http://blog.csdn.net/xuexiang0704/article/details/8260890
  
连续，离散的傅里叶变换与级数还是很混！
  

  
1.由于离散复指数的周期性，导致离散傅里叶变换是有周期的（2π）。而由于这个原因，导致了一系列的差别性，比如离散的相乘特性：时域上的乘积等于频域上的卷积（此时的卷积为周期卷积！）
  


  


  
2.相乘特性
  
时域上的乘积等于频域上的卷积。(以连续信号为例)，离散信号有一点区别。
  
我们考虑如果在输入信号为a^t*u（t），频域上为1/[1-ae^(-jw)]；
  
现在我们考虑在时域上乘以（-1）^t，相当于e^jnπ；
  
由于e^jnπ为周期信号，我们可以利用连续周期信号的傅里叶变换的公式，首先求出其傅里叶级数然后得出傅里叶变换。可以得到其信号的傅里叶变换为一个脉冲函数（而离散信号的时候，为一连续脉冲，因为离散信号的傅里叶级数系数是周期性的，而连续的则没有这个性质）；

  
最后连续信号只可以将频谱搬移到有限个频谱带，而离散信号会不断搬移（但其实频谱为2π，4π，6π等等与0是一样的，所以低频是靠近π的偶数倍，高频靠近π的奇数倍）。
  
结论就是：时域上乘以（-1）^n（离散信号）,频谱是搬移π个单位。（连续的为有限搬移）
  
也就是通过乘以（-1）^n，可以将低通滤波器变成高通滤波器。（比如脉冲响应为h(t)的系统为低通滤波器，脉冲响应为（-1）^n*h(t)的系统为高通滤波器）。
  
可以看看下面的例子
  
（1）a^n*u(n),0<a<1
  
此时的频谱为
  

  
（2）a^n*u(n),a<0
  

  


  
发现就是频谱搬移大约π个单位。（滤波器由低通变高通）。
  
这用相乘特性可以很好地解释为什么频谱搬移。
  


  


  
另外，如果只有低通滤波器，如何让他有高通滤波器的功能呢？将输入信号乘以（-1）^n,频谱搬移将高频移到低频，低频移到高频，通过低通滤波器，实际上率除了低频信号，将输出来的信号再乘以（-1）^n,将高频信号转到高频的位置即可。
 

 
 
http://blog.csdn.net/xuexiang0704/article/details/8260890
 
 
连续，离散的傅里叶变换与级数还是很混！
 
 
 
 
1.由于离散复指数的周期性，导致离散傅里叶变换是有周期的（2π）。而由于这个原因，导致了一系列的差别性，比如离散的相乘特性：时域上的乘积等于频域上的卷积（此时的卷积为周期卷积！）
 
 

 
 
 

 
 
 
2.相乘特性
 
 
时域上的乘积等于频域上的卷积。(以连续信号为例)，离散信号有一点区别。
 
 
我们考虑如果在输入信号为a^t*u（t），频域上为1/[1-ae^(-jw)]；
 
 
现在我们考虑在时域上乘以（-1）^t，相当于e^jnπ；
 
 
由于e^jnπ为周期信号，我们可以利用连续周期信号的傅里叶变换的公式，首先求出其傅里叶级数然后得出傅里叶变换。可以得到其信号的傅里叶变换为一个脉冲函数（而离散信号的时候，为一连续脉冲，因为离散信号的傅里叶级数系数是周期性的，而连续的则没有这个性质）；
 
 
 
最后连续信号只可以将频谱搬移到有限个频谱带，而离散信号会不断搬移（但其实频谱为2π，4π，6π等等与0是一样的，所以低频是靠近π的偶数倍，高频靠近π的奇数倍）。
 
 
结论就是：时域上乘以（-1）^n（离散信号）,频谱是搬移π个单位。（连续的为有限搬移）
 
 
也就是通过乘以（-1）^n，可以将低通滤波器变成高通滤波器。（比如脉冲响应为h(t)的系统为低通滤波器，脉冲响应为（-1）^n*h(t)的系统为高通滤波器）。
 
 
可以看看下面的例子
 
 
（1）a^n*u(n),0<a<1
 
 
此时的频谱为
 
 
 
 
（2）a^n*u(n),a<0
 
 
 
 

 
 
 
发现就是频谱搬移大约π个单位。（滤波器由低通变高通）。
 
 
这用相乘特性可以很好地解释为什么频谱搬移。
 
 

 
 
 

 
 
 
另外，如果只有低通滤波器，如何让他有高通滤波器的功能呢？将输入信号乘以（-1）^n,频谱搬移将高频移到低频，低频移到高频，通过低通滤波器，实际上率除了低频信号，将输出来的信号再乘以（-1）^n,将高频信号转到高频的位置即可。
 

连续，离散的傅里叶变换与级数还是很混！
 
 
1.由于离散复指数的周期性，导致离散傅里叶变换是有周期的（2π）。而由于这个原因，导致了一系列的差别性，比如离散的相乘特性：时域上的乘积等于频域上的卷积（此时的卷积为周期卷积！）
 

 
 

 
 
2.相乘特性
 
时域上的乘积等于频域上的卷积。(以连续信号为例)，离散信号有一点区别。
 
我们考虑如果在输入信号为a^t*u（t），频域上为1/[1-ae^(-jw)]；
 
现在我们考虑在时域上乘以（-1）^t，相当于e^jnπ；
 
由于e^jnπ为周期信号，我们可以利用连续周期信号的傅里叶变换的公式，首先求出其傅里叶级数然后得出傅里叶变换。可以得到其信号的傅里叶变换为一个脉冲函数（而离散信号的时候，为一连续脉冲，因为离散信号的傅里叶级数系数是周期性的，而连续的则没有这个性质）；
 
 
最后连续信号只可以将频谱搬移到有限个频谱带，而离散信号会不断搬移（但其实频谱为2π，4π，6π等等与0是一样的，所以低频是靠近π的偶数倍，高频靠近π的奇数倍）。
 
结论就是：时域上乘以（-1）^n（离散信号）,频谱是搬移π个单位。（连续的为有限搬移）
 
也就是通过乘以（-1）^n，可以将低通滤波器变成高通滤波器。（比如脉冲响应为h(t)的系统为低通滤波器，脉冲响应为（-1）^n*h(t)的系统为高通滤波器）。
 
可以看看下面的例子
 
（1）a^n*u(n),0<a<1
 
此时的频谱为
 
 
（2）a^n*u(n),a<0
 
 

 
 
发现就是频谱搬移大约π个单位。（滤波器由低通变高通）。
 
这用相乘特性可以很好地解释为什么频谱搬移。
 

 
 

 
 
另外，如果只有低通滤波器，如何让他有高通滤波器的功能呢？将输入信号乘以（-1）^n,频谱搬移将高频移到低频，低频移到高频，通过低通滤波器，实际上率除了低频信号，将输出来的信号再乘以（-1）^n,将高频信号转到高频的位置即可。

傅里叶变换、傅里叶级数与频谱
 
 
 
本文系观看B站up主@房东_bili《难懂的数学》系列视频的笔记，整理出来的笔记会以知识卡片的形式呈现，每一P视频对应一篇博文，每一篇博文里会根据内容有若干知识卡片。
 
 
 
 
原视频如下方：
 
 

  
  
【难懂的数学】P1-傅里叶变换、傅里叶级数和频谱
 
 
 
 
 
CARD1：从三维运动理解正弦/余弦波
 
 
 
 
 
CARD2：以运动的角度观察三角波的运算
 
 
 
 
 
CARD3：以微积分观点理解级数和频谱