1,y1,x2,y2))<eps)
                    printf("LINE\n");
                else
                    printf("NONE\n");
            }
        }
        printf("END OF OUTPUT\n");
        }
        return 0;
    }
    
    
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  • 第一篇:怎样证明平行怎样证明平行设有两两垂直的转轴x、y、z,则由定义得:jx=m(y^2+z^2),jy=m(x^2+z^2),jz=m(x^2+y^2),所以jx+jy+jz=2m(x^2+y^2+z^2)=2mr^2,此为垂直轴定理。在沿z轴向一边平移d得到x’、y’、...

    第一篇:怎样证明平行

    怎样证明平行

    设有两两垂直的转轴x、y、z,则由定义得:jx=m(y^2+z^2),jy=m(x^2+z^2),jz=m(x^2+y^2),所以jx+jy+jz=2m(x^2+y^2+z^2)=2mr^2,此为垂直轴定理。在沿z轴向一边平移d得到x’、y’、z轴,则r’^2=r^2+d^2,所以jx’+jy’+jz=2mr’^2=2m(r^2+d^2),与上式相减得(jx’-jx)+(jy’-jy)=2md^2,因为x、y轴平移方式相同,所以应有jx’-jx=jy’-jy,所以jx’-jx=jy’-jy=md^2,即为平行轴定理。

    定理和判定都可以求的根据定理来就是:两组对边分别平行根据判定来:a一组对边平行且相等b对角线互相平分c对角相等d两组对边分别相等

    2

    1,两组对边分别平行2,两组对边分别相等3,一组对边平行且相等4,对角线互相平分

    一,两组对边分别平行二,两组对边分别相等三,一组对边平行且相等四,对角线互相平分五,对角相等!

    沿着一条对角线折叠,就可以得到这条对角线平分另一条对角线,再沿着一条对角线折叠,就可以得到另条对角线平分这一条对角线。这只是演示,不叫证明。因为两条对角线将平行四边形分割成两对全等的三角形任取其中一对因为两三角形全等的所以可得两三角形三条对应边分别相等(之前的都要用内错角来

    1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

    1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

    2

    1.画个圆,里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行,所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360,5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..

    3判定(前提:在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

    (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注:仅以上五条为平行四边形的判定定理,并非所有真命题都为判定定理,希望各位读者不要随意更改。)(第五条对,如果对角相等,那么邻角之和的二倍等于360°,那么邻角之和等与180°,那么对边平行,(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等,两邻角互补。(4)连接任意四(请你支持:)边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

    第二篇:怎样证明面面平行

    怎样证明面面平行

    线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

    线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。

    线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

    面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

    线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。

    线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

    线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

    线面垂直→线线垂直线面垂直定义:如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a垂直于平面α。

    面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

    三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影,则这条直线垂直于斜线。

    2

    证明:∵平面α∥平面β

    ∴平面α和平面β没有公共点

    又a在平面α上,b在平面β上

    ∴直线a、b没有公共点

    又∵α∩γ=a,β∩γ=b

    ∴a在平面γ上,b在平面γ上

    ∴a∥b.

    3

    用反证法

    命题:已知α∥β,ab∈α,求证:ab∥β

    证明:假设ab不平行于β

    则ab交β于点p,点p∈β

    又因为p∈ab,所以p∈α

    α、β有公共点p,与命题α∥β不符,所以ab∥β。

    4

    (直线与平面平行的判定)

    定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

    (判断直线与平面平行的方法)

    (1)利用定义:证明直线与平面无公共点;

    (2)利用判定定理:从直线与直线平行得到直线与平面平行;

    (3)利用面面平行的性质:两个平面平行,则一个平面内的直线必平行于另一个

    5

    用反证法

    命题:已知α∥β,ab∈α,求证:ab∥β

    证明:假设ab不平行于β

    则ab交β于点p,点p∈β

    又因为p∈ab,所以p∈α

    α、β有公共点p,与命题α∥β不符,所以ab∥β。

    第三篇:平行的证明

    高中立体几何证明平行的专题训练

    立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法:

    ?1?通过平移;

    ?2?利用三角形中位线的性质;

    ?3?利用平行四边形的性质;

    ?4?利用对应线段成比例;

    ?5?利用面面平行,等等

    一.通过“平移”再利用平行四边形的性质

    1.如图,四棱锥p-abcd的底面是平行四边形,点e、f 分别为棱ab、pd的中点.求证:af?平面pce

    第1题图

    2、如图,已知直角梯形abcd中,ab?cd,ab?bc,ab=1,bc=2,cd=1a作ae?cd,垂足为e,g、f分别为ad、ce的中点,现将?ade沿ae折叠,使得de?ec.

    ?ⅰ?求证:bc?面cde;

    ?ⅱ?求证:fg?面bcd;

    3.已知直三棱柱abc-a1b1c1中,d, e, f分别为aa1, cc1, ab的中点,m为be

    的中点,ac?be.求证:

    ?ⅰ?c1d?bc;

    ?ⅱ?c1d?平面b1fm.

    4、如图所示,四棱锥pabcd底面是直角梯形,cd?2ab,e为pc的中点,

    证明:eb?面pad

    二.利用三角形中位线的性质

    5、如图,已知e、f、g、m分别是四面体的棱ad、cd、bd、bc的中点,求证:am∥平面efg。

    6.如图,abcd是正方形,o是正方形的中心,e是pc的中点。求证:pa?平面bde

    7.如图,三棱柱abc—a1bc中,d为ac的中点. 求证:ab1//面bdc1;11

    8.如图,平面abef?平面abcd,四边形abef与abcd都是直角梯形,?badfab?90?,

    11bc?ad,be?af,g,h分别为fa,fd的中点

    ?2?2

    ?ⅰ?证明:四边形是平行四边形;

    ?ⅱ?四点是否共面?为什么?

    e

    三.利用平行四边形的性质

    9.正方体abcd a1b1c1d1中o为正方形abcd的中心,m为bb1的中点, 求证:d1o//平面a1bc1;

    a

    10.在四棱锥p?abcd中,ab?cd,ab?dc,为.epd的中点,求证:ae?平面pbc;

    11.在如图所示的几何体中,四边形abcd为平行四边形,?acb?90?ea?平面abcdef//ab,fg//bc,eg//ac,ab?2ef

    ?1?若m是线段ad的中点,求证:gm//平面abfe;

    ?2?若ac?bc?2ae,求二面角a-bf-c的大小。

    四.利用对应线段成比例

    12.如图:s是平行四边形abcd平面外一点,m、n分别是sa、bd上的点,且ambn=,求证:mn//平面sdc smnd

    13.如图正方形abcd与abef交于ab,m,n分别为ac和bf上的点且am?fn求证:mn?平面bec

    五。利用面面平行

    14.如图,三棱锥p?abc中,pb?底面abc,?bca?90,pb?bc?ca,e为pc的中点,m为ab的中点,点f在pa上,且af?2fp.

    (1)求证:be?平面pac;

    (2)求证:cm

    //平面bef; ?

    c

    第四篇:平行证明

    北师版 八上7单元测试

    一、填空题

    1、如图1,直线ab、cd被直线ef所截①量得∠3=100°,∠4=100°,则ab与cd的关系是_______,根据是_____________

    ②量得∠1=80°,∠3=100°,则ab与cd的关系是_______,根据是________________

    2、如图2,be是ab的延长线,量得∠cbe=∠a=∠c ①从∠cbe=∠a,可以判定直线_______与直线_______平行,它的根据是___________

    ②从∠cbe=∠c,可以判定直线_______和直线_______平行,它的根据是___________

    1图2

    图3图4

    3、如图3,∠α=125°,∠1=50°,则∠β的度数是_______.

    4、如图4,ad、be、cf为△abc的三条角平分线,则:∠1+∠2+∠3=________.

    5、已知,如图5,ab∥cd,bc∥de,那么∠b+∠

    d=__________.

    6、已知,如图6,ab∥cd,若∠abe=130°,∠cde=152°,

    则∠bed

    =__________.

    5图6

    7、在△abc中,若∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3,则∠a=____,

    ∠b=____, ∠c=____.

    8、在△abc中,若∠a=65°,∠b=∠c,则∠b=_______.

    9、命题“任意两个直角都相等”的条件是_____,结论是

    _____,它是____(真或假)命题.

    10、如图7,根据图形及上下文的含义推理并填空:

    (1)∵∠a=_______(已知)∴ac∥ed()

    (2)∵∠2=_______(已知)

    ∴ac∥ed()

    (3)∵∠a+_______=180°(已知)∴ab∥fd()

    图7图8

    二、选择题

    1.下列语言是命题的是 ()

    a.画两条相等的线段 b.等于同一个角的两个角相等吗?

    c.延长线段ao到c使oc=oa d.两直线平行,内错角相等.

    2.如图8,△abc中,∠b=55°,∠c=63°,de∥ab,则∠dec

    等于a.63°b.62°c.55°d.118°

    3.下列语句错误的是()

    a.同角的补角相等b.同位角相等c.同垂直于一条直线的

    两直线平行d.两条直线相交只有一个交点

    4、在△abc中,∠a=50°,∠b、∠c的平分线交于o点,

    则∠boc等于()a.65°b.115°c.80° d.50

    5、两条平行线被第三条直线所截,那么一组同旁内角的平分线

    a.相互重合b.互相平行c.相互垂直d.无法确定相互关系

    6、如图9,ab∥cd,∠a=35°,∠c=80°,那么∠e等于()

    a.35b.45°c.55°d.75°

    三、判断下列命题是真命题还是假命题.

    ()(1)若|a|=|b|,则a=b;()(2)若a=b,则a3=b3;

    ()(3)若x=a,则x2-(a+b)x+ab=0; (4)如果a2=ab,则a=b; ()(5) 若x>3,则x>2.

    四、把下列命题写成“如果,那么”的形式,并指出条件和结论.

    (1) 全等三角形的对应角相等; (2)等角的补角相等;

    (3)同圆或等圆的半径相等;(4)自然数必为有理数;

    (5)同角的余角相等;(6)两直线平行,同位角相等;

    五、解答下列问题

    1、如图,一个弯形管道abcd的拐角∠abc=120°,∠bcd=60°,这时说管道ab∥cd对吗?为什么?

    2、如图 ,已知∠1与∠2互补,问∠3和∠4互补吗?为什么?

    六、在横线或括号中填上适当的符号和理由,完成下面的证明过

    (1)如图10 ,已知ef∥ab,∠a+∠aec+∠c=360°求证:ab∥cd

    证明:∵ef∥ab(已知)∴∠a+_______=180°又∵∠a+∠aec+∠c=360°()∴∠c+∠cef=_______()

    ∴_______∥cd()∴ab∥cd()

    (2)如图11,已知∠ade=∠b,∠1=∠2,fg⊥ab,

    求证:cd⊥ab

    证明:∠ade=∠b()

    ∴de∥_______()

    ∠1=_______()

    ∵∠1=∠2(

    ∴∠2=∠3(

    cd∥_______(

    ∠bgf=_______(

    又∵fg⊥ab(

    ∴∠bgf=_______(

    ∴∠bdc=_______(

    ∴cd⊥ab(

    图10图11 ))))))))

    七、证明题

    1.已知,如图 ,ad⊥bc,ef⊥bc,∠4=∠c.

    求证:∠1=∠2.

    2、已知,如图 ,∠ace是△abc的外角,∠abc与∠ace的角平分线bp、cp交于点p.。求证:∠p=1∠a.2

    第五篇:平行四边形的应用证明

    初二平行四边形的应用

    1.如图,□abcd中,ae、cf分别与直线db 相交于e和f,且ae//cf, 求证:ce//af.

    c

    a

    2..如图,□abcd中,bm垂直ac于m,dn垂直ac于n, 求证:四边形bmdn是平行四边形。

    c

    a

    3.如图,□abcd中,点m、n是对角线ac上的点,且am=cn,de=bf,求证:四边形mfne是平行四边形。

    e

    c

    a

    4.如图,ab、cd相交于点o,ac//db,ao=bo,e、f分别为oc、od的中点,连接af、be,求证:af//be.

    a

    c

    d

    5.在四边形abcd中,ab//cd,对角线ac、bd交于点o,ef过o交ab于e,交cd于f,且oe=of,求证,abcd是平行四边形。

    d

    b

    6.如图,过□abcd对角线的交点o作直线ef交ad、bc分别于e、f,又g、h分别为ob、od的中点, 求证:四边形ehfg为平行四边形。

    ae

    d

    b

    7.如图,在□abcd中,e、f、g、h分别是四条边上的点,且满足be=df,cg=ah,连接ef、gh。求证:ef与gh互相平分。

    af

    db

    e

    8.如图,以△abc的三条边为边向bc的同一侧作等边△abp、等边△acq,等边△bcr,求证:四边形paqr为平行四边形。

    p

    q

    9.如图所示,平行四边形abcd中,bc=2ab,af=ab=be,且点e、f在直线ab上,求?eof的度数.c

    f

    a b

    e

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