在“信号与系统”课程中涉及的傅里叶变换有“信号”的傅里叶变换和“系统单位冲激响应”的傅里叶变换，虽然都叫傅里叶变换，但是，它们的物理意义是不一样的。针对于“信号”的傅里叶变换的理论和应用，我将用6篇文章尽量说明，看看傅里叶变换的物理意义和在实际应用中的应用，还要了解它的适用范围和不足，这6篇文章的内容涉及到大学里的3门课程：信号与系统、数字信号处理、随机信号分析和处理。
       一提起“傅里叶变换”，人们总觉得它很神秘，它到底是什么？
       如果你看下面的6篇信号傅里叶变换系列文章，建议你顺序看下去，当你从头看完时，希望你对信号的傅里叶变换和应用有了一定了解，文章中有不当之处请批评指正。
1、信号傅里叶变换系列文章（1）：傅里叶级数、傅里叶系数以及傅里叶变换
       这篇文章主要介绍什么是周期信号的傅里叶级数？什么是傅里叶系数？什么是非周期和周期信号的傅里叶变换？什么是信号的频谱？傅里叶变换的物理意义是什么？时域和频域的关系是什么？等等。
2、信号傅里叶变换系列文章（2）：信号频谱图
       这篇文章主要介绍什么是信号的频谱图？频谱图的画法。
3、信号傅里叶变换系列文章（3）：从傅里叶变换（FT）到离散傅里叶变换（DFT）（从理论到实现）
 4、信号傅里叶变换系列文章（4）：信号分析的案例故事
5、信号傅里叶变换系列文章（5）：经典功率谱估计
6、信号傅里叶变换系列文章（6）：傅里叶变换应用于轴承故障诊断
注意：上述应用中的随机信号都是平稳的（对于随机过程来说是各态历经的），非平稳随机信号不在介绍当中。另外，对于平稳随机信号的现代功率谱估计部分也不在介绍当中。
                                                                                 2020年7月19日

前言
        在学习级数的过程中,读到欧拉变换,觉得非常巧妙,而且在之后发散级数的学习中作者曾提出原级数在发散的情况下欧拉变换后的级数仍有可能收敛(例如1-1+1-1+1-...,当然这是Cesaro和意义下的结果或是解析延拓意义下的结果,其级数本身就是发散级数,这是毋庸置疑的,此级数的求和前提是在什么理论体系下讨论,正如自然数之和为 
 是在特定的理论体系之上建立的.单纯的将其拿出来讲是不严谨的).因此更觉得精妙,虽然仍有许多疑问,但仍将自己学会的内容共享,欢迎指出错误.
现考虑下列收敛级数:
在变换之前引入差分的概念:
我们通过数学归纳法得到:
于是我们开始变形以下 
 :
现在我们把 
 提出,可得:
保留第一项 
 ,考虑后项:
可以发现从中又有相似的结构出现,于是我们反复使用变形,可以得到:
其中 
 是余项,现考虑 
我们将差分的公式 
 代入得到:
整理可得:
考虑到原级数的余项
因此我们代入到 
 中,得到:
因为 
 ,所以我们得到: 
由此,我们证明了级数的欧拉变换是可行的,以下等式是成立的.
特别的,我们将 
 代入,易得:
例.
这是 
 的莱布尼兹公式,下面开始变形,
令 
 ,通过数学归纳法,我们得到:
将其代入公式得到:
即: 
我们将前者与后者的收敛速度进行对比:
利用 
 在当 
 时,
 ,误差大小 
 .
通过欧拉变换得到的新级数,我们可以得到在当 
 时,
 ,误差大小 
 .
(每次对比都取 
 .利用python进行数据计算).
参考资料:《微积分学教程·第二卷》,菲赫金戈尔茨著,P322-P324.
作者:Playmaker

一种新颖的量子电路，可以更快，更通用，更有效的方式计算傅立叶变换。
科学家们设计了一种计算快速傅里叶变换的新型量子电路，这是所有工程领域中不可或缺的工具。
傅里叶变换是一种数学运算，在物理和工程的几乎所有领域都是必不可少的。虽然在量子计算机中已经存在一种计算傅里叶变换的算法，但它在许多实际应用中还不够通用。在最近的一项研究中，来自东京科学大学的科学家们通过设计一种新的量子电路来解决这个问题，这种电路能以一种更快、更灵活、更有效的方式计算傅里叶变换。
傅里叶变换是一种重要的数学工具，它将一个函数或数据集分解成它的组成频率，就像将一个和弦分解成它的音符的组合一样。它以某种形式应用于工程的各个领域，因此，有效计算它的算法已经被开发出来——至少对传统计算机来说是这样的。但是量子计算机呢?
虽然量子计算仍然是一个巨大的技术和智力挑战，它有潜力加速许多程序和算法极大地提供适当的量子电路设计。特别是，傅里叶变换已经有一个量子版本，称为量子傅里叶变换(QFT)，但它的适用性相当有限，因为它的结果不能用于后续的量子算术运算。
为了解决这个问题，在最近发表在《量子信息处理》上的一项研究中，来自东京科学大学的科学家开发了一种新的量子电路，该电路执行“量子快速傅里叶变换(QFFT)”，并充分利用了量子世界的特性。参与这项研究的科学家之一、硕士一年级学生浅坂亮(Ryo Asaka)在第一次了解QFT及其局限性时产生了这项研究的想法。他认为，在标准傅里叶变换的一种变体——“快速傅里叶变换(FFT)”的基础上，创造一种更好的替代方法将是有用的。“快速傅里叶变换(FFT)”是传统计算中必不可少的算法，如果输入数据满足某些基本条件，它将大大加快计算速度。
为了设计QFFT的量子电路，科学家们必须首先设计量子算术电路来执行FFT的基本操作，比如加法、减法和数字移位。他们的算法一个显著的优点是不会产生“垃圾位”;计算过程不会浪费任何量子位元，量子位元是量子信息的基本单位。考虑到增加量子计算机的量子位数在过去几年里一直是一场艰苦的战斗，这种新颖的QFFT量子电路能够有效地使用量子位是非常有前途的。
他们的量子电路优于传统QFT的另一个优点是，它们的实现利用了量子世界的独特属性，可以大大提高计算速度。领导这项研究的坂井一光副教授解释说：“在量子计算中，我们可以利用称为“状态叠加”的现象同时处理大量信息。这使我们能够一次性将大量数据(例如多张图像和声音)转换到频域。” 通常将处理速度作为量子计算的主要优势，这种新颖的QFFT电路代表了朝着正确方向迈出的一步。
此外，QFFT电路比QFT的通用性要强得多，正如也参加了这项研究的助理教授柳木凉子(Ryoko Yahagi)指出：“ QFFT的主要优点之一是，它适用于任何可以解决的问题。传统的FFT，例如医学领域中数字图像的过滤或工程应用中的声音分析。” 有了量子计算机(希望如此)，这项研究的结果将使采用量子算法更容易解决依赖于FFT的许多工程问题。

并联型有源电力滤波器(SAPF)是治理谐波污染的有效手段，能有效的抑制和补偿电网中的谐波成分。它的关键技术是检测出补偿对象电流中的谐波和无功等电流分量。由于常用小波变换对频域划分粗略，以及变换后不能直接得到频谱信息，所以为了克服此缺点，提出一种傅里叶-小波检测方法。
本方法结合了小波变换能准确检测突变信号的优点和傅里叶变换能对平稳信号进行精确分析的优点，应用于谐波检测中，先用小波变化滤除电网中突变信号，再用傅里叶变换精确分析各项谐波。最后用仿真软件matlab搭建并联型有源电力滤波器模型。分析仿真结果表明，傅里叶-小波检测方式的并联型有源电力滤波器，能有效的补偿抑制谐波。
随着电力电子装置在电力系统中的广泛应用，电网中的谐波污染也日益严重。传统的电力电子技术的应用，特别是各种使用传统相控整流技术的大容量非线性负荷在运行过程中所产生的高谐波和低功率因数运行状态严重危害电力系统的安全和电网用户的利益。
一方面，谐波使电能在生产、传输和利用的效率低，在电网中造成附加损耗，还有可能使电气设备过热，甚至引起电力系统局部并联谐振或串联谐振，使电容器等设备烧毁。另一方面，大多数电力电子装置功率因数很低，给电网造成额外负担，影响供电质量。所以谐波抑制和提高功率因数受到越来越多人的关注。
为了减小谐波的影响，有效解决谐波的污染问题，提出了很多有源电力滤波器的方案。有源电力滤波器系统由两大部分组成，即指令电流运算电路和补偿电流发生电路。其中，指令电流运算电路的核心是检测出补偿对象电流中的谐波和无功等电流分量，是有源电力滤波器的关键部分。
长久以来，谐波检测方法大多是基于傅里叶变换及其改进算法，它可以精确定出平稳波形中各次谐波的幅值和相位，但是不能给出时间局部信息，因此只适用于稳态信号的分析处理。但是由于要补偿的电压、电流信号可能包含了大量的噪音和标志系统运行状况的突变信号、各种稳态和非稳态的谐波分量，需要对其进行合理分析，那么傅里叶变换就存在一定的局限性。
从应用角度上讲，小波变换是一种新的时频分析工具，由于它有良好的频域带通特性，又对突变的信号比较敏感，可以准确确定发生突变的时刻，滤除干扰信号，但它无法准确、方便的分辨出各次谐波，而且对于不同的小波基的选择得到的结果亦不同，这是它的缺点。而本文就结合了小波变换和傅里叶变换两者的优点，用这种小波-傅里叶谐波检测方法，能很好的适用于各类谐波信号，将它应用于并联型有源电力滤波器，并用MATLAB软件进行了建模与仿真。
图1有源电力滤波器系统构成
图7 仿真结构框图
图8 补偿之前之后三相电流对比
有源电力滤波器的工作原理
图1是有源电力滤波器系统构成原理图。有源电力滤波器(APF)由三部分组成：电流检测电路，控制电路和补偿电流发生电路(即主电路)。电流检测电路的作用是检测出需要补偿的非线性负载电流中的谐波和无功分量(根据不同的需要，有的只需要消除电网中的谐波电流，有的要同时补偿无功电流)，并产生相应的参考指令电流。
然后控制电路根据检测电路输出的参考指令电流产生相应的脉冲控制信号，控制补偿电流发生电路产生幅值相等、相位相反的谐波分量，并注入到电网中，达到实时补偿谐波、改善电网质量的目的。这种滤波器能对频率和幅值都变化的谐波进行跟踪补偿，且补偿特性不受电网阻抗的影响，因而受到广泛的重视。
结论
基于傅里叶-小波的谐波检测方法，既利用了小波变换能有效地提取突变信息的优点，又结合了傅里叶变换的对稳态信号强大的分析处理能力，有效的检测分离了电力系统中的谐波分量，从而使并联型有源电力滤波器能很好的发挥其作用，谐波电流总畸变率从补偿前的24.54%，减少到2.24%，提高了电能的质量。
(编自《电气技术》，原文标题为“基于傅里叶-小波检测的并联型有源电力滤波器”。)