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测距平面约束下投影巷道空间的扩频定位方法
2020-04-30 11:31:03针对这一问题,在研究井下巷道扩频测距正向偏差产生机制的基础上,提出一种测距平面约束下投影巷道空间的定位方法,以巷道延伸方向为x轴,巷道宽方向为y轴,建立测距平面,由于矿井巷道是狭长链状的,可以忽略定位目标在... -
三维空间中在一个经过原点的平面上的正射投影矩阵
2019-06-30 18:32:39在开始本文之前,需要说明的是:向量虽然没有位置,但在线性空间中需要将向量默认为是从原点出发,因为平移不是一种线性变换; 在计算投影向量时,如果要在任意平面上投影,可以事先将平面平移到原点,计算完毕后再平...正射投影(简称投影)是常见的一种线性变换,不过通常它会改变向量的长度,因此它不是一种正交变换。本文将采用若干种方法讨论如何将一个从原点出发的向量投影到一个过原点的平面上。在开始本文之前,需要说明的是:向量虽然没有位置,但在线性空间中需要将向量默认为是从原点出发,因为平移不是一种线性变换; 在计算投影向量时,如果要在任意平面上投影,可以事先将平面平移到原点,计算完毕后再平移回去。
设三维空间中过原点的平面方程一般形式(a,b,c都是常数)为:$$\mathrm{ax+by+cz=0}$$
那么该平面的法向量为n=(a,b,c)。该平面由两个相互独立的向量构成一组基,可以分别取v=(-c,0,a)和w=(-b,a,0)。从这个前提出发,下面将讨论如何得出任何从原点出发的向量投影到该平面上的投影矩阵表示形式。
方法一:利用投影矩阵的一般形式
如果将上述两个基向量构成矩阵A的列空间,即:
$$
A=\left(\begin{array}{cc}{-\mathrm{c}} & {-\mathrm{b}} \\ {0} & {\mathrm{a}} \\ {\mathrm{a}} & {0}\end{array}\right)
$$那么投影矩阵的一般形式为:
$$\mathrm{A} \left(\mathrm{A}^{T} \mathrm{A}\right)^{-1} \mathrm{A}^{T}$$
计算得出:
$$\frac 1 {a^2+b^2+c^2} \left(\begin{array}{cccc}{b^{2}+c^{2}} & {-a b} & {-a c} \\ {-a b} & {a^{2}+c^{2}} & {-b c} \\ {-a c} & {-b c} & {a^{2}+b^{2}}\end{array}\right) \tag 1$$
由此可知,投影矩阵也是一个对称阵,它的行列式为0。
方法二:利用法向量(Normal Vector)
在平面法向量已知的情况下,投影矩阵的公式为:
$$\mathrm{I} - \frac {\mathrm{n} \mathrm{n}^{T}} {\mathrm{n}^{T}\mathrm{n}}$$将法向量为n=(a,b,c)代入的到和(1)相同的矩阵。
方法三:利用交叉积
如果设从原点出发的向量为r, 那么它在平面上(已知法向量为n)的投影向量为:
$$\frac {\vec n \times ( \vec r \times \vec n)} { |\vec n|^2}$$
将交叉积转换为矩阵形式,则投影矩阵为:
$$-\frac {[n^{\prime}]^2} {|\vec n|^2}$$
其中:
$$[n^{\prime}]=\left(\begin{array}{cccc}{0} & {-c} & {b} \\ {c} & {0} & {-a} \\ {-b} & {a} & {0}\end{array}\right)$$计算得出和(1)相同的矩阵。
方法四:利用特征值和特征向量
三维平面上的投影矩阵有两个特征值:1和0,对应的特征向量分别是平面上的任意两条线性独立的向量和垂直于平面的向量。
即当特征值为1时,可以找到两个特征向量v=(-c,0,a)和w=(-b,a,0); 当特征值为0时,即为法向量n=(a,b,c)。利用矩阵的谱分解(spectral decomposition),令:
$$P=\left(\begin{array}{cccc}{-c} & {-b} & {a} \\ {0} & {a} & {b} \\ {a} & {0} & {c}\end{array}\right)$$$$\Lambda=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right)$$
那么有:
$$A=P{\Lambda}P^{-1}$$
上式中A就是要求的投影矩阵。代入得到和(1)相同的矩阵。
以上就是介绍的几种计算投影矩阵的方法。当然还有一种更繁琐的做法:对平面上的两个基向量做单位正交化(可以采用Gram-Schmidt算法),然后找出任意向量r在两个单位正交向量上的投影p1和p2,那么r在平面上的投影就是p1+p2。将投影向量表示成矩阵和r的相乘形式,得到的矩阵就是投影矩阵。这个方法在单独用于计算向量r在平面上的投影值时或许能用上。
总结:
矩阵是一个非常强大的数学工具,很多线性问题用矩阵解算显得十分简洁。通过本文介绍的几种方法可知数学本身就是一个互通的体系,有些方法可能很繁琐,另外一些方法确是非常简洁优美,真是叫人称快!但最终都是条条道路通罗马,只是到达的时间不太一样罢了:)
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画法几何,工程制图基础.....多角度平面投影图推断立体空间结构,实际距离的判别等
2011-11-12 16:21:21画法几何 直线,直线的相对位置直角投影定理直角三角性法 ... 可见性判断新方法 ...分析问题几何条件,(几何元素的空间位置关系,相对位置关系),比较复杂的要能够画出空间情况的示意图,然画法几何直线,直线的相对位置直角投影定理直角三角性法
http://wenku.baidu.com/view/92305c60ddccda38376baf11.htmlhttp://www.doc88.com/p-77540298983.html
分析问题几何条件,(几何元素的空间位置关系,相对位置关系),比较复杂的要能够画出空间情况的示意图,然后分析相对位置关系。
空间思维能力的培养,不要思维定势。
研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科。画法几何是机械制图的投影理论基础,它应用投影的方法研究多面正投影图、轴测图、透视图和标高投影图的绘制原理,其中多面正投影图是主要研究内容。画法几何的内容还包含投影变换、截交线、相贯线和展开图等。
1103年,中国宋代李诫所著《营造法式》中的建筑图基本上符合几何规则,但在当时尚未形成画法的理论。1799年法国学者G.蒙日发表《画法几何》一书,提出用多面正投影图表达空间形体,为画法几何奠定了理论基础。以后各国学者又在投影变换、轴测图以及其他方面不断提出新的理论和方法,使这门学科日趋完善。
投影变换是通过改变空间形体和投影面的相对位置的新投影方法。投影变换主要有换面法和旋转法。 ① 换面法:空间形体不动,空间形用新的符合解题要求的投影面来替换原有的投影面,得出体新的投影。例如,在图3中,三角板在采用换面法前与正立投影面倾斜,与水平投影面垂直,它的正立、水平两个投影都不反映三角板的真实形状。改用垂直于水平投影面并平行于三角板的新投影面来替换原有的正立投影面,则在新投影面和水平投影面的二面正投影图中便反映出三角板的真实形状。换面法的变换规律是:点的新投影到新投影轴的距离等于点的被替换投影到被替换轴的距离。② 旋转法:保持投影面不动,让空间形体绕某条轴线旋转到需要的位置,求出新的投影。例如,图3中,若将三角板绕其本身的垂直于水平投影面的直角边旋转到与正立投影面平行的位置,这时新的正立投影就能反映三角板的真实形状。 截交线和相贯线 平面与空间形体表面的交线称为截交线,两空间形体表面的交线称为相贯线。在很多情况下虽然能根据空间形体和投影面的相对位置作出空间形体的多面正投影图,但它们之间的截交线和相贯线却不能直接画出,需要借助于辅助面法或其他作图方法画出。 展开图 将空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形。对于用板料制作的零件,除需要用多面正投影图表示零件的形状外,还常用展开图表示零件制作前板料的形状。依据空间形体的多面正投影图绘制其展开图,实质上就是求取其表面的真实形状,这可以通过图解或计算的方法得到。
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ViSP学习笔记(七):平面图像投影
2021-02-20 13:54:56本文介绍了如何使用ViSP计算平面图像的投影,我们在空间中放置一个正方形,通过投影计算在空间中不同位置观察这个正方形时,所呈现图像的形状。本文主要参考了simulator中的tutorial-image-simulator.cpp例.开发环境:Ubuntu 18.04 LTS + ROS Melodic + ViSP 3.3.1
文章内容主要参考ViSP官方教学文档:https://visp-doc.inria.fr/doxygen/visp-daily/tutorial_mainpage.html本文介绍了如何使用ViSP计算平面图像的投影,我们在空间中放置一个正方形,通过投影计算在空间中不同位置观察这个正方形时,所呈现图像的形状。本文主要参考了simulator中的tutorial-image-simulator.cpp例程。首先要获取这个例程文件并编译它
svn export https://github.com/lagadic/visp.git/trunk/tutorial/simulator/image
这里要注意,如果之前下载过image例程文件的同学,这里可能会报错,因为有两个image同名文件夹,可以把之前的image重命名一下。
mkdir -p image/build cd image/build cmake .. -DCMAKE_BUILD_TYPE=Release -DVISP_DIR=$VISP_WS/visp-build make tutorial-image-simulator.cpp
编译完成后即可运行观察结果
./tutorial-image-simulator
下面介绍一下代码实现过程#include <visp3/gui/vpDisplayGDI.h> #include <visp3/gui/vpDisplayOpenCV.h> #include <visp3/gui/vpDisplayX.h> #include <visp3/io/vpImageIo.h> //! [Include] #include <visp3/robot/vpImageSimulator.h> //导入ImageSimulator头文件 //! [Include] int main() { try { //! [Read image] vpImage<unsigned char> target; //新建一个图像容器 vpImageIo::read(target, "./target_square.pgm"); //从文件中读入原始图像,即一个20*20的正方形,带有四个圆点 //! [Read image] //! [Set model] vpColVector X[4]; //新建数组储存原始图像的位置 for (int i = 0; i < 4; i++) X[i].resize(3); //把一维数组变形为3*4的二维数组 // Top left Top right Bottom right Bottom left X[0][0] = -0.1; //正方形左上角顶点的X轴坐标 X[1][0] = 0.1; //正方形右上角顶点的X轴坐标 X[2][0] = 0.1; //正方形左下角顶点的X轴坐标 X[3][0] = -0.1; //正方形右下角顶点的X轴坐标 X[0][1] = -0.1; //正方形左上角顶点的y轴坐标 X[1][1] = -0.1; //正方形右上角顶点的y轴坐标 X[2][1] = 0.1; //正方形左下角顶点的y轴坐标 X[3][1] = 0.1; //正方形右下角顶点的y轴坐标 X[0][2] = 0; //正方形左上角顶点的z轴坐标 X[1][2] = 0; //正方形右上角顶点的z轴坐标 X[2][2] = 0; //正方形左下角顶点的z轴坐标 X[3][2] = 0; //正方形右下角顶点的z轴坐标 //! [Set model] //! [Image construction] vpImage<unsigned char> I(480, 640); //新建图像容器,用于储存映射后的图像 //! [Image construction] //! [Camera parameters] vpCameraParameters cam(840, 840, I.getWidth() / 2, I.getHeight() / 2); //设置相机内部参数(前两个参数表示图像的尺寸,后两个参数表述原点位置) //! [Camera parameters] //! [Set cMo] vpHomogeneousMatrix cMo(0, 0, 0.35, 0, vpMath::rad(30), vpMath::rad(15)); //设置相机和目标物体之间的变换矩阵,前三个参数表示平移参数,后三个参数表示旋转参数 //! [Set cMo] //! [Create simulator] vpImageSimulator sim; //新建一个仿真容器 sim.setInterpolationType(vpImageSimulator::BILINEAR_INTERPOLATION); //设置插值方式为双线性插值 sim.init(target, X); //初始化目标位置 //! [Create simulator] // Get the new image of the projected planar image target //! [Render image] sim.setCleanPreviousImage(true); //清除仿真器中原有图像 sim.setCameraPosition(cMo); // 根据变换矩阵设置相机位置 sim.getImage(I, cam); //获取当前位置下的图像并储存在图像容器I中 //! [Render image] // 保存图像 //! [Write image] try { vpImageIo::write(I, "./rendered_image.jpg"); } catch (...) { std::cout << "Unsupported image format" << std::endl; } //! [Write image] #if defined(VISP_HAVE_X11) vpDisplayX d(I); #elif defined(VISP_HAVE_GDI) vpDisplayGDI d(I); #elif defined(VISP_HAVE_OPENCV) vpDisplayOpenCV d(I); #else std::cout << "No image viewer is available..." << std::endl; #endif // 显示图像 vpDisplay::setTitle(I, "Planar image projection"); vpDisplay::display(I); vpDisplay::flush(I); std::cout << "A click to quit..." << std::endl; vpDisplay::getClick(I); } catch (const vpException &e) { std::cout << "Catch an exception: " << e << std::endl; } }
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方法一:
- 标定相机
- 求投影的投影的3D空间的角点坐标,通过Utilities::pixelToImageSpace()求相机坐标系的点坐标,设置缩放因子为1,z=1,然后转换到世界坐标系中。
- 将相机中心,即相机坐标系的(0,0,0)位置转换到世界坐标系中,
- 由(2)(3)得到逆向投影线,
- 世界坐标系的参考平面z=0,求点法形式的平面坐标系,
- 线面相交得到投影仪的3D空间的角点坐标
方法二:
- 不用标定相机,直接用opencv的cv::findhomography()函数求解单应性矩阵,
- 由单应性矩阵,求解投影仪的3D空间角点坐标,
cv::Mat homo=cv::findHomography(imgPoints,objPoints2d);
可以从图像点到3D点,也可以从3D点到图像点。
单应性是双向的,从三维空间到像素平面是可以的,从像素平面到三维空间也是可以的。
方法三:
- 标定相机
- 用标定的参数求解单应性矩阵
- 由单应性矩阵,求解投影仪的3D空间角点坐标,
CameraCalibration::perspectiveTransformation(cv::vector<cv::Point2f>corners_in,cv::Mat homoMatrix, cv::vector<cv::Point3f>
验证结果:findhomography()求解的投影点效果,比求解内参,外参得到的单应性矩阵效果好。因为findhomography()包含畸变参数。findhomography()里面包含的有畸变参数,而直接由内参,外参求的homo里面没包畸变参数,经过去畸变后再评价,方法3效果不错的,比findhomography()好一点点。
求法向量:
//opencv叉乘
//cv::Mat c1=(cv::Mat_<double>(1,3) <<2, 0,0);
//cv::Mat c2=(cv::Mat_<double>(1,3) <<0, 2,0);
//Mat c3 = c1.cross(c2);
//std::cout<<c3<<std::endl;
//理解:
//逆向投影线是根据收缩因子来确定在相机坐标系中的点坐标,逆向投影线,仍然是先确定点坐标的,再确定逆向投影线。
//确定z=1可以得到逆向投影线上面的一个z=1的点,是在相机坐标系中,跟外参运算后可以得到世界坐标系中的坐标位置
//详细信息查看函数
cv::Point3f Utilities::pixelToImageSpace(cv::Point2f p, VirtualCamera cam)
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