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  • 傅里叶分析及其应用

    2016-09-08 15:18:59
    数学傅里叶分析及其应用
  • 傅里叶分析及其应用(潘文杰) .pdf 傅里叶分析及其应用(潘文杰) .pdf
  • 《MATLAB实验二傅里叶分析及应用》由会员分享,可在线阅读,更多相关《MATLAB实验二傅里叶分析及应用(13页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、实验二 傅里叶分析及应用一、实验目的(一)掌握使用Matlab进行周期信号...

    《MATLAB实验二傅里叶分析及应用》由会员分享,可在线阅读,更多相关《MATLAB实验二傅里叶分析及应用(13页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、实验二 傅里叶分析及应用一、实验目的(一)掌握使用Matlab进行周期信号傅里叶级数展开和频谱分析1、学会使用Matlab分析傅里叶级数展开,深入理解傅里叶级数的物理含义2、学会使用Matlab分析周期信号的频谱特性(二)掌握使用Matlab求解信号的傅里叶变换并分析傅里叶变换的性质1、学会运用Matlab求连续时间信号的傅里叶变换2、学会运用Matlab求连续时间信号的频谱图3、学会运用Matlab分析连续时间信号的傅里叶变换的性质(三) 掌握使用Matlab完成信号抽样并验证抽样定理1、学会运用MATLAB完成信号抽样以及对抽样信号的频谱进行分析2、学会运用MATLAB改变抽样时间间隔,观。

    2、察抽样后信号的频谱变化3、学会运用MATLAB对抽样后的信号进行重建二、实验条件Win7系统,MATLAB R2015a三、实验内容1、分别利用Matlab符号运算求解法和数值计算法求下图所示信号的FT,并画出其频谱图(包括幅度谱和相位谱)注:图中时间单位为:毫秒(ms)。Code:ft = sym( (t+2)*(heaviside(t+2)-heaviside(t+1)+(heaviside(t+1)-heaviside(t-1)+(2-t)*(heaviside(t-1)-heaviside(t-2);fw = simplify(fourier(ft);subplot(2, 1, 1);。

    3、ezplot(abs(fw); grid on;title(amp spectrum);phi = atan(imag(fw) / real(fw);subplot(2, 1, 2);ezplot(phi); grid on;title(phase spectrum);符号运算法Code:dt = 0.01;t = -2: dt: 2;ft = (t+2).*(uCT(t+2)-uCT(t+1)+(uCT(t+1)-uCT(t-1)+(2-t).*(uCT(t-1)-uCT(t-2);N = 2000;k = -N: N;w = pi * k / (N*dt);fw = dt*ft*exp(-。

    4、i*t*w);fw = abs(fw);plot(w, fw), grid on;axis(-2*pi 2*pi -1 3.5);数值运算法2、试用Matlab命令求的傅里叶反变换,并绘出其时域信号图。Code:syms t;fw = sym(10/(3+i*w)-4/(5+i*w);ft = ifourier(fw, t);ezplot(ft), grid on;两个单边指数脉冲的叠加3、已知门函数自身卷积为三角波信号,试用Matlab命令验证FT的时域卷积定理。Code:f = sym(heaviside(t+1) - heaviside(t-1);fw = simplify(fourie。

    5、r(f);F = fw.*fw;subplot(211);ezplot(abs(F), -9, 9), grid ontitle(FW2)tri = sym(t+2)*heaviside(t+2)-2*t*heaviside(t)+(t-2)*heaviside(t-2);Ftri = fourier(tri);F = simplify(Ftri);subplot(212);ezplot(abs(F), -9, 9), grid on;title(tri FT)4、设有两个不同频率的余弦信号,频率分别为,;现在使用抽样频率对这三个信号进行抽样,使用MATLAB命令画出各抽样信号的波形和频谱,并。

    6、分析其频率混叠现象t2 = -0.007:ts:0.007;fst = cos(2*f1*pi*t2);subplot(223);plot(t1, ft, :), hold onstem(t2, fst), grid on;axis(-0.006 0.006 -1.5 1.5)xlabel(Time/s),ylabel(fs(t)title(Sample signal); hold offfsw=ts*fst*exp(-1i*t2*w);subplot(224); plot(w, abs(fsw), grid onaxis(-20000 20000 0 0.006)xlabel(omega),。

    7、ylabel(fsw)title( Sample freq spectrum);Code:f1 = 100; % f1 = 100 hzts = 1/4000;% sample = 4000hzdt = 0.0001;t1 = -0.007:dt:0.007;ft = cos(2*f1*pi*t1);subplot(221); plot(t1, ft), grid on; axis(-0.006 0.006 -1.5 1.5)xlabel(Time/s),ylabel(f(t)title(Cosine curve); N = 5000; k = -N:N; w = 2*pi*k/(2*N+1)。

    8、*dt);fw = ft*dt*exp(-1i*t1*w);subplot(222);plot(w, abs(fw); grid on;axis(-20000 20000 0 0.005);xlabel(omega), ylabel(f(w)title(Cos freq spectrum);f1 = 100Hz将代码中f1设为3800即可f2 = 3800Hz5、结合抽样定理,利用MATLAB编程实现信号经过冲激脉冲抽样后得到的抽样信号及其频谱建议:冲激脉冲的周期分别取4*pi/3 s、pi s、2*pi/3 s三种情况对比,并利用构建信号。 (*改动第一行代码即可)t2 = -5: Ts: 。

    9、5;fst = sinc(t2);subplot(2, 2, 3)plot(t1, ft, :), hold onstem(t2, fst), grid onaxis(-6 6 -0.5 1.2)title(Sampling signal)Fsw = Ts*fst*exp(-1i*t2*W);subplot(2, 2, 4)plot(W, abs(Fsw), grid onaxis(-50 50 -0.05 1.5) title(spectrum of Sampling signal)Ts = 4/3; % impulse period = 4*pi/3t1 = -5:0.01:5;ft = 。

    10、sinc(t1);subplot(2, 2, 1)plot(t1, ft), grid onaxis(-6 6 -0.5 1.2)title(Sa(t)N = 500; k = -N: N;W = pi*k / (N*0.01);Fw = 0.01*ft*exp(-1i*t1*W);subplot(2, 2, 2)plot(W, abs(Fw), grid onaxis(-30 30 -0.05 1.5)title(Sa(t) freq spectrum)冲激脉冲的周期 = 4*pi/3 s冲激脉冲的周期 = pi s冲激脉冲的周期 = 2*pi/3 s6、已知周期三角信号如下图所示注:图中时。

    11、间单位为:毫秒(ms):(1)试求出该信号的傅里叶级数自己求或参见课本P112或P394,利用Matlab编程实现其各次谐波如1、3、5、13、49的叠加,并验证其收敛性;a0 = 12; an = 4n2sin2(n2); bn = 0 谐波幅度收敛速度: 1n2原始波形:第k阶谐波 波形前K次谐波的叠加Code:figure(3);N = 4;a0 = 1/2;for k = 1: Nn = 1: 2: nclass(k);an = 4./(n*pi).2);ft = an*cos(pi*n*t);ft = ft + a0;subplot(2, 2, k); plot(t, ft);axi。

    12、s(-4, 4, 0, 1)title(The ,num2str(nclass(k),times superpose);endfigure(1);t = -2*pi: 0.001: 2*pi;f = abs(sawtooth(0.5*pi*t, 0.5);plot(t, f), grid on;axis(-4, 4, -1, 2)title(Original wave);nclass = 1, 3, 13, 49;figure(2);N = 4;a0 = 1/2;for k = 1: Nn = nclass(k);an = 4./(n*pi).2);ft = an*cos(pi*n*t);ft。

    13、 = ft + a0;subplot(2, 2, k); plot(t, ft);axis(-4, 4, 0, 1)title(num2str(nclass(k), class H-wave );end(2)用Matlab分析该周期三角信号的频谱三角形式或指数形式均可。当周期三角信号的周期(如由2ms1ms或由2ms4ms)和宽度(如2ms1ms)分别变化时,试观察分析其频谱的变化。dt=0.01; t=-4:dt:4;ft=(t=-1&t0&t=-0.5&t0&t2fmax),采样之后的数字信号才能完整保留原始信号中的信息。第四题中,f=3800hz时,采样频率4000hz明显小于f,故发生。

    14、了混叠。2、谐波叠加实验:可以看出随着波次的叠加,波形越来越趋近于原始波形,正体现了傅里叶级数对原函数的还原。五、实验思考1、MATLAB 原意是矩阵实验室,里面各种运算都是矩阵化的。所以在进行一些变量相乘的时候,要进行转置,比如单引号和点乘。2、第二题傅里叶逆变换,我对照了wolframalpha的结果,不太一样后发现MATLAB的逆变换是没有归一化处理的,而wolframalpha针对的是离散傅里叶变换,默认加了1/sqrt(2pi)归一化因子。3、第四题抽样那,频率变为3800hz后,图形应该也跟着放大才好看,但是放大有点失真,故还是选择了原来的比例。(注:文档可能无法思考全面,请浏览后下载,供参考。可复制、编制,期待你的好评与关注。

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  • 实验二傅里叶分析及应用.doc
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  • 傅里叶分析 & 应用

    2020-08-01 14:36:06
    傅里叶级数:Fourier Serie 傅里叶级数针对周期性函数:任意周期函数都可写成三角函数之和 公式 f(x)=a0×1+∑i=1∞(ai×cos(2×π×iT×x)+bi×sin(2×π×iT×x))=∑k=−∞∞(gk(x))f(x) = a_0 \times 1 + \sum_...

    傅里叶级数:Fourier Serie

    • 傅里叶级数针对周期性函数:任意周期函数都可写成三角函数之和
    • 公式
      • f ( x ) = a 0 × 1 + ∑ i = 1 ∞ ( a i × c o s ( 2 × π × i T × x ) + b i × s i n ( 2 × π × i T × x ) ) = ∑ k = − ∞ ∞ ( g k ( x ) ) f(x) = a_0 \times 1 + \sum_{i=1}^{\infty}(a_i \times cos(\frac{2 \times \pi \times i}{T} \times x) + b_i \times sin(\frac{2 \times \pi \times i}{T} \times x)) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}(g_k(x)) f(x)=a0×1+i=1(ai×cos(T2×π×i×x)+bi×sin(T2×π×i×x))=k=(gk(x))
        • g k ( x ) = a k × e j × k × ( 2 × π T ) × x g_k(x) = a_k \times e^{j \times k \times (\frac{2 \times \pi}{T}) \times x} gk(x)=ak×ej×k×(T2×π)×x,其中欧拉公式为: e j × θ = c o s ( θ ) + j × s i n ( θ ) e^{j \times \theta} = cos(\theta) + j \times sin(\theta) ej×θ=cos(θ)+j×sin(θ)
        • a 0 ∈ R a_0 \in \mathbb{R} a0R
        • T T T为函数周期
      • 时域: f ( x ) f(x) f(x)函数
      • 频域:以 ( 1 , c o s ( i × x ) / s i n ( i × x ) ) (1, cos(i \times x)/sin(i \times x)) (1,cos(i×x)/sin(i×x))为基的对应向量 ( a 0 , a i / b i ) (a_0, a_i/b_i) (a0,ai/bi)。叠加波的映射
      • 即:级数 i i i越大,频域向量维度变高,越密集。周期 T T T越大,频域越密集(正弦/余弦图更紧凑)
      • g k ( x ) g_k(x) gk(x)是周期为 T T T的周期函数, k k k值不同时,周期信号具有谐波关系(即它们都具有一个共同周期 T T T)。 k × ( 2 × π T ) k \times (\frac{2 \times \pi}{T}) k×(T2×π)即为 k k k次谐波,其中 k = 0 k=0 k=0时为常值 a 0 a_0 a0
    • 本质:是将一个周期的信号分解成无限多分开的(离散的)波

    傅里叶变换:Fourier Transformation

    • 时域是叠加波,频域就是几条竖线(振幅就是高度),时域很复杂的东西,很可能在频域就很简单。
    • A × s i n ( w × x + θ ) A \times sin(w \times x + \theta) A×sin(w×x+θ)
      • A A A:振幅
      • w w w:频率,周期的倒数
      • θ \theta θ:相位
    • F ( w ) F(w) F(w)叫做 f ( t ) f(t) f(t)的象函数, f ( t ) f(t) f(t)叫做 F ( w ) F(w) F(w)的象原函数
      • 傅里叶变换: F ( w ) = F [ f ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ ( f ( t ) × e − i × w × t ) d t F(w) = \mathscr{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}(f(t) \times e^{-i \times w \times t})\mathrm{d}t F(w)=F[f(t)]=(f(t)×ei×w×t)dt
      • 傅里叶逆变换: f ( t ) = F − 1 [ F ( w ) ] = 1 2 × π × ∫ − ∞ ∞ ( F ( w ) × e i × w × t ) d w f(t) = \mathscr{F}^{-1}[F(w)] = \frac{1}{2 \times \pi} \times \int_{-\infty}^{\infty}(F(w) \times e^{i \times w \times t})\mathrm{d}w f(t)=F1[F(w)]=2×π1×(F(w)×ei×w×t)dw
    • 指数形式傅里叶变换:欧拉公式

    关系

    • 傅里叶级数:时域是一个周期且连续的函数,而频域是一个非周期离散函数
    • 傅里叶变换:将一个时域非周期的连续信号,转化为一个在频域非周期的连续信号
      在这里插入图片描述
    • 一个极度有意思的总结图
      在这里插入图片描述

    应用

    • 周期时间序列
      • R:fourier。参考 k k k为级数
    • 滤波(图像,音频,交易信号):去掉特点的频率成分,在频域就是去掉其对应的竖线
    • 求解微分方程:时域的需要计算微分和积分,映射到频域就是加减法

    Python API:scipy.fft; numpy.fft

    • fft:一维离散傅里叶变换。返回傅里叶级数展开的 y i y_i yi
    • ifft:一维离散傅里叶逆变换
    • fft2, ifft2:同上
    • fftn, ifftn n n n
    • rfft:入参接受为实数,略掉虚数部分
    • irfft:逆函数
    • hfft:Compute the FFT of a signal that has Hermitian symmetry

    Reference

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  • 傅里叶变换及其应用自学
  • 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说,这么有意思的东西居然成...
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  • 傅里叶变换及其应用

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    所用的傅里叶变换的分析工具是Halcon,代码如下: read _image (Image, ' C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg ' ) fft_image (Image, ImageFFT)   二、不同图像的频谱图分析 左边是原图,...

    http://open.163.com/special/opencourse/fouriertransforms.html


    图像的二维傅里叶变换频谱图特点研究

    from: http://www.cnblogs.com/xh6300/p/5956503.html

    一、先放一些相关的结论:

    1、傅里叶变换的幅值称为傅里叶谱或频谱。

    2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反比。

    3、卷积定理:空间域两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域中的乘积。f(t)*h(t) <=> H(u)F(u)

    4、采样定理:如果以超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本,连续的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。

    5、严重的混淆甚至会产生完全的误解效果。

    6、变化最慢的频率分量(u=v=0)与图像的平均灰度成正比。直流项决定图像的平均灰度。

    7、零平均表示存在负灰度,此时图像不是原图像的真实描述,因为所有负灰度为显示目的的都被修剪过。

    8、对高通滤波器加一个小常数不会影响尖锐性,但是它的确能防止直流项的消除,并保留色调。

    9、在频谱图中,中心部分(uv坐标系中点(0,0)附近)表示原图像中的低频部分。

    10、如果原始图像具有十分明显的规律,例如将一个简单图样有规律的平移并填满整个图形,那么其频谱一般表现为坐标原点周围的一圈亮点。

    11、将一张灰度图像反相,其频谱的“样式”不变。(个人理解:反相只是将黑白颠倒,但并不改变灰度变化处的对比度)

    12、如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小);反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。

    13、高频分量解释信号的突变部分,而低频分量决定信号的整体形象。

    所用的傅里叶变换的分析工具是Halcon,代码如下:

    read_image (Image, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg')
    fft_image (Image, ImageFFT)

     

    二、不同图像的频谱图分析

    左边是原图,右边是经傅里叶变换之后的频谱图。

     

    1、全黑图——频谱图也全黑(图像的分辨率是240*240

     

    2、灰色图——频谱图中央有个单像素的白色的小正方形,坐标是(120,120),值是(30480,0)

     

    3、全白图——频谱图中央有个单像素的白色的小正方形,坐标是(120,120),值是(61200,0)

     

    4、在图中画一个圆——频谱图呈同心圆状,最中央(坐标120,120)的值为(3852.64,0),其他地方的值有正有负,趋势是越靠近中央值的绝对值越大。

     

    5、在图中画一个正方形——最中央的值为(5143.03,0),其他地方的值有正有负,趋势是越靠近中央值的绝对值越大。

     

    6、将上图中正方形旋转45度——最中央的值为(5140.22,0),可认为5140.22≈5143.03;其他地方的值有正有负,趋势是越靠近中央值的绝对值越大。

     

    7、画两个圆——最中央的值为(7704.13,0)

     

    8、画一个白圆、一个灰圆——最中央的值为(5772.82,0)

     

    9、画四个圆——最中央的值为(15402.8,0)

     

    10、画2个正方形——最中央的值为(10061.8,0)

     

    11、画四个均旋转45度的正方形——最中央的值为(20114.3,0)

     

    12、画一条直线——最中央的值为(766,0)

     

    13、画一条倾斜15°的线——最中央的值为(876.571,0)

     

    14、画一对交叉线——最中央的值为(1194.55,0)

     

    15、画一个渐变的圆——虽然也是同心圆,不过没有之前明显了;最中央的值为(1849.6,0)

     

    16、将整张图用渐变填充——最中央的值为(30470,0),可以认为这个值跟灰色图的值(30480)相等。

     

    17、画一个倾斜15°的渐变条——最中央的值为(12051.9,0)

     

    18、找来一张图做了不同处理,然后分别观察它们的 频谱图,分别是:

    原图、反相图、轻度高斯模糊、重度高斯模糊、平均灰度图、反相平均灰度图。

    处理的代码如下:

    复制代码
    read_image (Image1, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg')
    read_image (Image2, 'C:/Users/xiahui/Desktop/2.jpg')
    read_image (Image3, 'C:/Users/xiahui/Desktop/3.jpg')
    read_image (Image4, 'C:/Users/xiahui/Desktop/4.jpg')
    read_image (Image5, 'C:/Users/xiahui/Desktop/5.jpg')
    read_image (Image6, 'C:/Users/xiahui/Desktop/6.jpg')
    fft_image (Image1, ImageFFT1)
    fft_image (Image2, ImageFFT2)
    fft_image (Image3, ImageFFT3)
    fft_image (Image4, ImageFFT4)
    fft_image (Image5, ImageFFT5)
    fft_image (Image6, ImageFFT6)
    复制代码

    由上面可以看出,反相以后,图像的频谱图的“样式”是没有变化的。但其实值是有变化的,这6幅图中央点(120,120)的值分别为:

    (47235,0)、(13965,0)、(47169.5,0)、(47130.4,0)、(47280,0)、(13920,0)

     

    根据上面的例子,我们还能得出2个结论:

    1、如果图像中有条状的细线,那么沿着此条状细线的走向方向,没有灰度值的变化或变化很小,这样其频谱图就有一条垂直于该条状细线的亮线。这是因为数字图像频谱图的得出和图像的灰度变化(梯度)有关。

     

    2、图像中央点(120,120)的值应该和图像的平均灰度有关,在例3(全白图)中,没有灰度的变化,也就没有频率的变化,所有的能量都集中在频谱图中央的那个单个白色像素块中,其值为61200(图像的分辨率越高,这个极限值越大),在例18中,平均灰度图频谱中央点的值为47280,反相平均灰度图频谱为13920,而47280 + 13920 = 61200。平均灰度图的灰度为198,反相平均灰度图的灰度为57。


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    从傅里叶级数开始,过渡到傅里叶变换。

    傅里叶级数,分析的是周期现象。

    傅里叶变换作为傅里叶级数的极限情况;分析的是非周期现象。

    两者在一些概念上是想通的,一些不是。

    分析:傅里叶分析是分解一个信号或者一个函数

    合成:就是把那些基本的组成部分重组成信号或函数

    分析与合成总是成对出现,我们把复杂的信号分离成简单信号,然后进行我们需要的处理,最后再组合成原始信号。

    傅里叶分析与合成是由线性运算完成的,即积分和序列。经常听到傅里叶分析是线性分析的一部分。



    从傅里叶级数开始,并且分析周期现象

    周期现象:定期出现的现象(图形)

    把周期性分为:

    时间上的周期性:一个图形在不同的时间不断重复,如谐振动,一个钟摆

    空间上的周期性:物理量的周期性产生于物体所在区域的对称性

    在圆环上的热量分布的问题:

    测量圆环上的点的温度,它是周期性的,因为测量一周后就回到了同一个位置。因此,温度是一个 关于描述在圆环上位置的空间变量的周期函数。与时间无关,与位置相关。

        由空间变量的周期性可以得出位置。


    在时域上,用频率描述周期性的现象,一秒或一段时间重复的ϑ次数

    在空域上,用周期描述周期性的现象,测量图形长度,有多大;每1/ϑ秒,出现一次,即一段完整的波长

    两者有时会一起出现,如波动

    一个规则的波动含有波长
    λ
    )与频率 ϑ )属性。

    • 对于空间上的周期性,确定一个时刻,看这个在空间上分布的图形,一个完整的扰动(图形)就是波长,即某一时间点,一个完整波扰动的长度。
    • 频率,1秒内出现波扰动的次数。

    两者有以下关系:

    设波的传播速度为 v ,有

    v=λϑ v=λ⋅ϑ

    波长与频率成反比例关系。在很多情况下,这种反比例关系能应用到傅里叶分析的复杂情况。


    由于数学上有 sin cos ,可以通过这些简单的表达式来表示周期性现象。

    cos(T+2π)=cos(T)

    为什么 sin cos 能表达空间上的周期性呢?因为 sin cos 分别为单位圆的纵、横坐标,而圆在空间上是重复的、且对称的,走过一圈后会回到原点。





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