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  • 傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系摘要通过复变函数的学习,我基本上了解了傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本理论知识,并且知道了他们在数学、物理以及工程技术等领域中有着广泛的应用,傅氏变换与拉氏变换存在...

    傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系

    摘要

    通过对复变函数的学习,我基本上了解了傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本理论知识,并且知道了他们在数学、物理以及工程技术等领域中有着广泛的应用,傅氏变换与拉氏变换存在许多类似之处,都能够在解决广义积分、微分积分方程、偏微分方程、电路理论等问题中得到应用。下面通过对他们做一些比较研究,来更清楚地认识他们。

    关键词:两种积分变换积分与微分方程电路理论

    正文

    (一)前言:

    1、傅里叶变换与拉普拉斯变换都属于积分变换,是两种常见的数学变换手段,而所谓的积分变换就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换,其作用就是将复杂的函数运算变成简单的函数运算,当选取不同的积分域和变换核时,就得到不同名称的积分变换,傅里叶变换与拉普拉斯变换就是因取不同的积分域与变换核得来的。

    2、傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”,与变换的“频域”有所区别。拉普拉斯变换主要用于电路分析,作为解微分方程的强有力工具(将微积分运算转化为乘除运算)。傅里叶变换则随着FFT算法的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。

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  • 对于理工科生,凡是涉及或者从事机械、计算机、通信等信号处理以及控制...傅里叶级数用于周期信号转换,傅里叶变换用于非周期信号转换。 但是对于不收敛信号,傅里叶变换无能为力,只能借助拉普拉斯变换。 1....

    对于理工科生,凡是涉及或者从事机械、计算机、通信等信号处理以及控制领域,都不可避免的会接触到傅里叶变换、拉普拉斯变换。最近也在重新学习理解一下这两种变换,在这里记下自己的笔记。
    同时我们需要理解一下这三种变换的运用范围关系:

    傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换,傅里叶变换用于对非周期信号转换。
    但是对于不收敛信号,傅里叶变换无能为力,只能借助拉普拉斯变换。
    傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系,拉普拉斯变换则建立了时域与复频域(ss)之间的联系。

    学习资料以及笔记思路来源:

    1.傅里叶变换

    概念

    傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性积分变换,用于信号在时域和频域之间的变换,在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、讯号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在讯号处理中,傅里叶变换的典型用途是将讯号分解成振幅分量和频率分量。

    简而言之,傅里叶变换是通过线性积分变换,将信号时域分析转而进行频域分析。什么是频域,你点击一下就知道了,在频域中信号分析的是和频率有关部分,而不是和时间有关的部分。给定的一段信号,我们在时域中能够得到什么信息?幅值随时间的变化?而通过频域分析我们能够得到这一段信号的基本成分,比如有理数轴上基本单位为数字“1”,再如时域的基本单位为‘1s’,于是在频域中基本单位为频率ω0\omega_{0},对应cos(ω0t)\cos(\omega_{0}t)的简谐波。因此我们可以通过频域分析,分析出一段信号是由什么频率的简谐波信号叠加而成。
    在这里插入图片描述

    傅里叶级数

    在满足狄利克雷条件的前提下,即信号f(t)f(t)绝对可积,傅里叶级数能将任何周期函数或周期信号分解成一个(可能由无穷个元素组成的)简谐波的集合,即正弦函数和余弦函数,这种表达形式称为三角级数形式。同时通过欧拉公式将三角形式变换为指数形式。
    在这里插入图片描述

    三角形式傅里叶级数

    f(t)=a0+n=1(ancos(nω0t)+bnsin(nω0t))f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(a _{n}\cos (n\omega_{0}t)+b _{n}\sin (n\omega_{0}t))
    其中:
    直流分量:a0=1T0t0t0+T0f(t)dta_{0}=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}}f(t)dt
    余弦分量幅度:an=2T0t0t0+T0f(t)cos(nω0t)dta_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}}f(t)\cos(n\omega_{0}t)dt
    正弦分量幅度:bn=2T0t0t0+T0f(t)sin(nω0t)dtb_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}}f(t)\sin(n\omega_{0}t)dt
    通过和角公式,我们可以得到三角级数表达形式的余弦形式:f(t)=c0+n=1(cncos(nω0t+φn)f(t)=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(c _{n}\cos (n\omega_{0}t+\varphi_{n})
    式中:c0=a0c_{0}=a_{0}cn=an2+bn2c _{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}},相位:φn=arctan(bnan)\varphi_{n}=\arctan(\frac{-b_{n}}{a_{n}})
    wiki中采用傅里叶级数的近似方波可视化

    欧拉公式

    欧拉公式提出,对于任何实数xx都存在:
    ejx=cosx+jsinxe^{jx}=\cos x+j \sin x
    因此,对于三角级数表示中有:ejx=cos(nω0t)+jsin(nω0t)e^{jx}=\cos (n\omega_{0}t)+j \sin (n\omega_{0}t)ejx=cos(nω0t)jsin(nω0t)e^{-jx}=\cos (n\omega_{0}t)-j \sin (n\omega_{0}t)
    所以可以得到:sin(nω0t)=ejnω0tejnω0t2jcos(nω0t)=ejnω0t+ejnω0t2\sin (n\omega_{0}t) = \frac{e^{jn\omega_{0}t}-e^{-jn\omega_{0}t}}{2j},\cos (n\omega_{0}t) = \frac{e^{jn\omega_{0}t}+e^{-jn\omega_{0}t}}{2}

    指数形式傅里叶级数

    将欧拉公式化的的式子带入三角形式:
    f(t)=a0+n=1(anjbn2ejnω0t+an+jbn2ejnω0t)f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{a _{n}-jb_{n}}{2}e^{jn\omega_{0}t}+\frac{a _{n}+jb_{n}}{2}e^{-jn\omega_{0}t})
    anjbn2=F(nω0)\frac{a _{n}-jb_{n}}{2}=F(n\omega_{0}),从anbna_{n},b_{n}的式子可以得出ana_{n}是n的偶函数,bnb_{n}是n的奇函数,则an+jbn2=F(nω0)\frac{a _{n}+jb_{n}}{2}=F(-n\omega_{0})
    于是:f(t)=a0+n=1(F(nω0)ejnω0t+F(nω0)ejnω0t)f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(F(n\omega_{0})e^{jn\omega_{0}t}+F(-n\omega_{0})e^{-jn\omega_{0}t})
    F(0)=a0F(0)=a_{0},因此
    f(t)=n=F(nω0)ejnω0tn=0,±1,±2,±3,±4...f(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }F(n\omega_{0})e^{jn\omega_{0}t},n=0,±1,±2,±3,±4...

    傅里叶变换

    将周期信号的傅里叶分析推广到非周期信号中,既得到傅里叶变换如下,常被称为傅里叶正变换。(此处推导不再展开)
    F(ω)=f(t)ejωtdtF(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt
    傅里叶逆变换:
    f(t)=12πF(ω)ejωtdωf(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega
    数学上,F(ω)F(\omega)f(t)f(t)的傅里叶变换,f(t)f(t)F(ω)F(\omega)的傅里叶逆变换,可记为:f(t)FTIFTF(ω)f(t)\underset{IFT}{\overset{FT}{\rightleftarrows}}F(\omega)

    2.拉普拉斯变换

    概念

    拉普拉斯变换(Laplace transform)是应用数学中常用的一种积分变换,又名拉氏转换。拉氏变换是一个线性变换,可将一个有实数变量t(t0)t(t≥0)的函数转换为一个变量为复数ss的函数。拉氏变换和傅里叶变换有关,不过傅里叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加,而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加。拉氏变换常用来求解微分方程及积分方程。在物理及工程上常用来分析线性非时变系统,可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备。

    拉普拉斯变换

    在傅里叶变换满足狄利克雷条件的前提下,绝对可积的要求限制了某些信号傅里叶变换的存在,因此引入衰减因子eσte^{-\sigma t}(σ\sigma为任意实数)与f(t)f(t)相乘,于是eσtf(t)e^{-\sigma t}f(t)得以收敛,进而满足绝对可积的条件。因此写出eσtf(t)e^{-\sigma t}f(t)的傅里叶变换:F(ω)=0[f(t)eσt]ejωtdt=0f(t)e(σ+jω)tdtF(\omega)=\int_{0}^{\infty}[f(t)e^{-\sigma t}]e^{-j\omega t}dt=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-(\sigma +j\omega )t}dt
    将式中(σ+jω)(\sigma +j\omega )用符号ss代替,则变为:
    F(s)=0f(t)estdtF(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt
    逆变换为
    f(t)=12πjσσ+F(s)estdsf(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma -\infty}^{\sigma +\infty}F(s)e^{st}ds
    拉普拉斯变换将傅里叶变换的频域分析进而延伸到了复频域分析,最明显好处是把微分方程变成代数方程求解,从而使计算简化,经常用于控制系统中传递函数的求解中。

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  • 拉普拉斯变换为了缓和傅里叶变换的收敛条件,引入衰减因子,即相当于可以在傅里叶变换不满足收敛条件的情况下,将函数投影到带衰减因子的指数型坐标系中,实际上是将不满足绝对可积的函数分解为增幅震荡的正弦波相加...

    傅里叶变换是将函数重新投影到三角函数(或指数型三角函数)坐标系中,不同频率所代表的坐标轴之间相互正交,并且不同频率信号在时间轴上是等幅度震荡的。

    拉普拉斯变换为了缓和傅里叶变换的收敛条件,引入衰减因子,即相当于可以在傅里叶变换不满足收敛条件的情况下,将函数投影到带衰减因子的指数型坐标系中,实际上是将不满足绝对可积的函数分解为增幅震荡的正弦波相加。实际上对频率的定义也进行了扩充。

    DTFT与Z变换(z^(-n)=(a*e^jw)^(- n))有类似的关系,不过Z变换因为离散系统的Z变换存在周期性,所以用极坐标的形式,可以充分利用周期性进行简化。

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  • 傅里叶级数用于周期信号转换,傅里叶变换用于非周期信号转换。 但是对于不收敛信号,傅里叶变换无能为力,只能借助拉普拉斯变换。(主要用于计算微分方程) 而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。(主要用于...

    傅里叶变换粗略分来包括连续时间傅里叶变换(CTFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)。
    CTFT是将连续时间信号变换到频域,将频率的含义扩充之后,就得到拉普拉斯变换。
    DTFT是将离散时间信号变换到频域,将频率的含义扩充之后,就得到Z变换。

     

    傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换,傅里叶变换用于对非周期信号转换。
    但是对于不收敛信号,傅里叶变换无能为力,只能借助拉普拉斯变换。(主要用于计算微分方程)
    而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。(主要用于计算差分方程)

    从复平面来说,傅里叶分析直注意虚数部分,拉普拉斯变换则关注全部复平面,而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面,将虚轴变为一个圆环。(不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒,从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。)


    球谐bake就是使用9个球,来预计系数。这些系数,因为cos取值的关系,会累积到基附近大的信息,偏离基的信息会累积得少。
    实时渲染时,做傅利叶变换,使用颜色去乘上预计也来的基。那么就会得到正确的值。

    因为,累积的时候,那些系数,离基越近的地方被累积得越多,离基越少的地方被累积得越少。

    乘上这些系数,自然就会得到累积多的值,也就是基的方向指向天空盒那个范围的值。

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