本文将讨论任意点v相对于某个平面镜像变换后的点v'的推导过程。

首先见下图:



图画的不好，大家将就看哈^-^！

图中的v代表将要变换的点、v'是v相对于平面镜像变换后的点、n是平面的法向量，在讨论中，我们始终假设n为单位向量、k是自v到该平面的最短有向距离、q是平面上距离点v最近的点、d是原点到平面的最短有向距离。

根据向量加法的几何意义，我们知道

同样的，我们可以知道。然后，把上面求出的q值代入该公式，我们得到

那么现在，我们就面临这样的问题，k怎么求呢？

首先，我们在图中创建个直角三角形，如图:



此时，我们可以发现。同时，为什么是-d呢，因为原点位于平面的负方向，所以d是小于0的，而求b的长度，要取d的长度，即-d。此时，合并2个公式，我们就求得了。此时，把k的值代入上述公式，我们得到了

如此，我们便得到了v'与v的关系表达式，展开看下会更明显:





现在，把它写成矩阵形式，我们便得到了相对于任意平面的镜像变换矩阵:



以下为详细的推导出矩阵形式（add 草原Song）

平面镜反射是一种常用的实时渲染效果，且在许多游戏中都可以见到它的身影。




通常游戏中实现实时反射的方法有如下几种：
1.使用cubemap或预先烘焙反射探针
2.平面镜反射
3。屏幕空间反射（SSR）


三种方式进行比较，使用cubemap或反射探针可以用在反射物体不要求实时更新或变换的情况，且可以用在非平面物体上，如金属材质对天空的反射，或对一些静态场景物件的反射等。而屏幕空间反射虽然可以做实时更新反射物件，且也可以用在非平面物体上，但其性能要求也是最高的。相比之下，平面镜反射尽管在介质上仅局限于平面物体，但其可以做到反射物体的实时更新和变换，效果和性能都不错。


本文主要介绍平面镜反射的实现方式。
考虑到平面镜反射的实现的主要难点集中在相机矩阵的计算，因此分成两篇文章：
【图形与渲染】相机平面镜反射与斜裁剪矩阵（上）
【图形与渲染】相机平面镜反射与斜裁剪矩阵（下）


实现平面镜反射的主要原理如下：
1.根据已知平面，计算出该平面的镜像矩阵
2.对当前摄像机进行拷贝，得到一个新的相机，并对该相机使用镜像矩阵变换到镜像位置
3.根据平面向量计算镜像相机的斜裁剪矩阵，以裁剪平面负方向的不可视区域
4.渲染镜像相机得到RenderTexture并投影到平面的材质shader，在shader中计算投影坐标最终得到镜面反射效果


第一篇文章首先介绍镜像矩阵的计算：


首先考虑以下情况：
假设存在平面P=<n,d>，其法线为n，其中d=-n·p，p表示平面上的任意一点
在平面的正方向存在点Q，要求计算点Q相对于平面P镜像后的坐标Q’。




可知向量Q’Q垂直于平面，即与法线n同向，假设Q到平面P的垂直距离为k，则有Q=Q’+2*k*n/|n|。


即Q’=Q-2*k*n/|n|


接下来就需要求点Q到平面的距离k


假设平面上存在任意点S=(x0,y0,z0)：


则有 （Q-S）·n =|Q-S||n|cosθ
其中cosθ可由k和Q到S的距离求得：
cosθ = k/|Q-S|
因此上述公式转换为(Q-S)·n=|n|*k


由于点S为平面上的任意一点，因此需要满足S·n=-d，所以上述公式还可以转换为Q·n+d=|n|*k，
最后得到点Q到平面的距离k = (Q·n+d)/|n|


结合以上结果，可以得到镜像点Q’的坐标：
Q’=Q-2*n/|n|*((Q·n+d)/|n|)


为了便于计算，我们只考虑法线n为单位向量的情况，则上述公式变为：
Q’=Q-2*n*(Q·n+d)


分解上述结果，最终得到点Q’坐标的各个分量如下：


Q’x = (1-2*nx*nx)*Qx-2*nx*ny*Qy-2*nx*nz*Qz-2*nx*d
Q’y = -2*nx*ny*Qx+(1-2*ny*ny)*Qy-2*ny*nz*Qz-2*ny*d
Q’z = -2*nx*nz*Qx-2*ny*nz*Qy+(1-2*nz*nz)*Qz-2*nz*d


根据以上信息即可求得镜面反射矩阵


在unity中的实现：

void OnWillRenderObject()
{
    if (m_IsRenderering)
        return;
    m_IsRenderering = true;
    m_MirrorCamera.CopyFrom(camera);
    m_MirrorCamera.targetTexture = m_RenderTexture;
     
    //计算平面向量：注意这里使用的平面模型为unity引擎自带的平面，其法线方向为模型的up轴方向，如果考虑使用其它平面模型，需要注意平面的法线朝向
    m_Plane = new Vector4(plane.transform.up.x, plane.transform.up.y, plane.transform.up.z, -Vector3.Dot(plane.transform.up, plane.transform.position));
 
    //将计算得到的镜像矩阵应用到镜像摄像机
    m_MirrorCamera.worldToCameraMatrix = camera.worldToCameraMatrix * ReflectMatrix(m_Plane);
         
    //注意当相机镜像后，其渲染的模型的顶点绕序也会镜像，需要将背面裁剪设置为正面裁剪，渲染结束后再修改回来
    GL.invertCulling = true;
    m_MirrorCamera.Render();
    GL.invertCulling = false;
    m_IsRenderering = false;
}
 
private Matrix4x4 ReflectMatrix(Vector4 plane)
{
    Matrix4x4 m = default(Matrix4x4);
    m.m00 = -2*plane.x*plane.x + 1;
    m.m01 = -2 * plane.x * plane.y;
    m.m02 = -2 * plane.x * plane.z;
    m.m03 = -2 * plane.x * plane.w;
 
    m.m10 = -2 * plane.x * plane.y;
    m.m11 = -2 * plane.y * plane.y + 1;
    m.m12 = -2 * plane.y * plane.z;
    m.m13 = -2 * plane.y * plane.w;
 
    m.m20 = -2 * plane.z * plane.x;
    m.m21 = -2 * plane.z * plane.y;
    m.m22 = -2 * plane.z * plane.z + 1;
    m.m23 = -2 * plane.z * plane.w;
 
    m.m30 = 0; m.m31 = 0;
    m.m32 = 0; m.m33 = 1;
    return m;
}


最终渲染效果如图：




此时对于位于平面以下的物体部分不会再被渲染到反射贴图中了。


此时的结果几乎看不出有什么问题，但仔细考虑如下情况：




当我们镜像相机C的到相机C’后，相机C’的视锥体裁剪区域为A+B，而实际上B区域位于平面以下，应该不属于被反射的部分，实际应该只能渲染A区域，因此如果上述效果中出现位于平面以下的部分，则渲染即会出现错误：






这种情况就需要使用平面P来计算斜裁剪矩阵了，详细内容请参考下一篇文章：


【图形与渲染】相机平面镜反射与斜裁剪矩阵（下）




更多内容请浏览我的博客原文：http://www.lsngo.net/2018/01/07/graphics_mirrorcamera_1/

单元平面图测验题
课程地址
1. 用MIRROR命令镜像复制一个物体时必须事先画好对称轴。（  ）
2. 镜像指令所复制图形的对称线的位置是___。
3. 镜像文本要保持正显,那么其相关变量MIRRTEXT设置为___。
4. 绘制梯井和扶手图形，并将图形精确定位在楼梯间，综合运用___指令。（多选题）
5. 在边界存在的情况下可以用修剪trim实现打断指令break的编辑效果。（  ）
6. 用打断Break指令打断开一个圆时，断开部分是自第一个断开点起，按逆时针方向延展到第二个断开点之间的部分。（  ）
7. CAD低版本默认的阵列对话框包含___等对话内容。（多选题）
8. 用矩形阵列指令作实体阵列时，希望向右下方排列实体，应输入___。
9. 2012版本CAD矩形阵列可以带角度进行倾斜的阵列。（  ）
10.AD2012版本的阵列指令包含矩形阵列、环形阵列、___三种方式。
11. CAD2012版本的阵列指令人机对话过程中涉及___等对话内容。（多选题）
12. CAD2012版本的阵列对象默认为成组性质，如果需要编辑其中一个对象，必须分解X指令，将阵列成组对象分解为单体对象。（  ）
13. 捕捉对象设置中勾选最近点，只要鼠标落在线段之上，即可处处实现点位的捕捉。（  ）
14. 绘制梯段上行下行指引线（包含箭头），通常选择___指令。
15. 即将标注的线性尺寸的尺寸线，为已有尺寸标注的尺寸线延伸方向，通常采用       ___指令进行新的尺寸标注。

课程地址
1. 用MIRROR命令镜像复制一个物体时必须事先画好对称轴。（  ）

 √
 ×

2. 镜像指令所复制图形的对称线的位置是___。

 任意的
 水平的
 垂直的
 水平或垂直的

3. 镜像文本要保持正显,那么其相关变量MIRRTEXT设置为___。

 0
 1
 2
 4

4. 绘制梯井和扶手图形，并将图形精确定位在楼梯间，综合运用___指令。（多选题）

 矩形rec
 圆弧A
 偏移O
 移动M

5. 在边界存在的情况下可以用修剪trim实现打断指令break的编辑效果。（  ）

 √
 ×

6. 用打断Break指令打断开一个圆时，断开部分是自第一个断开点起，按逆时针方向延展到第二个断开点之间的部分。（  ）

 √
 ×

7. CAD低版本默认的阵列对话框包含___等对话内容。（多选题）

 阵列方式选择
 对象选择
 行列数量填写
 行列距离填写

8. 用矩形阵列指令作实体阵列时，希望向右下方排列实体，应输入___。

 正行距负列距
 负行距负列距
 正行距正列距
 负行距正列距

9. 2012版本CAD矩形阵列可以带角度进行倾斜的阵列。（  ）

 √
 ×

10.AD2012版本的阵列指令包含矩形阵列、环形阵列、___三种方式。
路径阵列
11. CAD2012版本的阵列指令人机对话过程中涉及___等对话内容。（多选题）

 对象选择
 阵列方式选
 项目数应答
 行列间距应答

12. CAD2012版本的阵列对象默认为成组性质，如果需要编辑其中一个对象，必须分解X指令，将阵列成组对象分解为单体对象。（  ）

 √
 ×

13. 捕捉对象设置中勾选最近点，只要鼠标落在线段之上，即可处处实现点位的捕捉。（  ）

 √
 ×

14. 绘制梯段上行下行指引线（包含箭头），通常选择___指令。

 直线L
 多线ml
 多段线PL
 多段线编辑PE

15. 即将标注的线性尺寸的尺寸线，为已有尺寸标注的尺寸线延伸方向，通常采用       ___指令进行新的尺寸标注。

 线性标注
 对齐标注
 连续标注
 基线标注

最近处理数据，需要把对称模型进行镜像得到完整模型。网上查找，关于matlab图像镜像处理的文章大多是imread读入图片，然后对色彩矩阵进行处理。或者是用mirror/flidim命令处理。
笔者要处理的是原始数据的镜像绘图，因此不涉及imread等相关操作。
已有数据（X,Y,Z,T）

其中X,Y,Z为节点x,y,z坐标值，T为节点连接关系。
如果关于xoz平面镜像，数据应修改为（X,-Y,Z,T);

如果关于yoz平面镜像，数据应修改为（-X,Y,Z,T);

如果关于xoy面镜像，数据应修改为（X,Y,-Z,T);

如果关于对角线镜像，数据应修改为（-X,-Y,Z,T);
要得到镜像完的总体，只要每次绘图hold on就行啦
是不是很简单~

直接从数据入手，不用想着从图像入手或者调用现有函数~