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  • 傅氏级数

    2014-12-16 16:50:00
    傅氏级数即傅里叶级数。法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称为傅里叶级数(法语:série de ...
    傅氏级数即傅里叶级数。法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称为傅里叶级数(法语:série de Fourier,或译为傅里叶级数)。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
    中文名
    傅氏级数
    外文名
    série de Fourier
    全    名
    傅里叶级数
    发现人
    傅里叶
    应    用
    信号处理等
    傅里叶变换
     

    1傅里叶级数的普通形式编辑

    傅里叶级数的普通表达形式

    假设{a0, a1, a2, a3, ..., an, ...}和{b1, b2, b3, ..., bn, ...}是一组无穷的常数。这些常数被称为傅里叶系数。x是一个变量。普通的傅里叶级数可以表示为:
    F(x) = a0/2 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + ...+ an cos nx + bn sin nx + ...

    理论波形与实际波形的比较

    一些波形比较简单,比如单纯的正弦波,但是这些只是理论上的。在实际生活中,大多数波形都包含谐波频率(最小频率或基波频率的倍数)的能量。谐波频率能量相较于基波频率能量的比例是依赖于波形的。傅里叶级数将这种波形数学的定义为相对于时间的位移函数(通常为振幅、频率或相位)。
    随着傅里叶级数中计算的项的增加,级数会越来越近似于定义复杂信号波形的精确函数。计算机能够计算出傅里叶级数的成百上千甚至数百万个项。

    2傅里叶级数的收敛性编辑

    收敛的充分条件

    傅里叶级数的收敛性:满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。

    狄利赫里条件

    狄利赫里条件如下:
    在任何周期内,x(t)须绝对可积;
    在任一有限区间中,x(t)只能取有限个极值点;
    在任何有限区间上,x(t)只能有有限个第一类间断点

    吉布斯现象

    在x(t)的不可导点上,如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t),那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号

    3傅里叶级数的三角函数形式编辑

    三角函数族的正交性

    所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的。事实上,正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。

    傅里叶级数的三角函数表达形式

    设f(t)为一非正弦周期函数,其周期为T,频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数,一般都满足狄里赫利条件,所以可将它展开成傅里叶级数。即
    其中A0/2称为直流分量或恒定分量;其余所有的项是具有不同振幅,不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波,A1,ψ1分别为其振幅和初相角;A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍,称为二次谐波,A2,ψ2分别为其振幅和初相角;其余的项分别称为三次谐波,四次谐波等。基波,三次谐波,五次谐波……统称为奇次谐波;二次谐波,四次谐波……统称为偶次谐波;除恒定分量和基波外,其余各项统称为高次谐波。式(10-2-1)说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。
    上式有可改写为如下形式,即
    当A0,An, ψn求得后,代入式 (10-2-1),即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。
    把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种,它们的傅里叶级数展开式前人都已作出,可从各种数学书籍中直接查用。
    从式(10-2-3)中看出,将n换成(-n)后即可证明有
    a-n=an
    b-n=-bn
    A-n=An
    ψ-n=-ψn
    即an和An是离散变量n的偶函数,bn和ψn是n的奇函数。

    4傅里叶级数的复指数形式编辑

    傅里叶级数的复指数表达形式

    将式(10-2-2)改写为
    可见 与 互为共轭复数。代入式(10-2-4)有
    上式即为傅里叶级数的复指数形式。
    下面对和上式的物理意义予以说明:
    由式(10-2-5)得的模和辐角分别为
    可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn,物理意义十分明确,故称为第n次谐波的复数振幅。
    的求法如下:将式(10-2-3a,b)代入式(10-2-5)有
    上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式(10-2-8)与(10-2-7),通常用下列符号表示,即
    即根据式(10-2-8)由已知的f(t)求得,再将所求得的代入式(10-2-7),即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。
    在(10-2-7)中,由于离散变量n是从(-∞)取值,从而出现了负频率(-nω1)。但实际工程中负频率是无意义的,负频率的出现只具有数学意义,负频率(-nω1)一定是与正频率nω1成对存在的,它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。

    优点

    引入傅立叶级数复指数形式的好处有二:
    (1)复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn;
    (2)为研究信号的频谱提供了途径和方便。

    5高等数学中的傅立叶级数编辑

    傅立叶系数

    傅立叶系数包括系数 ,积分号和它的积分域,以及里面的两个周期函数的乘积——其中一个是关于f的,另一个是关于x的函数f(x),另一个则是和级数项n有关的三角函数值。这个三角函数可以是正弦,也可以是余弦,因此傅立叶系数包括正弦系数和余弦系数。其中当n=0时,余弦值为1,此时存在一个特殊的系数 ,它只与x有关。正弦系数再成一个正弦,余弦再乘一个余弦,相加并且随n求和,再加上一半的 ,就称为了这个特别的函数f(x)的傅立叶级数。为什么它特别呢,我想因为这里只有它只限于一个周期函数而已,而级数的周期就是f(x)的周期,2 。
    如果函数f(x)存在一个周期,但是不是2 了,而是关于y轴对称的任意一个范围,它还能写成傅立叶级数么?也可以的。只要把傅立叶系数里的 换成l,并且把积分号里的三角函数中的n 下除一个l,同时把系数以外的那个n 底下也除一个l。其他的都不动。也可以认为,2 周期的傅立叶级数其实三角函数中x前面的系数应该是 ,其他的 (积分域和系数)应该是x,只不过这时所有的l都是 罢了。
    前面提及了,周期或是积分域,是关于y轴的一个任意范围。其实周期函数不用强调这个,但是为什么还要说呢?因为要特别强调一下定义域是满的。有些函数的定义域不是满的,是0到l,当然这样它有可能不是周期的。这些函数能写成傅立叶级数么?同样可以。而且,它的写法不再是正弦和余弦函数的累积,而是单独的一个正弦函数或是余弦函数。具体怎么写,就取决于怎么做。因为域是一半的,所以自然而然想到把那一半补齐,f就成了周期函数。补齐既可以补成奇函数也可以补成偶函数。补成积函数,写成的级数只有正弦项,即 为0。补成偶函数,写成的级数就只含有余弦项和第一项,即 为0。而,傅立叶系数相比非积非偶的函数要大一倍。
    其实,如果不经延拓,上面那些对于奇偶函数同样使用。
    在做题时,常常看到级数后面跟着一个系数还有一个正弦函数,然后后面给出了这个系数很复杂的一串式子,这时候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看,会发现其实那个系数不过是一个有积分的傅立叶系数而已。那么一大串,应该看什么呢?应当先看积分域,一下就可以定出周期了。第二步要明确级数和函数的关系即等价关系。函数不但包含在级数中,而且函数本身也是和级数等价的。但一般那个级数里的函数是一个摆设,不起什么作用。

    傅里叶变换

    傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数正弦和/或余弦函数)或者它们的积分线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的
    傅里叶变换属于谐波分析
    傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。
    正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
    卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段。
    离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。
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  • 快速傅氏变换(FFT),是离散傅氏变换的快速算法,它是根据离散傅氏变换的奇、 偶、虚、实等特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
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  • 傅氏古碑考察记

    2016-07-03 20:37:00
    傅氏古碑考察记 张树彬 盐池县大水坑镇红井子行政村傅地坑(又称“傅记地坑”)村,为傅姓家族世居之自然村落。村子附近的一处古墓地内,有一座高大的清代傅氏墓碑,因年代久远,乡人多未识其详。上世纪八十年代...

     

     

    傅氏古碑考察记

    张树彬

     

    盐池县大水坑镇红井子行政村傅地坑(又称“傅记地坑”)村,为傅姓家族世居之自然村落。村子附近的一处古墓地内,有一座高大的清代傅氏墓碑,因年代久远,乡人多未识其详。上世纪八十年代,学者陈永中、张树林、张兴昌三人曾不辞跋涉艰辛,自发结伴前往考察该碑,记录了此碑情形,抄录碑上镌刻所有文字人手一份,并将其事反映至县主管文物部门。1986年,盐池县人民政府将该碑列为县级重点保护文物单位。

    笔者素好考究地方历史文化,欲走捷径通过陈、张、张三人的考察笔记对该碑(下称“古碑”)进行解读。考虑到手抄笔记中可能有所舛误,便费周折将三份笔记统统借到手中,相互对照进行研读。发现三份笔记虽内容基本相同,但果然有一些文字互有相异,且相异之处又往往无二人一致,无法用“少数服从多数”的原则来判断谁的准确谁的不准确。掌握不到确切的原始资料,也就无法准确地进行解读。

    不久前,宁夏社科院办公室主任范宗兴先生邀笔者就傅地坑古碑作点文章,并约好抽时间一同前往亲自考察古碑。于是笔者将据陈、张、张三份笔记整理出来的碑文打印出来,以备考察时同原碑文相对照校正,并备好了罗盘、钢卷尺等野外考察备用工具。

    2016年5月21日借周六休息日,范宗兴约宁夏社科历史研究所副所长余军、助理研究员孙广文、院办公室综合科科长牛养山和宁夏文史馆副巡视员李宪亮、业余作家张玲,与笔者共7人一行,由银川出发驱车200余公里,来到了要考察的古墓碑所在之地——被当地民间叫作“傅总兵老坟湾”的地方。

    傅总兵老坟湾坐落在傅地坑村东南偏东约1公里多的一处山峦谷地间,环山抱水(沟),聚气藏风。历经百余年来,山谷间三个方向来水和一个方向去水的山洪冲刷,四条谷底均已成深沟。被“三山四水”所环抱之傅氏古墓地,遭洪水切割崩圮,已成为一处临沟不甚宽阔的台地。的要考察的古碑茕茕独立于地山脚之下,面向东南偏南方向,即南偏东22.50

    古碑上、中、下依次由碑帽、碑身、碑座三部分组成(见所附图片),均为花岗岩石所成。

    碑帽高90厘米、宽85厘米、厚26厘米,正反两面均深浮雕“二龙戏蛛”图案,龙图案呈现“三爪”。碑帽正反两面图案中下方各夹一长方形平面,正面篆刻“皇帝诰命”四字,背面篆高利“龙章宠锡”四字。

    碑身高189厘米、宽78厘米、厚20厘米,正面阴刻正楷碑文,背面阴刻楷书碑记。

    正面碑文正文竖写按中、右、左为三组:中组上书“曾祖父”三字,中间并列两行分别书写“荣禄大夫御六傅公”和“一品夫人曾妣牛氏”,下书“之墓”二字;右组上书“祖父”二字,中间并列两行分别书写“荣禄大夫玉振傅公”和“一品夫人祖妣吴氏”,下亦书“之墓”二字;左组上书一“父”字,中间列两行分别书写“荣禄大夫应吾傅公”和“一品夫人显妣臧氏”,下同样书写“之墓”二字。

    碑身正面左侧边缘落款小字竖写:“左都仍记餘功晋直隶山永副总兵事男成仝妻一品夫人李氏暨孙恩例大学生国柱国兴曾孙弘仁”一行。该行与“国兴”之“国”字平行右侧刻有一“守”字,与“国兴”之“兴”字平行右侧自右至左并列刻有“宪、庆、金、玺”四字;该行与“弘仁”之“仁”字齐平右侧自右至左并列刻有“哲、脩、朝、奇”四字。

    碑身背面竖写《诰赠傅氏三世墓碑记》(内容暂略),凡阴刻小楷九百一十余言。

    碑座露出地面高约20厘米,宽79厘米,厚41厘米。座四周雕有花纹,但埋入土中仅露边缘,花纹不辨。整座石碑地面以上通高约3米。

    据古碑上所镌文字,可知该古碑为光绪二十八年(1902年)所立,距今已116年。古碑为直隶山永副总兵官傅成率其妻李氏暨子、孙等众,为其曾祖父母、祖父母、父母三代而树。其曾祖父傅龙,字御六,其曾祖母牛氏;其祖父傅大成,字玉振,其祖母吴氏;其父傅近能,字应吾,其母臧氏。

    按清朝制度,职官以己所应得封诰,呈请改授远祖及伯叔或外祖父母等,谓之貤封,妇人则称貤赠。由碑帽所篆刻“皇帝诰命”、“龙章宠锡”字样可知,正是傅成晋升直隶山永副总兵官后,朝廷追封其曾祖父、祖父、父亲三代皆为“荣禄大夫”之爵位,追赠其曾祖母、祖母、母亲三代皆为“一品夫人”。

    直隶山永,指的是今河北省东北山海关和卢龙县两地。河北省明、清两朝均为京城直隶省,故称“直隶”,卢龙县明、清时为永平府,故与山海关两地合称“山永”。这座古碑正是直隶山永副总兵傅成在其祖上三代得到推功封赠之后,特意在祖宗墓地为之树碑祭奠,将浩荡皇恩告慰在天之灵,告示天下以光宗耀祖。

    从正面碑文的落款“恩例大学生”可看出,这次皇帝推恩不仅是封赠了直隶山永副总兵傅成的三代祖宗,同时也给了傅成的两个儿子傅国柱、傅国兴“大学生”的封号。“因例”,是指帝王为宣示恩德而颁布的条例、规定。在科举制度之下,选拔入国子临读书的贡生,有由通过考试选拔的“拔贡”,有由地方推荐的“岁贡”(相当于保送生),还有由朝廷按惯例封赏给有功之臣子弟以贡生名额的“恩贡”(相当于特招生),也就是恩例大学生。

    落款中和“国兴”并列的“守”和“宪、庆、金、玺”,应是和傅成的侄子傅守宪、傅守庆、傅守金、傅守玺。因碑记中写有“应吾公生二子,长曰益宗,次曰成,即副戎也”,也就是说副总兵傅成还有一个哥哥叫傅益宗,上述傅成的4个侄子,即傅益宗的四个儿子。傅宗益是长门,所以名列傅成其子之右。

    落款最后有“曾孙弘仁”及与“仁”字右侧自右至左并列“哲、脩、朝、奇”四字,此处“曾孙”是指傅应吾之曾孙,也就是傅成之孙,依次傅弘哲、傅弘脩、傅弘朝、傅弘奇、傅弘仁。

    由落款我们能够看出,这座古碑,是直隶山永副总兵率其妻李氏既其子(侄)、孙三代,为其祖上三代所树的一座“追功碑”。

    笔者与同行诸位同仁,对碑身背面所镌刻之碑记逐字仔细辨认,并与事先打印好之文字逐一进行对照,有出入之处便在打印好的文字上进行纠正。由于古碑已露天矗立一百一十余年(原立于1902年),字迹又小,历经风雨剥蚀多有漫漶不清,所以辨认十分吃力。虽经几人认真分析辨认,细心斟酌研究,但仍有个别字迹难以确认。好在绝大部分文字已能确认无疑,加之时已过午,大家又都没吃早饭,一个个饥肠辘辘,且天又将雨,于是只好结束了这次历时两个多钟头的考察。有了这次考察,笔者掌握到了“第一手资料”。接下来打算解读碑记,征索资料,写出《<诰赠傅氏三世墓碑记>解读》和《清代盐池名人傅成》两篇文章。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/ysx4221/p/5638762.html

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  • 快速傅氏变换和离散小波变换附Matlab程序-小波变换 dwt计算方法 sy10.doc 长期以来,快速傅氏变换和离散小波变换在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了...
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    FFT( Fast Fourier Transformation)是离散傅氏变换(DFT)的快速算法。即为快速傅氏变换。

    傅里叶变换大致有四种类型:

    (1)连续傅里叶变换(FT)

    (2)连续傅里叶级数(FS)

    (3)离散时间傅里叶变换(DTFT)

    (4)离散傅里叶级数(DFS)

     这里主要讲解离散时间傅里叶变换中的一种快速变换算法FFT,适用于计算机,微处理器等数字设备进行运算分析。

           提到傅里叶变换,畏难心理可能让大多数人都觉得很难,要么在门外不敢踏进来看看,要么就是进来后深陷傅氏复杂枯燥无味的理论而无法自拔,最后过段时间什么也不记得了。这是由于大家没有真正将傅氏变换应用起来,一直处于理论分析层次,不免让人觉得傅氏很高冷。其实真正的傅氏是很接地气的,很有用,应用范围非常广泛。这里主要结合Matlab仿真通过例子详细分析FFT的使用。

    FFT是将离散的时间域信号变换到频域内进行分析。主要应用于对信号的提取和分析,去噪。如图所示:用一首古诗形容FFT存在的意义最贴切了:横看成岭侧成峰,远近高低各不同。不识庐山真面目,只缘身在此山中。有时候我们在时域中对一个有用的信号提取我们需要的有效成分,剔除噪声是很困难的,信号和噪声杂糅在一起,根本无法区分开,如果我们在频域中分析信号和噪声就容易多了,信号的幅值一般比噪声幅值大很多,噪声幅值较小,在频域中,噪声无处遁形,根据频域幅值纵坐标可以发现我们需要的信号,再通过频率横坐标就可以知道有用信号的频率范围了,整个去噪过程就是这么简单。

    FFT中关键的参数: 采样频率:fs;   //根据奈奎斯特采样定理(又称香农采样定理):fs≥2fmax

    采样点数:N;  //N个点(0:N-1),频域中横坐标有效数据范围(0:N-1)

    采样频率分辨率:fs_div=fs/N;  //频域中,横坐标的分辨率(最小刻度)

    采样周期(采样频率分辨率的倒数,也是采样频率fs倒数与采样点数N的乘积):Ts=1/fs_div=N/fs;  //一个周期采样N个点

    由上面公式可知采样频率分辨率fs_div和采样周期Ts有关(也就是和采样频率fs,采样点数N共同决定的),采样周期Ts越长,采样频率分辨率fs_div值越小,分辨率就越高。(1)当采样频率fs保持不变时,增大采样点数N,采样频率分辨率fs_div值变小,分辨率就变高。

    (2)当采样点数N保持不变时,减小采样频率fs,采样频率分辨率fs_div值变小,分辨率就变高。(前提要保证采样定理,否则减小采样频率也就失去了意义,采集的数据已经失真,失去了应有的价值了)

     

    举例介绍FFT的使用:

    例程1:

    clf;
    
    x=[2,5,1,9,10,2];
    
    y=fft(x);
    
    y=
    
      29.0000 + 0.0000i  -9.0000 + 5.1962i   2.0000 -10.3923i  -3.0000 + 0.0000i   2.0000 +10.3923i  -9.0000 - 5.1962i

    对矩阵x进行FFT变换,得到的八个分量,第一个为直流分量29,其余的分量按照实轴对称分布。

     

    例程2:y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t)。采样频率fs=128Hz,分别绘制N=128、1024点幅频图。fs>2*fmax(即30),满足采样定理。

    clf;
    
    fs=128;N=128;   %采样频率和数据点数
    
    n=0:N-1;t=n/fs;   %时间序列
    
    y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t); %信号
    
    y=fft(y1,N);    %对信号进行快速Fourier变换
    
    mag=abs(y);     %求得Fourier变换后的振幅
    
    f=n*fs/N;    %频率序列
    
    subplot(2,2,1),plot(f,mag);   %绘出随频率变化的振幅
    
    xlabel('频率/Hz');
    
    ylabel('振幅');title('fs=128  N=128');grid on;
    
    subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
    
    xlabel('频率/Hz');
    
    ylabel('振幅');title('fs=128  N=128');grid on;
    
    %对信号采样数据为1024点的处理
    
    fs=128;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;
    
    y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t); %信号
    
    y=fft(y1,N);   %对信号进行快速Fourier变换
    
    mag=abs(y);   %求取Fourier变换的振幅
    
    f=n*fs/N;
    
    subplot(2,2,3),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅
    
    xlabel('频率/Hz');
    
    ylabel('振幅');title('fs=128  N=1024');grid on;
    
    subplot(2,2,4)
    
    plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
    
    xlabel('频率/Hz');
    
    ylabel('振幅');title('fs=128  N=1024');grid on;
    
    %得到的频域图,信号的幅值变换为实际大小:需乘以2除以N(采样点数)
    

    整个频谱图是以Nyquist频率(fs/2)为对称轴的。

    由上图可以看出信号中的两种频率信号:15HZ,30HZ。直接在时域中看原始信号是没有办法得到有用信号的。只有换个视角,从频域看才能得到我们想要的信号量。

    幅值计算:(1)fs=128,N=128,频率为15HZ的信号幅值A=512*(2/N)=8,由信号组成y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t)可以看出15HZ信号的幅值为8。(2)fs=128,N=128,频率为30HZ的信号幅值A=1024*(2/N)=16,符合实际结果。(3)fs=128,N=1024,频率为15HZ的信号幅值A=4096*(2/N)=8,符合实际结果。(4)fs=128,N=1024,频率为30HZ的信号幅值A=8192*(2/N)=16,符合实际结果。

     

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