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  • 快速傅里叶变换在信号处理中的应用

    万次阅读 多人点赞 2018-09-12 16:41:09
    声学、信号处理等领域有广泛的应用。计算机处理信号的要求是:时域和频域都应该是离散的,而且都应该是有限长的。而傅里叶变换仅能处理连续信号,离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)就是应这种...

    傅里叶变换FT(Fourier Transform)是一种将信号从时域变换到频域的变换形式。它在声学、信号处理等领域有广泛的应用。计算机处理信号的要求是:在时域和频域都应该是离散的,而且都应该是有限长的。而傅里叶变换仅能处理连续信号,离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)就是应这种需要而诞生的。它是傅里叶变换在离散域的表示形式。但是一般来说,DFT的运算量是非常大的。在1965年首次提出快速傅里叶变换算法FFT(Fast Fourier Transform)之前,其应用领域一直难以拓展,是FFT的提出使DFT的实现变得接近实时。DFT的应用领域也得以迅速拓展。除了一些速度要求非常高的场合之外,FFT算法基本上可以满足工业应用的要求。由于数字信号处理的其它运算都可以由DFT来实现,因此FFT算法是数字信号处理的重要基石。

    傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。如图1所示,即为时域信号与不同频率的正弦波信号的关系,这是最近翻阅文献看到的对于时域频域表示的最简单明了的图,原处为参考文献中的第二个链接,有兴趣的朋友可以去原文查阅。图中最右侧展示的是时域中的一个信号,这是一个近似于矩形的波,而图的正中间则是组成该信号的各个频率的正弦波。从图中我们可以看出,即使角度几乎为直角的正弦波,其实也是由众多的弧度圆滑的正弦波来组成的。在时域图像中,我们看到的只有一个矩形波,我们无从得知他是由这些正弦波组成。但当我们通过傅里叶变换将该矩形波转换到频域之后,我们能够很清楚的看到许多脉冲,其中频域图中的横轴为频率,纵轴为振幅。因此可以通过这个频域图像得知,时域中的矩形波是由这么多频率的正弦波叠加而成的。

    图1   时域频域关系图

    这就是傅里叶变换的最基本最简单的应用,当然这是从数学的角度去看傅立叶变换。在信号分析过程中,傅里叶变换的作用就是将组成这个回波信号的所有输入源在频域中按照频率的大小来表示出来。傅里叶变换之后,信号的幅度谱可表示对应频率的能量,而相位谱可表示对应频率的相位特征。经过傅立叶变换可以在频率中很容易的找出杂乱信号中各频率分量的幅度谱和相位谱,然后根据需求,进行高通或者低通滤波处理,最终得到所需要频率域的回波。

    傅里叶变换在图像处理过程中也有非常重要的作用,设信号f是一个能量有限的模拟信号,则其傅里叶变换就表示信号f的频谱。从纯粹的数学意义上看,傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们就可以直观地看出图像的能量分布:如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的,这是因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小;反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。

    下面我们以信号处理过程中的一个例子来详细说明FFT的效果:假设采样频率为Fs,信号频率为F,采样点数为N。那么FFT处理之后的结果就是一个点数为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点,而每个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。假设原始信号的峰值为A,那么在处理后除第一个点之外的其他点的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即频率为0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn 所能分辨到的最小频率为Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数N为1024点,则最小分辨率可以精确到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做FFT处理,则结果可以分析到1Hz;如果采样2秒时间的信号并做FFT处理,则结果可以精确到0.5Hz。

    假设现在我们有一个输入信号,该信号总共包含3种成分信号,其一是5V的直流分量;其二是频率为50Hz、相位为-60度、幅度为10V的交流信号;第三个成分信号是频率为100Hz、相位为90度、幅度为5V的交流信号。该输入信号用数学表达式表示如下:

                                                S=5+10*cos(2*pi*50*t-pi*60/180)+5*cos(2*pi*100*t+pi*90/180)

    图2 输入信号

    图2即为S信号的图像表示。现在,我们以256Hz的采样率Fs对这个信号进行采样,采样点数N同样为256点。根据公式我们可以算出其频谱图中的频率精度为1Hz。因此对于输入信号频率包含0Hz、50Hz和100hz的复合信号,在其经过FFT处理之后,应该会在频谱图中出现3个峰值,而且频率分别为0Hz、50Hz和100Hz,处理结果如图3所示:

    图3 信号频谱全图

    结果正如我们所预料的,对输入信号’S’做FFT处理之后,图3中出现了5个峰值,这是因为对输入信号做256点的FFT处理之后并没有第257个频点信息,这也是前文中所提到的第一个点的模值是N倍的原因。因此,信号的 FFT结果具有一定的对称性。一般情况下,我们只使用前半部分的结果,即小于采样频率一半的结果。对于图像进行简单处理后,我们的前半部分的FFT结果如图4所示:

    图4  处理后的频谱图

    从图4中可以看出,三个输入信号频点的幅值依次为1280、1280、640;其他频率所对应的幅值均为0。按照公式,可以计算直流分量(频率为0Hz)的幅值为:1280/N= 1280/256=5;频率为50Hz的交流信号的幅值为:1280/(N/2)= 1280/(256/2)=10;而75Hz的交流信号的幅值为640/(N/2)=640/(256/2)=5。这也正是我们输入信号中的三个分量的直流分量值,由此可见,从频谱分析出来的幅值是正确的。

    通过上面的例子我们可以看出,对于一个输入信号,假如我们不能确定该输入信号的频率组成,我们对其进行FFT处理之后,便可以很轻松的看出其频率分量,并且可以通过简单的计算来获知该信号的幅值信息等。另外,如果想要提高频率分辨率,我们根据计算公式首先想到的就是需要增加采样点数,但增加采样点数也就意味着计算量增加,这在工程应用中增加了工程难度。解决这个问题的方法有频率细分法,比较简单的方法是采样较短时间的信号,然后在后面补充一定数量的0,使其长度达到需要的点数(一般为2的幂次方的点数),然后再做FFT,就能在一定程度上提高频率分辨率。

     

    参考文献

    https://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/72817527

    https://blog.csdn.net/Best_Coder/article/details/39560287

    https://blog.csdn.net/wordwarwordwar/article/details/68951605

    https://wenku.baidu.com/view/aa227c1e650e52ea55189866.html

    https://wenku.baidu.com/view/c33302126edb6f1aff001f04.html

    https://blog.csdn.net/xz_wang/article/details/24926415

    https://blog.csdn.net/djzhao/article/details/78333996

    https://blog.csdn.net/liuuze5/article/details/40051395

     

     

     

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  • 对于噪声频率固定的平稳信号信号进行傅里叶变换后使用滤波器滤除噪声。对高频含噪信号则采用正交小波函数sym4对信号分解到第4层,利用极大极小值原则选择合适的阈值进行软阈值处理,最后利用处理后的小波系数...
  • 研究了傅里叶变换与小波变换在信号故障诊断中的应用。仿真表明, 小波变换在检测信号突变点方面 比傅里叶变换优越得多, 且利用小波变换可以精确地检测出信号突变的时间与位置。最后探讨了在应用小波变换 进行故障检测...
  • 频率特性: 我们知道, 系统对激励信号e(t)e(t)e(t)的零状态响应为r(t)=h(t)∗e(t)r(t)=h(t)*e(t)r(t)=h(t)∗e(t) 根据卷积定理可得R(jω)=E(jω)⋅H(jω)R(j\omega)=E(j\omega)\cdot H(j\omega)R(jω)=E(jω)⋅H(jω)...

    系统频率特性

    • 频率特性: 我们知道, 系统对激励信号e(t)e(t)的零状态响应为r(t)=h(t)e(t)r(t)=h(t)*e(t)
      根据卷积定理可得R(jω)=E(jω)H(jω)R(j\omega)=E(j\omega)\cdot H(j\omega)
      H(jω)H(j\omega)为系统函数.且有φr(ω)=φe(ω)+φ(ω)\varphi_r(\omega)=\varphi_e(\omega)+\varphi(\omega)
      上式说明信号经过系统后, 输出信号幅度由H(jω)H(j\omega)的幅度进行加权, 相位由H(jω)H(j\omega)的相位进行修正.

    无失真传输

    • 无失真条件: 幅度可以成比例增加或减少, 可以有时移, 但波形形状不变.r(t)=Ke(tt0) ,r(t)R(jω)=KE(jω)ejω0tH(jω)=Kejωt0r(t)=Ke(t-t_0)\ ,r(t)\leftrightarrow R(j\omega)=KE(j\omega)e^{-j\omega_0t}\\H(j\omega)=Ke^{-j\omega t_0}
    • 无失真总结: 幅度为与频率无关的常数K, 系统的通频带为无限宽–全通网络; 相位与频率成正比, 相频特征是一条过原点的负斜率的直线; 不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数.

    理想低通

    • 频率特性: H(jω)={ejωt0 ω<ωc0 H(j\omega)=\begin{cases}e^{-j\omega t_0} \ |\omega|<\omega_c \\ 0\ 其他\end{cases}
    • 理想低通的冲激响应: h(t)=ωcπSa[ωc(tt0)]h(t)=\frac{\omega_c}{\pi}\cdot Sa[\omega_c(t-t_0)]
    • 理想低通的阶跃响应:r(t)=12+1π0ωc(tt0)sinxxdx=12+1πSi[ωc(tt0)]r(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_0^{\omega_c(t-t_0)}\frac{\sin x}{x}dx\\[2ex]=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}Si[\omega_c(t-t_0)]
    • 上升时间: rtr_t从最小值上升到最大值的时间. tr=2πωct_r=2\cdot \frac{\pi}{\omega_c}
    • 理想低通滤波对矩形脉冲的响应:r(t)=1π{Si[ωc(tt0)]Si[ωc(tt0τ)]}r(t)=\frac{1}{\pi}\{Si[\omega_c(t-t_0)]-Si[\omega_c(t-t_0-\tau)]\}

    调制与解调

    • F(ω)=12[G(ωωc)+G(ω+ωc)]F(\omega)=\frac{1}{2}[G(\omega-\omega_c)+G(\omega+\omega_c)]
    • G0(ω)=12G(ω)+14G(ω2ω0)+14G(ω+2ω0)G_0(\omega)=\frac{1}{2}G(\omega)+\frac{1}{4}G(\omega-2\omega_0)+\frac{1}{4}G(\omega+2\omega_0)

    希尔伯特变换

    • 定义: H[f(t)]=f^(t)=1πf(τ)tτdτH[f(t)]=\hat f(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f(\tau)}{t-\tau}d\tau
      H1[f^(t)]=f(t)=1πf^(τ)tτdτH^{-1}[\hat f(t)]=f(t)=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\hat f(\tau)}{t-\tau}d\tau
      f^(t)=f(t)1πt\hat f(t)=f(t)*\frac{1}{\pi t}
      f(t)=f^(t)(1πt)f(t)=\hat f(t)*(-\frac{1}{\pi t})
      这说明希尔伯特变换就是其经过冲激响应为1πt\frac{1}{\pi t}的系统的零状态响应.
    • 如果系统的冲激响应是1πt\frac{1}{\pi t},则系统函数为H(ω)=jsgn(ω)H(\omega)=jsgn(\omega)
      这说明该系统是一个使相位超前90度的宽带相移全通网络, 因此信号通过希尔伯特变换后, 幅度不变, 相位超前90度.
    • 希尔伯特变换与因果系统的网络函数: 因果系统的网络函数的实部和虚部是一对希尔伯特变换对.

    功率谱和能量谱

    • 相关函数:R12(τ)=f1(t)f2(tτ)dtR21(τ)=f1(tτ)f2(t)dtR_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^\infty f_1(t)f_2(t-\tau)dt\\[2ex] R_{21}(\tau)=\int_{-\infty}^\infty f_1(t-\tau)f_2(t)dt
      相关函数是两信号之间时间差的函数
      R12(τ)=R21(τ)R_{12}(\tau)=R_{21}(-\tau)
    • 对于某信号f, 定义其与自身时移后的信号积分为自相关系数, 并用R(τ)R(\tau)表示, 即
      R(τ)=f(t+τ)f(t)dtR(\tau)=\int_{-\infty}^\infty f(t+\tau)f(t)dt
    • 功率谱: 如果f(t)是功率有限信号, 则截取f(t)在tT2|t|\leq \frac{T}{2}区间的一段, 得到一个截断函数fT(t)f_T(t)
      ρ(ω)=limTFT(ω)2T\rho(\omega)=\lim_{T\to \infty}\frac{|F_T(\omega)|^2}{T}
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  • 分数阶傅里叶变换在信号检测与图像处理中的应用研究(李琼) 发展历史 特性 二维分数阶傅里叶变换 基于分数阶傅里叶变换的图像分析 分数阶变换域中图像的能量分布 分数阶傅里叶变换域中的图像的幅度和相位信息 分数...

    分数阶傅里叶变换在信号检测与图像处理中的应用研究(李琼)

    文章地址:paper
    摘要:分数阶傅里叶变换是传统傅里叶变换的一种广义形式,很适合处理非平稳信号,尤其是chirp类信号,具有良好的时频域特性。通过对分数域中的图像能量和幅度相位分布的分析,将其应用到图像增强中,有效的提高图像的质量。

    发展历史

    • Wiener等人最早开始研究分数阶傅里叶变换,他对傅里叶变换中的特征值进行了修正,从而使得其比普通傅里叶变换具有更加完善的形式,是分数阶傅里叶变换的最初理论。
    • 1937年, Condon 独自研究了分数阶傅里叶变换的基本概念,同时也是第一个直接研究FRFT定义的人;
    • 1961年,Bargmann讨论了FRFT的基本定义,并提出FRFT的两种等价的定义形式:Hermit多项式和积分变换;
    • 1980年,Namias从特征值域特征函数的角度,重新给出了FRFT的定义,并把FRFT定义为传统傅里叶变换的分数幂形式
    • 1993年,Mendlovic,Lohamann和Ozaktas给出了FRFT的光学实现并将其广泛应用于光学领域中,但因缺乏快速算法,始终未受到重视;
    • 1993年,Almeida提出FRFT可以解释维时频平面旋转;
    • 1996年,Ozaktas提出一种计算量与FFT相当的快速算法以后,FRFT才广泛引起研究者的注意

    特性

    • 将信号从时域变换到时频平面,同时反映信号的时域和频域信息,有利于全面分析信号的局部细微特征
    • 是一种线性变换,用分数域中的单一变量表示信号的时频信息且没有交叉项的干扰
    • 可看作是信号在时频面上的坐标轴绕原点逆时针转动任意角度后所形成分数域上的表示
    • 保留傅里叶变换的优良特性,而且还兼有自身独特的优势
    • 线性,旋转相加性,可逆性,酉性,Parseval关系式、Wigner,时移特性,频移特性、尺度特性

    二维分数阶傅里叶变换

    二维离散分数阶傅里叶变换可分别由x,y方向的一维离散分数阶傅里叶变换共同实现,具体实现步骤:

    • 先对二维离散信号f的列向量做一维离散FRFT,得到F1
    • 对F1的行向量做一维离散FRFT,得到F2
    • 对F2转置,得到f的二维离散分数阶傅里叶变换

    基于分数阶傅里叶变换的图像分析

    任意阶次的FRFT都同时包含不同程度的时频信息,将其用于图像分析中,有助于在时频面上更加深入的分析图像的能量分布,幅度和相位信息。

    分数阶变换域中图像的能量分布

    分数域中图像能量分布的特点:从四周向中心聚积,聚积程度取决于阶次p接近傅里叶变换的程度(p=1)。
    分布规律:

    • 随着p的增大,能量越来越集中,当p=0.7左右,分数域的能量在此中心区域已经达到了90%以上。
    • FRFT包含图像的时频信息,随着p的改变,能量在时频域的分配也发生变换,当p<0.5时,将近又50%的能量分散在时域,当p>0.5时,频域能量分布呈明显上升趋势,当p=1时,图像的能量聚集性达到最强。

    分数阶傅里叶变换域中的图像的幅度和相位信息

    相位:

    • 当阶次较小时(p趋近于0),可以明显看到图片的一些轮廓特征,随着变换阶次 不断增大,纹理信息逐渐减少。表明相位信息所包含的时域信息随着变换阶次的增大而减少,而频域信息随着变化阶次的增大而增大。

    幅度:
    当阶次较小时很明显的能看清图像的轮廓和细节信息,随着阶次变大,图像逐渐变得模糊,能量也越来越集中。

    分数阶傅里叶逆变换之后的幅度和相位

    相位:
    从不同相位恢复的图像中均可以明显观察到原图像的轮廓边缘信息,随着阶次逐渐变大,图像的边缘信息越来越清晰,可理解为图像经过了不同截止频率的高通滤波器。
    幅度:
    从幅度恢复的图像中看不出与原图像时域相关的信息,图像的边缘信息主要包含在相位信息中,背景信息主要包含在幅度信息中。

    在图像增强中的应用

    分数阶本身具有丰富的时频信息和灵活的参数配置

    图像增强

    目的:增强图像中感兴趣的信息,减少或去除不感兴趣信息的处理方法,改善图像质量、增大不同物体特征的对比度、丰富细节信息、使得有用信息看起来更加清晰,更加容易识别。主要分为空域增强和频域增强:
    空域增强:点运算(灰度变换法、直方图均衡法)、领域运算(图像锐化、图像平滑)
    频域增强:低频和高频滤波、带通滤波、小波变换(优点:全局性,对图像的所有像素进行处理,能够更好的体现图像的整体特性)
    分数阶傅里叶变换变换后图像边缘保持能力更高。

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  • 信号分解、傅里叶变换信号信号的分解 学习【信号分解】这一部分时,脑海里要有两个概念: 其一,我们整本书学习的思路就是围绕着将信号分解成基本信号,将系统的响应转变成基本响应这一思路来开展的; 其二...

    信号分解、傅里叶变换与信号谱

    信号的分解

    在学习【信号分解】这一部分时,脑海里要有两个概念:

    • 其一,我们整本书学习的思路就是围绕着将信号分解成基本信号,将系统的响应转变成基本响应这一思路来开展的;
    • 其二,我们希望找到一个分解信号的方式,使之分解结果最有效;类比矢量的分解,我们引出对信号的分解。

    1. 矢量的正交分解

    • ①矢量正交

    两个矢量V1和V2的夹角为直角↔两个矢量的内积为零,即V1·V2=|V1|·|V2|·cos90°=0

    • ②正交矢量集

    由两两正交的矢量组成的矢量集合

    p.s. 正交矢量集的概念将正交的位置关系从两个向量拓展到任意多个向量上

    • ③非正交向量的近似表示及误差

    现如下图给出一个待表示的向量V1和基准向量V2,我们想要在误差最小的情况下将V1用V2表示出来:
    在这里插入图片描述
    p.s. 若所选的基准向量V2与向量V1是正交的,则无法进行表示。

    • ④矢量的正交分解

    任意N维的矢量都可以由N维正交坐标系进行表示
    不管是从线性空间的角度,还是从信息表示的角度——两个相互正交的维度所表示的信息是彼此独立、互不影响的;
    因此可以把原向量看成是在各个两两正交维度上分量的矢量叠加;
    而待分解的这个向量在各个维度上的分量就可以由上面第③点的公式得出。
    在这里插入图片描述
    通过上图二维空间与三维空间的分解示例,不难得出:一般地,在n维空间中的任一矢量V,可以精确地表示为n个正交矢量的线性组合,也即
    V=c1V1+c2V2+...+cnVn V=c_1V_1+c_2V_2+...+c_nV_n
    式中,Vi·Vj=0(i≠j),第r个分量的系数为cr = (V·Vr)/(Vr·Vr

    2. 信号的正交分解

    如果我们将信号看成是矢量,则可以平行地将上述【矢量空间正交分解】的概念推广到信号空间中:正交矢量集→正交信号集;
    矢量的正交分解与线性表示→信号的正交分解与线性表示。

    • ①函数正交
      在这里插入图片描述
    • ②函数集

    将n个函数φ1(t),φ2(t),…,φn(t)放在一起,即构成了一个函数集:

    正交函数集】该集合内的n个函数在某一区间范围内两两正交
    在这里插入图片描述
    标准正交函数集】正交函数集内的每个函数自身内积的值为1
    完备正交函数集】其作为一个正交函数集,且具有完备性(除此之外再也找不到和集合内的函数正交的其他函数)
    在这里插入图片描述

    【记忆】两组重要的完备正交函数集(同时也是常用的基本信号),在区间(t0,t0+T)(T=2π/Ω)上:

    • 三角函数集{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…}
    • 虚指数函数集{ejnΩt,n=0,±1,±2,…}
    • ③信号的正交分解

    在这里插入图片描述
    p.s. 这里定义的是【广义傅里叶级数】,所谓广义——因为正交函数集i(t),i=1,2,…}是任意的,只要满足正交函数集的定义即可

    3.帕斯瓦尔定理

    在这里插入图片描述


    傅里叶级数

    总结前文,只要我们能够找到一个完备的正交函数集,那么在这完备正交函数集构成的函数空间内的任意函数,都可以表示成集合内各函数分量的线性组合。

    三角形式的傅里叶级数

    • 三角傅里叶级数与系数
    • 狄利赫里条件
    • 余弦形式的傅里叶级数
    • 吉布斯现象
    • 波形对称性与谐波特性

    1. 三角傅里叶级数与系数
    在这里插入图片描述
    2. 狄利赫里条件

    在上图中,讨论三角形式的傅里叶级数的形式以及傅里叶系数的求解公式,其前提是这个周期信号f(t)是满足狄利赫里条件的,先对该条件作出解释:
    在这里插入图片描述

    3. 余弦形式的傅里叶级数

    将既含正弦分量又含余弦分量的三角形式的傅里叶级数,写成含有相位信息的余弦分量的表示形式:
    在这里插入图片描述

    4. 吉布斯现象

    (1)傅里叶级数分解示例
    在这里插入图片描述
    (2)吉布斯现象
    在这里插入图片描述
    5. 周期信号的波形对称性与谐波特性
    (1)波形对称性
    在这里插入图片描述
    (2)谐波特性
    在这里插入图片描述

    指数形式的傅里叶级数

    1. 展开式与系数结论
    在这里插入图片描述
    2. 指数形式的傅里叶级数推导
    在这里插入图片描述

    两种傅里叶级数之间的关系

    在这里插入图片描述


    信号谱

    1. 基本描述
    我们引入信号【频谱】的概念,实际上是寻求另一个观察信号的视角,不同于时域和空域,从频率的角度来看信号的各分量的基本信息。在这里插入图片描述

    • 频谱:周期信号在分解之后,各分量的幅度和相位相对于频率发生的变化;常有幅度谱、相位谱。

    拿三角形式的傅里叶展开式为例,任何一个满足狄利赫里条件的周期信号都可以展开成前文所说的三角形式的傅里叶级数,我们就会得到相应的直流、正弦和余弦分量,且具有不同频次的谐波(nΩt);

    对于每一次谐波而言,其都形如Ancos(nΩt+φn)的形式,是典型的三角信号,那么重要的信息就是相位φn和幅度An

    • 频谱图:将幅度和相位分量用一定高度的直线进行表示;

    幅度谱反映了信号不同频率分量的大小——
    在这里插入图片描述

    2. 两种级数对应的信号谱
    在这里插入图片描述
    3. 单边谱与双边谱的关系
    (1)关系特点
    本质来说,谱图是要看信号的幅度和相位关于频率的变化情况。

    那么单边谱(An与φn)与双边谱(|Fn|和φn)关于nΩt(也就是下标n)的关系及其转换,可以通过分析An与|Fn|之间的关系,以及φn本身的性质来得到。
    在这里插入图片描述

    (2)示例:绘制信号的单/双边谱图
    在这里插入图片描述

    周期信号的信号谱

    为了可以更加具象地讨论周期信号频谱的相关特点,我们用一个实例求解进行理解:
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    1. 周期信号频谱的特点

    • 离散性:以基频Ω为最小间隔的若干离散谱线组成
    • 谐波性:谱线值含有基频的整数倍分量
    • 收敛性:整体的趋势呈现衰减的趋势
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    2. 谱线结构与波形参数之间的关系

    在上例中,有两个需要关注的谱线参数,分别为信号周期T脉冲宽度τ
    而对于谱线的结构,我们也主要关注三个量——基波频率Ω零点位置、以及两个零点之间的谱线数目

    • 当τ发生变化,T不发生变化时——基波频率不变,幅度与τ正相关,零点位置与τ负相关,谱线数目与τ负相关;
    • 当T发生变化,τ不发生变化时——基波频率与T负相关,幅度与T负相关,零点位置不变化,谱线数目与T正相关;
    • 当T→∞,相当于周期信号变成非周期信号
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    3. 周期信号的功率

    (1)功率的求解
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    (2)频带宽度
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    非周期信号的信号谱

    1. 非周期信号的理解
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    非周期信号就是周期趋向于无穷大的周期信号

    2. 频谱密度函数

    根据上文的讨论,可以知道对于非周期信号而言,其频谱的高度值都是趋向于无穷小的;但是信号在不同频率处的强度依然应该有变化,这个时候,我们需要引出【频谱密度函数】的概念,来比较不同频率信号强度的相对大小。

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    傅里叶变换

    在上文中,我们通过讲述周期信号到非周期信号的过渡,引出了频谱密度函数,从而得到了傅里叶变换的形式;
    在下文中,我们从数学变换本身的角度,来探讨傅里叶变换的定义、特性与相关结论。

    定义与描述

    1. 傅里叶变换对
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    2. 常用函数的傅里叶变换

    先识记常见到的一些信号的傅里叶变换,后续一些更加复杂的函数就可以转换成基本信号的组合或变换形式,来简化傅里叶变换的求解过程;

    而计算常见信号的傅里叶变换,就是直接从定义入手。

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    性质

    下面要讲述的各个性质都是基于上文提到的傅里叶变化对而言的,对于比较复杂的信号傅里叶变换求解问题,常常采用【常见变换结论+性质】的思路;

    了解傅里叶变换对的性质,其目的在于——

    • 了解时域-频域转换的内在联系
    • 利用性质求解复杂信号的变换对
    • 了解通信系统中的相关应用

    1. 线性性质
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    2. 奇偶性

    当具体地讨论针对不同属性的f(t),其对应的频谱F(jw)相应有何特点时,根据函数的虚实性、奇偶性会衍生出很多种情况,读者并不需要背下每一种情况。

    • 其一,只需要记住R(w)和X(w)的表达式如何推导,以及F(jw)在两种坐标下的表示方式和坐标之间的转化关系;
    • 其二,f(t)不论是实函数还是虚函数,其对应的F(jw)都会出现虚实两种情况——
      F(jw)的奇偶性与f(t)的奇偶性保持一致;
      f(t)为实函数和虚函数时,其F(jw)的虚实对应关系恰恰相反。

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    3. 对称性
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    4. 尺度变化特性
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    5. 时移特性
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    6. 频移特性
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    7. 卷积定理
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    8. 时域微积分特性
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    9. 频域微积分特性
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    相关定理

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