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  • 平面图欧拉公式

    2021-03-06 00:22:19
    小知识点 欧拉公式用于平面图的标准形式为 V – E + F = C + 1,其中 V 为顶点数,E 为边数,F 为面数(包括图边界以外的面),C 为连通数。

    小知识点

    欧拉公式用于平面图的标准形式为 V – E + F = C + 1,其中 V 为顶点数,E 为边数,F 为面数(包括图边界以外的面),C 为连通数。

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  • 平面图欧拉公式的精彩证明

    千次阅读 2017-09-20 20:57:27
    Euler公式是说,在一个由若干顶点和它们之间的一些不相交的边所组成的中,等式V+F=E+2总成立,其中V表示顶点个数,E表示总的边数,F表示这个分割出来的区域个数(包括一个“外部区域”,例如一个圆把平面分割为...

    在网上看到的一个十分简洁直观的证明,就忍不住想记录下来。

    这里写图片描述
    在介绍这个证明之前,让我们先来回顾一下什么是Euler公式。Euler公式是说,在一个由若干顶点和它们之间的一些不相交的边所组成的图中,等式V+F=E+2总成立,其中V表示顶点个数,E表示总的边数,F表示这个图分割出来的区域个数(包括一个“外部区域”,例如一个圆把平面分割为两个区域)。如图1,这个图共有6个顶点、10条边和6个区域,可以看到6+6=10+2是成立的。为了证明这个结论,考虑这个图的任意一个生成树(图1中加粗了的边)。再考虑这个图的“对偶图”:新图的每个顶点代表原图的一个区域,原图的两个区域相邻则在新图上的两个对应顶点之间连一条边(图2中的虚线部分)。接下来,我们找出原图中那些不属于生成树的边界线,把它们在新图中所对应的边加粗(图2中的加粗虚线)。容易看出,加粗的虚线是连通的,因为原图的粗线条是一棵生成树,它没有隔离出任何一块区域;同时呢,加粗虚线是没有环的,否则它将把某个原图的顶点包起来,从而原图中的加粗线条就不可能是生成树了。只需要注意到一棵树的顶点数等于边数加一,我们的结论就直接出来了:原图的顶点数就是Euler公式中的V,它等于原图生成树的边数加一;新图的顶点数就是Euler公式中的F,它等于新生成树的边数加一;而两棵生成树的边数总和正好就是原图中的E。于是呢,我们就得到了V+F=E+2。

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  • 平面图性质及欧拉公式平面图一、定义二、定理平面图性质—欧拉公式一、定理 平面图 一、定义 G = <V,E>是一个无向图。 1.图G可嵌入平面:如果可以把图G的所有结点和边都画在平面上,同时除断点外连线之间没有...

    平面图

    一、定义

    G = <V,E>是一个无向图。
    1.图G可嵌入平面:如果可以把图G的所有结点和边都画在平面上,同时除断点外连线之间没有交点,就称图G可嵌入平面。画出的无边相交的G’称G的平面嵌入
    2.可平面化:如果图G可以嵌入平面,就称图G可平面化。
    3.G中边所包含的区域称作一个面。有界区域称为内部面,无界区域称为外部面,常记作R0,包围面的长度最短的闭链称为该面的边界,面R的边界的长度称为该面的度数,记作deg®。
    4.面的度数计算中,含有割边和桥的度数为2,其余为1。

    二、定理

    定理1:图G可嵌入球面当且仅当图G可嵌入平面。

    定理2G中各面的度数之和等于图G边数的两倍

    证明:设e为图G的两个面的公共边,再计算两个面的度数时候边数各提供1,当e不是公共边时候,也就是e为桥或者割边时候提供度数为2。因此,面的度数之和为边的两倍。

    定理3:设R是图G的某个平面嵌入的一个内部面,则存在图G的一个平面嵌入使R为外部面。

    定理4:设图G是简单的可平面图,如果G中任意两个不相邻的结点加边后所得到的为非可平面图。则称G是极大可平面图,极大可平面图的任何平面嵌入都称为极大平面图。极大平面图必是连通图

    定理5:图G为n阶简单的连通的平面图,G为极大平面图当且仅当G的每一个面的度数为3
    定理说明结点数大于等于3的极大平面图的任何面都是由三角形组成。

    结论1:K1,K2,K3,K4,K5-e(K5任意删去一条边)均为极大可平面图,他们的任何平面嵌入都是极大平面图;当阶数等于3时候,有割边或桥的平面图不可能是极大平面图。

    结论2:无向完全图K5和无向完全二部图K3,3都是极小非可平面图(去掉一条边就成为可平面图)。

    结论3:一个图是可平面图,那么他的子图也是可平面图;
    一个图的子图是非可平面图,那么图本身也是非可平面图。

    结论4:同一个图的平面嵌入中,外部面和内部面的度数可以不同。

    平面图性质—欧拉公式

    一、定理

    centered 文本居中
    定理1欧拉公式:设图G是有n个结点、m条边和r个面的连通平面图,则它们满足:n - m + r = 2

    推论1:设图G是有n个结点、m条边的连通平面简单图,其中n≥3,则有:m ≤ 3n - 6
    证明:由图G的面度数之和为边数的二倍,即2m。又因为G是平面简单图每一个面的度数至少为3,则2m≥3r,由欧拉公式有:
    m ≤ 3n - 6

    推论2:设图G是有n个结点、m条边的连通平面简单图,其中n≥3且没有长度为3的圈,则有:m ≤ 2n - 4

    证明:G没有长度为3的圈也就没有度为3的面,G的每一个面的度数至少为4。所以2m≥4r,由欧拉公式有:m ≤ 2n - 4
    对于推论1和推论2我们可以用定理进行判定它不是平面图。

    例1:证明K5和K3,3是非平面图。

    证明:在K5中,m应该小于等于3n - 6,即m≤9。而完全图K5具有10条边。所以是非平面图。

    在K3,3中,没有长度大于3的圈,根据推论2可知,m≤2n-4,也就是m≤8,而K3,3含有9条边,所以是非平面图。

    推论3:

    证明:同理,有2m≥r x l,根据欧拉公式化简得:
    2m ≥ l(m - n + 2)

    推论4:

    推论5:

    证明过程与推论3类似,用到推论4的结论。

    推论6:

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  • 联通平面图欧拉公式及推广联通平面图欧拉公式联通的平面图分割的区域的个数+顶点的个数-边界的个数=2联通平面图欧拉公式的推广: 联通平面图欧拉公式 联通的平面图分割的区域的个数+顶点的个数-边界的个数=2...

    联通平面图的欧拉公式(任意条边数的平面图需要满足的必要条件)

    联通的平面图分割的区域的个数+顶点的个数-边界的个数=2

    R记区域个数 ,V记顶点个数(图的阶数) ,E记边界个数 ,则 R+ V- E= 2

    归 纳 法 的 证 明 : 当 E = 0 时 , R = 1 , V = 1 , R + V − E = 2 。 设 当 E = k 时 , R + V − E = 2 成 立 E = k + 1 { 无 回 路 ( 树 ) : 增 加 一 条 边 并 且 没 有 形 成 回 路 所 以 也 增 加 了 一 片 叶 R + ( V + 1 ) − ( E + 1 ) = 2 有 回 路              :      增 加 一 条 边 并 且 形 成 回 路 所 以 也 增 加 了 一 个 区 域    ( R + 1 ) + V − ( E + 1 ) = 2 \Large 归纳法的证明:\\ \normalsize 当E=0时,R=1,V=1,R+ V- E= 2。设当E=k时,R+ V- E= 2成立\\ E=k+1\left\{\begin{array}{l}\mathrm{无回路}(树):\mathrm{增加一条边并且没有形成回路所以也增加了一片叶}R+(V+1)-(E+1)=2\\\mathrm{有回路}\;\;\;\;\;\;:\;\;\mathrm{增加一条边并且形成回路所以也增加了一个区域}\;(R+1)+V-(E+1)=2\end{array}\right. E=0R=1,V=1,R+VE=2E=kR+VE=2E=k+1{()R+(V+1)(E+1)=2:(R+1)+V(E+1)=2

    联通平面图的欧拉公式的推广:

    在这里插入图片描述

    K5和K3,3非平面图的证明

    K5正则图,每个顶点的度数都是5的正则图
    V5个顶点,E10条边,E≤3V-6,10不小于等于9

    K3,3 ,两部分是三个顶点的二部图

    形成一个面的最小次数是4,至少需要四个顶点的四条边才能将平面划分出一个区域,所以边数L=4,E≤L * (V-2)/(L-2),9不小于等于8

    在这里插入图片描述
    上 图 的 子 图 与 3 阶 完 全 二 分 图 同 构 上图的子图与3阶完全二分图同构 3

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  • 这个题B站上面有这题很完整的分析和证明,你实在不懂,可以看看这个视频 https://www.bilibili.com/video/av19849697?share_medium=android&share_source=qq&bbid=00561DA9-126A-4190-88A8-2B9DD5DAFEB...
  • 前言在初中课本,就有提到欧拉公式,即对于一个多面体,存在点+面-线=2,简记口决为“小二,点碗面线”。若设点数为n,面数为r,线数为m,则可表记为在图论中,对于平面图,该公式也成立。这两个情形其实是同一种...
  • 在任何一个规则球面地图上,用 R记区域个 数 ,V记顶点个数 ,E记边界个数 ,则 R+ V- E= 2,这就是欧拉定理 ,它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ,后来 Euler(欧拉 )...中文名欧拉公式外文名Euler's formula别...
  • 它将函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系欧拉公式证明:利用了无穷级数(准确来说是麦克劳林级数(即泰勒级数在x=0处的展开),泰勒级数的证明可参考资料【1】,用了归纳法加上余项的极限来证明...
  • 拓扑学中欧拉公式证明

    千次阅读 2017-11-17 13:07:00
    欧拉公式,V+F-E=2意思是一个多面体,顶点数目V+面的数目F-边的数目E=2. 中学的时候很早就知道了,但没有证明过,现参考了一些文档,证明如下: 先考察平面上的一些图像,一根线段V+F-E=2+0-1=1. 两根线段V+F-E=3+0-...
  • 欧拉公式

    2014-05-11 15:04:32
    欧拉公式 欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有,复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来; 拓扑学中的欧拉多面体公式;初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些...
  • 题意 给出 nnn 条线段,求平面中一共有多少个闭合区域。保证不存在三条线段相交与一点,并且线段都是规范相交,即不存在相交点在线段端点。...连通平面图平面图上的图形相互连通,即可以仅依靠图中的边...
  • 关于欧拉公式

    2014-09-09 23:22:20
    欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有,复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来; 拓扑学中的欧拉多面体公式;初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式,...
  • 欧拉公式推导

    千次阅读 多人点赞 2019-04-26 11:37:13
    1. ...学习了一下欧拉公式,果然很神奇,用到了自然常数e,圆周率π,虚数i,三角函数sin/cos,指数,还有泰勒展开.倒不是算法有多难,只是涉及基础太多,经常被卡住,总结如下. 2.  ...
  • 欧拉公式之美

    万次阅读 多人点赞 2018-04-07 19:39:17
    如何通俗易懂地解释欧拉公式(e^πi+1=0)?欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域,建立和三角函数和指数函数的关系,被誉为“数学中的天桥”1、从自然数扩张到整数:增加的负数对应着“负债,减少”2、从整数...
  • 平面图欧拉定理:一个连通平面图满足  R=|E|−|V|+2 其中 R 是域的个数(包括无穷域), E 是边集, V 是点集 那么如果平面图不连通  R=|E|−|V|+K+1 K 为联通块数量。 #include #...
  • python可视化欧拉公式

    2021-06-25 19:55:13
    文章目录欧拉公式图解角频率和角速度的区别[1]欧拉公式证明[2] 欧拉公式图解 欧拉公式 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ e^{i \theta}= \cos \theta +i \sin \theta eiθ=cosθ+isinθ 对于每个实数θ\thetaθ,都可以在复平面...
  • 欧拉公式和三大变换

    千次阅读 2021-04-17 15:16:39
    1.起源——欧拉公式 ,i是什么,欧拉公式在复平面的意义。eix其实构成了完备的标准正交基。 i代表了旋转。 欧拉恒等式在数学中严谨可以用泰勒公式推导得出,由eix和sinx cosx的泰勒展开可得。 eix可以理解为一个...
  • 参考自wiki,... 欧拉公式: 考虑极限:,令 z = ix; 考虑序列:,在复平面上画出这个序列,取 x = pi/3, 得到如 看到最后无限趋近于单位圆,角度为x matlab实现(eular.m): clearall;for...
  • 题目链接3263 - That Nice Euler Circuit分析这是紫书上的模板题,唯一有点思维的地方是用到欧拉公式,关于欧拉公式的简单证明可以看这篇blogAC code#include #define pb push_back #define mp make_pair #define PI ...
  • ZOJ 2589 欧拉公式

    2013-02-25 22:52:00
    欧拉公式 ) 设 G 是连通的平面图,n,m,r分别是其顶点数、边数和面数,则n – m + r= 2 证:对边数m作数学归纳法。 当m=0 时,因G是连通图,所以G只能是平凡图,结论显然成立。 假设当m=k时,结论成立。下面...
  • 欧拉公式是数学里最令人着迷的公式之一,它将数学里最重要的几个常数联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π;两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0。 在介绍欧拉公式之前,我们先说...
  • 世界上最美的公式——欧拉公式

    万次阅读 2019-05-19 14:41:22
    欧拉公式    在数学历史上有很多公式都是欧拉(leonhardeuler公元1707-1783年)发现的,它们都叫做  欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中。  (1)分式里的欧拉公式:  a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+...
  • 一、完全图、 二、 二部图、 三、完全二部图、 四、 连通性概念、 五、连通图、 六、 图的分支、 七、 欧拉回路 ( 闭迹 / 回路 ) 、 八、 欧拉定理、 九、 哈密顿圈 ( 闭路 / 圈 )、...十四、 平面图的 必要条件 定理、
  • 1418 抱歉 ACM 欧拉公式

    2019-09-26 17:49:28
    思路:一看题目,明显是要求我们找规律,于是我就在草稿纸上画了很多个图像,还是没有找到规律,于是我就在网上看了些大佬 的代码,发现他们用了欧拉公式,what 什么是欧拉公式,~~~~~~~~~~~~~~~~~ Google了哈,看...

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