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  • 叙述了常用的Mertz法的基本原理并进一步讨论了其中的计算效率问题, 通过利用实序列离散傅里叶变换的性质与相位校正的具体的处理内容相结合, 优化了Mertz法的计算处理, 提高了计算效率。
  • 阐述了傅立叶变换红外光谱仪的原理,并对红外光谱 的特点进行了归纳和总结。希望对读者有用。
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  • 给出了傅里叶变换光谱测量方法的设计原理、硬件系统构成以及LabWindows/CVI软件数据采集系统,包括实现干涉图数据采集、实时显示、数据分析处理和光谱分辨率的精确计算等功能。实验结果证明该系统满足设计需求。
  • 首先对IRFPA非均匀性校正的原理与算法进行了简要阐述,在此基础上,通过对时间调制型、空间调制型及时间空间联合调制型傅里叶变换红外成像光谱原理结构的深入分析,针对这三种制式的光谱仪,分别研究出了相应的非均匀...
  • 傅里叶红外光谱仪法沥青分析检测方案沥青成分测试仪关键词红外沥青检测光谱仪,沥青红外检测仪,傅里叶红外光谱仪,沥青成分分析仪系统,沥青测试仪系统,红外沥青测试仪,沥青测试仪光谱仪,红外光谱沥青测试仪,沥青红外...

    傅里叶红外光谱仪法沥青分析检测方案

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    沥青成分测试仪

    关键词

    红外沥青检测光谱仪,沥青红外检测仪,傅里叶红外光谱仪,沥青成分分析仪系统,沥青测试仪系统,红外沥青测试仪,沥青测试仪光谱仪,红外光谱沥青测试仪,沥青红外光谱检测仪,沥青材质分析仪

    开发背景

    沥青是道路和防水等领域中的重要建筑材料。道路沥青包括基质沥青和改性沥青等。其中,针入度、软化点、延度、蜡含量、SBS含量是评价沥青材料路用性能的重要质量指标,也是沥青生产、沥青销售和道路施工等过程中必须检测的指标,目前仍然分别沿用GBT 4507-2014沥青软化点测定法(环球法)、GBT 4508-2010 沥青延度测定法、GBT4509-2010 沥青针入度测定法、SHT0425-2003石油沥青蜡含量测定法测定,全指标检测需要多种沥青检测设备,样品粘稠,操作复杂,有环境污染,检测周期长,长期存在着检测滞后于需求,严重影响着过程中沥青质量监控,因此,开发能够同时快速准确多种沥青性质的检测技术,已成为炼厂沥青化验室、销售系统和高速公路沥青质量监督部门等领域中亟待解决的重要需求。

    技术原理

    沥青的化学组成可分离成饱和分、芳香分、胶质和沥青质四种组分。各组分含量不同,沥青的性质也会不同。沥青的物理性能与其结构的变化是密切相关的,傅立叶变换红外光谱可以用于分子结构的基础研究和物质化学组成的定性和定量分析。

    红外光谱法分析是有机物结构鉴定中一个重要手段,特别 SBS 改性沥青中官能团的鉴定。每种品牌型号的沥青都有其特殊的指纹图谱,让沥青通过红外光谱沥青快速检测系统与数据库中的沥青样本进行对比分析,从而准确判断沥青真假。确定品牌、型号、批次及产地;甚至可以判断 SBS、SBR 等添加剂,掺假物质以及沥青的老化程度。

    通过红外光谱沥青分析检测系统,对物质的红外光谱对沥青进行化学组成分析,具体可以根据吸收峰的波长位置及其形状来推测所测物质的化学结构,而混合物中各组分的相对含量可以根据特征峰的吸收强度来确定。特别 SBS 中官能团的鉴定方便快捷。

    方案特点

    快捷:设定标准取样方法,样品测试几秒钟直接出具结果。

    准确 :自动分析识别出沥青品牌、型号、批次、产地。

    智能 :定性定量沥青中关键组成物质,确认样品是否有其他杂质,是否掺假;防止品牌造假;以次充好;勾兑造假。

    省心:软件自动计定性定量分析改性沥青中的添加剂含量(SBS、SBR 等);

    方便:机器基本属于没有耗材,维护成本低。

    功能要求

    通过红外光谱沥青分析检测系统判断沥青真假,确定沥青品牌、标号、批次及产地;判断SBS、SBR 等添加剂含量,掺假物质以及沥青的老化程度。

    产品基本参数

    1、红外主机:红外光谱仪的光学腔为密封、干燥设计。

    2、光谱范围:8000~350 cm-1

    、*可在实验室手套箱内使用,采用无线路由器连接和传输数据。

    、*激光器:半导体激光器校准光路。

    3、波数精度:优于 0.005cm-1@2000cm-1

    4、*信噪比:≥50000:1(1 分钟测试,4cm-1 分辨率)

    5、分辨率:优于 2cm-1

    、*干涉仪:平面镜-立体角镜干涉仪,光路入射角度小于等于 30 度,避免偏振效应,保证最大光通量。光路永久准直、无需被动式动态调整。

    、光源:带有预准直、高能量的中红外光源,支持热插拔,即插即用,质保 5 年。

    、分束器:KBr 分束器。

    、检测器:DigiTect 数字技术的中红外 DLATGS 检测器,全数字化,直接输出数字信号。

    、* A/D 转换:检测器内置 A/D 转换模块,实现全数字化信号传输,无模拟信号传输的损耗和干扰。

    、中文界面的红外控制软件,包括红外控制、谱图处理、数据转换、多组分定量等操作软件;

    、认证标准

    、系统须内置自动校验模块,包括:聚苯乙烯标准片 1 片,测试仪器的波长精度 /准确度。

    、系统须内置全中文的自动检测程序,包括:1)中文版 OQ 程序;2)中文版 PQ 程序

    方案配置一:

    国产iCAN9沥青专用分析仪配置:

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    方案配置二:

    进口布鲁克ALPHAII 傅里叶红外光谱仪:

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    此方案两种仪器硬件均可搭建我司独立开发的沥青身份识别系统专用软件,为用户提供更快,更智能的实验室沥青分析测试方法。

    详情请来电咨询:18665977891吴先生!

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    傅里叶变换光谱仪(FTS)中的相干性和能量关系


    【1】

    在量子力学层面上,最小光谱间隔取决于原子光谱自然线宽(不考虑Doppler展宽、压力展宽、仪器展宽等效应),更本质上又取决于能量-时间不确定性原理,没有一个仪器能够分辨比自然线宽更窄的谱线。因此一般自然辐射光谱对仪器而言可视为一连续信号,其光谱间隔极其狭窄近似趋近于零,从而使信号Fourier变换谱的Nyquist本征频带趋于无穷大,这个量名义上称为频率是从Fourier频谱分析角度而言的,其实际对应物理量是时间长度[s]或空间长度[m]。在FTS将入射光谱辐射调制为干涉图过程中,由于自然线宽趋于零,对应时间域/空间域的Nyquist本征频带趋于无穷大。设光谱自然线宽为Δf [Hz],则对应Nyquist本征带宽为τ=1/Δf [s],这个τ又称为相干时间,进一步称L=c×τ为相干长度,二者分别对应于上述光谱在时间域/空间域调制信号(干涉图)的延展长度,亦即极限光程差LPD。对于Michelson干涉仪,其测量的双边干涉图最大光程差总长不超过相干长度L,而实际仪器设计的±MPD光程差范围也只是LPD内的一段距离。例如,对某一单色激光,假设其线宽为Δf=10kHz,对应相干时间为τ=0.1ms,相干长度L≈30000m,这是实际仪器干涉臂所远远达不到的,所以实际仪器设计也无需担心光谱线宽极限对光程差设计的限制。

    然而,在计算机FTS模拟器中,入射光谱不可能为连续信号,而是以dwavnum极密间隔取样的离散光谱信号(近似视为连续光谱),于是便引入了一个有限大小的Nyquist本征频带SPCFs=1/dwavnum,它规定了干涉图的极限光程差LPD=SPCFs。因此,在模拟干涉图采样过程中,设计的仪器(单边)最大光程差MPD不得超过LPD/2。实际上,在“输入光谱-调制干涉图”模拟过程中,由于Fourier变换的周期性,调制干涉图会以LPD为周期进行长程周期延拓,并且在±LPD/2附近产生较强的混叠效应,因此±MPD设计值应尽可能地远离±LPD/2。例如,在计算机模拟中,假设细密光谱间隔dwavnum=1cm-1,则LPD=1cm,最大光程差±MPD设计极限为±0.5cm,实际设计为±0.4cm为宜(对应标称光谱分辨率为1.25 cm-1);若随意增加MPD(比如2cm),干涉图会以LPD=1cm为周期重复出现,而光谱分辨率并不会同步增加(至0.25 cm-1),最高只能为1cm-1,实验显示确实如此。


    【2】

    在Michelson干涉仪将入射光谱辐射调制成干涉条纹过程中,时变均匀的入射光束转变为时变非均匀的相干光束。其能量分配关系为:对入射辐亮度光谱Lin(v) [W·m-2·sr-1·(cm-1)-1]按光谱积分得到单位面积单位立体角内的辐射光功率Pin [W·m-2],即干涉仪入瞳接收的光功率,在每个动镜移动位置(或每个光程差观测时间)对应这样一份入射光功率。然而,由于干涉仪调制的干涉光是时间分布非均匀(对应相干时间)或空间分布非均匀的(对应相干长度或光程差),亦即由分束器分出的两路子光束在两干涉臂的行程不同,使得随后在分束器处再次叠加的两路子光束并非来自同一份入射光,而是分别来自时间相继的两份入射光,这一时间差(光程差)反映Michelson干涉仪这类仪器具有时间调制性质(Michelson干涉仪属于时间调制干涉仪),于是在某一时刻或某一位置测量的相干光功率并不一定等于入射光功率。而零光程差是一个特殊位置,此时两路子光束在各自干涉臂的行程相同,在分束器处再次叠加时仍属于同一份入射光,进一步测量的相干光功率也就等于入射光功率(实际上,零光程差反映了双光束干涉的同时性)。为了通过干涉图间接测量入射光功率,可以对(相干时间内一段时间生成的)干涉图Iigm[W·m-2]沿光程差积分,得到的即是这段时间内相干光束的总能量Engigm [(W·m-2)·cm],亦是均匀入射光束对应的总能量Engin,将总能量在总光程差上平均,得到的即是这段时间内相干光束的平均功率 ,亦即均匀入射光功率Pin。由这段分析不难发现,Michelson干涉仪光程差虽然是一长度量[cm],但却具有时间意义,沿光程差积分是一种时间积分。

    此外,由于Michelson干涉仪分束器的半透半反性质,只有一半入射光功率参与相干叠加并被探测器探测,另一半虽然也参与相干叠加,但却沿原光路反向传播而不能被探测器探测,所以相干光平均功率等于入射光功率的一半。

    延伸思考:所谓测量功率实质是一统计量,假若能精细控制入射光源,使光子一个接一个地进入干涉仪,且每一测量过程中只有一个光子在干涉仪内,那么随着动镜移动会有干涉条纹出现吗?对于Michelson干涉仪这种所谓“分振幅”干涉装置,单个光子如何相干?


    【3】

    FTS调制的干涉光束入射到光电探测器上,由于探测器平方律响应特性(光电效应),一份光能量(功率单位)转化为电子量(电流/电压单位)。因此,对电学干涉图通过Fourier变换计算的光谱是为幅度谱S(v),虽然它具有电压/电流单位[Elc.V/cm-1],但却与光学功率谱等价( ),于是对幅度谱按光谱的积分量∑[S(v)]等于相干光平均功率 ,等于电学干涉图零光程差幅度值Iigm-peak,等于干涉仪入射均匀光功率的一半Pin/2,这即是仪器输出电信号与待测光谱辐射之间的线性关系,也即是光谱辐射定标的物理基础。另一方面,单纯就电信号而言,电学干涉图总能量或平均功率(电压信号平方和∑[Iigm2(cm)])与电学能谱总能量或平均功率(幅度谱平方和∑[S2(v)])相同(Parseval定理),反映的是电信号在Fourier变换前后的能量守恒。

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    傅里叶光学是信息光学的基础,今天光电资讯为各位光学人整理了一些关于傅里叶变换的光学基本原理,今天跟大家带来的是“衍射系统的屏函数和相因子判断法”

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    傅里叶变换光学概述

    现代光学的三件大事

    • 全息术—1948年 

    • 像质评价的传递函数—1955年 

    • 激光器—1960年 

    傅里叶变换光学的基本思想 

    引入变换的概念,将数学上周期信号的傅里叶级数展开应用于光学, 对应于将复杂的图像分解为一系列单频信息的合成。

    主要内容

    (1)光场的空间频谱—时间频谱的变换(傅里叶光谱仪) (2)成像系统中存在的变换关系—物像关系(光学空间滤波、 光学信息处理、光学传递函数、波前再现和全息术)

    实现途径 物理器件、物理效应、和物理装置。 用变换的观点看成像和光谱 ea2dcecfb70795312bbf5726a470b1b2.png • 光的衍射和干涉最基本的方法: 光的相干叠加。  • 另外一个角度: 入射波场,遇到障碍物之后,波场中各种物理量重新分布,相 当于“波前(函数)重构”。衍射障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。  • 可以从障碍物对波场的(数学)变换作用,来分析衍射。  • 从更广义的角度,不仅仅是相干波场的障碍物,非相干系统中的一切使波 场或者波面产生改变的因素,它们的作用都可以应用变换的方法处理。

    傅里叶变换光学与经典波动光学的关系(衍射)

    49d7a46266d272a9aaa59d67d7301fdb.png 衍射系统及其屏函数 衍射屏 能使波前的复振幅(波前函数) 发生改变的物,统称为衍射屏。 照明空间 衍射屏将波的空间分为前场和 后场两部分。前场为照明空间, 后场为衍射空间。 入射场、透射场与接收场 波在衍射屏的前后表面处的复振幅或波前函数分别称为入射 场、透射场(或反射场),接收屏上的复振幅为接收场。 d131bf2b335fc6afafbec63cff476c7b.png 屏函数及其作用衍射屏的作用是使入射场转换为透射场(或反射场) 。用函数表 示,就是衍射屏的透过率或反射率函数,统称屏函数。 5e3466752ce1727b782054ee3131c25b.png模为常数的衍射屏称为相位型的 ,如透镜、棱镜等。幅角为常数的衍射屏称为振幅型的 ,如单缝、圆孔等。 相因子分析法 相因子分析法的基本思路 (1)若已知衍射屏的屏函数,就可以确定衍射场,进而完全确定接收场。 (2)但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难,多数情况下解析 的完全确定屏函数几乎是不可能的。  (3)因此,只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。  (4)如果知道了屏函数的相位,则能通过研究波的相位改变来确定波场 的变化。这种方法称为相因子判断法。  (5)分析条件:一般在傍轴近似下进行判断。  (6)出发点:平面波与球面波的波动方程的表达形式。  (7)认为透镜和棱镜对光的吸收处处相等或无吸收,可忽略振幅的变化, 认为是相位型衍射屏。 相因子分析法,简单的说,就是根据波前函数的相因子来判断 波场的特性,分析衍射场的主要特征。 近轴条件下典型光波场在平面波前(x,y)上的相因子

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    相位衍射元件的位相变换函数及分析 透镜的位相变换函数 7cba685b992250cb1bf9646e22b2b58c.png 设透镜的有效口径为D,则透镜的位相变换函数为 84d22f3385da5bc2a6e21313fac058cc.png 若忽略透镜的吸收,即 7900a6b450ccf754546fc9a8df167f46.png 则有 1601d8bba5891e942daa65f969f49d9e.png 是位相型变换函数,其作用有二:(1)光瞳;(2)波面变换 进行计算的条件:傍轴近似,入射波前、出射波前取平面,此时近似认为透镜中的光波波矢平行于光轴。 cce6727c491d74b3382e91aa57b36a22.png 透镜位相变换函数的计算

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    a8ec432fa348ff43d9bf45f3a71635d1.png

    透镜对波面的变换—平面波入射

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    透镜对波面的变换—球面波入射

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    棱镜的相位变换函数 d9f43c165c12e8f85de6705c4d73d353.png 棱镜的相位变换作用 cb44b71959c00faa54f7425e8570a3ba.png

    棱镜的相位变换的一种等效观点

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    以另一种思路考虑棱镜的相位变换函数,将相因子对调:

    5a0086dece8e9ffb4a47b1bbe9cc07bb.png

    总结

    具体来说,对图像产生的复杂波前的傅里叶分析,其内容和特点主要包括以下几点: 

    出发点:二维波前决定三维波场,其特征主要体现在波前函数的相位因子上; 

    根据波前函数的相因子,可以判断波场的类型,分析其衍射场的主要特征。 

    傅里叶变换光学将复杂的衍射场分解为一些列不同方向、不同振幅的平面衍射波。 

    特定方向的平面衍射波作为一种载波,携带特定空间频率的光学信息。

    学习输出

    各位朋友看完本文后有何收获呢?学习是需要输出的,将自己学到的东西写成自己的心得对学习是有事半功倍效果的。大家可以在后面留言分享一下自己的学习心得或者讨论一下相关的原理,今天可以重点回顾一下以下几个问题:

    1. 衍射系统和屏函数的概念是什么?

    2. 平面波和球面波的相因子表示法是什么?

    3. 透镜和棱镜的相因子、透射函数及其作用有哪些?

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    ·END· —如果喜欢,快分享给你的朋友们吧—

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    一些练习

    采 样 频 率 F s = 1 / 采 样 周 期 T 采样频率F_s = 1/采样周期T Fs=1/T

    • 计算以下STFT的时间分辨率,频率分辨率和那奎斯特频率
      1. F s = 22050 H z , N = 1024 , H = 512 F_s=22050\mathrm{Hz}, N = 1024, H = 512 Fs=22050Hz,N=1024,H=512
      2. F s = 48000 H z , N = 1024 , H = 256 F_s = 48000\mathrm{Hz}, N = 1024, H = 256 Fs=48000Hz,N=1024,H=256
      3. F s = 4000 H z , N = 4096 , H = 1024 F_s = 4000\mathrm{Hz}, N = 4096, H = 1024 Fs=4000Hz,N=4096,H=1024

    时间分辨率= H T = H / F s HT = H/F_s HT=H/Fs,频率分辨率= 1 / N T = F s / N 1/NT=F_s/N 1/NT=Fs/N,那奎斯特频率= F s / 2 F_s/2 Fs/2

    1. 23.22ms,21.53Hz,11025Hz
      2.5.33ms,46.88Hz,24000Hz
      3.256.00ms,0.98Hz,2000Hz
    • 证明采样操作是线性操作,而量化操作不是线性操作

    证明如下:
    设 采 样 操 作 M , M ( f ( t ) ) = f ( n T ) M ( a f 1 + b f 2 ) ( t ) = ( a f 1 + b f 2 ) ( n T ) = a f 1 ( n T ) + b f 2 ( n T ) = a M ( f 1 ( t ) ) + b M ( f 2 ( t ) ) 设 量 化 操 作 Q , Q ( x ( n ) ) = s g n ( x ) ⋅ Δ ⋅ ⌊ ∣ x ∣ Δ + 1 2 ⌋ 易 得 ⌊ a ⌋ = 0 , a ∈ [ 0 , 1 ) , 则 根 据 阿 基 米 德 定 理 , 总 存 在 一 个 大 数 N 使 得 N a > 1 不 妨 设 存 在 n 0 , 使 ∣ x ( n 0 ) ∣ < 1 2 Δ 故 1 ≤ Q ( N x ( n 0 ) ) ≠ N Q ( x ( n 0 ) ) = 0 设采样操作M, M(f(t)) = f(nT) \\ M(af_1 + bf_2)(t)=(af_1+bf_2)(nT) = af_1(nT)+bf_2(nT)=aM(f_1(t))+bM(f_2(t)) \\ 设量化操作Q, Q(x(n)) = sgn(x) \cdot \Delta\cdot \lfloor \frac{|x|}{\Delta}+\frac{1}{2}\rfloor \\ 易得\lfloor a\rfloor = 0,a\in[0,1),则根据阿基米德定理,总存在一个大数N使得Na > 1\\ 不妨设存在n_0,使|x(n_0)| < \frac{1}{2}\Delta \\ 故1\le Q(Nx(n_0)) \neq NQ(x(n_0)) = 0 M,M(f(t))=f(nT)M(af1+bf2)(t)=(af1+bf2)(nT)=af1(nT)+bf2(nT)=aM(f1(t))+bM(f2(t))Q,Q(x(n))=sgn(x)ΔΔx+21a=0,a[0,1),N使Na>1n0使x(n0)<21Δ1Q(Nx(n0))=NQ(x(n0))=0

    • 证明 { 1 , cos ⁡ k ( t ) , sin ⁡ k ( t ) ∣ k ∈ N } \{\bold{1},\cos_k(t),\sin_k(t)| k\in N\} {1,cosk(t),sink(t)kN}是空间 L 2 [ 0 , 1 ) L^2[0,1) L2[0,1)的正交基底

    易得 ∥ 1 ∥ 2 = 1 , c o s k 2 ( t ) + s i n k 2 ( t ) = 2 \|\bold{1}\|^2 =1, cos_k^2(t)+sin_k^2(t) =2 12=1,cosk2(t)+sink2(t)=2
    ∫ 0 1 c o s k 2 ( t ) + s i n k 2 ( t ) d t = 2 = ⟨ c o s k ( t ) ∣ c o s k ( t ) ⟩ + ⟨ s i n k ( t ) ∣ s i n k ( t ) ⟩ \int_{0}^{1}cos_k^2(t)+sin_k^2(t)dt = 2=\langle cos_k(t)|cos_k(t)\rangle + \langle sin_k(t)|sin_k(t)\rangle 01cosk2(t)+sink2(t)dt=2=cosk(t)cosk(t)+sink(t)sink(t)
    因为cos_k(t)和sin_k(t)只有平移的关系,所以它们的内积应该相等。故 ⟨ c o s k ( t ) ∣ c o s k ( t ) ⟩ = ⟨ s i n k ( t ) ∣ s i n k ( t ) ⟩ = 1 \langle cos_k(t)|cos_k(t)\rangle = \langle sin_k(t)|sin_k(t)\rangle = 1 cosk(t)cosk(t)=sink(t)sink(t)=1

    ⟨ 1 ∣ c o s k ( t ) ⟩ = ∫ 0 1 c o s ( 2 π k t ) d t = s i n ( 2 π k t ) ∣ 0 1 / 2 π k = 0 \langle 1|cos_k(t)\rangle=\int_{0}^{1}cos(2\pi kt)dt=sin(2\pi kt)|_0^1/2\pi k=0 1cosk(t)=01cos(2πkt)dt=sin(2πkt)01/2πk=0

    ⟨ 1 ∣ s i n k ( t ) ⟩ = ∫ 0 1 s i n ( 2 π k t ) d t = − c o s ( 2 π k t ) ∣ 0 1 / 2 π k = 0 \langle 1|sin_k(t)\rangle=\int_{0}^{1}sin(2\pi kt)dt=-cos(2\pi kt)|_0^1/2\pi k=0 1sink(t)=01sin(2πkt)dt=cos(2πkt)01/2πk=0

    ⟨ c o s k ( t ) ∣ c o s l ( t ) ⟩ = ∫ 0 1 c o s ( 2 π k t ) c o s ( 2 π l t ) d t = ∫ 0 1 1 2 ( c o s ( 2 π ( k + l ) t ) + c o s ( 2 π ( k − l ) t ) ) d t = 1 2 ∫ 0 1 c o s ( 2 π ( k + l ) t ) d t + 1 2 ∫ 0 1 c o s ( 2 π ( k − l ) t ) d t = 0 \langle cos_k(t)|cos_l(t)\rangle=\int_{0}^{1}cos(2\pi kt)cos(2\pi lt)dt \\ =\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\big(cos(2\pi (k+l)t)+cos(2\pi (k-l)t)\big)dt\\ = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}cos(2\pi (k+l)t)dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}cos(2\pi (k-l)t)dt = 0 cosk(t)cosl(t)=01cos(2πkt)cos(2πlt)dt=0121(cos(2π(k+l)t)+cos(2π(kl)t))dt=2101cos(2π(k+l)t)dt+2101cos(2π(kl)t)dt=0

    ⟨ s i n k ( t ) ∣ s i n l ( t ) ⟩ = ∫ 0 1 s i n ( 2 π k t ) s i n ( 2 π l t ) d t = ∫ 0 1 1 2 ( c o s ( 2 π ( k − l ) t ) − c o s ( 2 π ( k + l ) t ) ) d t = 1 2 ∫ 0 1 c o s ( 2 π ( k − l ) t ) d t − 1 2 ∫ 0 1 c o s ( 2 π ( k + l ) t ) d t = 0 \langle sin_k(t)|sin_l(t)\rangle=\int_{0}^{1}sin(2\pi kt)sin(2\pi lt)dt\\ =\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\big(cos(2\pi (k-l)t)-cos(2\pi (k+l)t)\big)dt\\ = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}cos(2\pi (k-l)t)dt - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}cos(2\pi (k+l)t)dt = 0 sink(t)sinl(t)=01sin(2πkt)sin(2πlt)dt=0121(cos(2π(kl)t)cos(2π(k+l)t))dt=2101cos(2π(kl)t)dt2101cos(2π(k+l)t)dt=0

    ⟨ c o s k ( t ) ∣ s i n k ( t ) ⟩ = ∫ 0 1 c o s ( 2 π k t ) s i n ( 2 π k t ) d t = ∫ 0 1 2 s i n ( 4 π k t ) d t = 0 \langle cos_k(t)|sin_k(t)\rangle=\int_{0}^{1}cos(2\pi kt)sin(2\pi kt)dt=\int_{0}^{1}2sin(4\pi kt)dt=0 cosk(t)sink(t)=01cos(2πkt)sin(2πkt)dt=012sin(4πkt)dt=0

    • 证明 { e 2 π i k t ∣ k ∈ Z } \{e^{2\pi ikt}|k\in\Z\} {e2πiktkZ}是空间 L 2 [ 0 , 1 ) L^2[0,1) L2[0,1)的正交基底。

    ⟨ e 2 π i k t ∣ e 2 π i k t ⟩ = ∫ 0 1 e 2 π i k t ⋅ e 2 π i k t ‾ d t = 1 \langle e^{2\pi ikt}|e^{2\pi ikt}\rangle=\int_0^1e^{2\pi ikt}\cdot\overline{e^{2\pi ikt}}dt=1 e2πikte2πikt=01e2πikte2πiktdt=1
    ⟨ e 2 π i k t ∣ e 2 π i l t ⟩ = ∫ 0 1 e 2 π i k t ⋅ e 2 π i l t ‾ d t = ∫ 0 1 e 2 π i ( k − l ) t d t = exp ⁡ ( 2 π i ( k − l ) t ) 2 π i ( k − l ) t ∣ 0 1 = 0 \langle e^{2\pi ikt}|e^{2\pi ilt}\rangle=\int_0^1e^{2\pi ikt}\cdot\overline{e^{2\pi ilt}}dt=\int_0^1e^{2\pi i(k-l)t}dt=\frac{\exp\big(2\pi i(k-l)t\big)}{2\pi i(k-l)t}|_0^1=0 e2πikte2πilt=01e2πikte2πiltdt=01e2πi(kl)tdt=2πi(kl)texp(2πi(kl)t)01=0

    • 写一个简单程序,输出一个三角函数和它的傅里叶变换

       import numpy as np
       import matplotlib.pyplot as plt
       
       
       PI = np.pi
       A, w, phi = 3, 8*PI, PI/4
       def f(t): return A*np.cos(w*t + phi)
       
       
       Fs = 100
       N = 4 * Fs
       t = np.linspace(0, 4, N, endpoint=False)
       x = f(t)
       
       plt.figure()
       plt.plot(x)
       plt.xlabel('n (samples)')
       plt.figure()
       plt.plot(np.arange(N)/np.float32(Fs), x)
       plt.xlabel('t (seconds)')
       
       X = np.fft.fft(x)
       
       plt.figure()
       plt.plot(abs(X))
       plt.xlabel('|X|')
       
       plt.figure()
       phase = np.arctan2(np.imag(X), np.real(X))
       cleaned_phase = phase[abs(X) > 0.001]
       plt.plot(cleaned_phase)
       plt.xlabel('Phase (rads)')
      
    • 上述程序的傅里叶变换的最大振幅 ∣ X ∣ m a x |X|_{max} Xmax关于 k = N / 2 k=N/2 k=N/2对称,请用程序算出取得最大振幅的的k值和频率f。

      def find_peaks(x, thresh=0.2):
       x0, x1, x2 = x[:-2], x[1:-1], x[2:]
      
       peak_bools = np.logical_and(x0 < x1, x1 > x2)
       values = x1[peak_bools]
       th = np.max(values) * thresh
       peak_bools = np.logical_and(peak_bools, x1 > th)
       peaks = np.nonzero(peak_bools)[0] + 1
       return peaks
      
      
       def k_to_f(k): return k*Fs/np.float32(N)
      
      
      a = find_peaks(abs(X))
      b = map(k_to_f, a)
      print(a, list(b))
      
    • 给定以下两个数字信号函数,如下

      def make_sine(a, k, ph, N):
        n = np.arange(N)
        return a * np.sin(2 * np.pi * k / N * n + ph)
      
      
      Fs = 100
      N  = 2*Fs
      
      x11 = make_sine(a=1.0, k=2.0, ph=0.0, N=Fs)
      x12 = make_sine(a=0.5, k=8.0, ph=0.0, N=Fs)
      x1 = np.hstack([x11, x12])
      print(len(x11), len(x12), len(x1))
      plt.figure()
      plt.plot(np.linspace(0, N/np.float32(Fs), len(x1), endpoint=False), x1)
      plt.ylim(-1, 1)
      plt.xlabel('time (sec)')
      
      x21 = make_sine(a=1.0, k=4.0,  ph=0.0, N=2*Fs)
      x22 = make_sine(a=0.5, k=16.0, ph=0.0, N=2*Fs)
      x2 = x21 + x22
      print(len(x21), len(x22), len(x2))
      plt.figure()
      plt.plot(np.linspace(0, 2*N/np.float32(Fs), len(x2), endpoint=False), x2)
      plt.ylim(-1.5, 1.5)
      plt.xlabel('time (sec)')
      

      计算它们的傅里叶变换,并做简单分析:

      plt.figure()
      plt.plot(np.abs(np.fft.rfft(x1)))
      plt.figure()
      plt.plot(np.abs(np.fft.rfft(x2)))
      

      第二个信号函数,是由两个正弦函数叠加而成,傅里叶系数明显清晰;第一个信号函数由两个正弦函数合并,傅里叶系数不清晰,需要补充其他频率减少其他频率的振幅影响,另外合并的信号函数在合并点并不是平滑的。

    • 给定一个信号函数x_,用三种方式求出它在采样频率k=k_,N=N_下的振幅和相位 x ( n ) x(n) x(n)

      # 方法一:最优值拟合
       def first_method(x_, N_, k_):
       	test_phis = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100, endpoint=False)
       	n = np.arange(N_)
       	def f(i, j): return np.cos(2 * np.pi * k_ * n[j] / N_ + test_phis[i])
        	sig_by_phi = np.array([[f(i, j) for i in range(len(test_phis))] for j in range(int(N_))])
        	similarities = np.dot(x_, sig_by_phi)
        	best_phi = test_phis[np.argmax(similarities)]
          s = np.cos(2 * np.pi * k_ * n / N_ + best_phi)
        	print(best_phi, np.cos(2 * np.pi * 12 * n / N_ + best_phi))
        	plt.figure()
        	plt.plot(s)
        	plt.plot(x_)
        	plt.ylim(-1, 1)
      
       # 方法二:利用cos(2pi*k*n/N)和-sin(2pi*k*n/N)拟合
       def second_method(x_, N_, k_):
       	n = np.arange(N_)
       	ks = np.arange(N_)
           def f1(i, j): return np.cos(2 * np.pi * ks[i] * n[j] / N_)
           def f2(i, j): return -np.sin(2 * np.pi * ks[i] * n[j] / N_)
           s1_by_k = np.array([[f1(i, j) for i in range(N_)] for j in range(int(N_))])
           s2_by_k = np.array([[f2(i, j) for i in range(N_)] for j in range(int(N_))])
           A = np.array(
               [(2.0 / N_) * (sk[0] ** 2 + sk[1] ** 2) ** 0.5 for sk in zip(np.dot(x_, s1_by_k), np.dot(x_, s2_by_k))])
           phi = np.array([np.arctan2(sk[1], sk[0]) for sk in zip(np.dot(x_, s1_by_k), np.dot(x_, s2_by_k))])
       
           print(A[12], phi[12])
       
           plt.figure()
           plt.plot(A)
           plt.xlabel('k (frequency bin)')
           plt.figure()
           plt.plot(phi)
           plt.xlabel('k (frequency bin)')
       
       # 方法三:fft计算
       def third_method(x_, N_, k_):
           ft = np.fft.fft(x)
           plt.figure()
           plt.plot(abs(ft))
           plt.figure()
           plt.plot(np.arctan2(np.imag(ft), np.real(ft)))
      

      结果表明,fft计算即使用利用 c o s ( 2 π k n / N ) 和 − s i n ( 2 π k n / N ) cos(2\pi kn/N)和-sin(2\pi kn/N) cos(2πkn/N)sin(2πkn/N)拟合

    • 给定一个数字信号x,设其采样数为400。写一个简单程序,对信号x使用一个矩阵窗口,窗口大小为200,窗口位置分别为0,100,200。使用np.fft.rfft对于每个加窗信号绘制幅度DFT。类似实现三角形窗口和hanning窗口。

      def rectangular_window(x, win_len, win_pos):
           pad_len = win_len//2 + 1
           pad = np.zeros(pad_len)
           xzp = np.hstack([pad, x, pad])
           start_count = win_pos + pad_len
           end_count = len(xzp)-start_count-win_len
           extended_window = np.hstack(
               [np.zeros(start_count), np.ones(win_len), np.zeros(end_count)])
           return xzp*extended_window
      
      
       def triangular(len):
           tri = np.arange(len)
           step = 2 / len
           return np.array(list(map(lambda x: x * step if x<=len/2 else x*step-1, tri)))
      
      
       def triangular_window(x, win_len, win_pos):
           pad_len = win_len//2 + 1
           pad = np.zeros(pad_len)
           xzp = np.hstack([pad, x, pad])
           start_count = win_pos + pad_len
           end_count = len(xzp)-start_count-win_len
           extended_window = np.hstack(
               [np.zeros(start_count), triangular(win_len), np.zeros(end_count)])
           return xzp*extended_window
      
      
       def hanning_window(x, win_len, win_pos):
           pad_len = win_len//2 + 1
           pad = np.zeros(pad_len)
           xzp = np.hstack([pad, x, pad])
           start_count = win_pos + pad_len
           end_count = len(xzp)-start_count-win_len
           extended_window = np.hstack(
               [np.zeros(start_count), np.hanning(win_len), np.zeros(end_count)])
           return xzp*extended_window
      
       def window_plot(x):
           win_len = 200
           win_positions = np.array([0, 100, 200])
      
           for win_pos in win_positions:
               windowed = triangular_window(x, win_len, win_pos)
               plt.figure()
               plt.plot(windowed)
               plt.figure()
               plt.plot(abs(np.fft.rfft(windowed)))
      

      实验表明,hanning窗口的fft比较clean

    • 使用hanning窗口编写stft方法(参数为输入信号,信号fft_size,窗口size,返回一个复数矩阵),并对一段声音文件分析对应的midi编号。

      def stft(snd, fft_size, hop_size):
           H = hop_size
           pad = np.zeros(H//2)
           sndzp = np.hstack([pad, snd, pad])
           M = (len(sndzp)-fft_size)//H + 1
           win_positions = range(0, H*M, H)
           cols = []
           for win_pos in win_positions:
               windowed = sndzp[win_pos:win_pos+fft_size]*np.hanning(fft_size)
               rfft_window = np.fft.rfft(windowed)
               trans_win = np.transpose([rfft_window])
               cols.append(trans_win)
           return np.hstack(cols)
      
       
       #显示光谱图
       def plot_spectrogram(spec, cmap=None, colorbar=True) :
           mag_spec = abs(spec)
           maxval = np.max(mag_spec)
           minval = .1
           plt.imshow(mag_spec, origin='lower', interpolation='nearest', aspect='auto', 
               norm=LogNorm(vmin=minval, vmax=maxval), cmap=cmap)
           if colorbar:
               plt.colorbar()
        
      
       # 根据stft结果 找到hop number
       # fs = wave.fs wave文件采样频率
       fft_size = 512
       hop_size = 256
       spec = np.abs(stft(snd, fft_size, hop_size))
       hop_nums = np.diff(np.insert(np.sum(spec, 0), 0, 0)).argsort()[-4:][::-1]
       sample_nums = [h*hop_size for h in hop_nums]
       secs = [x/fs for x in sample_nums]
       print(hop_nums)
       print(secs)
      
       # 根据hop number计算对应频率和midi编号
       def k_to_freq(k): return k*fs/fft_size
      
      
       hops = [spec[:, i] for i in [int(x) for x in hop_nums]]
       ks = [np.argmax(hop) for hop in hops]
       freqs = [k_to_freq(k) for k in ks]
       midis = [69.0 + 12.0*np.log(f/440.0)/np.log(2.0) for f in freqs]
       print(ks)
       print(freqs)
       print(midis)
      
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    万次阅读 多人点赞 2016-12-03 21:33:42
    在学习信号与系统或通信原理等课程里面可能对傅里叶变换有了一定的了解。我们知道傅里叶变换是把一个信号从时域变换到其对应的频域进行分析。如果有小伙伴还对傅里叶变换处于很迷糊的状态,请戳这里,非常通俗易懂。...
  • 基于光纤色散方法,对比分析了基于色散展宽和基于时间透镜的光学傅里叶变换的实现原理。对两类方案中5种不同系统的输出结果、色散量、光谱分辨率、时间带宽积等影响因素进行分析,分别阐述了其应用及改进方案。
  • 什么是相位?如何更加形象直观地理解相位?... 从时域和频域来解析傅里叶变换(含代码和性质):...傅里叶变换就是这么简单,你学会了吗? :https://www.sohu.com/a/224533027_99907714 ...
  • 傅里叶光学基础总结

    千次阅读 2017-08-25 01:11:04
    傅里叶光学傅里叶变换的本质:不同空间频率的光的相干叠加。 关键问题:空间频率的理解,透镜如何实现傅里叶变换的,光学傅里叶变换里面的相位是什么。
  • 基于傅里叶变换合成法的基本原理, 合成了一个K9基底上的负滤光片, 合成的渐变折射率薄膜具有期望光学特性, 但实际制备难度很大, 因此将其细分为足够多层离散折射率的均匀薄膜, 由于实际薄膜材料种类有限, 不能获得...
  • 离散傅里叶变换

    2017-07-13 23:01:03
    傅立叶原理表明: 任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和...

空空如也

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傅里叶光谱原理