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  • 傅里叶变换和傅里叶反变换
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    2022-03-06 23:27:03





    一、序列傅里叶变换与反变换



    在上一篇博客 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 ) 的介绍了如下内容 :

    傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

    X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=+x(n)ejωn


    傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

    x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega x(n)=2π1ππX(ejω)ejωkdω





    二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系



    序列绝对可和 与 存在傅里叶变换 :

    • 如果 " x ( n ) x(n) x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
    • 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " x ( n ) x(n) x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数 δ ( ω ) \delta(\omega) δ(ω) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;

    序列绝对可和可以表示成 :

    ∑ n = − ∞ + ∞ ∣ x ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \infty n=+x(n)<





    三、序列傅里叶变换性质



    x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换是 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) , 有如下性质 :

    • 连续性 : 序列 x ( n ) x(n) x(n) 是离散的 , 其 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) ω \omega ω 来说是连续的 ;

    • 周期性 : X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 是周期的 , 其周期是 2 π 2\pi 2π , 其主值区间为 [ − π , π ] [- \pi , \pi] [π,π] ;

    X ( e j ω ) = X ( e j ( ω + 2 M π ) ) X(e^{j\omega}) = X(e^{j( \omega + 2M\pi )}) X(ejω)=X(ej(ω+2Mπ))

    其中 M M M 是整数 ; e − j ω n e^{-j\omega n} ejωn , 将 ω = 2 π M \omega = 2\pi M ω=2πM 带入即可得到其是以 2 π 2\pi 2π 为周期的 ;

    • 周期独立性 : 在 相同周期 内的 各个频率 彼此独立 , 频率列举 :
      • 数字角频率域 , 即 ω \omega ω
      • 直流分量角频率 在 ω = 2 M π \omega = 2M\pi ω=2Mπ , π \pi π 的偶数被上 ;
      • 信号 最高角频率 在 ω = ( 2 M + 1 ) π \omega = (2M + 1 )\pi ω=(2M+1)π , π \pi π 的奇数倍 上 ;

    数字角频率 ω \omega ω , 与 模拟角频率 Ω \Omega Ω 之间的关系 :

    ω = Ω T \omega = \Omega T ω=ΩT

    直流就是 ω = 2 π f \omega = 2 \pi f ω=2πf 中的 数字频率 f = 0 f = 0 f=0 ;

    直流的时候 , 数字频率 f f f 0 0 0 , 则数字角频率 ω \omega ω 也为 0 0 0 ;


    证明 " 直流分量角频率 在 ω = 2 M π \omega = 2M\pi ω=2Mπ " :

    直流分量 角频率 在 π \pi π 的偶数倍上 , 角频率 是以 2 π 2\pi 2π 为周期的 , 周期信号的 组织是 [ − π , π ] [-\pi , \pi] [π,π] ,

    横轴为 ω \omega ω 角频率 , 纵轴为 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 的坐标系中 , 横坐标 ω = 0 \omega = 0 ω=0 位置的值对应 ω = 2 π \omega = 2 \pi ω=2π ω = − 2 π \omega = -2\pi ω=2π , 这 3 3 3 个横坐标位置的纵坐标值相等 , 直流分量 永远在 π \pi π 的偶数倍上 ;


    证明 " 最高频率分量 在 π \pi π 的奇数倍上 " :

    根据 ω = Ω T \omega = \Omega T ω=ΩT , 计算 ω = π \omega =\pi ω=π 点对应的 模拟频率 ,

    ω = Ω T = π \omega = \Omega T = \pi ω=ΩT=π

    模拟角频率 Ω = π T \Omega = \cfrac{\pi}{T} Ω=Tπ , 其中 T T T 是采样周期 , 单位是秒 ;

    则采样率 F s = 1 T F_s = \cfrac{1}{T} Fs=T1 , 单位是 H z Hz Hz , 每秒采集多少样本 ;

    Ω = π T = Ω s 2 \Omega = \cfrac{\pi}{T} = \cfrac{\Omega_s}{2} Ω=Tπ=2Ωs , 其中 Ω s \Omega_s Ωs 是采样角频率 ;

    模拟角频率是 Ω = 2 π f \Omega = 2\pi f Ω=2πf , 其中 Ω \Omega Ω 是模拟角频率 , f f f 是模拟频率 ;

    Ω s = 2 π F s = 2 π T \Omega_s = 2\pi F_s = \cfrac{2\pi}{T} Ωs=2πFs=T2π

    根据采样定理 , Ω s ≥ Ω m a x \Omega_s \geq \Omega_{max} ΩsΩmax , Ω s \Omega_s Ωs 是采样角频率 要大于等于 Ω m a x \Omega_{max} Ωmax 最高频率 ;

    Ω m a x \Omega_{max} Ωmax 最高频率 就是 Ω s 2 \cfrac{\Omega_s}{2} 2Ωs , 其中 Ω s \Omega_s Ωs 是采样角频率 ;


    参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;

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    一)  傅里叶分解

        任何一个时域空间的周期性函数都可以分解成一组正(余)弦波,

    (图一)

    二)  傅里叶变换

    时域函数 -> 频域函数

    f(t)  经过F操作分解成一组正余弦波(F操作为傅里叶变换)

     (图二)

    怎么在频域空间描述这组正余弦波呢,直觉的答案是用不同频率和相应的振幅来描述(比如3w频率波的振幅大约是w频率波振幅的一半),

    可是要做到从时域空间到频域空间完美的一一映射,光记录频率对应的振幅是不够的,还要记录频率的相位,

    这样就实现从时域空间到频域空间的一一映射了.(如图二)

    用数学公式表示分解后的正余弦波,实际上是一组标准正交基{1, sin(nwt) , cos(nwt)}的线性组合

    根据欧拉公式,标准正交基变成了e^{iwt} 或 e^{-jwt}

    知道傅里叶变换后的一组正余弦波的数学形式和标准正交基实际上为 e^{-jwt}了,该怎么把这正余弦波具体求出来呢?

    答案是根据标准正交基的性质,同频率的正交基相乘保留,不同频率的正交基相乘为0.

    (图三)

    图三里面的w代表某一特定频率值,这个对整个域的积分实际上就把频率为w的分量保留(提取)出来了,其他频率的分量被剔除掉了.

    图三的积分就是傅里叶变换F了,从含有e^{-j}就可以看出傅里叶变换后的结果是个复数,

    (图四)

    这个复数里面的实部代表w波的振幅,虚部代表w波的相位.

    由于从时域到频域的傅里叶变换是一一映射,所以存在一个傅里叶逆变换,使得变换之后信号(波)可以回答原始信号(波).

    傅里叶逆变换公式如下

    展开全文
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    千次阅读 2020-02-20 16:20:37
    理论基础 时域:以时间为横坐标 频域:以频率的倒数为横坐标,可以看出,频域更加简单。 相位:与时间差有关的一个概念。...1. 傅里叶变换 numpy.fft.fft2 1 实现傅里叶变换。 返回一个复数数组。...

    理论基础
    时域:以时间为横坐标
    频域:以频率的倒数为横坐标,可以看出,频域更加简单。

    相位:与时间差有关的一个概念。

    傅里叶说,任何连续周期信号,可以由一组适当的正弦曲线组合而成。我们知道,正弦曲线可以转换为频域信号,所以:任何连续周期信号,都可以转换成频域信号。并且这个过程是可逆的。


    程序实现
    1. 傅里叶变换

    numpy.fft.fft2
    1
    实现傅里叶变换。
    返回一个复数数组。
    numpy.fft.fftshift    效果如图所示
    将零频率分量移到频谱中心。    
    20*np.log( np.abs( fshift ) )
    1
    将傅里叶变换的计算结果映射到【0,255】这个区间内。

    import cv2
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt

    o=cv2.imread('image\\equ2.bmp',0)
    f=np.fft.fft2(o)                              #傅里叶变换
    fshift=np.fft.fftshift(f)                     #零频率移到中心
    result= 20 * np.log(np.abs(fshift))           #阈值转换
    plt.subplot(121),plt.imshow(o,cmap='gray'),plt.title('original'),plt.axis('off')
    plt.subplot(122),plt.imshow(result,cmap='gray'),plt.title('result'),plt.axis('off')
    plt.show()

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    2. 逆傅里叶变换

    numpy.fft.ifft2
    1
    实现逆傅里叶变换。
    返回一个复数数组。
    numpy.fft.ifftshift
    1
    fftshift的逆函数,将低频从中心移到左上角。

    iimg=np.abs( 逆傅里叶变换结果)
    1
    设置值得范围

    将图像进行傅里叶变换后,再进行逆傅里叶变换,与原图片对比。

    import cv2
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt

    o=cv2.imread('image\\boat.bmp',0)
    f=np.fft.fft2(o)
    fshift=np.fft.fftshift(f)                     #傅里叶变换
    ishift=np.fft.ifftshift(fshift)
    io=np.fft.ifft2(ishift)
    io=np.abs(io)                                 #逆傅里叶变换
    plt.subplot(121),plt.imshow(o,cmap='gray'),plt.title('original'),plt.axis('off')
    plt.subplot(122),plt.imshow(io,cmap='gray'),plt.title('result'),plt.axis('off')
    plt.show()

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    展开全文
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