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  • 连续离散傅里叶变换与级数

    千次阅读 2013-12-08 15:05:32
    http://blog.csdn.net/xuexiang0704/article/details/8260890连续,离散的傅里叶变换与级数还是很混!1.由于离散复指数的周期性,导致离散傅里叶变换是有周期的(2π)。而由于这个原因,导致了一系列的差别性,比如...

    http://blog.csdn.net/xuexiang0704/article/details/8260890

    连续,离散的傅里叶变换与级数还是很混!

    1.由于离散复指数的周期性,导致离散傅里叶变换是有周期的(2π)。而由于这个原因,导致了一系列的差别性,比如离散的相乘特性:时域上的乘积等于频域上的卷积(此时的卷积为周期卷积!)



    2.相乘特性

    时域上的乘积等于频域上的卷积。(以连续信号为例),离散信号有一点区别。

    我们考虑如果在输入信号为a^t*u(t),频域上为1/[1-ae^(-jw)];

    现在我们考虑在时域上乘以(-1)^t,相当于e^jnπ;

    由于e^jnπ为周期信号,我们可以利用连续周期信号的傅里叶变换的公式,首先求出其傅里叶级数然后得出傅里叶变换。可以得到其信号的傅里叶变换为一个脉冲函数(而离散信号的时候,为一连续脉冲,因为离散信号的傅里叶级数系数是周期性的,而连续的则没有这个性质);

    最后连续信号只可以将频谱搬移到有限个频谱带,而离散信号会不断搬移(但其实频谱为2π,4π,6π等等与0是一样的,所以低频是靠近π的偶数倍,高频靠近π的奇数倍)。

    结论就是:时域上乘以(-1)^n(离散信号),频谱是搬移π个单位。(连续的为有限搬移)

    也就是通过乘以(-1)^n,可以将低通滤波器变成高通滤波器。(比如脉冲响应为h(t)的系统为低通滤波器,脉冲响应为(-1)^n*h(t)的系统为高通滤波器)。

    可以看看下面的例子

    (1)a^n*u(n),0<a<1

    此时的频谱为

    (2)a^n*u(n),a<0


    发现就是频谱搬移大约π个单位。(滤波器由低通变高通)。

    这用相乘特性可以很好地解释为什么频谱搬移。



    另外,如果只有低通滤波器,如何让他有高通滤波器的功能呢?将输入信号乘以(-1)^n,频谱搬移将高频移到低频,低频移到高频,通过低通滤波器,实际上率除了低频信号,将输出来的信号再乘以(-1)^n,将高频信号转到高频的位置即可。

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  • 连续,离散的傅里叶变换与级数还是很混! 1.由于离散复指数的周期性,导致离散傅里叶变换是有周期的(2π)。而由于这个原因,导致了一系列的差别性,比如离散的相乘特性:时域上的乘积等于频域上的卷积(此时的...

    http://blog.csdn.net/xuexiang0704/article/details/8260890

    连续,离散的傅里叶变换与级数还是很混!

    1.由于离散复指数的周期性,导致离散傅里叶变换是有周期的(2π)。而由于这个原因,导致了一系列的差别性,比如离散的相乘特性:时域上的乘积等于频域上的卷积(此时的卷积为周期卷积!)



    2.相乘特性

    时域上的乘积等于频域上的卷积。(以连续信号为例),离散信号有一点区别。

    我们考虑如果在输入信号为a^t*u(t),频域上为1/[1-ae^(-jw)];

    现在我们考虑在时域上乘以(-1)^t,相当于e^jnπ;

    由于e^jnπ为周期信号,我们可以利用连续周期信号的傅里叶变换的公式,首先求出其傅里叶级数然后得出傅里叶变换。可以得到其信号的傅里叶变换为一个脉冲函数(而离散信号的时候,为一连续脉冲,因为离散信号的傅里叶级数系数是周期性的,而连续的则没有这个性质);

    最后连续信号只可以将频谱搬移到有限个频谱带,而离散信号会不断搬移(但其实频谱为2π,4π,6π等等与0是一样的,所以低频是靠近π的偶数倍,高频靠近π的奇数倍)。

    结论就是:时域上乘以(-1)^n(离散信号),频谱是搬移π个单位。(连续的为有限搬移)

    也就是通过乘以(-1)^n,可以将低通滤波器变成高通滤波器。(比如脉冲响应为h(t)的系统为低通滤波器,脉冲响应为(-1)^n*h(t)的系统为高通滤波器)。

    可以看看下面的例子

    (1)a^n*u(n),0<a<1

    此时的频谱为

    (2)a^n*u(n),a<0


    发现就是频谱搬移大约π个单位。(滤波器由低通变高通)。

    这用相乘特性可以很好地解释为什么频谱搬移。



    另外,如果只有低通滤波器,如何让他有高通滤波器的功能呢?将输入信号乘以(-1)^n,频谱搬移将高频移到低频,低频移到高频,通过低通滤波器,实际上率除了低频信号,将输出来的信号再乘以(-1)^n,将高频信号转到高频的位置即可。

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  • 连续,离散的傅里叶变换与级数还是很混! 1.由于离散复指数的周期性,导致离散傅里叶变换是有周期的(2π)。而由于这个原因,导致了一系列的差别性,比如离散的相乘特性:时域上的乘积等于频域上的卷积(此时的...

    连续,离散的傅里叶变换与级数还是很混!

    1.由于离散复指数的周期性,导致离散傅里叶变换是有周期的(2π)。而由于这个原因,导致了一系列的差别性,比如离散的相乘特性:时域上的乘积等于频域上的卷积(此时的卷积为周期卷积!)



    2.相乘特性

    时域上的乘积等于频域上的卷积。(以连续信号为例),离散信号有一点区别。

    我们考虑如果在输入信号为a^t*u(t),频域上为1/[1-ae^(-jw)];

    现在我们考虑在时域上乘以(-1)^t,相当于e^jnπ;

    由于e^jnπ为周期信号,我们可以利用连续周期信号的傅里叶变换的公式,首先求出其傅里叶级数然后得出傅里叶变换。可以得到其信号的傅里叶变换为一个脉冲函数(而离散信号的时候,为一连续脉冲,因为离散信号的傅里叶级数系数是周期性的,而连续的则没有这个性质);

    最后连续信号只可以将频谱搬移到有限个频谱带,而离散信号会不断搬移(但其实频谱为2π,4π,6π等等与0是一样的,所以低频是靠近π的偶数倍,高频靠近π的奇数倍)。

    结论就是:时域上乘以(-1)^n(离散信号),频谱是搬移π个单位。(连续的为有限搬移)

    也就是通过乘以(-1)^n,可以将低通滤波器变成高通滤波器。(比如脉冲响应为h(t)的系统为低通滤波器,脉冲响应为(-1)^n*h(t)的系统为高通滤波器)。

    可以看看下面的例子

    (1)a^n*u(n),0<a<1

    此时的频谱为

    (2)a^n*u(n),a<0


    发现就是频谱搬移大约π个单位。(滤波器由低通变高通)。

    这用相乘特性可以很好地解释为什么频谱搬移。



    另外,如果只有低通滤波器,如何让他有高通滤波器的功能呢?将输入信号乘以(-1)^n,频谱搬移将高频移到低频,低频移到高频,通过低通滤波器,实际上率除了低频信号,将输出来的信号再乘以(-1)^n,将高频信号转到高频的位置即可。

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  • 关于正交变换傅里叶级数傅里叶变换的一些知识
  • 《难懂的数学》P1:傅里叶变换傅里叶级数与频谱,知识卡片形式的笔记。

    傅里叶变换、傅里叶级数与频谱

    本文系观看B站up主@房东_bili《难懂的数学》系列视频的笔记,整理出来的笔记会以知识卡片的形式呈现,每一P视频对应一篇博文,每一篇博文里会根据内容有若干知识卡片。

    原视频如下方:

    【难懂的数学】P1-傅里叶变换、傅里叶级数和频谱


    CARD1:从三维运动理解正弦/余弦波

    在这里插入图片描述

    CARD2:以运动的角度观察三角波的运算

    在这里插入图片描述

    CARD3:以微积分观点理解级数和频谱

    在这里插入图片描述

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  • 作 者:韩 昊 ...知乎专栏:时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师,柳晓鸣老师,王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话,谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ...
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  • 傅里叶级数傅里叶变换

    千次阅读 2018-01-11 15:02:53
    傅里叶级数的得出傅里叶级数中参数的确定函数的正交性 傅里叶变换 为什么要有傅里叶变换傅里叶级数傅里叶变换 傅里叶级数的指数形式极限求得傅里叶变换 傅里叶级数 为什么要有...
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  • 傅里叶变换傅里叶级数的关系

    千次阅读 2019-02-11 14:13:04
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空空如也

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傅里叶变换与级数