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  • 使用matlab将球体投影平面
    2021-04-24 11:42:28

    我可能完全误解了你的问题,在这种情况下我道歉;但我认为以下三种方法中的一种实际上可能就是你所需要的.请注意,方法3给出的图像看起来很像您提供的示例…但我使用了一个非常不同的路径(根本不使用sphere命令,而是通过工作计算“体素内部”和“外部体素”)直接与他们离中心的距离).我倒第二个图像与第三个图像相比,因为它看起来更好 – 用零填充球体使它看起来几乎像一个黑色磁盘.

    %% method 1: find the coordinates, and histogram them

    [x y z]=sphere(200);

    xv = linspace(-1,1,40);

    [xh xc]=histc(x(:), xv);

    [yh yc]=histc(y(:), xv);

    % sum the occurrences of coordinates using sparse:

    sm = sparse(xc, yc, ones(size(xc)));

    sf = full(sm);

    figure;

    subplot(1,3,1);

    imagesc(sf); axis image; axis off

    caxis([0 sf(19,19)]) % add some clipping

    title 'projection of point density'

    %% method 2: fill a sphere and add its volume elements:

    xv = linspace(-1,1,100);

    [xx yy zz]=meshgrid(xv,xv,xv);

    rr = sqrt(xx.^2 + yy.^2 + zz.^2);

    vol = zeros(numel(xv)*[1 1 1]);

    vol(rr<1)=1;

    proj = sum(vol,3);

    subplot(1,3,2)

    imagesc(proj); axis image; axis off; colormap gray

    title 'projection of volume'

    %% method 3: visualize just a thin shell:

    vol2 = ones(numel(xv)*[1 1 1]);

    vol2(rr<1) = 0;

    vol2(rr<0.95)=1;

    projShell = sum(vol2,3);

    subplot(1,3,3);

    imagesc(projShell); axis image; axis off; colormap gray

    title 'projection of a shell'

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    一维空间的投影矩阵

      先来看一维空间内向量的投影:

    ae4e9780bec9e30ba8a7face21ef3524.png

      向量p是b在a上的投影,也称为b在a上的分量,可以用b乘以a方向的单位向量来计算,现在,我们打算尝试用更“贴近”线性代数的方式表达。

      因为p趴在a上,所以p实际上是a的一个子空间,可以将它看作a放缩x倍,因此向量p可以用p = xa来表示,只要找出x就可以了。因为a⊥e,所以二者的点积为0:

    bcb659f2ea22ab790a1ebaaccff25dba.png

      我们希望化简这个式子从而得出x:

    9a509d038af1439715455621520b8c26.png

      x是一个实数,进一步得到x:

    850d7cc98c501d34438fe6902c0e6e5f.png

    都是点积运算,最后将得到一个标量数字。这里需要抑制住消去
    的冲动,向量是不能简单消去的,a和b都是2×1矩阵,矩阵的运算不满足
    乘法交换律
    无法先和
    计算。

      现在可以写出向量p的表达式,这里的x是个标量:

    75824f744c58321f0808525e22219e2a.png


      这就是b在a上的投影了,它表明,当b放缩时,p也放缩相同的倍数;a放缩时,p保持不变。
      由于向量点积

    是一个数字,p可以进一步写成:

    010578bccf8878b6236c7c28c79d42b7.png

      在一维空间中,分子是一个2×2矩阵,这说明向量b的在a上的投影p是一个矩阵作用在b上得到的,这个矩阵就叫做投影矩阵(Projection Matrix),用大写的P表达:

    dfd4a34224bf43feeb91d61485b2a417.png

      推广到n维空间,a是n维向量,投影矩阵就是n×n的方阵。观察投影矩阵会法发现,它是由一个列向量乘以一个行向量得到的:

    98b6adcb7fb892c462a1848529db6997.png

      可以看出

    的列向量是线性相关的,所以它的列空间和行空间的维度都是1,这说明它的秩是1,
    是一个秩一矩阵,并且是一个对称矩阵。由于
    是一个标量,所以
    决定了投影矩阵的性质:

    77c86ace62bd02571715d724fe91b846.png


      投影矩阵还有另外一个性质:

    1b8dd2d9b25583b80c57fb6876bd12a0.png


      它的几何意义是,对一个向量投影两次和投影一次相同,b在a上的投影是p,再投影一次仍然是p。


    投影的意义

      向量投影到子空间有什么意义呢?这要从方程Ax = b说起。

      对于Ax = b来说,并不是任何时候都有解,实际上大多数这种类型的方程都无解。A的列空间的含义是方程组有解时b的取值空间,当b不在A的列空间时,方程无解。具体来说,当A是行数大于列数的长方矩阵时,方程组中的方程大于未知数个数,肯定无解。

      虽然方程无解,但我们还是希望能够运算下去,这就需要我们换个思路——不追求可解,转而寻找最接近可解问题的解。对于无解方程Ax = b,Ax总是在列空间里(因为列空间本来就是由Ax确定的,和b无关),而b就不一定了,所以需要微调b,将b变成列空间中最接近它的一个,Ax = b变成了:

    b94ed1814a2b44f4051b7c8e024e34d8.png

      p就是A的列空间的投影,

    表示此时的x已经不是原来Ax = b中的x,

    c08e6534480483bb4025f7ee20c6fe64.png

    ,当然,因为方程无解,所以本来也不可能有Ax = b。此时问题转换为寻找最好的 ,让它与原方程的差距最小:

    fc10f4defa9db63241020788b9101ff2.png


      假设A的秩是2,此时列空间的维度也是2,列空间将是一个平面,平面上的向量有无数个,其中最接近b的当然是b在平面上的投影,只有b – p才能产生最小的误差向量:

    4688138ce5d1ec233e3f9410138df8f4.png


      所以说,想要求解不等方程Ax = b,需要将b微调成它在A的列空间上的投影(列空间上的向量很多,b在列空间上的投影是唯一的),这就是投影的意义。

      从上图可知,如果b在列空间中,b的投影就是它自己;如果b正交于列空间,它的投影是0。

    投影矩阵的多维推广

      向量

    在子空间上的投影是b在向量上投影的推广。如果A的列空间是一个二维平面,则列空间的基包含两个向量,我们用
    表示。在一维空间中,b的投影是
    ,多维空间也一样,只不过a从向量变成了矩阵,x从标量变成了向量:

    066c70d70de77b4dbb5defca82ce419a.png


      我们知道如何找到列空间的基向量, 如何求解呢?

      误差向量e垂直于列空间的平面,这意味它垂直于平面上的任意向量,投影p和基向量

    ,
    都在平面上,这意味着它们和e的点积为0:

    3d576d54b461e03b45b56b201be54ad0.png

      将二者归纳为一个矩阵方程:

    f495568b8e0dd9024f9de293bce0f4b2.png

      对比平面上的投影方程,发现二者很相似:

    8eeab8ebdd6538b4859dc2143c954790.png

      在一维空间中a是向量,x是标量;在多维空间中,a变成了矩阵A,x变成了向量,它们都长高了。

      误差向量e是否属于A的某个基本子空间呢?在上一章中提到过,列空间和零空间正交,e垂直于列空间上的所有向量,所以e属于A的零空间,也就是

    c6a40193bb58cdcc56b7ce5e197462c5.png

    属于a的零空间。

      通过矩阵方程可以进一步求解投影向量和投影矩阵:

    574e63ec7aea4725d0a364ffa4889a19.png


      这就是多维空间的投影矩阵,满足和一维空间同样的性质:

    a57c0b0d70ff4914af6c3e45050be21c.png


      投影矩阵的表达式并不友好,也许可以进一步化简:

    19c3019780f6bf3709d57d4c743f4761.png


      看起来就不对,所以一定要抑制住化简的冲动——这里A不是方阵,所以

    不存在。

    最小二乘法

      最小二乘是投影矩阵的重要应用,常用于回归分析中。一元线性回归是回归分析中最简单的一种,它有一个自变量和一个因变量,能够根据一系列训练数据

    找出一条最佳拟合直线y = ax + b,用这条直线作为模型,近似地表示x和y的关系,从而对新鲜样本进行预测。下图是一条典型的拟合直线:

    b05b81ea7b5db95a726d83a8765f48ba.png


      《多变量微积分2——最小二乘法》和《寻找“最好”(5)——无解之解》从微积分和约等方程的视角解释过最小二乘,其实用线性代数的观点解释会更加直观。
      最小二乘建立了一个约等方程组,目标是使总误差最小化,约等方程组可以用矩阵写成:

    79de3c145d3d4938898bb18a3edda3ea.png


      问题是A是一个长方矩阵,想要求解必须将A转换为方阵,方法是等式两侧同时左乘

    17ffeada742cae6d1c59cccde2cc138d.png


      这就和投影矩阵的相关公式相同,可以直接求解了。
      最小二乘的几何意义也可以用投影来解释,平方和损失函数用矩阵表示是:

    2037d3c55cbd1ac35a1f9cd72a3e815e.png

    正是投影矩阵,整个式子表示所有向量与这些向量在列空间上的投影的误差的平方和,它的几何意义是所有点到拟合直线的距离之和最小:

    787065702a24b488ba78f4ee16b28a0a.png


      最后的问题是

    是否是可逆的,如果A的各列线性无关,
    就是可逆的,这在《线性代数12——列空间和零空间》中有所说明。实际应用中,每个列代表的含义都不同,比如在房价预测中,第一列代表房屋面积,第二列代表房间数,第三列代表楼层数,这就可以确定A的各列一定是线性无关的。

    害群之马

      有一个因素会严重影响数据拟合:

    341b846713c07ce596c0e26efb45594f.png


      一部分数据点极不合群,它们远离了大部队,就像害群之马一样,会拉低整体的平均素质。这样的数据在统计学中称为离群量,也叫逸出量,在数据分析中称为数据噪声。实际上数据噪声很常见,比如预测某个大都市里电视机的价格走势,如果把双十一或店铺周年庆的价格也统计在内,就会严重影响预测结果,所以在拟合数据时,还需要预先去除数据噪声。


    示例

      假设有 (0, 1), (2, 1), (3, 4)三组数据,现在尝试使用直线对他们进行拟合,数据点的分布如下所示:

    ac554a6f17085fe7d052c3a73258d9ee.png


      直线的方程是y = ax + b,通过图中的三点建立一个方程组:

    854d23cee455d989d32f9814388d92cd.png


      三个方程两个未知数,这是个无解的方程组,说明三点并不在同一条直线上,我们需要寻找一条能够使三点误差和最小的直线。
      将最初的方程组转换为 的形式:

    4522584165a13bd2ba41e9f64fc375cb.png


      可以根据投影矩阵的知识直接求解了:

    36873efa0520a1a512f30210afebdaee.png


      最终a = 6/7,b = 4/7
      现在更改一下需求,将数据拟合为曲线

    。把三点代入假设函数,得到一个方程组:

    4019e542d9715f170ccbae7fae80e89e.png


      实际上这个方程组有唯一解:

    848bc789eb36f1ac29e004b61f470692.png


      即便如此,我们仍然想用最小二乘的思想求解并验证一下。

    d199ba2ef6def4eceeb5f471de96c7b7.png


      无论是通过消元法还是使用投影矩阵,最终都将得到唯一解。

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    3beee2374b8628c16716714c6309cbb4.png

    第15讲 子空间投影

    Projections onto subspaces

    网易公开课​open.163.com
    8644214cd5f613cb7acfa3ebdcf024c5.png
    • 投影(射影)Projections

    5e08aaa8bffa1c9917b5c86cdc7c8da0.png

    投影问题的几何解释就是:如何在向量a的方向上寻找与向量b距离最近的一点。从图中可以看出,这个距离最近的点p就位于穿过b点并与向量a正交的直线与向量a所在直线的交点上。这就是ba上的投影。如果我们将向量p视为b的一种近似,则长度e=b-p就是这一近似的误差。

    因为p在向量a的方向上,因此可以令p=xa,而因为它和e正交,我们可以得到方程:

    解得:x=

    p=

    如果b变为原来的2倍,则p也变为原来的2倍。而如果a变为原来的2倍,p不发生变化。从几何上和计算中都会得到验证。

    本单元前半部分的核心内容就是射影。上一单元我们最核心的内容是认识消元法对于线性方程组的意义,并用矩阵的数学语言实现了消元过程,在那里最核心的策略就是利用矩阵乘法中的行操作来实现这一过程。这里面临类似的情况,我们有一个明确的几何目标,要将向量投影到已知子空间,而这里的策略就是误差向量和已知子空间正交,即两者求点积为0。
    • 投影矩阵 Projections matrix

    我们将投影问题用投影矩阵的方式进行描述,即为p=Pb,其中P为投影矩阵。

    p=

    。则有
    P
    。,其分子
    是一个矩阵,而分母
    是一个数。

    观察这个矩阵可知,矩阵P的列空间就是向量a所在的直线,矩阵的秩是1。投影矩阵P是一个对称矩阵。另一方面,如果做两次投影则有

    ,这是因为第二次投影还在原来的位置。因此矩阵
    P有如下性质:
    • 为什么要投影 Why Project

    如前所述,方程Ax=b有可能无解,我们需要得到方程的“最优解”。这里的问题在于向量Ax一定在矩阵A的列空间之内,但是b不一定,因此我们希望将b投影到A的列空间得到p,将问题转化为求解

    • 在高维投影 Projection in higher dimensions

    R3空间内,如何将向量b投影到它距离平面最近的一点p

    0e37a40e5e7f95098ba131ec72bd9052.png

    如果a1和a2构成了平面的一组基,则平面就是矩阵A=[a1 a2]的列空间。

    已知向量p在平面内,则有p=

    。而
    与投影平面正交(
    重点),因此 ea1和 a2均正交,因此可以得到:
    并且
    。因为
    a1和 a2分别为矩阵 A的列向量,即
    为矩阵
    的行向量,所以将两个方程式写成矩阵形式即为
    。这与一维投影的方程形式相同。

    向量

    存在于矩阵
    的零空间N(
    )里,从上一讲讨论子空间的正交性可知,向量
    e与矩阵 A的列空间正交,这也正是方程的意义。

    将方程

    改写,可得
    。两侧左乘
    ,得到:

    因为矩阵A不是方阵,无法简单的用

    对投影矩阵公式进行化简。若
    A是可逆方阵,则化简得到 P= I。此时 A的列空间就是整个 Rn空间, b到这个空间的投影就是其本身,投影矩阵等于单位阵。

    用矩阵乘法的结合律和矩阵乘积的转置公式,可以证明投影矩阵的性质:
    • 最小二乘法 Least Squares

    470b8bc7e2a893b92c26a70d31a93d06.png

    应用投影矩阵求方程组最优解的方法,最常用于“最小二乘法”拟合曲线。

    有三个数据点{(1,1), (2,2), (3,2)},求直线方程b=C+Dt,要求直线尽量接近于三个点。把三个点的数据代入方程则有:

    C+ D=1

    C+2D=2

    C+3D=2

    矩阵形式为

    这个的方程Ax=b是无解的,解决办法就是求其最优解,即方程

    的解。
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    056db2f0f1de5f5ef7f4b291692ea3ab.png

    向量积

    目录:

    • 向量积的定义。
    • 向量积的点乘。
    • 向量积的叉乘。

    1.向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。

    2.向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组。向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。那么接下来对点乘公式做一点解释:

    点乘公式
    对于向量a和向量b:

    cb5a2ec639413e1a66cf514057313fb7.png

    3f6a0b8f1f1719bfd9c302e3bd5ca687.png

    a和b的点积公式为:

    8d4bd9423fd4c6dfc3e99be12e2183fa.png

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

    3d1c1e6662443935d77fc85e5013a796.png

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    ebbee88a93f860c30428a2840932329c.png

    定义向量:

    8c38d9d39b93422b250fd638005e2725.png

    根据三角形余弦定理有:

    b8da620473cf5ad4ce58a005573e4ba8.png

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    8abc2e3c4fd28df63ad613c36676b3d0.png

    即:

    e81db3300701df55457fa689ccf43089.png

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    a2301f1fe29e603e01c5b73f802f915c.png

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:
    a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之

    a·b=0 正交,相互垂直。

    a·b<0 方向基本相反,夹角在90°到180°之间。

    3.叉乘公式

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

    c139c63b6c09f7feb03454cf3bd03421.png

    a和b的叉乘公式为:

    5e5076ac4bf0df7edddb0a8923a647c4.png

    其中:

    d2b1dc11b28aa5dd837477c5748da775.png

    根据i、j、k间关系,有:

    dfc9d92feede40c78d090cbbe953c22c.png

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    5d4164325ae1734f80068e91af7ba8d6.png

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    参考资料:https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832

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  • 圆柱体三面投影作图方法分析

    千次阅读 2021-01-12 03:43:35
    以多平面截切圆柱体产生的圆柱截切体为例,通过逐个分析截平面、截交线的空间性质,化解作图中的难点,详细说明了其三面投影的作图方法与步骤。关键词:圆柱;截交线;截切体;投影;作图方法工程制图是工程技术人员...
  • 坐标、投影及坐标转换

    千次阅读 2021-01-13 08:42:32
    1、 空间坐标(球面)地心坐标:WGS84,国家2000坐标。参心坐标:北京54,西安80,地方坐标。表示方式: 大地坐标(L,B,H);空间直角坐标(x,y,z)。...2、 投影(平面)为了测绘及制图展示等需求,常把球面坐标投影...
  • 将经纬度投影到xyz球体平面

    千次阅读 2019-01-28 23:40:28
    若以地球为例,假设地球是真空中的球形鸡。以赤道面作为xy平面,其中赤道面与本初子午线的交点设为x正半轴的方向。 y的正方向为从北方观察x轴顺时针旋转90° ...由上图可知,球体上任意一点在xy平面上的投影长...
  • 处理点云数据(四):点云到图像平面投影

    万次阅读 多人点赞 2018-01-03 11:15:14
    点云到图像平面投影坐标系的定义相机(x:右,y:下,z:前) 点云(x:前,y:左,z:上)读取传感器校准参数在KITTI数据集raw_data中有两个传感器校准参数文件calib_cam_to_cam.txt(相机到相机的校准) 和 calib...
  • 三维空间透视投影至二维平面

    千次阅读 2019-05-05 15:57:35
    转载:三维空间透视投影至二维平面 https://blog.csdn.net/liu14lang/article/details/78117423 前言 其实这篇文章讲的就是类似于MATLAB中的mesh函数的实现原理。想要实现的功能就是已知网格三维坐标,如何将转成在...
  • Mat VerticalProjection(Mat srcImageBin)//垂直积分投影 { Mat lineImage(1, srcImageBin.cols, CV_8UC1, cv::Scalar(0, 0, 0)); int value; for (int i = 0; i &amp;amp;amp;lt; s...
  • 将kitti数据集中 雷达点云图像投影到camera图像平面, 并生成 深度图的灰度图(灰度值=深度x256 保存成int16位图像(kitti中 depth benchmark的做法)) 输入: P2: camera02相机内参 Tr: 激光雷达到camera00的变换矩阵...
  • 1 好草图,点击曲线-分割线  2 选择要投影的草图和... 3 为了获取连续的轨迹,我们可以再次选择这个草图,然后在投影面中选择平面,最后得到的图形如下图所示。                ...
  • 提出一种基于双狭缝光栅的裸眼三...实际研制了1台50英寸裸眼三维立体投影机样机,该样机采用了由4台液晶投影机组成的投影机阵列,能显示静态、动画和视频立体图像,其三维立体显示分辨率与相应二维平面显示分辨率相当。
  • 地球椭球体表面是个曲面,而地图通常是二维...地图投影,是指按照一定的数学法则将地球椭球面上的经纬网转换到平面上,使地面的地理坐标与平面直角坐标(x, y)建立起函数关系,是绘制地图的数学基础之一。 地图投...
  • 提出了一种基于点与直线关系从透视投影画隐线图建立平面立体线框模型的新方法。给出了基于点线关系的基本约束,根据透视投影画隐线图中隐含的点与直线位置关系建立约束方程,建立一个线性系统,通过求解该线性系统...

空空如也

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