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  • 平衡树小结

    2019-09-23 23:24:22
    平衡树有什么用? 平衡树可以说是区间操作的数据结构中最好用的一种了吧,它最大的用处自然是维护区间了. 平衡树都有哪些呢? 平衡树的种类也是多种多样,因为有些在竞赛中可能实现起来比较麻烦 (请问您说的红黑树很难...

    平衡树

    平衡树是什么?

    简单说,就是一颗二叉搜索树,并且它的深度保持相对稳定,也就是不会退化成链的树.

    平衡树有什么用?

    平衡树可以说是区间操作的数据结构中最好用的一种了吧,它最大的用处自然是维护区间了.

    平衡树都有哪些呢?

    平衡树的种类也是多种多样,因为有些在竞赛中可能实现起来比较麻烦 (请问您说的红黑树很难实现是什么意思?) ,这里就只介绍几个在竞赛中较为常用的了.

    当然除了这些还有很多,比如AVL树,替罪羊树,SBT树等等,但是因为 (我也不会) 毕竟不需要懂这么多种的树,只需要学好splay或是无旋treap就能做的了绝大部分的区间维护的题目了,所以就不多赘述了.

    转载于:https://www.cnblogs.com/BCOI/p/9084844.html

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  • 二叉搜索 二叉查找/搜索/排序 BST (binary search/sort tree) 或者是一棵空; 或者是具有下列性质的二叉树: ...平衡二叉树(Self-balancing binary search tree) 自平衡二叉查找 又被称为AVL

    二叉搜索树

    二叉查找/搜索/排序树 BST (binary search/sort tree)
    或者是一棵空树;
    或者是具有下列性质的二叉树:
    (1)若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值;
    (2)若它的右子树上所有结点的值均大于它的根节点的值;
    (3)它的左、右子树也分别为二叉排序树。
    在这里插入图片描述

    优点:构建方便,查找快速
    缺点:极端状况会退化成链表。

    平衡二叉树

    平衡二叉树(Self-balancing binary search tree) 自平衡二叉查找树 又被称为AVL树(有别于AVL算法)
    它是一 棵空树
    或它的左右两个子树的高度差(平衡因子)的绝对值不超过1,
    并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树,
    同时,平衡二叉树必定是二叉搜索树,反之则不一定

    平衡因子(平衡度):结点的平衡因子是结点的左子树的高度减去右子树的高度。(或反之定义)
    平衡二叉树:每个结点的平衡因子都为 1、-1、0 的二叉排序树。或者说每个结点的左右子树的高度最多差1的二叉排序树。

    平衡二叉树的目的是为了减少二叉查找树层次,提高查找速度

    平衡二叉树的常用实现方法有AVL、红黑树、替罪羊树、Treap、伸展树等
    在这里插入图片描述

    优点:查找速度稳定O(logn)
    缺点:修改较慢 需要频繁翻转

    红黑树

    红黑树
    R-B Tree,全称是Red-Black Tree,又称为“红黑树”,它一种平衡二叉树。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色,可以是红(Red)或黑(Black)。

    红黑树的特性:
    (1)每个节点或者是黑色,或者是红色。
    (2)根节点是黑色。
    (3)每个叶子节点(NIL)是黑色。 [注意:这里叶子节点,是指为空(NIL或NULL)的叶子节点!]
    (4)如果一个节点是红色的,则它的子节点必须是黑色的。
    (5)从一个节点到该节点的子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。

    注意:
    (01) 特性(3)中的叶子节点,是只为空(NIL或null)的节点。
    (02) 特性(5),确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍。因而,红黑树是相对是接近平衡的二叉树

    在这里插入图片描述
    红黑树的应用比较广泛,主要是用它来存储有序的数据,它的时间复杂度是O(logN),效率非常之高。
    它虽然是复杂的,但它的最坏情况运行时间也是非常良好的,并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找,插入和删除,这里的n 是树中元素的数目。
    例如,Java集合中的TreeSet和TreeMap,C++ STL中的set、map,以及Linux虚拟内存的管理,都是通过红黑树去实现的。

    Hashmap为什么用红黑树

    在Jdk1.8版本后,Java对HashMap做了改进,在链表长度大于8的时候,将后面的数据存在红黑树中,以加快检索速度。

    那么很多人就有疑问为什么是使用红黑树而不是AVL树,AVL树是完全平衡二叉树阿?

    最主要的一点是:

    在CurrentHashMap中是加锁了的,实际上是读写锁,如果写冲突就会等待,
    如果插入时间过长必然等待时间更长,而红黑树相对AVL树他的插入更快!

    红黑树和AVL树都是最常用的平衡二叉搜索树,它们的查找、删除、修改都是O(lgn) time

    AVL树和红黑树有几点比较和区别:
    (1)AVL树是更加严格的平衡,因此可以提供更快的查找速度,一般读取查找密集型任务,适用AVL树。
    (2)红黑树更适合于插入修改密集型任务。

    (3)通常,AVL树的旋转比红黑树的旋转更加难以平衡和调试。

    总结:
    (1)AVL以及红黑树是高度平衡的树数据结构。它们非常相似,真正的区别在于在任何添加/删除操作时完成的旋转操作次数。
    (2)两种实现都缩放为a O(lg N),其中N是叶子的数量,但实际上AVL树在查找密集型任务上更快:利用更好的平衡,树遍历平均更短。另一方面,插入和删除方面,AVL树速度较慢:需要更高的旋转次数才能在修改时正确地重新平衡数据结构。
    (3)在AVL树中,从根到任何叶子的最短路径和最长路径之间的差异最多为1。在红黑树中,差异可以是2倍。
    (4)两个都给O(log n)查找,但平衡AVL树可能需要O(log n)旋转,而红黑树将需要最多两次旋转使其达到平衡(尽管可能需要检查O(log n)节点以确定旋转的位置)。旋转本身是O(1)操作,因为你只是移动指针。

    参考 https://blog.csdn.net/wyqwilliam/article/details/82935922
    https://blog.csdn.net/qq_41999455/article/details/95342982

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  • 终于终于终于,写完了,长达将近两个小时的斗争,,,,(^_−)☆ (进入正题) 平衡树,这个词我听了好长时间了,但是,一直拖着没学,当今天老师讲到要用了,我才学,,,(没事,...为什么用平衡树?——当然是因...

    终于终于终于,写完了,长达将近两个小时的斗争,,,,(^_−)☆

    (进入正题)
    平衡树,这个词我听了好长时间了,但是,一直拖着没学,当今天老师讲到要用了,我才学,,,(没事,只要想学,什么时候都不晚)
    平衡树的定义就是:它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。所以,他有自己对于每个点严格的要求,因此,他可以保持平衡。

    为什么用平衡树?——当然是因为它复杂度低,而且应用广泛啊!

    平衡树的时间复杂度:
    设n为树内节点个数,h为树的高度,树的各种操作的复杂度都依赖于树的高度,所有操作的复杂度均为O(h), h可能log(n),也可能n,则普通的二叉查找树,操作复杂度均为log(n),最坏情况可能O(n),可以证明,随机构造的树的平均高度为log(n),所以平均复杂度为log(n)。这样就能解决好多数据结构的体了吧,,,,
    (先好好看代码吧,,,)

    这里就解释一下代码中右(左)旋的过程:

    先画一颗完美的树
    (如何画一颗完美的树,,(๑╹◡╹)ノ""")
    在这里插入图片描述
    现在就看刚刚画出的树,现在要让它其中的D节点变成B节点的父亲,这就是旋转的目的,那么由平衡树的定义可知道要保证高度和顺序(左儿子<右儿子),通过下面代码的推理,就能画出一个更完美的树,(如图)
    在这里插入图片描述

    (仿佛上面的都比较水)

    重要的是代码(注释)!!!

    为了更好的了解平衡树,我干了件有意思的事,,,

    每行都写上注释

    (尽管很慢,还很没意思,但是很好的让我迅速理解平衡树的操作!)

    interesting code:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    inline int read()
    {
    	int s=0,w=1;char ch=getchar();
    	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    	while(ch<='9'&&ch>='0')s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    	return s*w;
    }
    const int sea=100100;
    int ch[sea][2],fa[sea],key[sea],cnt[sea],size[sea],root,sz;
    //fa[i]表示i的父结点,ch[i][0]表示i的左儿子,ch[i][1]表示i的右儿子,key[i]表示i的关键字(即结点i代表的那个数字),cnt[i]表示i结点的关键字出现的次数(相当于权值),size[i]表示包括i的这个子树的大小;sz为整棵树的大小,root为整棵树的根。
    //先写前置的四项基本用法:clear,get,rotate,splay;
    void clear(int x){ch[x][1]=ch[x][0]=fa[x]=size[x]=cnt[x]=key[x]=0;} //必备的清空此节点的操作 
    bool get(int x){return ch[fa[x]][1]==x;}//判断此节点在他父亲的哪个节点,如果是在右子树时,就return 1; 
    void update(int x)
    {
    	if(x)//根节点不更新 
    	{
    		size[x]=cnt[x];//赋成当前点的权值 
    		if(ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]];//加上左子树 
    		if(ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]];//加上右子树
    	}
    }
    void rotate(int x)//这一部分具体看图
    {
    	int old=fa[x],fold=fa[old],w=get(x);
    	ch[old][w]=ch[x][w^1]; fa[ch[old][w]]=old;//B_G
    	ch[x][w^1]=old;fa[x]=fold;fa[old]=x;//B_D
    	if(fold) ch[fold][ch[fold][1]==old]=x;//D_A
    	update(old); update(x);//更新B、D 
    }
    void splay(int x)
    {
    	for(int i;i=fa[x];rotate(x))//向上旋找到他的父亲,直到根节点 
    	if(fa[i]) rotate((get(x)==get(i))?i:x);//为了防止单链单旋的情况,如果有单链的情况就直接转化为双旋,先旋fa[x],否则先旋x 
    	root=x;//把现在旋到的点标记为根节点 
    }
    //基本操作写完之后就来好好敲一下题目上给的内容吧 六个函数:add,del,find,findx,before,next 
    void add(int x)
    {
    	if(root==0){sz++;ch[sz][0]=ch[sz][1]=fa[sz]=0;root=sz;size[sz]=cnt[sz]=1;key[sz]=x;return ;}//当插入前就是一颗空树时,总大小++,左右儿子为0,根节点是1,权值是1,1的关键字是x 
    	int now=root,f=0;
    	while(1)
    	{
    		if(x==key[now]){cnt[now]++; update(now);update(f);splay(now);break;}//从上到下遍历,如果遍历到x就进行更新操作,先加上权值,更新此节点、他的父亲节点,在从他旋到根节点 
    		f=now; now=ch[now][key[now]<x];//如果不是的话,f先存父亲节点,now现在存的就是儿子节点了,如果比这个节点大就是右儿子
    		if(now==0)//如果没有儿子,就手动加进去一个儿子,然后更新,(就不用更新自己了) 
    		{
    			sz++;ch[sz][0]=ch[sz][1]=0; fa[sz]=f; 
    			size[sz]=cnt[sz]=1; ch[f][key[f]<x]=sz; key[sz]=x;
    			update(f); splay(sz);
    			break;
    		} 
    	}
    }
    int find(int x)
    {
    	int now=root,ans=0;//开始时now为根节点 
    	while(1)
    	{
    		if(x<key[now]) now=ch[now][0];//如果x小就向左找 (设想一下,走到整棵树的最左端最底端排名不就是1吗) 
    		else
    		{
    			ans+=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0);//如果比它大答案就加上左子树的大小以及根的大小(这里的大小指的是权值)。 
    			if(x==key[now]){splay(now); return ans+1;}//这里如果找到答案就在splay一下 
    			ans+=cnt[now]; now=ch[now][1];//ans加上根节点的权值,now移到右子树 
    		}
    	} 
    }
    int findx(int x)
    {
    	int now=root;
    	while(1)
    	{
    		if(ch[now][0]&&x<=size[ch[now][0]]) now=ch[now][0];//如果这个节点小就接着找他的左儿子(存在左儿子)
    		else
    		{
    			int temp=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0)+cnt[now];//如果比它大答案就加上左子树的大小以及根的大小(这里的大小指的是权值)。
    			if(x<=temp) return key[now];//由于是向大的方向更新的,如果找到x<=,就可以关键字return 
    			x-=temp; now=ch[now][1];//不断的缩小范围,now移到右子树 
    		}
    	}
    }
    int before(){int now=ch[root][0];while(ch[now][1]) now=ch[now][1];return now;}//由于是找前驱,所以只要不断地去找根节点的左子树的右节点就好, 
    int next(){int now=ch[root][1];while(ch[now][0]) now=ch[now][0];return now;}//由于是找后驱,所以只要不断地去找根节点的右子树的左节点就好, 
    void del(int x)
    {
    	int w=find(x);//在这里查找下x就是要将x旋到根节点 
    	if(cnt[root]>1){cnt[root]--;update(root); return ;}//如果cnt[root]>1,即x是根节点的时候,不只有一个x的话,更新后直接return  
    	if(!ch[root][0]&&!ch[root][1]) {clear(root);root=0;return ;}//如果root并没有孩子,就说这课树上只有一个x而已,直接clear+return 
    	if(!ch[root][0]){int oldroot=root; root=ch[root][1];fa[root]=0; clear(oldroot);return ;}//如果只有一个根节点和右儿子或者左儿子,直接clear+return
    	else if (!ch[root][1]){int oldroot=root; root=ch[root][0]; fa[root]=0; clear(oldroot); return;}
    //	剩下的就是两个儿子的情况 
    	int qq=before(),oldroot=root; splay(qq);//把x的前驱旋成新
    	ch[root][1]=ch[oldroot][1]; fa[ch[oldroot][1]]=root;//然后将原来x的右子树接到新根的右子树上(注意这个操作需要改变父子关系)。这实际上就把x删除了。 
    	clear(oldroot); update(root);//清空旧根,更新新根 
    }
    int main()
    {
    	int n,opt,x;
    	scanf("%d",&n);
    	for (int i=1;i<=n;++i)
    	{
    		scanf("%d%d",&opt,&x);
    		switch(opt)
    		{
    			case 1: add(x); break;
    			case 2: del(x); break;
    			case 3: printf("%d\n",find(x)); break;
    			case 4: printf("%d\n",findx(x)); break;
    			case 5: add(x); printf("%d\n",key[before()]); del(x); break;
    			case 6: add(x); printf("%d\n",key[next()]); del(x); break;
    		}
    	}
    	return 0;
    }
    

    Treap continue……

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  • 在 Redis 中,list 两种存储方式:双链表(LinkedList)和压缩双链表(ziplist)。双链 表即普通数据结构中遇到的,在 adlist.h 和 adlist.c 中实现。压缩双链表以连续的内存空间 来表示双链表节省了前驱和后驱...

    https://juejin.im/post/57fa935b0e3dd90057c50fbc

     

    在 Redis 中,list 有两种存储方式:双链表(LinkedList)和压缩双链表(ziplist)。双链 表即普通数据结构中遇到的,在 adlist.h 和 adlist.c 中实现。压缩双链表以连续的内存空间 来表示双链表节省了前驱和后驱指针的空间

    dict (dictionary 字典),通常的存储结构是Key-Value形式的,通过Hash函数对key求Hash值来确定Value的位置,因此也叫Hash表

     

    skiplist,顾名思义,首先它是一个list。实际上,它是在有序链表的基础上发展起来的

    我们先来看一个有序链表,如下图(最左侧的灰色节点表示一个空的头结点):

     

     

    在这样一个链表中,如果我们要查找某个数据,那么需要从头开始逐个进行比较,直到找到包含数据的那个节点,或者找到第一个比给定数据大的节点为止(没找到)。也就是说,时间复杂度为O(n)。同样,当我们要插入新数据的时候,也要经历同样的查找过程,从而确定插入位置。

    假如我们(除了指向下一个节点的指针每相邻两个节点增加一个指针,让指针指向下下个节点,如下图:

     

     

    这样所有新增加的指针连成了一个新的链表,但它包含的节点个数只有原来的一半(上图中是7, 19, 26)。现在当我们想查找数据的时候,可以先沿着这个新链表进行查找。当碰到比待查数据大的节点时,再回到原来的链表中进行查找。比如,我们想查找23,查找的路径是沿着下图中标红的指针所指向的方向进行的:

     

     

    • 23首先和7比较,再和19比较,比它们都大,继续向后比较。
    • 但23和26比较的时候,比26要小,因此回到下面的链表(原链表),与22比较。
    • 23比22要大,沿下面的指针继续向后和26比较。23比26小,说明待查数据23在原链表中不存在,而且它的插入位置应该在22和26之间。

    在这个查找过程中,由于新增加的指针,我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了。需要比较的节点数大概只有原来的一半。

    利用同样的方式,我们可以在上层新产生的链表上,继续为每相邻的两个节点增加一个指针,从而产生第三层链表。如下图:

     

     

    在这个新的三层链表结构上,如果我们还是查找23,那么沿着最上层链表首先要比较的是19,发现23比19大,接下来我们就知道只需要到19的后面去继续查找,从而一下子跳过了19前面的所有节点。可以想象,当链表足够长的时候,这种多层链表的查找方式能让我们跳过很多下层节点,大大加快查找的速度。


    skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上,按照上面生成链表的方式,上面每一层链表的节点个数,是下面一层的节点个数的一半,这样查找过程就非常类似于一个二分查找,使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是,这种方法在插入数据的时候有很大的问题新插入一个节点之后,就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系,就必须把新插入的节点后面的所有节点(也包括新插入的节点)重新进行调整,这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)。删除数据也有同样的问题。

    skiplist为了避免这一问题,它不要求上下相邻两层链表之间的节点个数有严格的对应关系,而是为每个节点随机出一个层数(level)。比如,一个节点随机出的层数是3,那么就把它链入到第1层到第3层这三层链表中。为了表达清楚,下图展示了如何通过一步步的插入操作从而形成一个skiplist的过程(点击看大图):

     

    从上面skiplist的创建和插入过程可以看出,每一个节点的层数(level)是随机出来的,而且新插入一个节点不会影响其它节点的层数。因此,插入操作只需要修改插入节点前后的指针,而不需要对很多节点都进行调整。这就降低了插入操作的复杂度。实际上,这是skiplist的一个很重要的特性,这让它在插入性能上明显优于平衡树的方案。这在后面我们还会提到。

    根据上图中的skiplist结构,我们很容易理解这种数据结构的名字的由来。skiplist,翻译成中文,可以翻译成“跳表”或“跳跃表”,指的就是除了最下面第1层链表之外,它会产生若干层稀疏的链表,这些链表里面的指针故意跳过了一些节点(而且越高层的链表跳过的节点越多)。这就使得我们在查找数据的时候能够先在高层的链表中进行查找,然后逐层降低,最终降到第1层链表来精确地确定数据位置。在这个过程中,我们跳过了一些节点,从而也就加快了查找速度。

    刚刚创建的这个skiplist总共包含4层链表,现在假设我们在它里面依然查找23,下图给出了查找路径:

     

    需要注意的是,前面演示的各个节点的插入过程,实际上在插入之前也要先经历一个类似的查找过程,在确定插入位置后,再完成插入操作。

    至此,skiplist的查找和插入操作,我们已经很清楚了。而删除操作与插入操作类似,我们也很容易想象出来。这些操作我们也应该能很容易地用代码实现出来。

    当然,实际应用中的skiplist每个节点应该包含key和value两部分。前面的描述中我们没有具体区分key和value,但实际上列表中是按照key进行排序的,查找过程也是根据key在比较。

    性能分析见原文

    链接:https://juejin.im/post/57fa935b0e3dd90057c50fbc

    转载于:https://www.cnblogs.com/twoheads/p/10155272.html

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  • A:为什么MySQL数据库要B+树存储索引?...【红黑树】红黑树也是平衡树中的一种,它复杂的定义以及繁琐的规则无非就是为了保证树的平衡性。一棵红黑树可以保证平衡性,保持平衡性的目的无非就是降低树的高...
  • 前一篇介绍了树,却未介绍树有什么用。但就算我不说,你也能想得到,看我们Windows的目录结构,其实就是树形的,一个典型的分类应用。当然除了分类,树还有别的作用,我们可以利用树建立一个非常便于查找取值又非常...
  • 二叉平衡树(AVL): 这个数据结构我在三月份学数据结构结构的时候遇到过。但当时没调通。也就没写下来。前几天要的时候给调好了!详细AVL是什么,我就不介绍了,维基百科都。 后面两月又要忙了。和同学组队去比赛...
  • 不是什么B减好吧。 多路查找,可以是二叉、三叉等等 每一个节点都(key、data-point、next-point)关键字、数据、子节点指针。 枝节点数ceil(m/2)-1~m-1,当m=5,2<=枝节点数<=4 优点:①层数低②利用...

空空如也

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平衡树有什么用