知识解读
一．概念
1.极径：在平面上的任意一点到极点(原点)的距离，即M的为极径ρ
2.极角：射线Ox到OM的角度θ即为点M的极角
二．极径运用套路
1.使用条件：求两点间的距离，其中一点必须时原点或极点。
2.解题思路
思路一：点非交点而是曲线上的点
第一步：设点的极坐标
第二步：将点的极坐标代入所在曲线的极坐标方程，求出极径ρ
第三步：根据题意运用极径进行运算
思路二:点是交点
第一步：设点的极坐标
第二步：联立交点所在的两道曲线的极坐标方程，求出交点的极径或极坐标
第三步：根据题意运用极径进行运算
知识运用
考向一  交点极径的运用
【举一反三】
考向二  非交点极径运用
【举一反三】
考向三  极径求距离最值
【举一反三】
【举一反三】
【举一反三】
精选习题
End
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目录

参数方程中参数的意义：

参数方程定义：

什么是参数方程：

参数方程与普通方程的公式：

举例：

参数方程：

参数方程中参数的意义：

参数方程中t的几何意义要看具体的曲线方程了，一般都是长度，角度等几何量，也有一些是不容易找到对应的几何量的。

 

参数方程定义：

一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数{x=f(t)，y=g(t)并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

 

什么是参数方程：

其实就是 ：

y=f（t）；x=g（t）；其中t是参数，分别能表示出x，y；你看看下面参数方程与一般函数的转化你就明白了；

 

参数方程与普通方程的公式：

参数方程与普通方程的互化最基本的有以下四个公式：

1.cos²θ+sin²θ=1

2.ρ=x²+y²

3.ρcosθ=x

4.ρsinθ=y

举例：

参数方程：

一般的参数方程，主要使2式子进行乘除运算消掉  t。

遇到三角三角函数一般使用公式带入，消掉。

x=3-2t ① 

y=-1－4t ② 

解：

①×2-②得

x-2y=2(3-2t)-(-1-4t)

x-2y=7

∴2x-y = 7

 

将x， y的中参数转化为同一的，之后进行替换，得出一般函数方程。

例子：

x=cosθ （θ为参数） ①

y=cos2θ+1 ②

由②得

y=2cos²θ-1+1

y=2cos²θ

由①得

cosθ=x

∴y=2x² -1

 

例：



又例圆，椭圆等：

目标

空间椭圆曲线： 
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x(t)=y(t)=z(t)=1425(−177t∓219−−√875−3t(27t+50)−−−−−−−−−−−−−−−√+450)1425(159t±919−−√875−3t(27t+50)−−−−−−−−−−−−−−−√+100)t
ParametricPlot3D[{{1/425 (450-177z-2Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),1/425 (159z+100+9Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),z},{1/425 (450-177z+2Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),1/425 (159z+100-9Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),z}},{z,-30,30},PlotStyle->{Directive[Orange,Opacity[1],Specularity[White,30]],Directive[Orange,Opacity[1],Specularity[White,30]]},ImageSize->700,PlotRangePadding->Scaled[.1],PlotPoints->1500,AxesLabel->{Style["x",Black,18,FontFamily->"Times New Roman",Italic,Bold],Style["y",Black,18,FontFamily->"Times New Roman",Italic,Bold],Style["z",Black,18,FontFamily->"Times New Roman",Italic,Bold]}]/.Line[pts_,rests___]:>Tube[pts,0.06,rests]



经正交变换到坐标平面上的任意隐函数方程。

求解

这个椭圆在平面 π:9X+2Y+3Z−10=0 上。简单的思路是，先把它正投影到该平面，然后再把该平面反射到某个坐标平面上，比如 xoy。

大致的步骤是：

求π 上的正投影矩阵（齐次坐标表示），计算出投影之后……参数方程的形式没有发生任何变化；
求 π 到 xoy 的相互反射矩阵，利用齐次坐标和Householder矩阵表示法，这个也很容易得到，从而得到xoy 坐标平面上的参数方程，坐标的 z 项必然是 0, 否则就是你算错了；
利用 Eliminate 或 GroebnerBasic 方法，对 x(t)，y(t) 进行消元，消去参数就得到了 F(x,y)=0  形式的隐函数方程；但是可能是关于 x,y的 四次的多项式形式。它相当于求解的时候无法排除的另外一个椭圆被引入，去掉即可。
用Reduce的方法化简，或者干脆对 x (或 y )求一元四次方程的符号解，xi(y)=fi(y),i=1,2,3,4。每个符号解的表达式自然对应于一段椭圆弧曲线的隐函数方程。把两个有效的隐函数形式的表达式作为因子相乘，得到的就是拼接起来的所求的椭圆的隐函数方程。
ContourPlot[{x==1/1374106940 (1764833994+116325489 Sqrt[94]+383223186 y-56903469 Sqrt[94] y-7 \[Sqrt](370882257712465226+21496012552753644 Sqrt[94]-2437721560491300 y+734799305617824 Sqrt[94] y-39873980011335030 y^2-2840782215729132 Sqrt[94] y^2)),x==1/1374106940 (1764833994+116325489 Sqrt[94]+383223186 y-56903469 Sqrt[94] y+7 \[Sqrt](370882257712465226+21496012552753644 Sqrt[94]-2437721560491300 y+734799305617824 Sqrt[94] y-39873980011335030 y^2-2840782215729132 Sqrt[94] y^2)),x==1/16165964 (20038590+1467345 Sqrt[94]-1024722 y-792645 Sqrt[94] y-5 Sqrt[108441336840026+2474011696404 Sqrt[94]-1949543609220 y+311578887504 Sqrt[94] y-10910839196070 y^2-464210336772 Sqrt[94] y^2]),x==1/16165964 (20038590+1467345 Sqrt[94]-1024722 y-792645 Sqrt[94] y+5 Sqrt[108441336840026+2474011696404 Sqrt[94]-1949543609220 y+311578887504 Sqrt[94] y-10910839196070 y^2-464210336772 Sqrt[94] y^2])},{x,-3,7},{y,-5,5},PlotPoints->300,ImageSize->600,ContourStyle->{Red,Blue,Magenta,Green}]



最后求得的隐函数方程是：

8082982x2+3x((341574+26421594−−√)y−55(121446+889394−−√))
+9(1143967+4546594−−√)y2−60(108762+2194194−−√)y−9412594−−√−65170775=0
画出来是这样的：

高考数学选修4­-4
坐标系与参数方程知识点总结
第一讲
一　平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系：
①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；
②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；
③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；
④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；
⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．
(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：
二　极坐标系
(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．
(3)图示
2．极坐标
(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．
若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．
3．极坐标与直角坐标的互化公式
如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
三　简单曲线的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程
(1)特殊情形如下表：
3．直线的极坐标方程
(1)特殊情形如下表：
四　柱坐标系与球坐标系简介(了解)
第二讲
一　曲线的参数方程
1．参数方程的概念
2．圆的参数方程
二　圆锥曲线的参数方程
三　直线的参数方程
四　渐开线与摆线(了解)
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