正射投影（简称投影）是常见的一种线性变换，不过通常它会改变向量的长度，因此它不是一种正交变换。本文将采用若干种方法讨论如何将一个从原点出发的向量投影到一个过原点的平面上。在开始本文之前，需要说明的是：向量虽然没有位置，但在线性空间中需要将向量默认为是从原点出发，因为平移不是一种线性变换; 在计算投影向量时，如果要在任意平面上投影，可以事先将平面平移到原点，计算完毕后再平移回去。

设三维空间中过原点的平面方程一般形式（a,b,c都是常数）为：$$\mathrm{ax+by+cz=0}$$

那么该平面的法向量为n=(a,b,c)。该平面由两个相互独立的向量构成一组基，可以分别取v=(-c,0,a)和w=(-b,a,0)。从这个前提出发，下面将讨论如何得出任何从原点出发的向量投影到该平面上的投影矩阵表示形式。

方法一：利用投影矩阵的一般形式

如果将上述两个基向量构成矩阵A的列空间，即:

$$

A=\left(\begin{array}{cc}{-\mathrm{c}} & {-\mathrm{b}} \\ {0} & {\mathrm{a}} \\ {\mathrm{a}} & {0}\end{array}\right)

$$

那么投影矩阵的一般形式为：

$$\mathrm{A} \left(\mathrm{A}^{T} \mathrm{A}\right)^{-1} \mathrm{A}^{T}$$

计算得出：

$$\frac 1 {a^2+b^2+c^2} \left(\begin{array}{cccc}{b^{2}+c^{2}} & {-a b} & {-a c} \\ {-a b} & {a^{2}+c^{2}} & {-b c} \\ {-a c} & {-b c} & {a^{2}+b^{2}}\end{array}\right) \tag 1$$

由此可知，投影矩阵也是一个对称阵，它的行列式为0。

方法二：利用法向量（Normal Vector)

在平面法向量已知的情况下，投影矩阵的公式为：

$$\mathrm{I} - \frac {\mathrm{n} \mathrm{n}^{T}} {\mathrm{n}^{T}\mathrm{n}}$$

将法向量为n=(a,b,c)代入的到和(1)相同的矩阵。

方法三：利用交叉积

如果设从原点出发的向量为r, 那么它在平面上（已知法向量为n）的投影向量为:

$$\frac {\vec n \times ( \vec r \times \vec n)} { |\vec n|^2}$$

将交叉积转换为矩阵形式，则投影矩阵为：

$$-\frac {[n^{\prime}]^2} {|\vec n|^2}$$

其中：

$$[n^{\prime}]=\left(\begin{array}{cccc}{0} & {-c} & {b} \\ {c} & {0} & {-a} \\ {-b} & {a} & {0}\end{array}\right)$$

计算得出和(1)相同的矩阵。

方法四：利用特征值和特征向量

三维平面上的投影矩阵有两个特征值：1和0，对应的特征向量分别是平面上的任意两条线性独立的向量和垂直于平面的向量。

即当特征值为1时，可以找到两个特征向量v=(-c,0,a)和w=(-b,a,0); 当特征值为0时，即为法向量n=(a,b,c)。利用矩阵的谱分解（spectral decomposition），令：

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{-c} & {-b} & {a} \\ {0} & {a} & {b} \\ {a} & {0} & {c}\end{array}\right)$$

$$\Lambda=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right)$$

那么有：

$$A=P{\Lambda}P^{-1}$$

上式中A就是要求的投影矩阵。代入得到和(1)相同的矩阵。

以上就是介绍的几种计算投影矩阵的方法。当然还有一种更繁琐的做法：对平面上的两个基向量做单位正交化（可以采用Gram-Schmidt算法），然后找出任意向量r在两个单位正交向量上的投影p1和p2，那么r在平面上的投影就是p1+p2。将投影向量表示成矩阵和r的相乘形式，得到的矩阵就是投影矩阵。这个方法在单独用于计算向量r在平面上的投影值时或许能用上。

总结：

矩阵是一个非常强大的数学工具，很多线性问题用矩阵解算显得十分简洁。通过本文介绍的几种方法可知数学本身就是一个互通的体系，有些方法可能很繁琐，另外一些方法确是非常简洁优美，真是叫人称快！但最终都是条条道路通罗马，只是到达的时间不太一样罢了：）

画法几何直线,直线的相对位置直角投影定理直角三角性法

http://wenku.baidu.com/view/92305c60ddccda38376baf11.html



可见性判断新方法

http://www.doc88.com/p-77540298983.html
分析问题几何条件，（几何元素的空间位置关系，相对位置关系），比较复杂的要能够画出空间情况的示意图，然后分析相对位置关系。
空间思维能力的培养，不要思维定势。




画法几何（descriptive geometry），研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科.



　　研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科。画法几何是机械制图的投影理论基础，它应用投影的方法研究多面正投影图、轴测图、透视图和标高投影图的绘制原理，其中多面正投影图是主要研究内容。画法几何的内容还包含投影变换、截交线、相贯线和展开图等。



　　1103年，中国宋代李诫所著《营造法式》中的建筑图基本上符合几何规则，但在当时尚未形成画法的理论。1799年法国学者G.蒙日发表《画法几何》一书，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础。以后各国学者又在投影变换、轴测图以及其他方面不断提出新的理论和方法，使这门学科日趋完善。



投影法
　　投影法是从光线照射空间形体在平面上获得阴影这一物理现象而来的。以光源S点为投影中心，S点与形

  
画法几何

体上某个A点的连线SA为投影线（即光线）,显现阴影的P平面为投影面，SA投影线与P平面的交点ɑ就是A点在投影面上的投影。依此方法作出形体上其余点、线的投影，便得到形体在投影面上的投影(图1a)。这种投影法因所有投影线都经过投影中心S点,故称为中心投影法。若S点移向无限远处,即所有投影线都互相平行时，则称为平行投影法。平行投影法又按投影线是否垂直于投影面分为斜投影法（图1b）和正投影法（图1c）。
 用中心投影法可以得到透视图，用平行投影法可以得到轴测图，这两种图的立体感都很好。为显示形体的立体形象，在建筑工程中常使用透视图，在机械工程中常使用轴测图。用正投影法将空间形体（一般是地形或曲面）投影到水平放置的投影面上，并在相应点、线的投影旁加注它们到投影面的高度数值，这种图称为标高投影图。它应用在地形测量、土木、水利、地质和采矿等工程中。以上3种图都是单面投影图。用空间形体的几个正投影联合表达其形状和位置的图称为多面正投影图。这种图广泛应用在各项工程中。
多面正投影图
　　空间形体具有长、宽、高三个方向的形状大小，但它的投影只能反映两个方向的形状大小。为确切和全

  
画法几何

面地表达空间形体，必须采用多面正投影图。 

　　取互相垂直的两个投影面（正立投影面和水平投影面）,用正投影法分别作出空间形体（图2中为三棱锥）在正面和水平两个投影面上的投影（图2中黑色图形部分）。再将水平投影面绕两投影面的交线OX向下旋转90°，使它和正立投影面处在同一平面上，则得到空间形体的二面正投影图。在二投影面的基础上增加一个与正立投影面和水平投影面都垂直的侧立投影面,再作出形体的侧面投影（图2中颜色图形部分），然后将侧立投影面绕它和正立投影面的交线OZ向右旋转90°，使它也与正立投影面处在同一平面上即可得到空间形体的三面正投影图。多面正投影图可以确切地表达空间形体的形状和位置。特别是当形体上直线、平面等处在与投影面平行或垂直的某个特殊位置时，还能在其投影中反映出平面图形的实际形状，以及线、面或两面间夹角的真实大小。对于不处在特殊位置的线和面，就不具有上述特征，这时需要采用投影变换的方法解决。



　　投影变换是通过改变空间形体和投影面的相对位置的新投影方法。投影变换主要有换面法和旋转法。

  
画法几何


　　①　换面法：空间形体不动，空间形用新的符合解题要求的投影面来替换原有的投影面，得出体新的投影。例如,在图3中，三角板在采用换面法前与正立投影面倾斜，与水平投影面垂直，它的正立、水平两个投影都不反映三角板的真实形状。改用垂直于水平投影面并平行于三角板的新投影面来替换原有的正立投影面，则在新投影面和水平投影面的二面正投影图中便反映出三角板的真实形状。换面法的变换规律是：点的新投影到新投影轴的距离等于点的被替换投影到被替换轴的距离。


　　②　旋转法：保持投影面不动，让空间形体绕某条轴线旋转到需要的位置,求出新的投影。例如，图3中，若将三角板绕其本身的垂直于水平投影面的直角边旋转到与正立投影面平行的位置，这时新的正立投影就能反映三角板的真实形状。

　　截交线和相贯线 平面与空间形体表面的交线称为截交线，两空间形体表面的交线称为相贯线。在很多情况下虽然能根据空间形体和投影面的相对位置作出空间形体的多面正投影图，但它们之间的截交线和相贯线却不能直接画出，需要借助于辅助面法或其他作图方法画出。

　　展开图 将空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形。对于用板料制作的零件，除需要用多面正投影图表示零件的形状外，还常用展开图表示零件制作前板料的形状。依据空间形体的多面正投影图绘制其展开图，实质上就是求取其表面的真实形状，这可以通过图解或计算的方法得到。

开发环境：Ubuntu 18.04 LTS + ROS Melodic + ViSP 3.3.1

文章内容主要参考ViSP官方教学文档：https://visp-doc.inria.fr/doxygen/visp-daily/tutorial_mainpage.html

  本文介绍了如何使用ViSP计算平面图像的投影，我们在空间中放置一个正方形，通过投影计算在空间中不同位置观察这个正方形时，所呈现图像的形状。本文主要参考了simulator中的tutorial-image-simulator.cpp例程。首先要获取这个例程文件并编译它
svn export https://github.com/lagadic/visp.git/trunk/tutorial/simulator/image

  这里要注意，如果之前下载过image例程文件的同学，这里可能会报错，因为有两个image同名文件夹，可以把之前的image重命名一下。
mkdir -p image/build
cd image/build
cmake .. -DCMAKE_BUILD_TYPE=Release -DVISP_DIR=$VISP_WS/visp-build
make tutorial-image-simulator.cpp

  编译完成后即可运行观察结果
./tutorial-image-simulator



  下面介绍一下代码实现过程
#include <visp3/gui/vpDisplayGDI.h>
#include <visp3/gui/vpDisplayOpenCV.h>
#include <visp3/gui/vpDisplayX.h>
#include <visp3/io/vpImageIo.h>
//! [Include]
#include <visp3/robot/vpImageSimulator.h> //导入ImageSimulator头文件
//! [Include]

int main()
{
  try {
    //! [Read image]
    vpImage<unsigned char> target; //新建一个图像容器
    vpImageIo::read(target, "./target_square.pgm");
     //从文件中读入原始图像，即一个20*20的正方形，带有四个圆点
    //! [Read image]

    //! [Set model]
    vpColVector X[4]; //新建数组储存原始图像的位置
    for (int i = 0; i < 4; i++)
      X[i].resize(3); //把一维数组变形为3*4的二维数组
    // Top left     Top right       Bottom right   Bottom left
    X[0][0] = -0.1; //正方形左上角顶点的X轴坐标
    X[1][0] = 0.1;  //正方形右上角顶点的X轴坐标
    X[2][0] = 0.1;  //正方形左下角顶点的X轴坐标
    X[3][0] = -0.1;  //正方形右下角顶点的X轴坐标
    X[0][1] = -0.1;  //正方形左上角顶点的y轴坐标
    X[1][1] = -0.1;  //正方形右上角顶点的y轴坐标
    X[2][1] = 0.1;  //正方形左下角顶点的y轴坐标
    X[3][1] = 0.1;  //正方形右下角顶点的y轴坐标
    X[0][2] = 0;  //正方形左上角顶点的z轴坐标
    X[1][2] = 0;  //正方形右上角顶点的z轴坐标
    X[2][2] = 0;  //正方形左下角顶点的z轴坐标
    X[3][2] = 0;  //正方形右下角顶点的z轴坐标
    //! [Set model]

    //! [Image construction]
    vpImage<unsigned char> I(480, 640); //新建图像容器，用于储存映射后的图像
    //! [Image construction]
    //! [Camera parameters]
    vpCameraParameters cam(840, 840, I.getWidth() / 2, I.getHeight() / 2); 
    //设置相机内部参数（前两个参数表示图像的尺寸，后两个参数表述原点位置）
    //! [Camera parameters]
    //! [Set cMo]
    vpHomogeneousMatrix cMo(0, 0, 0.35, 0, vpMath::rad(30), vpMath::rad(15));
    //设置相机和目标物体之间的变换矩阵，前三个参数表示平移参数，后三个参数表示旋转参数
    //! [Set cMo]

    //! [Create simulator]
    vpImageSimulator sim; //新建一个仿真容器
    sim.setInterpolationType(vpImageSimulator::BILINEAR_INTERPOLATION); //设置插值方式为双线性插值
    sim.init(target, X); //初始化目标位置
    //! [Create simulator]

    // Get the new image of the projected planar image target
    //! [Render image]
    sim.setCleanPreviousImage(true); //清除仿真器中原有图像
    sim.setCameraPosition(cMo); // 根据变换矩阵设置相机位置
    sim.getImage(I, cam); //获取当前位置下的图像并储存在图像容器I中
    //! [Render image]
	// 保存图像
    //! [Write image]
    try {
      vpImageIo::write(I, "./rendered_image.jpg");
    } catch (...) {
      std::cout << "Unsupported image format" << std::endl;
    }
//! [Write image]

#if defined(VISP_HAVE_X11)
    vpDisplayX d(I);
#elif defined(VISP_HAVE_GDI)
    vpDisplayGDI d(I);
#elif defined(VISP_HAVE_OPENCV)
    vpDisplayOpenCV d(I);
#else
    std::cout << "No image viewer is available..." << std::endl;
#endif
	// 显示图像
    vpDisplay::setTitle(I, "Planar image projection");
    vpDisplay::display(I);
    vpDisplay::flush(I);
    std::cout << "A click to quit..." << std::endl;
    vpDisplay::getClick(I);
  } catch (const vpException &e) {
    std::cout << "Catch an exception: " << e << std::endl;
  }
}

如果大家对于深度学习与计算机视觉领域感兴趣，希望获得更多的知识分享与最新的论文解读，欢迎关注我的个人公众号“深视”。

投影仪标定的核心：求投影仪投影格点的三维空间点坐标

方法一：

标定相机
	
求投影的投影的3D空间的角点坐标，通过Utilities::pixelToImageSpace()求相机坐标系的点坐标，设置缩放因子为1，z=1，然后转换到世界坐标系中。
	
将相机中心，即相机坐标系的（0,0,0）位置转换到世界坐标系中，
	
由（2）（3）得到逆向投影线，
	
世界坐标系的参考平面z=0，求点法形式的平面坐标系，
	
线面相交得到投影仪的3D空间的角点坐标
 

方法二：

不用标定相机，直接用opencv的cv::findhomography()函数求解单应性矩阵，
	
由单应性矩阵，求解投影仪的3D空间角点坐标，
     cv::Mat homo=cv::findHomography(imgPoints,objPoints2d);

     可以从图像点到3D点，也可以从3D点到图像点。

 

    单应性是双向的，从三维空间到像素平面是可以的，从像素平面到三维空间也是可以的。

 

方法三：

标定相机
	
用标定的参数求解单应性矩阵
	
由单应性矩阵，求解投影仪的3D空间角点坐标，
CameraCalibration::perspectiveTransformation(cv::vector<cv::Point2f>corners_in,cv::Mat homoMatrix, cv::vector<cv::Point3f>

 

验证结果：findhomography()求解的投影点效果，比求解内参，外参得到的单应性矩阵效果好。因为findhomography()包含畸变参数。findhomography()里面包含的有畸变参数，而直接由内参，外参求的homo里面没包畸变参数，经过去畸变后再评价，方法3效果不错的，比findhomography()好一点点。

 





 

 

求法向量：

//opencv叉乘

//cv::Mat c1=(cv::Mat_<double>(1,3) <<2, 0,0);

//cv::Mat c2=(cv::Mat_<double>(1,3) <<0, 2,0);

//Mat c3 = c1.cross(c2);

//std::cout<<c3<<std::endl;

 

 

//理解：

//逆向投影线是根据收缩因子来确定在相机坐标系中的点坐标，逆向投影线，仍然是先确定点坐标的,再确定逆向投影线。

//确定z=1可以得到逆向投影线上面的一个z=1的点，是在相机坐标系中，跟外参运算后可以得到世界坐标系中的坐标位置

//详细信息查看函数

cv::Point3f Utilities::pixelToImageSpace(cv::Point2f p,  VirtualCamera cam)