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  • 傅里叶分析及其应用

    2016-09-08 15:18:59
    数学傅里叶分析及其应用
  • 傅里叶分析及其应用(潘文杰) .pdf 傅里叶分析及其应用(潘文杰) .pdf
  • 本书是为高年级本科生学习“傅里叶 目录 · · · · · · 序言 前言 第一章 预备知识 第二章 Fourier级数 第三章 Fourier变换与Fourier积分 第四章 共轭函数与Hilbert变换 第五章 广义函数 第六章 缓增广义函数...
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  • 分数阶傅里叶变换及其应用 文献

    热门讨论 2011-09-26 15:48:13
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  • 我将用6篇文章尽量说明,看看傅里叶变换的物理意义和在实际应用中的应用,还要了解它的适用范围和不足,这6篇文章的内容涉及到大学里的3门课程:信号与系统、数字信号处理、随机信号分析和处理。 ...

    在“信号与系统”课程中涉及的傅里叶变换有“信号”的傅里叶变换和“系统单位冲激响应”的傅里叶变换,虽然都叫傅里叶变换,但是,它们的物理意义是不一样的。针对于“信号”的傅里叶变换的理论和应用,我将用6篇文章尽量说明,看看傅里叶变换的物理意义和在实际应用中的应用,还要了解它的适用范围和不足,这6篇文章的内容涉及到大学里的3门课程:信号与系统、数字信号处理、随机信号分析和处理。

    一提起“傅里叶变换”,人们总觉得它很神秘,它到底是什么?

    如果你看下面的6篇信号傅里叶变换系列文章,建议你顺序看下去,当你从头看完时,希望你对信号的傅里叶变换和应用有了一定了解,文章中有不当之处请批评指正。

    1、信号傅里叶变换系列文章(1):傅里叶级数、傅里叶系数以及傅里叶变换

    这篇文章主要介绍什么是周期信号的傅里叶级数?什么是傅里叶系数?什么是非周期和周期信号的傅里叶变换?什么是信号的频谱?傅里叶变换的物理意义是什么?时域和频域的关系是什么?等等。

    2、信号傅里叶变换系列文章(2):信号频谱图

    这篇文章主要介绍什么是信号的频谱图?频谱图的画法。

    3、信号傅里叶变换系列文章(3):从傅里叶变换(FT)到离散傅里叶变换(DFT)(从理论到实现)

    4、信号傅里叶变换系列文章(4):信号分析的案例故事

    5、信号傅里叶变换系列文章(5):经典功率谱估计

    6、信号傅里叶变换系列文章(6):傅里叶变换应用于轴承故障诊断

    注意:上述应用中的随机信号都是平稳的(对于随机过程来说是各态历经的),非平稳随机信号不在介绍当中。另外,对于平稳随机信号的现代功率谱估计部分也不在介绍当中。

    2020年7月19日

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  • 这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。 L2积分 在上节课最后,引出了均方收敛, $\displaystyle{\int_0^1\left| \sum_{k=n}^{n}\hat{f}(k)e^{-2\pi ikt}dt-f(t)\...

    这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。

     

    L2积分

    在上节课最后,引出了均方收敛,

    $\displaystyle{\int_0^1\left| \sum_{k=n}^{n}\hat{f}(k)e^{-2\pi ikt}dt-f(t)\right|^2} \to 0 \ if \ n  \to \infty$

    均方收敛的这种分析方法需要$f(t)$满足一个条件:$f(t)$在$[0,1]$内可积,即$\displaystyle{\int_0^1\left|f(t)\right|^2dt<\infty}$。这种积分被称为$L2$积分,L代表数学家Lebesgue。若$f(t)$满足该积分条件,则可表示为$f\in L^2([0,1])$。

     

    正交

    还记得我们在推导傅里叶式子的时候用了一个积分:

    $\displaystyle{\int_0^1e^{2\pi ikt}e^{-2\pi imt}dt = \int_0^1e^{2\pi i(k-m)t}dt = 0, \quad k\neq m}$

    这个简单的式子,将把“几何”引入到平方可积函数中$L^2([0,1])$,我们会应用到“几何”中的垂直(正交)概念。通过点乘(dot product)、又称内积(inner product)运算,如果运算得到的结果为0,则将进行运算的两者定义为垂直(perpendicularity),又可称为正交(orthogonality)。

    定义如下:

    设有复变函数$f,g\in L^2([0,1])$,那么可以把$f,g$分别认为是向量,求这两个向量的内积方法为

    $(f,g) = \displaystyle{\int_0^1f(t)\bar{g}(t)dt}$

    当$(f,g)=0$时,就可以说$f$与$g$正交。

     

    类比到向量的模,也就是求向量的平方。

    $\displaystyle{(f,f)=\left \| f \right \|^2=\int_0^1\left| f(t) \right| ^2dt}$

     

    勾股定理

    $\displaystyle{\left \| f+g \right \|^2 = \left \| f \right \|^2 + \left \| g \right \|^2 }$

    当且仅当$(f,g)=0$时成立。

     

    投影

    利用向量的内积来定义并计算投影(projections)。

    几何上的投影如下图

    image

    如果$v$是单位向量(正交基),那么$(u,v)$就是$u$在$v$上的投影。

     

    类比到傅里叶系数

    $\displaystyle{\hat{f}(n)=\int_0^1f(t)e^{-2\pi int}dt = (f(t), e^{2\pi int})}$

    因此傅里叶系数$\hat{f}(n)$是原函数$f(t)$在$e^{2\pi int}$上的投影。

     

    正交基

    几何上的正交基如下图

    image

    $u = (0,1), \ v = (1,0)$

    $u,v$间有如下关系:

    $(u,u) = u^2 = 1, \ (v,v) = v^2 = 1$

    $(u,v) = 0$

     

    类比到傅里叶系数

    $(e^{2\pi imt}, e^{2\pi ikt}) = \left\{\begin{matrix}
    1 & m = k \\
    0 & m \neq k
    \end{matrix}\right.$

    因此$e^{2\pi ikt}$被称为傅里叶变换中的正交基。

     

    分量

    几何上,一个向量$a$的分量如下图

    image

    设x,y轴上分别有正交基$u,v$,那么$a$在x,y轴上的分量计算方法如下:

    $a_x = (a,u)u, \ a_y = (a,v)v$

    即通过内积得到投影,然后用投影乘上代表向量方向的正交基,得到该方向上的分量。

     

    类比到傅里叶变换

    而根据傅里叶变换的推导,原函数$f(t)$有如下公式:

    $\begin{align*}
    \displaystyle{f(t)}
    &= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(t)e^{2\pi ikt} } \\
    &= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}(f, e^{2\pi ikt})e^{2\pi ikt} }
    \end{align*}$

    函数进行傅里叶变换后的每一项,都是函数在正交基$e^{2\pi ikt}$上的分量。反过来看,这些分量相加组合成完整的原始函数。

     

    瑞利等式(Rayleigh's Identity)

    几何向量有勾股定理

    $c^2 = a^2 + b^2, \ (a,b) = 0$

     

    类比到傅里叶变换有瑞利等式如下

    $\displaystyle{\int_0^1 \left | f(t) \right |^2dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left | \hat{f}(k) \right |^2 }$

    傅里叶变换后的项互为正交项,正交项内积为0

     

     

     

    热流应用(application to heat flow)

    研究的问题如下

        在一个空间中,温度初始分布函数为$f(x)$,$x$为空间变量。求温度如何随着时间与空间变化?

     

    典型例子:热环

    image

    $x$是圆环上的点,$U(x,t)$是某点$x$,某时刻$t$的温度项。

     

    求解过程如下

    设圆环周期为1,有

    $f(x+1) = f(x)$,即$U(x+1,t) = U(x,t)$

    根据傅里叶变换有如下等式,

    $U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k e^{2\pi ikx} }$

    另外还有时间变量$t$,那么$t$应该被包含在$C_k$中,即

    $U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)e^{2\pi ikx} }$

    现在我们的目的就变成了求傅里叶系数$C_k(t)$,如果知道了$C_k(t)$,就等于知道了温度的变化规律。

    热流在一维上,有如下扩散方程(diffusion equation):

    $U_t = aU_{xx}$

    $U_t$为$U$对$t$的一次微分,$U_{xx}$为$U$对$x$的二次微分。令$a=\frac{1}{2}$,则

    $U_t = \frac{1}{2}U_{xx}$

    把$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)e^{2\pi ikx} }$代入上式,得

    $U_t = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k'(t)e^{2\pi ikx} }$

    $\begin{align*}
    \frac{1}{2}U_{xx}
    &= \frac{1}{2} \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)(2\pi ik)^2 e^{2\pi ikx} } \\
    &= \frac{1}{2} \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)(-4\pi^2k^2)e^{2\pi ikx} } \\
    &= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)(-2\pi^2k^2)e^{2\pi ikx} }
    \end{align*}$

    两边对比得,

    $C_k'(t) = –2\pi^2k^2C_k(t)$

    上述等式为一次偏微分方程,求解得

    $C_k(t) = C_k(0)e^{-2\pi^2k^2t}$

    转载于:https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/4984611.html

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    从傅里叶级数开始,过渡到傅里叶变换。

    傅里叶级数,分析的是周期现象。

    傅里叶变换作为傅里叶级数的极限情况;分析的是非周期现象。

    两者在一些概念上是想通的,一些不是。

    分析:傅里叶分析是分解一个信号或者一个函数

    合成:就是把那些基本的组成部分重组成信号或函数

    分析与合成总是成对出现,我们把复杂的信号分离成简单信号,然后进行我们需要的处理,最后再组合成原始信号。

    傅里叶分析与合成是由线性运算完成的,即积分和序列。经常听到傅里叶分析是线性分析的一部分。



    从傅里叶级数开始,并且分析周期现象

    周期现象:定期出现的现象(图形)

    把周期性分为:

    时间上的周期性:一个图形在不同的时间不断重复,如谐振动,一个钟摆

    空间上的周期性:物理量的周期性产生于物体所在区域的对称性

    在圆环上的热量分布的问题:

    测量圆环上的点的温度,它是周期性的,因为测量一周后就回到了同一个位置。因此,温度是一个 关于描述在圆环上位置的空间变量的周期函数。与时间无关,与位置相关。

        由空间变量的周期性可以得出位置。


    在时域上,用频率描述周期性的现象,一秒或一段时间重复的ϑ次数

    在空域上,用周期描述周期性的现象,测量图形长度,有多大;每1/ϑ秒,出现一次,即一段完整的波长

    两者有时会一起出现,如波动

    一个规则的波动含有波长
    λ
    )与频率ϑ)属性。

    • 对于空间上的周期性,确定一个时刻,看这个在空间上分布的图形,一个完整的扰动(图形)就是波长,即某一时间点,一个完整波扰动的长度。
    • 频率,1秒内出现波扰动的次数。

    两者有以下关系:

    设波的传播速度为v,有

    v=λϑv=λ⋅ϑ

    波长与频率成反比例关系。在很多情况下,这种反比例关系能应用到傅里叶分析的复杂情况。


    由于数学上有sincos,可以通过这些简单的表达式来表示周期性现象。

    cos(T+2π)=cos(T)

    为什么sincos能表达空间上的周期性呢?因为sincos分别为单位圆的纵、横坐标,而圆在空间上是重复的、且对称的,走过一圈后会回到原点。





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  • 这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。 本课程学习路线 从傅里叶级数开始,后续过渡到傅里叶变换。 扼要描述 傅里叶级数(fourier series),几乎等同于...

        这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。

     

     

    本课程学习路线

    从傅里叶级数开始,后续过渡到傅里叶变换。

     

    扼要描述

    • 傅里叶级数(fourier series),几乎等同于周期性现象的学习。
    • 傅里叶变换(fourier transform),可作为傅里叶级数的极限情况,是对非周期性现象的数学分析。

     

    两者间的共同点

    • 分析(analysis),分解一个信号(函数),把它拆分成一系列组成部分,并希望这些组成部分比复杂的原始信号(函数)简单。
    • 合成(synthesis),把基本的组成部分重组成信号本身。

    分析与合成总是成对出现,我们把复杂的信号分离成简单信号,然后进行我们需要的处理,最后再组合成原始信号。

     

    线性运算

    傅里叶分析与合成是由线性运算完成的,线性运算包含有积分和序列。傅里叶分析经常被认为是线性分析的一部分。

     

    周期性现象

    周期性现象有两种:

    • 时间上的周期性
    • 空间上的周期性

     

    对称性与周期性的关系

    例:圆环上的热量分布

    image

     

    在这个例子里面认为温度不受时间影响,温度与圆环的位置有关。

    我们从圆环上的某点A测试圆环的温度,然后沿着顺时针方向一直测试,最终又会回到A点继续顺时针测试温度,这样我们就能得到呈现周期性的温度值。

    从上述测试我们可以得到初步结果:

    目标(圆环)重复--->目标对称--->相关值的周期性

     

    这里引出一个论点:傅里叶分析通常与具有对称性问题相关

     

    周期性

    • 在时域上,用频率(frequency)表达。
    • 在空域上,用周期(period)表达。

     

    两者有时会一起出现,如波动(wave motion)。

    一个规则的波动含有波长($\lambda$)与频率($\vartheta$)属性。

    • 波长,即某一时间点,一个完整波扰动的长度。
    • 频率,1秒内出现波扰动的次数。

    两者有以下关系:

    设波的传播速度为$v$,有

    $v = \lambda \cdot \vartheta $

    波长与频率成反比例关系。在很多情况下,这种反比例关系能应用到傅里叶分析的复杂情况。

     

    数学的引入

    由于数学上有$sin$,$cos$,可以通过这些简单的表达式来表示周期性现象。

    $cos(T+2\pi) = cos(T)$

    为什么$sin$、$cos$能表达空间上的周期性呢?因为$sin$与$cos$分别为单位圆的纵、横坐标,而圆在空间上市重复的对称的,走过一圈后会回到原点。

    image

    转载于:https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/4913979.html

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  • 傅里叶变换及其应用笔记(part 1)

    千次阅读 2019-03-21 23:14:36
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  • 图像傅里叶变换频谱分析

    千次阅读 2019-09-29 09:44:19
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