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  • 平面图欧拉公式的精彩证明

    千次阅读 2017-09-20 20:57:27
    Euler公式是说,在一个由若干顶点和它们之间的一些不相交的边所组成的中,等式V+F=E+2总成立,其中V表示顶点个数,E表示总的边数,F表示这个分割出来的区域个数(包括一个“外部区域”,例如一个圆把平面分割为...

    在网上看到的一个十分简洁直观的证明,就忍不住想记录下来。

    这里写图片描述
    在介绍这个证明之前,让我们先来回顾一下什么是Euler公式。Euler公式是说,在一个由若干顶点和它们之间的一些不相交的边所组成的图中,等式V+F=E+2总成立,其中V表示顶点个数,E表示总的边数,F表示这个图分割出来的区域个数(包括一个“外部区域”,例如一个圆把平面分割为两个区域)。如图1,这个图共有6个顶点、10条边和6个区域,可以看到6+6=10+2是成立的。为了证明这个结论,考虑这个图的任意一个生成树(图1中加粗了的边)。再考虑这个图的“对偶图”:新图的每个顶点代表原图的一个区域,原图的两个区域相邻则在新图上的两个对应顶点之间连一条边(图2中的虚线部分)。接下来,我们找出原图中那些不属于生成树的边界线,把它们在新图中所对应的边加粗(图2中的加粗虚线)。容易看出,加粗的虚线是连通的,因为原图的粗线条是一棵生成树,它没有隔离出任何一块区域;同时呢,加粗虚线是没有环的,否则它将把某个原图的顶点包起来,从而原图中的加粗线条就不可能是生成树了。只需要注意到一棵树的顶点数等于边数加一,我们的结论就直接出来了:原图的顶点数就是Euler公式中的V,它等于原图生成树的边数加一;新图的顶点数就是Euler公式中的F,它等于新生成树的边数加一;而两棵生成树的边数总和正好就是原图中的E。于是呢,我们就得到了V+F=E+2。

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  • 联通平面图欧拉公式及推广联通平面图欧拉公式联通的平面图分割的区域的个数+顶点的个数-边界的个数=2联通平面图欧拉公式的推广: 联通平面图欧拉公式 联通的平面图分割的区域的个数+顶点的个数-边界的个数=2...

    联通平面图的欧拉公式

    联通的平面图分割的区域的个数+顶点的个数-边界的个数=2

    R记区域个数 ,V记顶点个数(图的阶数) ,E记边界个数 ,则 R+ V- E= 2

    E=0R=1,V=1,R+VE=2E=kR+VE=2E=k+1{()R+(V+1)(E+1)=2            :      (R+1)+V(E+1)=2 \Large 归纳法的证明:\\ \normalsize 当E=0时,R=1,V=1,R+ V- E= 2。设当E=k时,R+ V- E= 2成立\\ E=k+1\left\{\begin{array}{l}\mathrm{无回路}(树):\mathrm{增加一条边并且没有形成回路所以也增加了一片叶}R+(V+1)-(E+1)=2\\\mathrm{有回路}\;\;\;\;\;\;:\;\;\mathrm{增加一条边并且形成回路所以也增加了一个区域}\;(R+1)+V-(E+1)=2\end{array}\right.

    联通平面图的欧拉公式的推广:

    在这里插入图片描述

    K5和K3,3非平面图的证明

    K5正则图,每个顶点的度数都是5的正则图
    V5个顶点,E10条边,E≤3V-6,10不小于等于9

    K3,3 ,两部分是三个顶点的二部图

    形成一个面的最小次数是4,至少需要四个顶点的四条边才能将平面划分出一个区域,所以边数L=4,E≤L * (V-2)/(L-2),9不小于等于8

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  • 这个题B站上面有这题很完整的分析和证明,你实在不懂,可以看看这个视频 https://www.bilibili.com/video/av19849697?share_medium=android&share_source=qq&bbid=00561DA9-126A-4190-88A8-2B9DD5DAFEB...

    这个题B站上面有这题很完整的分析和证明,你实在不懂,可以看看这个视频

     https://www.bilibili.com/video/av19849697?share_medium=android&share_source=qq&bbid=00561DA9-126A-4190-88A8-2B9DD5DAFEB512211infoc&ts=1533979978895 
     
    视频里面讲的很清楚,我再重复一下把,就是说,给N个圆上的点,在这个圆内部会产生多少个点呢?,很简单C(N,4);为什么???因为园内任意四个点,可以连线组成一个内部点,再加上N个外围点,总共有N+C(n,4)个点,我们再来算有多少边,首先我们可以想,这些内部点一定不是端点,我可以考虑一下,一个不是端点的点,可以把线段分成多少部分呢???答案是2*C(N,4),然后我们把圆的外围弧,也变成线,那么就完美的用平面图的欧拉公式解决:
    设G为任意的连通的平面图,则v-e+f=2,v是G的顶点数,e是G的边数,f是G的面数。
    再把最外面的区域减去就行。
    这里一定要注意取模的问题,由于N变态到离谱,我们不能对N有任何的操作,首先出来就必须把N%MOD,否则就会炸范围
    这里你仔细一看,就发现,公式化简成为ans=C(n,2)+C(n,4)+1;处理一下逆元就好了
    #include<iostream>
    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<algorithm>
    #define ll long long
    using namespace std;
    const ll mod = 1e9+7;
    ll qpow(ll a,ll b)
    {
        ll ans=1;
        while(b)
        {
            if (b&1)ans=(ans*a)%mod;
            a=(a*a)%mod;
            b>>=1;
        }
        return ans;
    }
    int main()
    {
        int t;
        ll n;
        int cas=0;
        scanf("%d",&t);
        while(t--){
     
          scanf("%lld",&n);
          ll ans=(1+(((n%mod)*((n-1)%mod)%mod*qpow(2,mod-2))%mod)%mod+(((((n%mod)*((n-1)%mod))%mod*((n-2)%mod))%mod*((n-3)%mod))%mod*qpow(24,mod-2)%mod)%mod)%mod;
          printf("Case #%d: %lld\n",++cas,ans);
     
        }
        return 0;
    }

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/bluefly-hrbust/p/9515334.html

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  • 前言在初中课本,就有提到欧拉公式,即对于一个多面体,存在点+面-线=2,简记口决为“小二,点碗面线”。若设点数为n,面数为r,线数为m,则可表记为在图论中,对于平面图,该公式也成立。这两个情形其实是同一种...

    前言

    在初中课本,就有提到欧拉公式,即对于一个多面体,存在点+面-线=2,简记口决为“小二,点碗面线”。若设点数为n,面数为r,线数为m,则可表记为

    n+r-m=2

    在图论中,对于平面图,该公式也成立。这两个情形其实是同一种状况。

    用数学归纳法可以证明该公式,但在高中数学中,还有另一种特殊的方法——利用球面几何。

    预备知识

    在平面中,k边形内角和 \varphi=(k-2)\pi

    但在半径为1的球面上,k边形内角和 \varphi=(k-2)\pi+S ,其中S为k边形的面积。

    证明过程

    像吹气球一样的方法,将多面体吹成每条边都铺在半径为1的单位球面上,就像足球上的花纹一样。设点数为n,面数为r,线数为m。

    每个点周围角的和为 2\pi (包括平角、优角和周角),则所有角的和为 2n\pi

    对于每个多边形,设其边数为 m_{i} ,面积为 S_{i} ,则其内角和为 m_{i}\pi-2\pi+S_{i} 。所有多边形内角和等于所有角的和 \sum_{i=1}^{r}{(m_{i}\pi-2\pi+S_{i})} ,由于每条边被两个多边形共用(或被一个多边形使用两次),所以:

    \sum_{i=1}^{r}{(m_{i}\pi-2\pi+S_{i})}=2m\pi-2r\pi+4\pi

    联立得: 2m\pi-2r\pi+4\pi=2n\pi

    n+r-m=2

    后记

    这是课本上的方法,证明过程比其它方法简短得多,但我在网络上没找到,所以写在这里和大家分享。球面几何和正常的几何有些差别,看着还是很有意思的。它也可以为之后学习黎曼几何、喷咖喱模型、客来阴模型做准备。

    对于凹多面体是否能铺在球面上,以及空心体、复杂多面体等情况,在这不做介绍。

    参考资料

    人教版 高中数学选修 球面上的几何

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  • 欧拉公式,V+F-E=2意思是一个多面体,顶点数目V+面的数目F-边的数目E=2. 中学的时候很早就知道了,但没有证明过,现参考了一些文档,证明如下: 先考察平面上的一些图像,一根线段V+F-E=2+0-1=1. 两根线段V+F-E=3+0-...
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