各位朋友大家好，今天我们一起来看一下选修4-4所涉及到一个专题：极坐标与参数方程。

该章在高考中只考查1个大题，以解答题形式出现，占10分，属于二选一的题目.高考主要考查直线和圆的极坐标方程，参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.从命题趋势来看，估计2019年高考围绕坐标方程互化，利用参数方程解决直线与圆锥曲线的综合问题，突出参数方程的优势，特别是直线与圆和椭圆。

特别说明：本专题主要适合参加2019年的高考考生，对于参加2020年及以后高考的考生，可以做一些简单的了解即可，估计2020年及以后的全国卷高考会取消该章节的考察。该章节所呈现出来的参数思想与坐标系的另一种理解，对于我们提升数学思维和拓展解决问题的思路都很有帮助，让我们一起来看一下该章节所涉及到的知识点吧。

第一讲　坐标系

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在的作用下，点P(x，y)对应到点，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

伸缩变换公式应用时的两个注意点

(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式建立联系．

(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．

2．极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系：

在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为极点，Ox称为极轴，平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图)，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角.

 (2)极坐标与直角坐标的互相转化：

①互相转化的前提条件：

a．极点与坐标原点重合；

b.极轴与x轴正半轴重合，的射线与y轴正半轴重合；

c.取相同的单位长度．

②互相转化公式：

设点P的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(ρ，θ)，则互相转化公式为

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(1)极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件

①取直角坐标系的原点为极点．

②以x轴的非负半轴为极轴．

③两种坐标系规定相同的长度单位．

(2)直角坐标化为极坐标的关注点

①根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．

当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．

②当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．

 3．直线的极坐标方程

(1)特殊位置的直线的极坐标方程：

 (2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ₀，θ₀)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：ρsin(α－θ)＝ρ₀sin(α－θ₀).

 4．半径为r的圆的极坐标方程

(1)特殊位置的圆的极坐标方程：

(2)一般位置的圆的极坐标方程：圆心为M(ρ₀，θ₀)，半径为r的圆的极坐标方程为

ρ²－2ρ₀ρcos(θ－θ₀)＋ρ－r²＝0.

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极坐标方程及其应用的类型及解题策略

(1)求极坐标方程。可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程。

(2)求点到直线的距离。先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解。

(3)求线段的长度。先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度。

求曲线的极坐标方程的步骤：

(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；

(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；

(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．

需要注意的两点：

1.简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同，在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．

2．把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.

第二讲　参数方程

1．参数方程的概念

如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数反过来，对于t的每个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参数．

2．圆锥曲线的参数方程

3．直线的参数方程

过点M(x₀，y₀)，倾斜角为α的直线l的参数方程为

其中t表示直线上以定点M₀为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量.当t＞0时，的方向向上；当t＜0时，的方向向下；当t＝0时，M与M₀重合．

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将参数方程化为普通方程的方法

(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，若参数为“t”，一般直接代入消参即可．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参．如sin²θ＋cos²θ＝1等．

(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程  的等价性，不要增解。

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极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略

(1)求交点坐标、距离、线段长。可先求出直角坐标方程，然后求解．

(2)判断位置关系。先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．

(3)求参数方程与极坐标综合的问题。一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．

思想方法—直线参数方程中参数t的几何意义

过定点M₀(x₀，y₀)，倾斜角为α的直线的参数方程为

通常称它为直线l的参数方程的“标准式”．其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M₀(x₀，y₀)的距离，即|M₀M|＝|t|.

当0<α时，sinα>0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上．此时，若t>0，则的方向向上；若t<0，则的方向向下；若t＝0，则点M与点M₀重合．即当点M在M₀上方时，有；当点M在M₀下方时，有该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A，B两点，所求问题与定点到A，B两点的距离有关解题时主要应用定点在直线AB上，利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．

(1)若M₁、M₂是直线l上的两个点，对应的参数分别为t₁，t₂，则

(2)若线段M₁M₂的中点为M₃，点M₁、M₂、M₃对应的参数分别为t₁、t₂、t₃，则

(3)若直线l上的线段M₁M₂的中点为M₀(x₀，y₀)，则t₁＋t₂＝0，t₁t₂＜0.

利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．另外，我们需要注意再将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．

以上就是该专题所涉及到的常用基础知识点，大家做好整理和总结，一定要多看多思考，加油哦