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  • 假如当前一颗m阶的B树(注意阶的意思是指每个节点的孩子节点的个数),那么其符合: (1)每个节点最多m个子节点 (2)除了根节点和叶子节点之外,其他的每个节点最少m/2(向上取整)孩子节点 (3)根节点...

    一颗m阶的B树,这里阶的意思是指每个节点拥有的子节点个数,会满足以下几点:

    1)每个节点最多有m个子节点
    
    (2)除了根节点和叶子节点之外,其它的每个节点最少有m/2(向上取整)个子节点
    
    (3)根节点至少有两个子节点,(除了第一次插入的时候,此时只有一个节点,根节点同时是叶子节点)
    
    (4)所有的叶子节点都在同一层
    
    (5)有k个子节点的父节点包含k-1个key关键字
    

    初次接触B树的时候有两个问题比较疑惑,根节点为什么最少要有两个子节点?其它的节点为什么又是最少有m/2个子节点?直到看到这篇博客之后茅塞顿开。简单来讲B树的上述几个条件就是为了维持树的平衡。
    下面举个例子来说明一下,所有的图片都是来自于Data Structure Visualization网站,可以保证图片的正确性。
    我们依次往一颗B树里边插入递增的数字来观察树形状的变化。
    第一个例子,m=3,一颗三阶的B树,依次插入1,2,3。

    1,2
    当3这个key插入的时候,首先试图插入根节点,但是此时根节点总共有4个子节点(下图4个指向子节点的childPtr),不满足条件1,即子节点数量不能超过3,于是根节点要分裂。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    根节点一分为三,分裂之后是这样的:
    在这里插入图片描述
    分裂的时候,中间的以中间的key-2为中心,将keys分成三份,中间的key作为新的根节点;左边的部分作为新根节点的左子树,同样的道理右边的部分作为右子树。
    也就是说中间的key成为根节点后,至少两个子节点,这就是条件3,这就是根节点为什么至少两个子节点的原因。
    我们继续往b树添加key。
    在这里插入图片描述
    当5加进去的时候,最右边叶子节点不满足条件,分裂。
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    加入6
    在这里插入图片描述
    当7进去的时候,会导致最右边的叶子节点不满足要求,于是叶子节点右开始分裂
    在这里插入图片描述
    当key(6)上移到它的父节点之后又会导致父节点不满足要求,继续分裂。
    在这里插入图片描述
    最后的b树如下,此时树的高度变为了3.
    在这里插入图片描述
    可以这么理解,随着数据的不断加入,树的高度就会慢慢变高,b树的层数增加是通过分裂根节点完成的。
    当根节点要分裂的时候,为什么是分裂成左右两个子树而不能分裂成超过两个子树呢?这是由于条件2:除了根节点和叶子节点之外,其它的每个节点最少有m/2(向上取整)个子节点。如果分成三个子节点,那么每个子节点的包含的节点数就是m/3,不满足条件2。
    再举一个例子
    下面再建个7阶的b树,依次加入1,2,3,4,5,6,7。
    在这里插入图片描述
    当7加入的时候,根节点共有8个child指针,不满足条件1,所以要分裂,这种情况就以中间的key(4)作为新的根节点,1,2,3作为新的根节点的左子节点,5,6,7作为右子节点。变成这个样子:
    在这里插入图片描述
    第三个例子,这个例子其实重复了,只是多举点例子加深理解
    下图是根节点第二次分裂的情况,这是一颗5阶b树,保存1到16的key,目前高度为2
    在这里插入图片描述
    当我们往这颗b树加入17的时候,最右边的叶子有6个childPtr,不满足条件1。所以这个节点也要执行分裂,的中间的key(15)要上移到父节点,同时分裂为两个节点,此时它的父节点就是根节点。但是分裂之后就会导致根节点不满足要求,此时根节点有6个子节点。
    在这里插入图片描述
    由于根节点不满足要求,所以根节点也要执行分裂操作。
    在这里插入图片描述
    还是以中间的key作为新的根节点,左右两边分别作为左右子树,变成这个样子:
    在这里插入图片描述
    这时候新的根节点还是两个子树,通过上面的几个例子很容易理解根节点为什么最少要有两个子节点

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  • 高度为n的平衡二叉树最少需要多少个节点?高度为n的平衡二叉树最少需要多少个节点?参考 高度为n的平衡二叉树最少需要多少个节点? 设f(n)为高度为n的平衡二叉树最少含有的节点数,则:f(1) = 1;f(2) = 2; f(3) = ...

    高度为n的平衡二叉树最少需要多少个节点?

    高度为n的平衡二叉树最少需要多少个节点?

    设f(n)为高度为n的平衡二叉树最少含有的节点数,则:f(1) = 1;f(2) = 2; f(3) = 4;f(4) = 7;……

    这些可以通过画图就能得到,但是当n很大时呢?其实有如下结论:f(n) = f(n-1) + f(n-2) +1,(n>=3)。这个递推结论如何得到的呢?

    引导问题:求一棵二叉树的节点数目:

    假设一颗二叉树T,其左右子树分别为TL,TR。又假设T的节点数目为F(T),TL,TR的节点数目分别为F(TL),F(TR)。则显然:F(T) = F(TL) + F(TR) + 1

    本文的问题:求高度为n的平衡二叉树最小需要多少节点:

    • 假设T为高度为n的平衡二叉树,其需要最少的节点数目为F(n)。
    • 又假设TL,TR为T的左右子树,因此TL,TR也为平衡二叉树。

    假设F1,F2为TL,TR的最少节点数,则,F(n) = F1+F2 +1。那么F1,F2 到底等于多少呢?

    • 由于TL,TR与T一样是平衡二叉树,又由于我们知道T的最少节点数是F(n),其中n为T的高度,因此如果我们知道TL,TR的高度就可以知道F1,F2的值了。

    • 由平衡二叉树的定义可以知道,TL和TR的高度要么相同,要么相差1,而当TL与TR高度相同(即:都等于n-1)时,我们算出来的F(n)并不能保证最小,两边都是(n-1),明显比(n-2)大,节点数更多

    • 因此只有当TL与TR高度相差一(即:一个高度为n-1,一个高度为n-2)时,计算出来的F(n)才能最小。

    • 此时我们假设TL比TR高度要高1(即:TL高度为n-1,TR高度为n-2),则有:F1 = F(n-1),F2 = F(n-2)。

      因此得到结论:F(n) = F(n-1) + F(n -2 ) + 1

    参考

    1、https://blog.csdn.net/w57w57w57/article/details/5921598

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  • 平衡二叉树的最少最多节点

    万次阅读 2019-01-28 10:31:21
    对于高度为n的平衡二叉树: 最少需h(n)结点,做多需要2^n-1结点。 h(n)=h(n-1)+h(n-2)+1 h(0)=0 h(1)=1 h(2)=2

    对于高度为n的平衡二叉树:

    最少需h(n)个结点,做多需要2^n-1个结点。
    h(n)=h(n-1)+h(n-2)+1

    h(0)=0 h(1)=1 h(2)=2

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  • HDFS节点内数据平衡:DiskBalancer

    千次阅读 2016-12-29 11:21:21
    的时候,你会发现尽管节点间数据平衡了,但是节点内各个磁盘块的数据出现了不平衡的现象.这可是Balancer工具所干不了的事情.通过这场景,我们引入本文的一话题点:HDFS节点内数据平衡.这问题很早的时候其实就...
     
    

    前言


    做集群运维的同学可能都会遇到这样一个问题:Hadoop集群使用久了,各个节点上的数据会变得不均衡,多的达到70,80%,少的就10,20%.面对这种场景,我们的办法一般就是用HDFS自带的Balancer工具对其进行数据平衡.但有的时候,你会发现尽管节点间数据平衡了,但是节点内各个磁盘块的数据出现了不平衡的现象.这可是Balancer工具所干不了的事情.通过这个场景,我们引入本文的一个话题点:HDFS节点内数据平衡.这个问题很早的时候其实就被提出了,详见issueHDFS-1312(Re-balance disks within a Datanode).我相信大家在使用Hadoop集群的时候或多或少都遇到过这个问题.本文就来好好聊聊这个话题,以及社区目前对此的解决方案.

    磁盘间数据不均衡状况的出现


    磁盘间数据不均衡的现象源自于长期写操作时数据大小不均衡.因为每次写操作你可以保证写磁盘的顺序性,但是你没法保证每次写入的数据量都是一个大小.比如A,B,C,D四块盘,你用默认的RoundRobin磁盘选择策略去写,最后四块盘都写过了,但是A,B可能写的block块就1M,而C,D可能就是128M.

    磁盘间数据不均衡带来的问题


    如果磁盘间数据不均衡现象确实出现了,它会给我们造成什么影响呢?有人可能会想,它不就是一个普通磁盘嘛,又不是系统盘,系统盘使用空间过高是会影响系统性能,但是普通盘应该问题不大吧.这个观点听上去是没问题,但是只能说它考虑的太浅了.我们从HDFS的读写层面来对这个现象做一个分析.这里归纳出了以下2点:

    第一点,磁盘间数据不均衡间接引发了磁盘IO压力的不同.我们都知道,HDFS上的数据访问频率是很高的,这就会涉及到大量读写磁盘的操作,数据多的盘自然的就会有更高频率的访问操作.如果一块盘的IO操作非常密集的话,势必会对它的读写性能造成影响. 
    第二点,高使用率磁盘导致节点可选存储目录减少.HDFS在写Block数据的时候,会挑选剩余可用空间满足待写Block的大小的情况下时,才会进行挑选,如果高使用率磁盘目录过多,会导致这样的候选块变少.所以这方面其实偏向的是对HDFS的影响.

    磁盘间数据不均衡的传统解决方案


    磁盘间数据不均衡现象出现了,目前我们有什么办法解决呢?下面是2种现有解决方案:

    方案一:节点下线再上线.将节点内数据不均衡的机器进行Decommision下线操作,下线之后再次上线.上线之后相当于是一个全新的节点了,数据也将会重新存储到各个盘上.这种做法给人感觉会比较暴力,当集群规模比较小的时候,代价太高,此时下线一个节点会对集群服务造成不小的影响.

    方案二:人工移动部分数据block存储目录.此方案比方案一更加灵活一些,但是数据目录的移动要保证准确性,否则会造成移动完目录后数据找不到的现象.下面举一个实际的例子,比如我们想将磁盘1上的数据挪到磁盘2上.现有磁盘1的待移动存储目录如下:

    /data/1/dfs/dn/ current/BP-1788246909-xx.xx.xx.xx-1412278461680/current/ finalized/subdir0/subdir1/

    我移动到目标盘上的路径应该维持这样的路径格式不变,只变化磁盘所在的目录,目标路径如下:

    /data/2/dfs/dn/current/BP-1788246909-xx.xx.xx.xx-1412278461680/current/finalized/subdir0/subdir1/

    如果上述目录结构出现变化,就会造成HDFS找不到此数据块的情况.

    社区解决方案:DiskBalancer


    前面铺垫了这么多的内容,就是为了引出本节要重点阐述的内容:DiskBalancer.DiskBalancer从名字上,我们可以看出,它是一个类似于Balancer的数据平衡工具.但是它的作用范围是被限制在了Disk上.首先这里要说明一点,DiskBalancer目前是未发布的功能特性,所以你们在现有发布版中是找不到此工具的.下面我将会全方面的介绍DiskBalancer,让大家认识,了解这个强大的工具.

    DiskBalancer的设计核心


    首先我们先来了解DiskBalancer的设计核心,这里与Balancer有一点点的区别.Balancer的核心点在于数据的平衡,数据平衡好就OK了.而DiskBalancer在设计的时候提出了2点目标:

    第一.Data Spread Report.数据分布式的汇报.这是一个report汇报的功能.也就是说,DiskBalancer工具能支持各个节点汇报磁盘块使用情况的功能,通过这个功能我可以了解到目前集群内使用率TopN的节点磁盘. 
    第二.Disk Balancing.第二点才是磁盘数据的平衡.但是在磁盘内数据平衡的时候,要考虑到各个磁盘storageType的不同,因为之前提到过HDFS的异构存储,不同盘可能存储介质会不同,目前DiskBalancer不支持跨存储介质的数据转移,所以目前都是要求在一个storageType下的.

    以上2点取自于DiskBalancer的设计文档(DiskBalancer相关设计文档可见文章末尾的参考链接).

    DiskBalancer的架构设计


    此部分来讨论讨论DiskBalancer的架构设计.通过架构设计,我们能更好的了解它的一个整体情况.DiskBalancer的核心架构思想如下图所示:

    这里写图片描述

    上面过程经过了3个阶段,Discover(发现)到Plan(计划),再从Plan(计划)到Execute(执行).下面来详细解释这3个阶段:

    Discover


    发现阶段做的事情实际上就是通过计算各个节点内的磁盘使用情况,然后得出需要数据平衡的磁盘列表.这里会通过Volume Data Density磁盘使用密度的概念作为一个评判的标准,这个标准值将会以节点总使用率作为比较值.举个例子,如果一个节点,总使用率为75%,就是0.75,其中A盘使用率0.5(50%),那么A盘的volumeDataDensity密度值就等于0.75-0.5=0.25.同理,如果超出的话,则密度值将会为负数.于是我们可以用节点内各个盘的volumeDataDensity的绝对值来判断此节点内磁盘间数据的平衡情况,如果总的绝对值的和越大,说明数据越不平衡,这有点类似于方差的概念.Discover阶段将会用到如下的连接器对象:

    1.DBNameNodeConnector 
    2.JsonConnector 
    3.NullConnector

    其中第一个对象会调用到Balancer包下NameNodeConnector对象,以此来读取集群节点,磁盘数据情况

    Plan


    拿到上一阶段的汇报结果数据之后,将会进行执行计划的生成.Plan并不是一个最小的执行单元,它的内部由各个Step组成.Step中会指定好源,目标磁盘.这里的磁盘对象是一层经过包装的对象:DiskBalancerVolume,并不是原来的FsVolume.这里顺便提一下DiskBalancer中对磁盘节点等概念的转化:

    • 1.DiskBalancerCluster.通过此对象可以,读取到集群中的节点信息,这里的节点信息以DiskBalancerDataNode的方式所呈现.
    • 2.DiskBalancerDataNode.此对象代表的是一个包装好后的DataNode.
    • 3.DiskBalancerVolume和DiskBalancerVolumeSet.DataNode磁盘对象以及磁盘对象集合.DiskBalancerVolumeSet内的磁盘存储目录类型需要是同种StorageType.

    Execute


    最后一部分是执行阶段,所有的plan计划生成好了之后,就到了执行阶段.这些计划会被提交到各自的DataNode上,然后在DiskBalancer类中进行执行.DiskBalancer类中有专门的类对象来做磁盘间数据平衡的工作,这个类名称叫做DiskBalancerMover.在磁盘间数据平衡的过程中,高使用率的磁盘会移动数据块到相对低使用率的磁盘,等到满足一定阈值关系的情况下时,DiskBalancer会渐渐地退出.在DiskBalancer的执行阶段,有以下几点需要注意:

    • 1.带宽的限制.DiskBalancer中同样可以支持带宽的限制,默认是10M,通过配置项dfs.disk.balancer.max.disk.throughputInMBperSec进行控制.
    • 2.失败次数的限制.DiskBalancer中会存在失败次数的控制.在拷贝block数据块的时候,出现IOException异常,会进行失败次数的累加计数,如果超出最大容忍值,DiskBalancer也会退出.
    • 3.数据平衡阈值控制.DiskBalancer中可以提供一个磁盘间数据的平衡阈值,以此作为是否需要继续平衡数据的标准,配置项为dfs.disk.balancer.block.tolerance.percent.

    DiskBalancer的命令执行


    DiskBalancer内部提供了许多类别的命令操作,比如下面的查询命令:

    hdfs diskbalancer -query nodename.mycluster.com
       
    • 1
    • 1

    我们也可以执行相应的plan命令来生成plan计划文件.

    hdfs diskbalancer -uri hdfs://mycluster.com -plan node1.mycluster.com
       
    • 1
    • 1

    然后我们可以用生成好后的json文件进行DiskBalancer的执行

    hdfs diskbalancer -execute /system/diskbalancer/nodename.plan.json
       
    • 1
    • 1

    当然,如果我们发现我们执行了错误的plan,我们也可以通过cancel命令进行清除:

    hdfs diskbalancer -cancel /system/diskbalancer/nodename.plan.json
       
    • 1
    • 1

    hdfs diskbalancer -cancel <planID> -node <nodename>
       
    • 1
    • 1

    在DiskBalancer中会涉及到比较多的object-json的关系转换,所以你会看到一些带.json后缀的文件

    小结


    总而言之,DiskBalancer是一个很实用的功能特性.在Hadoop中,有专门的分支用于开发此功能,就是HDFS-1312,感兴趣的同学可以下载Hadoop的最新代码进行学习.本人非常荣幸地也向此功能提交了一个小patch, issue编号,HDFS-10560.这个new feature很快就要在新版的Hadoop中发布了,相信会对Hadoop集群管理人员非常有帮助.

    参考资料


    1.https://issues.apache.org/jira/secure/attachment/12755226/disk-balancer-proposal.pdf 
    2.https://issues.apache.org/jira/secure/attachment/12810720/Architecture_and_test_update.pdf 
    2.https://issues.apache.org/jira/browse/HDFS-1312 
    3.https://issues.apache.org/jira/browse/HDFS-10560

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