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  • 1.熟悉傅立叶变换的各种性质 2.熟悉基本信号的频域转换 3.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法 4.熟悉在已经幅频函数|H(jw)|相频函数arg(H(jw)的情况下,利用ifourier函数求傅里叶反变换得到的函数
  • matlab傅里叶变换及逆变换快速傅里叶变换,通过编程实战掌握具体应用。包括matlab傅里叶变换、matlab傅里叶逆变换、matlab快速傅里叶变换
  • 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换
  • 傅里叶变换和反变换

    千次阅读 2017-01-07 16:33:57
    傅里叶变换和反变换
    傅里叶变换和反变换
    
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  • 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换,希望对大家有帮助
  • 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换

    离散傅里叶变换

    离散傅里叶反变换

    在这里插入图片描述
    傅里叶变换理论值过程
    在这里插入图片描述

    dft.c

    #include "math.h"
    double dft(a,b,A,B,N)
    int N;
    double a[],b[],A[],B[];
    {
        double PI=acos(-1.0);
        int n,k;
        double c,d,w0,w,s;
        w0=2*PI/N;
        for(k=0;k<N;k++){
            w=k*w0;
            A[k]=B[k]=0.0;
            for(n=0;n<N;n++){
                d=n*w;
                c=cos(d);
                s=sin(d);
                A[k]+=c*a[n]+s*b[n];
                B[k]+=c*b[n]-s*a[n];
            }
        }
        return PI;
    }
    

    idft.c

    #include "math.h"
    void idft(A,B,a,b,N)
    int N;
    double A[],B[],a[],b[];
    {
        double PI=acos(-1.0);
        int n,k;
        double c,d,w0,w,s;
        w0=2*PI/N;
        for(n=0;n<N;n++){
            w=n*w0;
            a[n]=b[n]=0.0;
            for(k=0;k<N;k++){
                d=k*w;
                c=cos(d);
                s=sin(d);
                a[n]+=(c*A[k]-s*B[k])/N;
                b[n]+=(c*B[k]+s*A[k])/N;
            }
        }
        return PI;
    }
    

    在这里插入图片描述
    其中q=complexNumReal+j*complexNumImaginary

    输出x[n],傅里叶变换实际值,理论值,并且将理论值反变换

    main.c

    #include "stdio.h"
    #include "math.h"
    #include "dft.c"
    #include "idft.c"
    main(){
        int i,j,N;
        printf("N=");
        scanf("%d",&N);
        double cNR,cNI;//complexNumReal,complexNumImaginary
        double a[N],b[N],A[N],B[N];
        printf("complexNumReal=");
        scanf("%lf",&cNR);
        printf("complexNumImaginary=");
        scanf("%lf",&cNI);
        a[0]=1.0;
        b[0]=0.0;
        for(i=1;i<N;i++){
            a[i]=cNR*a[i-1]-cNI*b[i-1];
            b[i]=cNI*a[i-1]+cNR*b[i-1];
        }
        printf("----Original Sequence----\n");
        for(i=0;i<N/2;i++){
            for(j=0;j<2;j++)
                printf("|%d:\t%10.6f + j%10.6f|\t",2*i+j+1,a[2*i+j],b[2*i+j]);
            printf("\n");
        }
    
        double PI=dft(a,b,A,B,N);
        printf("----Discrete Fourier Transform----\n");
        for(i=0;i<N/2;i++){
            for(j=0;j<2;j++)
                printf("|%d:\t%10.6f + j%10.6f |\t",2*i+j+1,A[2*i+j],B[2*i+j]);
            printf("\n");
        }
    
        double nR,nI;//numeratorR,numeratorI
        double dR,dI;//denominatorR,denominatorI
        double w,WkR,WkI;
        printf("----Theoretical Discrete Fourier Transform----\n");
        for(int k=0;k<N;k++){
            w=(2*PI/N)*k;   //W^k=e^-j*k*(2*PI/N)=cos(w)+j*(-1)*sin(w)
            WkR=cos(w);
            WkI=(-1)*sin(w);
            nR=1-cNR*a[N-1]+cNI*b[N-1];
            nI=cNI*a[N-1]+cNR*b[N-1];
            dR=1-cNR*WkR+cNI*WkI;
            dI=cNI*WkR+cNR*WkI;
            A[k]=(nR*dR+nI*dI)/(pow(dR,2)+pow(dI,2));
            B[k]=(nR*dI-nI*dR)/(pow(dR,2)+pow(dI,2));
        }
        for(i=0;i<N/2;i++){
            for(j=0;j<2;j++)
                printf("|%d:\t%10.6f + j%10.6f |\t",2*i+j+1,A[2*i+j],B[2*i+j]);
            printf("\n");
        }
    
        idft(A,B,a,b,N);
        printf("****Inverse Discrete Fourier Transform****\n");
        for(i=0;i<N/2;i++){
            for(j=0;j<2;j++)
                printf("|%d:\t%10.6f + j%10.6f |\t",2*i+j+1,a[2*i+j],b[2*i+j]);
            printf("\n");
        }
    }
    
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  • 傅里叶变换和傅里叶逆变换的C++代码,亲测,有详细的解释。 有问题可以留言。
  • 精通matlab傅里叶变换及逆变换快速傅里叶变换
  • 傅里叶变换和快速傅里叶变换VC++算法实现演示 VC++6编译, MFC程序
  • 傅里叶变换和傅里叶级数之间的区别与联系,详细推导个人理解。我的CSDN博客中也有这一篇文章。
  • matlab傅里叶变换变换

    热门讨论 2012-04-01 11:21:15
    基于matlab的傅里叶变换变换的标准形式。
  • 傅里叶变换变换C语言实现,亲测有用!
  • 离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换
  • OpenCV中的图像变换——傅里叶变换

    万次阅读 多人点赞 2021-07-22 20:11:24
    这篇博客将介绍OpenCV中的图像变换,包括用Numpy、OpenCV计算图像的傅里叶变换,以及傅里叶变换的一些应用;

    这篇博客将介绍OpenCV中的图像变换,包括用Numpy、OpenCV计算图像的傅里叶变换,以及傅里叶变换的一些应用;

    2D Discrete Fourier Transform (DFT)二维离散傅里叶变换
    Fast Fourier Transform (FFT) 快速傅里叶变换

    傅立叶变换用于分析各种滤波器的频率特性。对于图像采用二维离散傅立叶变换(DFT)求频域。一种称为快速傅立叶变换(FFT)的快速算法用于DFT的计算。

    • OpenCV使用cv2.dft()、cv2.idft() 实现傅里叶变换,效率更高一些(比OpenCV快3倍)
    • Numpy使用np.ifft2() 、np.fft.ifftshift() 实现傅里叶变换,使用更友好一些;

    1. 效果图

    灰度图 VS 傅里叶变换效果图如下:
    可以看到白色区域大多在中心,显示低频率的内容比较多。
    在这里插入图片描述
    傅里叶变换去掉低频内容后效果图如下:

    可以看到使用矩形滤波后,效果并不好,有波纹的振铃效果;用高斯滤波能好点;
    在这里插入图片描述
    傅里叶变换去掉高频内容后效果图如下:
    删除图像中的高频内容,即将LPF应用于图像,它实际上模糊了图像。
    在这里插入图片描述
    各滤波器是 HPF(High Pass Filter)还是 LPF(Low Pass Filter),一目了然:
    拉普拉斯是高频滤波器;
    在这里插入图片描述

    2. 原理

    • DFT的性能优化:在一定的阵列尺寸下,DFT计算的性能较好。当数组大小为2的幂时,速度最快。大小为2、3和5的乘积的数组也可以非常有效地处理。

    为达到最佳性能,可以通过OpenCV提供的函数cv2.getOptimalDFTSize() 寻找最佳尺寸。
    然后将图像填充成最佳性能大小的阵列,对于OpenCV,必须手动填充零。但是对于Numpy,可以指定FFT计算的新大小,会自动填充零。

    通过使用最优阵列,基本能提升4倍的效率。而OpenCV本身比Numpy效率快近3倍;

    拉普拉斯是高通滤波器(High Pass Filter)

    3. 源码

    3.1 Numpy实现傅里叶变换

    # 傅里叶变换
    
    import cv2
    import numpy as np
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    img = cv2.imread('ym3.jpg', 0)
    
    # 使用Numpy实现傅里叶变换:fft包
    # fft.fft2() 进行频率变换
    # 参数1:输入图像的灰度图
    # 参数2:>输入图像 用0填充;  <输入图像 剪切输入图像; 不传递 返回输入图像
    f = np.fft.fft2(img)
    
    # 一旦得到结果,零频率分量(直流分量)将出现在左上角。
    # 如果要将其置于中心,则需要使用np.fft.fftshift()将结果在两个方向上移动。
    # 一旦找到了频率变换,就能找到幅度谱。
    fshift = np.fft.fftshift(f)
    magnitude_spectrum = 20 * np.log(np.abs(fshift))
    
    plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
    plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
    plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.show()
    
    # 找到了频率变换,就可以进行高通滤波和重建图像,也就是求逆DFT
    rows, cols = img.shape
    crow, ccol = rows // 2, cols // 2
    fshift[crow - 30:crow + 30, ccol - 30:ccol + 30] = 0
    f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
    img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
    img_back = np.abs(img_back)
    
    # 图像渐变章节学习到:高通滤波是一种边缘检测操作。这也表明大部分图像数据存在于频谱的低频区域。
    # 仔细观察结果可以看到最后一张用JET颜色显示的图像,有一些瑕疵(它显示了一些波纹状的结构,这就是所谓的振铃效应。)
    # 这是由于用矩形窗口mask造成的,掩码mask被转换为sinc形状,从而导致此问题。所以矩形窗口不用于过滤,更好的选择是高斯mask。)
    plt.subplot(131), plt.imshow(img, cmap='gray')
    plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.subplot(132), plt.imshow(img_back, cmap='gray')
    plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.subplot(133), plt.imshow(img_back)
    plt.title('Result in JET'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    
    plt.show()
    

    3.2 OpenCV实现傅里叶变换

    import cv2
    import numpy as np
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    img = cv2.imread('ym3.jpg', 0)
    rows, cols = img.shape
    print(rows, cols)
    
    # 计算DFT效率最佳的尺寸
    nrows = cv2.getOptimalDFTSize(rows)
    ncols = cv2.getOptimalDFTSize(cols)
    print(nrows, ncols)
    
    nimg = np.zeros((nrows, ncols))
    nimg[:rows, :cols] = img
    img = nimg
    
    # OpenCV计算快速傅里叶变换,输入图像应首先转换为np.float32,然后使用函数cv2.dft()和cv2.idft()。
    # 返回结果与Numpy相同,但有两个通道。第一个通道为有结果的实部,第二个通道为有结果的虚部。
    dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
    dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
    
    magnitude_spectrum = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))
    
    plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
    plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
    plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.show()
    
    rows, cols = img.shape
    crow, ccol = rows // 2, cols // 2
    
    # 首先创建一个mask,中心正方形为1,其他均为0
    # 如何删除图像中的高频内容,即我们将LPF应用于图像。它实际上模糊了图像。
    # 为此首先创建一个在低频时具有高值的掩码,即传递LF内容,在HF区域为0。
    mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
    mask[crow - 30:crow + 30, ccol - 30:ccol + 30] = 1
    
    # 应用掩码Mask和求逆DTF
    fshift = dft_shift * mask
    f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
    img_back = cv2.idft(f_ishift)
    img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])
    
    plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
    plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.subplot(122), plt.imshow(img_back, cmap='gray')
    plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.show()
    

    3.3 HPF or LPF?

    import cv2
    import numpy as np
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    # 简单的均值滤波
    mean_filter = np.ones((3, 3))
    
    # 构建高斯滤波
    x = cv2.getGaussianKernel(5, 10)
    gaussian = x * x.T
    
    # 不同的边缘检测算法Scharr-x方向
    scharr = np.array([[-3, 0, 3],
                       [-10, 0, 10],
                       [-3, 0, 3]])
    # Sobel_x
    sobel_x = np.array([[-1, 0, 1],
                        [-2, 0, 2],
                        [-1, 0, 1]])
    # Sobel_y
    sobel_y = np.array([[-1, -2, -1],
                        [0, 0, 0],
                        [1, 2, 1]])
    # 拉普拉斯
    laplacian = np.array([[0, 1, 0],
                          [1, -4, 1],
                          [0, 1, 0]])
    
    filters = [mean_filter, gaussian, laplacian, sobel_x, sobel_y, scharr]
    filter_name = ['mean_filter', 'gaussian', 'laplacian', 'sobel_x', \
                   'sobel_y', 'scharr_x']
    fft_filters = [np.fft.fft2(x) for x in filters]
    fft_shift = [np.fft.fftshift(y) for y in fft_filters]
    mag_spectrum = [np.log(np.abs(z) + 1) for z in fft_shift]
    
    for i in range(6):
        plt.subplot(2, 3, i + 1), plt.imshow(mag_spectrum[i], cmap='gray')
        plt.title(filter_name[i]), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    
    plt.show()
    
    

    参考

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    信号专栏15期。大道至简,心诚则灵!和我们一起轻松学懂信号!

    在13期中,我们提到:信号与系统课程的三大变换(傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换)中,傅里叶变换无疑是最为重要的变换,而傅里叶变换的性质又是其中的重点。

    时间信号傅里叶变换的性质很多,需要掌握的有:对称性(对偶性、互易对称性)、线性、奇偶性(共轭对称性)、展缩特性(尺度变换特性)、时移特性、频移特性以及频域卷积特性等。

    每个性质包含三方面的内容:性质本身的数学表示、证明和应用。应用包括在傅里叶变换和反变换计算中的应用,以及理解该性质表达的物理含义。今天介绍傅里叶变换的时移特性和尺度变换特性一、傅里叶变换的时移特性若已知f(t)的傅里叶变换7d08f277a91f2186a35e128d6fad260c.png那么可知f(t-t0)的傅里叶变换为d5e653df3814935d9bb85e6b6ac47e87.png二、该性质的证明 d6f55dfce64a9538863714a8fe65e0e4.png

        68cc25bd64f462c73259dda36df7c66f.png

    3919ddfde6f4f96b9c42674ff656556d.png

        f1c1c8db5aa247c7881963ff952b1ddf.png

    三、傅里叶变换的尺度变换特性若已知f(t)的傅里叶变换7d08f277a91f2186a35e128d6fad260c.png那么f(at)的傅里叶变换为,此处a为非0实数。b1676731f0d1a25d0ede53d632507ec2.png四、该性质的证明422bc300383a99a77d316e3085c1c001.png若a>0,则c690e5735e41f745139d5f3fc9f98ce0.png若a<0,则79296360c8a469ae00c7c5d6fa430705.png

                     1f1066916559677470b3b9ec2ae7da51.png

    两种情况可以合并表示为

    b1676731f0d1a25d0ede53d632507ec2.png

    特别的,当a=-1时

    4df0bb5a8e96cd193c5c69206170dbe2.png

    五、应用举例实际中,我们遇到的题目可能是多个性质结合在一起的。下面。举一个线性、时移、尺度变换相结合的例子。例:已知f(t)波形如下图所示,求它的傅里叶变换。

    9cb31bbe95e0a03485b377ce7e555c03.png

    f(t)可以分解为下面两个波形相加f1(t)+f2(t)

    a9c89c0a43529cbf600e503a449cf28c.png

    1e4198facbd701f30d6db466f92cafb8.png

    该波形是门函数的时移,可以记作

    6680e0e7f3296d7f3559bbf70e6ebeb6.png

    根据时移特性可知

    ff1e91c6df584ed2c851abef633f4cb9.png

    根据线性特性,可以得出

    a25ffeaea0d2082f42f46a0b9e9c20f1.png

    在门函数这一步,也可以通过单位矩形脉冲的傅里叶变换的尺度变换来得到两个函数的傅里叶变换,此处不再详述。

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    傅里叶变换到加窗傅里叶变换我们都做了什么

空空如也

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傅里叶变换和傅里叶反变换