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极坐标t1t2几何意义_选修44极坐标与参数方程
2020-11-22 04:19:34高考主要考查直线和圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识....各位朋友大家好,今天我们一起来看一下选修4-4所涉及到一个专题:极坐标与参数方程。
该章在高考中只考查1个大题,以解答题形式出现,占10分,属于二选一的题目.高考主要考查直线和圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.从命题趋势来看,估计2019年高考围绕坐标方程互化,利用参数方程解决直线与圆锥曲线的综合问题,突出参数方程的优势,特别是直线与圆和椭圆。
特别说明:本专题主要适合参加2019年的高考考生,对于参加2020年及以后高考的考生,可以做一些简单的了解即可,估计2020年及以后的全国卷高考会取消该章节的考察。该章节所呈现出来的参数思想与坐标系的另一种理解,对于我们提升数学思维和拓展解决问题的思路都很有帮助,让我们一起来看一下该章节所涉及到的知识点吧。
第一讲 坐标系
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在
的作用下,点P(x,y)对应到点
,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
伸缩变换公式应用时的两个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x,y)与变换后的点P′的坐标(X,Y),再利用伸缩变换公式
建立联系.
(2)已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程f(X,Y)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.
2.极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系:
在平面上取一个定点O,由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系,O点称为极点,Ox称为极轴,平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图),这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标,ρ称为极径,θ称为极角.
(2)极坐标与直角坐标的互相转化:
①互相转化的前提条件:
a.极点与坐标原点重合;
b.极轴与x轴正半轴重合,
的射线与y轴正半轴重合;
c.取相同的单位长度.
②互相转化公式:
设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),则互相转化公式为
(1)极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件
①取直角坐标系的原点为极点.
②以x轴的非负半轴为极轴.
③两种坐标系规定相同的长度单位.
(2)直角坐标化为极坐标的关注点
①根据终边相同的角的意义,角θ的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(ρ,θ)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.
当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.
②当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值.
3.直线的极坐标方程
(1)特殊位置的直线的极坐标方程:
(2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,直线l的极坐标方程为:ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0).
4.半径为r的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程:
(2)一般位置的圆的极坐标方程:圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程为
ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
极坐标方程及其应用的类型及解题策略
(1)求极坐标方程。可在平面直角坐标系中,求出曲线方程,然后再转化为极坐标方程。
(2)求点到直线的距离。先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程,然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解。
(3)求线段的长度。先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后再求线段的长度。
求曲线的极坐标方程的步骤:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;
(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
需要注意的两点:
1.简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出.同直角坐标方程一样,由于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同,在没有充分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐标解决问题.
2.把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.
第二讲 参数方程
1.参数方程的概念
如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数
反过来,对于t的每个允许值,由函数式
所确定的点P(x,y)都在曲线C上,那么方程
叫做曲线C的参数方程,变量t是参数.
2.圆锥曲线的参数方程
3.直线的参数方程
过点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
其中t表示直线上以定点M0为起点,任意一点M(x,y)为终点的有向线段的数量.当t>0时,的方向向上;当t<0时,的方向向下;当t=0时,M与M0重合.
将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,若参数为“t”,一般直接代入消参即可.对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参.如sin2θ+cos2θ=1等.
(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程 的等价性,不要增解。
极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略
(1)求交点坐标、距离、线段长。可先求出直角坐标方程,然后求解.
(2)判断位置关系。先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断.
(3)求参数方程与极坐标综合的问题。一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题.
思想方法—直线参数方程中参数t的几何意义
过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为
通常称它为直线l的参数方程的“标准式”.其中参数t的几何意义是:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.
当0<α时,sinα>0,所以,直线l的单位方向向量e的方向总是向上.此时,若t>0,则
的方向向上;若t<0,则
的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.即当点M在M0上方时,有
;当点M在M0下方时,有
该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A,B两点,所求问题与定点到A,B两点的距离有关解题时主要应用定点在直线AB上,利用参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.
(1)若M1、M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2,则
(2)若线段M1M2的中点为M3,点M1、M2、M3对应的参数分别为t1、t2、t3,则
(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t2<0.
利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便,是我们解决这类问题的好方法.另外,我们需要注意再将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
以上就是该专题所涉及到的常用基础知识点,大家做好整理和总结,一定要多看多思考,加油哦
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Chapter27:参数方程和极坐标
2021-11-10 22:19:0727.参数方程和极坐标 坐标 xxx 和 yyy 不直接相关,而是通过一个公共参数相联系 27.1 参数方程 圆方程 x2+y2=9 x^2+y^2=9 x2+y2=9 圆的参数化方程 {x=3cos(t)其中0≤t≤2πy=3sin(t)\left\{ \begin{aligned} x &...Chapter27:参数方程和极坐标
27.参数方程和极坐标
坐标 x x x 和 y y y 不直接相关,而是通过一个公共参数相联系
27.1 参数方程
圆方程
x 2 + y 2 = 9 x^2+y^2=9 x2+y2=9
圆的参数化方程{ x = 3 cos ( t ) 其 中 0 ≤ t ≤ 2 π y = 3 sin ( t ) \left\{ \begin{aligned} x & = & 3\cos(t) &\\ &&&\quad其中0\leq t \leq2\pi\\ y & = & 3\sin(t) \\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧xy==3cos(t)3sin(t)其中0≤t≤2π
参数化图像能告诉你这个圆是怎么画的,借助参数化可以知道每一时刻的圆上点的位置
若从 t = 0 t=0 t=0 开始且连续移动到 t = 2 π t=2\pi t=2π,则你就可以从 ( 3 , 0 ) (3,0) (3,0) 开始并以不变的速度沿逆时针方向画,直到回到起点27.1.1 参数方程的导数
例子:
例子:
27.1.2 参数定义的曲线长度
27.1.3 参数化曲线的旋转体表面积
例子:
27.2 极坐标
27.2.1 极坐标与笛卡尔坐标互换
例子:
例子:<>
27.2.2 极坐标中画曲线
对称
斜率
常见的极坐标曲线
27.2.3 求极坐标曲线的切线
27.2.4 求极坐标曲线围成的面积
极坐标平面内的面积
例子:
例子:
某区间内的面积
例子:
27.2.5 求极坐标曲线的长度
例子:
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