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  • 11空间平面方程、参数方程、向量式方程、行列式方程、三点式方程、点法式方程、一般方程
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    各位朋友大家好,今天我们一起来看一下选修4-4所涉及到一个专题:极坐标与参数方程。

    该章在高考中只考查1个大题,以解答题形式出现,占10分,属于二选一的题目.高考主要考查直线和圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.从命题趋势来看,估计2019年高考围绕坐标方程互化,利用参数方程解决直线与圆锥曲线的综合问题,突出参数方程的优势,特别是直线与圆和椭圆。

    特别说明:本专题主要适合参加2019年的高考考生,对于参加2020年及以后高考的考生,可以做一些简单的了解即可,估计2020年及以后的全国卷高考会取消该章节的考察。该章节所呈现出来的参数思想与坐标系的另一种理解,对于我们提升数学思维和拓展解决问题的思路都很有帮助,让我们一起来看一下该章节所涉及到的知识点吧。

    第一讲 坐标系

    1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

    设点P(xy)是平面直角坐标系中的任意一点,在7cdd51bb226e5ae493496da83d7b511c.png的作用下,点P(xy)对应到点6f9a047214dff22b3ba50fc140d98cdd.png,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

    伸缩变换公式应用时的两个注意点

    (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标(xy)与变换后的点P′的坐标(XY),再利用伸缩变换公式60c30d33519e05bb93ca00e6e80885c9.png建立联系.

    (2)已知变换后的曲线方程f(xy)=0,一般都要改写为方程f(XY)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.

    2.极坐标系与点的极坐标

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    (1)极坐标系:

    在平面上取一个定点O,由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系,O点称为极点,Ox称为极轴,平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从OxOM的角度θ来刻画(如图),这两个数组成的有序数对(ρθ)称为点M的极坐标,ρ称为极径,θ称为极角.

     (2)极坐标与直角坐标的互相转化:

    ①互相转化的前提条件:

    a.极点与坐标原点重合;

    b.极轴与x轴正半轴重合,d8d717694abc1760aba7e644c3b4636b.png的射线与y轴正半轴重合;

    c.取相同的单位长度.

    ②互相转化公式:

    设点P的直角坐标为(xy),它的极坐标为(ρθ),则互相转化公式为

    c35883812abbb6b8c03a8113d392d06b.png

    e411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.png

    (1)极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件

    ①取直角坐标系的原点为极点.

    ②以x轴的非负半轴为极轴.

    ③两种坐标系规定相同的长度单位.

    (2)直角坐标化为极坐标的关注点

    ①根据终边相同的角的意义,角θ的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(ρθ)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.

    当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.

    ②当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值.

     3.直线的极坐标方程

    (1)特殊位置的直线的极坐标方程: 5efae2927c0135dcc9d204718dd49898.png

     (2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(ρ0θ0),且极轴到此直线的角为α,直线l的极坐标方程为:ρsin(αθ)=ρ0sin(αθ0).

    5266acfc3f02c75607308bfbea15c3bf.png

     4.半径为r的圆的极坐标方程

    (1)特殊位置的圆的极坐标方程:

    fd23ce54e95241f2513c272ff1c115c7.png

    (2)一般位置的圆的极坐标方程:圆心为M(ρ0θ0),半径为r的圆的极坐标方程为

    ρ2-2ρ0ρcos(θθ0)+ρr2=0.

    51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png

    极坐标方程及其应用的类型及解题策略

    (1)求极坐标方程。可在平面直角坐标系中,求出曲线方程,然后再转化为极坐标方程。

    (2)求点到直线的距离。先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程,然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解。

    (3)求线段的长度。先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后再求线段的长度。

    求曲线的极坐标方程的步骤:

    (1)建立适当的极坐标系,设P(ρθ)是曲线上任意一点;

    (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;

    (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.

    需要注意的两点:

    1.简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρθ的具体含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出.同直角坐标方程一样,由于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同,在没有充分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐标解决问题.

    2.把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.

    588691c22dab05b51377546a1606bfb9.png588691c22dab05b51377546a1606bfb9.png588691c22dab05b51377546a1606bfb9.png第二讲 参数方程

    1.参数方程的概念

    如果曲线C上任意一点P的坐标xy都可以表示为某个变量t的函数2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png反过来,对于t的每个允许值,由函数式2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png所确定的点P(xy)都在曲线C上,那么方程2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png叫做曲线C的参数方程,变量t是参数.

    2.圆锥曲线的参数方程

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    a4375dd6afef3aa668ff92133977b024.png

    4f8c72a0331fdcd044070bc3cc42417c.png

    8e985c3b7e61436957ce6b35cc3b0795.png

    3.直线的参数方程70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png

    过点M(x0y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为

    b4fbc7c2e1a341a22d5f293f1e88266b.png

    其中t表示直线上以定点M0为起点,任意一点M(xy)为终点的有向线段的数量.当t>0时,的方向向上;当t<0时,的方向向下;当t=0时,MM0重合.

    489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png

    将参数方程化为普通方程的方法

    (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,若参数为“t”,一般直接代入消参即可.对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参.如sin2θ+cos2θ=1等.

    (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程  的等价性,不要增解。

    12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png

    极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略

    (1)求交点坐标、距离、线段长。可先求出直角坐标方程,然后求解.

    (2)判断位置关系。先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断.

    (3)求参数方程与极坐标综合的问题。一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题.

    思想方法—直线参数方程中参数t的几何意义

    过定点M0(x0y0),倾斜角为α的直线的参数方程为

    359682f06b147ed1a169ef184ead475f.png

    通常称它为直线l的参数方程的“标准式”.其中参数t的几何意义是:|t|是直线上任一点M(xy)到M0(x0y0)的距离,即|M0M|=|t|.

    当0<α时,sinα>0,所以,直线l的单位方向向量e的方向总是向上.此时,若t>0,则33c3d62e52821fe2807c380107f3609e.png的方向向上;若t<0,则33c3d62e52821fe2807c380107f3609e.png的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.即当点MM0上方时,有b467acbd9edf0dd1811b8e8910db105e.png;当点MM0下方时,有a2787b286fde6065c23ee7a97c09b843.png该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于AB两点,所求问题与定点到AB两点的距离有关解题时主要应用定点在直线AB上,利用参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.

    (1)若M1M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1t2,则

    33438973b5eeaf4245b96ed52b9e98cd.png

    048386a3ccb2e7f10f92fbeaa397bb41.png

    (2)若线段M1M2的中点为M3,点M1M2M3对应的参数分别为t1t2t3,则331015602294454a0197b62bb997bf86.png

    (3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0y0),则t1t2=0,t1t2<0.

    利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便,是我们解决这类问题的好方法.另外,我们需要注意再将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的xy的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.

    以上就是该专题所涉及到的常用基础知识点,大家做好整理和总结,一定要多看多思考,加油哦12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png

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  • 27.参数方程和极坐标 坐标 xxx 和 yyy 不直接相关,而是通过一个公共参数相联系 27.1 参数方程 圆方程 x2+y2=9 x^2+y^2=9 x2+y2=9 圆的参数化方程 {x=3cos⁡(t)其中0≤t≤2πy=3sin⁡(t)\left\{ \begin{aligned} x &...

    27.参数方程和极坐标

    坐标 x x x y y y 不直接相关,而是通过一个公共参数相联系

    27.1 参数方程

    圆方程
    x 2 + y 2 = 9 x^2+y^2=9 x2+y2=9
    圆的参数化方程

    { x = 3 cos ⁡ ( t ) 其 中 0 ≤ t ≤ 2 π y = 3 sin ⁡ ( t ) \left\{ \begin{aligned} x & = & 3\cos(t) &\\ &&&\quad其中0\leq t \leq2\pi\\ y & = & 3\sin(t) \\ \end{aligned} \right. xy==3cos(t)3sin(t)0t2π

    参数化图像能告诉你这个圆是怎么画的,借助参数化可以知道每一时刻的圆上点的位置
    若从 t = 0 t=0 t=0 开始且连续移动到 t = 2 π t=2\pi t=2π,则你就可以从 ( 3 , 0 ) (3,0) (3,0) 开始并以不变的速度沿逆时针方向画,直到回到起点

    27.1.1 参数方程的导数


    例子:

    例子:

    27.1.2 参数定义的曲线长度


    、

    27.1.3 参数化曲线的旋转体表面积


    例子:

    27.2 极坐标


    27.2.1 极坐标与笛卡尔坐标互换



    例子:

    例子:<>

    27.2.2 极坐标中画曲线

    对称


    斜率

    常见的极坐标曲线

    27.2.3 求极坐标曲线的切线

    27.2.4 求极坐标曲线围成的面积

    极坐标平面内的面积


    例子:

    例子:

    某区间内的面积



    例子:

    27.2.5 求极坐标曲线的长度


    例子:

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