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  • 傅里叶变换在信号系统的应用
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    2018-09-12 16:41:09

    傅里叶变换FT(Fourier Transform)是一种将信号从时域变换到频域的变换形式。它在声学、信号处理等领域有广泛的应用。计算机处理信号的要求是:在时域和频域都应该是离散的,而且都应该是有限长的。而傅里叶变换仅能处理连续信号,离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)就是应这种需要而诞生的。它是傅里叶变换在离散域的表示形式。但是一般来说,DFT的运算量是非常大的。在1965年首次提出快速傅里叶变换算法FFT(Fast Fourier Transform)之前,其应用领域一直难以拓展,是FFT的提出使DFT的实现变得接近实时。DFT的应用领域也得以迅速拓展。除了一些速度要求非常高的场合之外,FFT算法基本上可以满足工业应用的要求。由于数字信号处理的其它运算都可以由DFT来实现,因此FFT算法是数字信号处理的重要基石。

    傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。如图1所示,即为时域信号与不同频率的正弦波信号的关系,这是最近翻阅文献看到的对于时域频域表示的最简单明了的图,原处为参考文献中的第二个链接,有兴趣的朋友可以去原文查阅。图中最右侧展示的是时域中的一个信号,这是一个近似于矩形的波,而图的正中间则是组成该信号的各个频率的正弦波。从图中我们可以看出,即使角度几乎为直角的正弦波,其实也是由众多的弧度圆滑的正弦波来组成的。在时域图像中,我们看到的只有一个矩形波,我们无从得知他是由这些正弦波组成。但当我们通过傅里叶变换将该矩形波转换到频域之后,我们能够很清楚的看到许多脉冲,其中频域图中的横轴为频率,纵轴为振幅。因此可以通过这个频域图像得知,时域中的矩形波是由这么多频率的正弦波叠加而成的。

    图1   时域频域关系图

    这就是傅里叶变换的最基本最简单的应用,当然这是从数学的角度去看傅立叶变换。在信号分析过程中,傅里叶变换的作用就是将组成这个回波信号的所有输入源在频域中按照频率的大小来表示出来。傅里叶变换之后,信号的幅度谱可表示对应频率的能量,而相位谱可表示对应频率的相位特征。经过傅立叶变换可以在频率中很容易的找出杂乱信号中各频率分量的幅度谱和相位谱,然后根据需求,进行高通或者低通滤波处理,最终得到所需要频率域的回波。

    傅里叶变换在图像处理过程中也有非常重要的作用,设信号f是一个能量有限的模拟信号,则其傅里叶变换就表示信号f的频谱。从纯粹的数学意义上看,傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们就可以直观地看出图像的能量分布:如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的,这是因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小;反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。

    下面我们以信号处理过程中的一个例子来详细说明FFT的效果:假设采样频率为Fs,信号频率为F,采样点数为N。那么FFT处理之后的结果就是一个点数为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点,而每个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。假设原始信号的峰值为A,那么在处理后除第一个点之外的其他点的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即频率为0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn 所能分辨到的最小频率为Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数N为1024点,则最小分辨率可以精确到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做FFT处理,则结果可以分析到1Hz;如果采样2秒时间的信号并做FFT处理,则结果可以精确到0.5Hz。

    假设现在我们有一个输入信号,该信号总共包含3种成分信号,其一是5V的直流分量;其二是频率为50Hz、相位为-60度、幅度为10V的交流信号;第三个成分信号是频率为100Hz、相位为90度、幅度为5V的交流信号。该输入信号用数学表达式表示如下:

                                                S=5+10*cos(2*pi*50*t-pi*60/180)+5*cos(2*pi*100*t+pi*90/180)

    图2 输入信号

    图2即为S信号的图像表示。现在,我们以256Hz的采样率Fs对这个信号进行采样,采样点数N同样为256点。根据公式我们可以算出其频谱图中的频率精度为1Hz。因此对于输入信号频率包含0Hz、50Hz和100hz的复合信号,在其经过FFT处理之后,应该会在频谱图中出现3个峰值,而且频率分别为0Hz、50Hz和100Hz,处理结果如图3所示:

    图3 信号频谱全图

    结果正如我们所预料的,对输入信号’S’做FFT处理之后,图3中出现了5个峰值,这是因为对输入信号做256点的FFT处理之后并没有第257个频点信息,这也是前文中所提到的第一个点的模值是N倍的原因。因此,信号的 FFT结果具有一定的对称性。一般情况下,我们只使用前半部分的结果,即小于采样频率一半的结果。对于图像进行简单处理后,我们的前半部分的FFT结果如图4所示:

    图4  处理后的频谱图

    从图4中可以看出,三个输入信号频点的幅值依次为1280、1280、640;其他频率所对应的幅值均为0。按照公式,可以计算直流分量(频率为0Hz)的幅值为:1280/N= 1280/256=5;频率为50Hz的交流信号的幅值为:1280/(N/2)= 1280/(256/2)=10;而75Hz的交流信号的幅值为640/(N/2)=640/(256/2)=5。这也正是我们输入信号中的三个分量的直流分量值,由此可见,从频谱分析出来的幅值是正确的。

    通过上面的例子我们可以看出,对于一个输入信号,假如我们不能确定该输入信号的频率组成,我们对其进行FFT处理之后,便可以很轻松的看出其频率分量,并且可以通过简单的计算来获知该信号的幅值信息等。另外,如果想要提高频率分辨率,我们根据计算公式首先想到的就是需要增加采样点数,但增加采样点数也就意味着计算量增加,这在工程应用中增加了工程难度。解决这个问题的方法有频率细分法,比较简单的方法是采样较短时间的信号,然后在后面补充一定数量的0,使其长度达到需要的点数(一般为2的幂次方的点数),然后再做FFT,就能在一定程度上提高频率分辨率。

     

    参考文献

    https://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/72817527

    https://blog.csdn.net/Best_Coder/article/details/39560287

    https://blog.csdn.net/wordwarwordwar/article/details/68951605

    https://wenku.baidu.com/view/aa227c1e650e52ea55189866.html

    https://wenku.baidu.com/view/c33302126edb6f1aff001f04.html

    https://blog.csdn.net/xz_wang/article/details/24926415

    https://blog.csdn.net/djzhao/article/details/78333996

    https://blog.csdn.net/liuuze5/article/details/40051395

     

     

     

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    信号分解、傅里叶变换与信号谱

    信号的分解

    在学习【信号分解】这一部分时,脑海里要有两个概念:

    • 其一,我们整本书学习的思路就是围绕着将信号分解成基本信号,将系统的响应转变成基本响应这一思路来开展的;
    • 其二,我们希望找到一个分解信号的方式,使之分解结果最有效;类比矢量的分解,我们引出对信号的分解。

    1. 矢量的正交分解

    • ①矢量正交

    两个矢量V1和V2的夹角为直角↔两个矢量的内积为零,即V1·V2=|V1|·|V2|·cos90°=0

    • ②正交矢量集

    由两两正交的矢量组成的矢量集合

    p.s. 正交矢量集的概念将正交的位置关系从两个向量拓展到任意多个向量上

    • ③非正交向量的近似表示及误差

    现如下图给出一个待表示的向量V1和基准向量V2,我们想要在误差最小的情况下将V1用V2表示出来:
    在这里插入图片描述
    p.s. 若所选的基准向量V2与向量V1是正交的,则无法进行表示。

    • ④矢量的正交分解

    任意N维的矢量都可以由N维正交坐标系进行表示
    不管是从线性空间的角度,还是从信息表示的角度——两个相互正交的维度所表示的信息是彼此独立、互不影响的;
    因此可以把原向量看成是在各个两两正交维度上分量的矢量叠加;
    而待分解的这个向量在各个维度上的分量就可以由上面第③点的公式得出。
    在这里插入图片描述
    通过上图二维空间与三维空间的分解示例,不难得出:一般地,在n维空间中的任一矢量V,可以精确地表示为n个正交矢量的线性组合,也即
    V = c 1 V 1 + c 2 V 2 + . . . + c n V n V=c_1V_1+c_2V_2+...+c_nV_n V=c1V1+c2V2+...+cnVn
    式中,Vi·Vj=0(i≠j),第r个分量的系数为cr = (V·Vr)/(Vr·Vr

    2. 信号的正交分解

    如果我们将信号看成是矢量,则可以平行地将上述【矢量空间正交分解】的概念推广到信号空间中:正交矢量集→正交信号集;
    矢量的正交分解与线性表示→信号的正交分解与线性表示。

    • ①函数正交
      在这里插入图片描述
    • ②函数集

    将n个函数φ1(t),φ2(t),…,φn(t)放在一起,即构成了一个函数集:

    正交函数集】该集合内的n个函数在某一区间范围内两两正交
    在这里插入图片描述
    标准正交函数集】正交函数集内的每个函数自身内积的值为1
    完备正交函数集】其作为一个正交函数集,且具有完备性(除此之外再也找不到和集合内的函数正交的其他函数)
    在这里插入图片描述

    【记忆】两组重要的完备正交函数集(同时也是常用的基本信号),在区间(t0,t0+T)(T=2π/Ω)上:

    • 三角函数集{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…}
    • 虚指数函数集{ejnΩt,n=0,±1,±2,…}
    • ③信号的正交分解

    在这里插入图片描述
    p.s. 这里定义的是【广义傅里叶级数】,所谓广义——因为正交函数集i(t),i=1,2,…}是任意的,只要满足正交函数集的定义即可

    3.帕斯瓦尔定理

    在这里插入图片描述


    傅里叶级数

    总结前文,只要我们能够找到一个完备的正交函数集,那么在这完备正交函数集构成的函数空间内的任意函数,都可以表示成集合内各函数分量的线性组合。

    三角形式的傅里叶级数

    • 三角傅里叶级数与系数
    • 狄利赫里条件
    • 余弦形式的傅里叶级数
    • 吉布斯现象
    • 波形对称性与谐波特性

    1. 三角傅里叶级数与系数
    在这里插入图片描述
    2. 狄利赫里条件

    在上图中,讨论三角形式的傅里叶级数的形式以及傅里叶系数的求解公式,其前提是这个周期信号f(t)是满足狄利赫里条件的,先对该条件作出解释:
    在这里插入图片描述

    3. 余弦形式的傅里叶级数

    将既含正弦分量又含余弦分量的三角形式的傅里叶级数,写成含有相位信息的余弦分量的表示形式:
    在这里插入图片描述

    4. 吉布斯现象

    (1)傅里叶级数分解示例
    在这里插入图片描述
    (2)吉布斯现象
    在这里插入图片描述
    5. 周期信号的波形对称性与谐波特性
    (1)波形对称性
    在这里插入图片描述
    (2)谐波特性
    在这里插入图片描述

    指数形式的傅里叶级数

    1. 展开式与系数结论
    在这里插入图片描述
    2. 指数形式的傅里叶级数推导
    在这里插入图片描述

    两种傅里叶级数之间的关系

    在这里插入图片描述


    信号谱

    1. 基本描述
    我们引入信号【频谱】的概念,实际上是寻求另一个观察信号的视角,不同于时域和空域,从频率的角度来看信号的各分量的基本信息。在这里插入图片描述

    • 频谱:周期信号在分解之后,各分量的幅度和相位相对于频率发生的变化;常有幅度谱、相位谱。

    拿三角形式的傅里叶展开式为例,任何一个满足狄利赫里条件的周期信号都可以展开成前文所说的三角形式的傅里叶级数,我们就会得到相应的直流、正弦和余弦分量,且具有不同频次的谐波(nΩt);

    对于每一次谐波而言,其都形如Ancos(nΩt+φn)的形式,是典型的三角信号,那么重要的信息就是相位φn和幅度An

    • 频谱图:将幅度和相位分量用一定高度的直线进行表示;

    幅度谱反映了信号不同频率分量的大小——
    在这里插入图片描述

    2. 两种级数对应的信号谱
    在这里插入图片描述
    3. 单边谱与双边谱的关系
    (1)关系特点
    本质来说,谱图是要看信号的幅度和相位关于频率的变化情况。

    那么单边谱(An与φn)与双边谱(|Fn|和φn)关于nΩt(也就是下标n)的关系及其转换,可以通过分析An与|Fn|之间的关系,以及φn本身的性质来得到。
    在这里插入图片描述

    (2)示例:绘制信号的单/双边谱图
    在这里插入图片描述

    周期信号的信号谱

    为了可以更加具象地讨论周期信号频谱的相关特点,我们用一个实例求解进行理解:
    在这里插入图片描述
    1. 周期信号频谱的特点

    • 离散性:以基频Ω为最小间隔的若干离散谱线组成
    • 谐波性:谱线值含有基频的整数倍分量
    • 收敛性:整体的趋势呈现衰减的趋势
      在这里插入图片描述

    2. 谱线结构与波形参数之间的关系

    在上例中,有两个需要关注的谱线参数,分别为信号周期T脉冲宽度τ
    而对于谱线的结构,我们也主要关注三个量——基波频率Ω零点位置、以及两个零点之间的谱线数目

    • 当τ发生变化,T不发生变化时——基波频率不变,幅度与τ正相关,零点位置与τ负相关,谱线数目与τ负相关;
    • 当T发生变化,τ不发生变化时——基波频率与T负相关,幅度与T负相关,零点位置不变化,谱线数目与T正相关;
    • 当T→∞,相当于周期信号变成非周期信号
      在这里插入图片描述

    3. 周期信号的功率

    (1)功率的求解
    在这里插入图片描述
    (2)频带宽度
    在这里插入图片描述

    非周期信号的信号谱

    1. 非周期信号的理解
    在这里插入图片描述

    非周期信号就是周期趋向于无穷大的周期信号

    2. 频谱密度函数

    根据上文的讨论,可以知道对于非周期信号而言,其频谱的高度值都是趋向于无穷小的;但是信号在不同频率处的强度依然应该有变化,这个时候,我们需要引出【频谱密度函数】的概念,来比较不同频率信号强度的相对大小。

    在这里插入图片描述


    傅里叶变换

    在上文中,我们通过讲述周期信号到非周期信号的过渡,引出了频谱密度函数,从而得到了傅里叶变换的形式;
    在下文中,我们从数学变换本身的角度,来探讨傅里叶变换的定义、特性与相关结论。

    定义与描述

    1. 傅里叶变换对
    在这里插入图片描述
    2. 常用函数的傅里叶变换

    先识记常见到的一些信号的傅里叶变换,后续一些更加复杂的函数就可以转换成基本信号的组合或变换形式,来简化傅里叶变换的求解过程;

    而计算常见信号的傅里叶变换,就是直接从定义入手。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    性质

    下面要讲述的各个性质都是基于上文提到的傅里叶变化对而言的,对于比较复杂的信号傅里叶变换求解问题,常常采用【常见变换结论+性质】的思路;

    了解傅里叶变换对的性质,其目的在于——

    • 了解时域-频域转换的内在联系
    • 利用性质求解复杂信号的变换对
    • 了解通信系统中的相关应用

    1. 线性性质
    在这里插入图片描述
    2. 奇偶性

    当具体地讨论针对不同属性的f(t),其对应的频谱F(jw)相应有何特点时,根据函数的虚实性、奇偶性会衍生出很多种情况,读者并不需要背下每一种情况。

    • 其一,只需要记住R(w)和X(w)的表达式如何推导,以及F(jw)在两种坐标下的表示方式和坐标之间的转化关系;
    • 其二,f(t)不论是实函数还是虚函数,其对应的F(jw)都会出现虚实两种情况——
      F(jw)的奇偶性与f(t)的奇偶性保持一致;
      f(t)为实函数和虚函数时,其F(jw)的虚实对应关系恰恰相反。

    在这里插入图片描述
    3. 对称性
    在这里插入图片描述
    4. 尺度变化特性
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    5. 时移特性
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    6. 频移特性
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    7. 卷积定理
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    8. 时域微积分特性
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    9. 频域微积分特性
    在这里插入图片描述

    相关定理

    在这里插入图片描述

    展开全文
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    傅里叶变换在图像滤波中的应用

    1回顾傅里叶变换

      首先回顾一下在《信号与系统》这门课中主要学习了什么。在第一章中,学习了与信号和系统的数学表示有关的某些基本概念,特别练习了信号的某些变换(如时移和尺度变换),接着又学习了几个非常重要的基本连续时间信号和离散时间信号(复指数信号、单位冲击阶跃等),最后学习了系统的六个基本性质,如线性、时不变性等。第二章建立在上述两个性质的基础之上,即线性时不变系统LTI,学习了如何计算LTI系统的卷积以及卷积的性质。最后,介绍了一些奇异函数(阶跃、冲击和冲击偶等)及其在描述和分析连续时间线性时不变系统中的作用。第三章引入了傅里叶级数的概念,且主要在学习连续时间周期信号的傅里叶级数。针对分析公式和综合公式,做了相应的练习,学习到的傅里叶级数的性质可以帮助我们对一个周期信号快速傅里叶展开。学习这一章,有如下两个基本理由:1)大部分的信号都可以表示成复指数信号的加权和或加权积分。2)线性时不变系统对复指数输入信号的响应比较简单。在本章的最后,指出可以利用傅里叶展开将一个时域的周期信号变换到频域上,之后在频域范围内进行滤波。第四章的傅里叶变换是傅里叶展开的延伸,将一个非周期信号扩展成周期信号,再利用傅里叶展开求级数,之后将周期取极限就得到了傅里叶变换的公式,由此也能看出傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系。在这一章中,学习的是连续时间的傅里叶变换,第五章会将离散时间的傅里叶变换,但我们没有着重学习。学习卷积性质,可以为频率选择性滤波提供另一个审视角度。
      从以上回顾中可以看出,本课程的重点是傅里叶变换,可以说前三章的内容都是为傅里叶变换做铺垫的。下面给出连续时间傅里叶变换的公式[1]
    x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j w ) e j w t d w (1) x(t)=\frac1{2π}\int_{-\infin}^\infin X(jw)e^{jwt}dw\tag{1} x(t)=2π1X(jw)ejwtdw(1)
    X ( j w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t (2) X(jw)=\int_{-\infin}^\infin x(t) e^{-jwt}dt\tag{2} X(jw)=x(t)ejwtdt(2)
      公式(1)和公式(2)分别称为傅里叶变换的综合公式和分析公式,从中可以看出连续时间的傅里叶变换是借助积分实现的。现在摆在我们面前的有两个问题,一是计算机进行运算时很难处理连续的信号,二是公式(1)和(2)只是一维的傅里叶变换,而本文讨论的图像是二维的,因此有必要引出二维离散傅里叶变换。

    2二维离散傅里叶变换的定义

      在计算机中存储的所有图像,都是经过数字化处理之后的,此时可以用一个二维离散信号f(m,n)来表示。对于二维离散信号{f (m, n) |m=0, 1, …, M-1, n=0, 1, …, N-1}, 其离散傅立叶变换定义为[2]
    F ( u , v ) = 1 M N ∑ m = 0 M − 1 ∑ n = 0 N − 1 f ( m , n ) e − j 2 π [ m u M + n v N ] ) (3) F(u,v)=\frac1{\sqrt M \sqrt N}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)e^{-j2π[\frac {mu}{M}+\frac{nv}{N}])} \tag{3} F(u,v)=M N 1m=0M1n=0N1f(m,n)ej2π[Mmu+Nnv])(3)
      上式当中,u=0, 1, …, M-1, v=0, 1, …, N-1, 称为空间频率。j为虚数单位, j 2 j^2 j2=-1。
      傅里叶反变换定义为
    f ( m , n ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e − j 2 π [ m u M + n v N ] (4) f(m,n)=\frac 1{\sqrt M \sqrt N} \sum_{u=0}^{M-1}∑_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{-j2π[\frac {mu}M+\frac {nv}N]}\tag{4} f(m,n)=M N 1u=0M1v=0N1F(u,v)ej2π[Mmu+Nnv](4)
      式中, m=0, 1, …, M-1, n=0, 1, …, N-1。
      在图像处理时, 一般选取图像块为N×N的方阵, 即M=N取, 这时二维离散傅立叶变换和反变换式为
    F ( u , v ) = 1 N ∑ m = 0 N − 1 ∑ n = 0 N − 1 f ( m , n ) e − j 2 π [ m u + n v N ] (5) F(u,v)=\frac 1N ∑_{m=0}^{N-1}∑_{n=0}^{N-1}f(m,n)e^{-j2π[\frac{mu+nv}N]}\tag{5} F(u,v)=N1m=0N1n=0N1f(m,n)ej2π[Nmu+nv](5)
    f ( m , n ) = 1 N ∑ u = 0 N − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e − j 2 π [ m u + n v N ] (6) f(m,n)=\frac 1N ∑_{u=0}^{N-1}∑_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{-j2π[\frac{mu+nv}N]}\tag{6} f(m,n)=N1u=0N1v=0N1F(u,v)ej2π[Nmu+nv](6)
      在 (5) (6) 两式中, u, v, m, n=0, 1, …, N-1。它们就是二维离散傅里叶变换的综合公式和分析公式。

    3傅里叶变换滤波原理

      从前面的讨论中可以看出,傅里叶变换的主要工作就是把一个信号从时域映射到频域。傅里叶变换算法表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加[3]。
      根据傅立叶变换理论,任何满足条件的信号都可以表示为一系列正弦信号的叠加。在图像处理中,每个灰度图像都可以表示为由正弦信息组成的图像。每个正弦信息都包含三个变量:频率,幅度和相位。转换后的图像是图像的频谱图(或功率图)。在频谱图中,频率和幅度更为重要,并且相位参数被丢弃(在相图中表示)[4]。
      在一维情况下,与图像相对应的频谱图可以表示为二维坐标系,其中水平轴是频率,垂直轴是振幅。频率为0的水平轴的中心点表示直流频率,即整个图像的平均亮度。频率为f的其他信号在图中显示为一个单峰,横坐标为f,且峰高是信号的幅度。
      二维图像的频谱图形成与一维相似,不同之处在于二维图像需要进行列扫描和行扫描,然后叠加。不同的是,频谱图的水平轴和垂直轴都代表频率,每个像素代表正弦信号的频率值,而正弦信号的幅度由像素的亮度代表。在没有频移的情况下,频谱图的中心点代表图像的直流频率(平均亮度)。频谱图中的点越亮,灰度的对比度越强(对比度越大)。图中的点与灰度图像中的点没有对应关系,但是反映了灰度图像的梯度分布(灰度图像中的明暗变化)。频谱图中有许多亮点,这意味着图像更锐利,否则图像更柔和。
      为了更好的理解上述概念,可以看一下不同图片的幅度谱(中心化后)和相位谱。
    海大校徽

    图1 海大校徽

    在这里插入图片描述

    图2 海大鱼山

      从图1和图2中可以看出,海大校徽和海大鱼山的照片的相位谱、幅度谱都不相同。图像的相位信息是非常重要的[5],但这不是我们研究的重点,我们着重讨论图像的频率信息。对于一个频谱图,它的频率分布如图3所示。
    在这里插入图片描述

    图3 频率分布

      现在我们应该已经知道,当把一副图片经过傅里叶变换到频域上时,中间部分是低频,越远离中心,频率越高,亮度代表幅度的大小。频谱图上的点越亮,表示它所处的频率成分越多。

    4三种滤波方法

    4.1高通滤波

      高通滤波,顾名思义就是只让高频分量通过,而阻挡住低频分量。在频谱图中的体现就是把中间的部分去掉,四周部分保留,公式化的定义如下:
    H ( u , v ) = { 0 , D ( u , v ) ≤ D 0 1 , D ( u , v ) > D 0 (7) H(u,v)= \begin{cases} 0,\quad D(u,v)≤D_0\\ 1,\quad D(u,v)>D_0\\ \end{cases} \tag{7} H(u,v)={0,D(u,v)D01,D(u,v)>D0(7)

      其中, D 0 D_0 D0表示通带半径,D(u,v)是到频谱中心的距离(欧式距离),计算公式如下:
    D ( u , v ) = ( u − M 2 ) 2 + ( v − N 2 ) 2 (8) D(u,v)= \sqrt{(u-\frac M2)^2+(v-\frac N2)^2 }\tag{8} D(u,v)=(u2M)2+(v2N)2 (8)
      M,N的含义同公式(1),即表示频谱图像的大小,(M/2, N/2)即为频谱图像的中心。
      根据公式(7)(8),我们可以构建一个中心为0,四周全为1的模板矩阵,然后将其与中心化后的频谱图相乘,再将该频谱图进行逆变换就可以得到高通滤波之后的图像。对海大鱼山进行高通滤波,如图4所示。
    在这里插入图片描述

    图4 高通滤波

      原始图像的大小为500*333,D是一个以(255,166)为中心,边长为60的正方形,也就是说把频谱上处于此范围的低频分量给过滤掉。前面我们已经讨论过,低频分量存储的主要是图像的细节,高频分量存储的主要是图像的轮廓,现在我们使用的是高,通滤波器,把低频分量给过滤去了,只保留下高频分量,从图4中可以清晰的看出,滤波之后的图像只有轮廓信息了。而滤波之后的频谱图中间是黑色的,结合前面的讨论,频谱图中用像素点的亮度表示振幅的大小,即相应频率分量的比例,因为我们把低频部分给过滤掉了,所以频谱图中中间的低频部分为黑色。

    4.2低通滤波

      低通滤波与高通滤波恰好相反,它是把图像中的高频成分过滤掉,只保留下低频成分。低通滤波的公式化定义与公式(7)类似,如下式:
    H ( u , v ) = { 1 , D ( u , v ) ≤ D 0 0 , D ( u , v ) > D 0 (9) H(u,v)= \begin{cases} 1, \quad D(u,v)≤D_0\\ 0, \quad D(u,v)>D_0\\ \end{cases} \tag{9} H(u,v)={1D(u,v)D00D(u,v)>D0(9)
      D0仍是通带半径,D(u,v)的计算公式与公式(8)相同。
      现在根据公式(7)(9),我们可以构造一个中心为1,四周全为0的矩阵模板,然后将其与中心化后的频谱图相乘,再将该频谱图进行逆变换就可以得到低通滤波后的图像。对海大鱼山进行低通滤波,如图5所示。
    在这里插入图片描述

    图5 低通滤波

      原始图像的大小为500*333,D是一个以(255,166)为中心,边长为60的正方形,现在是把D之外的频率分量给过滤掉。如高通滤波中所进行的讨论,现在是保留低频分量,过滤掉高频分量。从图5中可以看出,滤波之后的图像变得模糊了起来,但是仍能看出大体形状。低通滤波会把图像钝化,淡化边缘信息,但是仍然保留大部分细节信息。从滤波之后的频谱图中可以得知,滤波器把高频分量给阻隔掉了。

    4.3带通滤波

      前面已经介绍了高通滤波和低通滤波的概念,我们会很自然的联想到带通滤波,即将高通滤波和低通滤波结合起来。在带通滤波中,我们可以指定某个频率范围内的分量可以通过,而其余的频率分量则进行阻隔。公式化定义如下:
    F ( u , v ) = { 1 , D 0 ≤ D ( u , v ) ≤ D 1 0 , e l s e F(u,v)= \begin{cases} 1, \quad D_0≤D(u,v)≤D_1\\ 0, \quad \quad \quad \quad else\\ \end{cases} F(u,v)={1,D0D(u,v)D10,else
      对海大鱼山进行带通滤波,如图6所示。
    在这里插入图片描述

    图6 带通滤波

      从图6中可以看出,滤波之后的图像,细节信息要多于高通滤波,边缘信息要多于低通滤波。
      与带通滤波器相对应的是带阻滤波器,其实只要对带通滤波器取反就可以得到带阻滤波器,即将原先的1变为0,0变为1。
      带阻滤波可以用于某些周期性噪声的清除,如图(7),原始图像中含有周期性的噪声,这会让变换出来的频谱图中产生尖峰信号(如图圈出的部分),可以通过带通滤波的方式去除这种噪声。
      低通滤波和高通滤波各有优缺点,而带阻滤波器是结合了低通、高通滤波器在图像处理中的优势, 不但避免了低通、高通滤波的局限性, 而且可以同时发挥两者的优点, 在对指纹图像滤波处理过程中, 不但可以滤除噪声, 而且还对图像边缘进行了增强。
    在这里插入图片描述

    图7 过滤周期噪声

    5.总结

      本文首先回顾了《信号与系统》课程上学到的主要内容,并将其与傅里叶变换串连起来,之后由一维连续时间傅里叶变换引出图像处理中需要的二维离散时间傅里叶变换公式。针对傅里叶变换的形式,对滤波的原理进行了讨论。最后结合具体的实例,分别论述了高通滤波、低通滤波和带通(阻)滤波的原理和实现方法。限于篇幅,本文主要讲解这三种滤波方法的实现原理,给出的滤波实例仅是为了说明问题,在实际的使用中,还是需要结合具体的问题具体分析。
      傅里叶变换为我们提供了一种思考世界的新思路,正如我们所认知的空间域中的图像,可理解为无数频率域中彼此无关的正弦曲线的叠加投影,伴随着正弦曲线幅值、频率、相位的变化,投影出的便是缤纷灿烂的大千世界。而图像处理恰恰就扮演了这样一个幕后之手的角色,通过对频率域的筛选与改变,得到期望的图像。

    参考文献:

    [1]奥本海姆.信号与系统[M].电子工业出版社,2015.
    [2] 王文发,刘彦保.傅立叶变换用于图像处理时的特性分析[J].延安大学学报 (自然科学版),2006(03):22-24.
    [3]杨帆.数字图像处理与分析[M].北京航空航天大学出版社,2010.
    [4]马晓凯,付禹.浅谈傅里叶变换在图像处理中的应用[J].科技资 讯,2018,16(08):80-81.
    [5]罗进.基于相位信息的图像边缘检测算法研究[D].湖南大学,2017.


    附源代码

    #仅附高通滤波器源代码,低通和带通(阻)滤波器只需做少许修改即可
    import numpy as np
    import cv2
    from matplotlib import pyplot as plt
    def dft_matrix(N):
        i, j = np.meshgrid(np.arange(N), np.arange(N))
        omega = np.exp(-2j * np.pi / N)
        w = np.power(omega, i * j)
        return w
    def dft2d(image):
        h, w = image.shape[:2]
        output = np.zeros((h, w), np.complex)
        output = dft_matrix(h).dot(image).dot(dft_matrix(w))
        return output
    
    if __name__ == '__main__':
        img = cv2.imread("f:/daitong.png", 0)
        f = dft2d(img)
        img_shift = np.fft.fftshift(f)  # 中心化,把低频信号移到中心
        center = np.log(np.abs(img_shift))  # 使用对数变化进行图像增强
        ph_fshift = np.angle(img_shift)  # 相位谱
        h, w = img.shape
        mask = np.ones(img.shape)
        mask[int(h / 2 - 30):int(h / 2 + 30), int(w / 2 - 30):int(w / 2 + 30)] = 0
        output_shift = img_shift * mask  # 高通滤波
        output = np.fft.ifftshift(output_shift)
        output = np.fft.ifft2(output)
        output = np.abs(output)  # 逆变换
        center = (center - np.amin(center)) / (np.amax(center) - np.amin(center))
        output_shift = np.copy(center)
        output_shift = output_shift * mask
        plt.subplot(2, 2, 1), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('origin')
        plt.subplot(2, 2, 2), plt.imshow(output, 'gray'), plt.title('output')
        plt.subplot(2, 2, 3), plt.imshow(center, 'gray'), plt.title('origin Amplitude')
        plt.subplot(2, 2, 4), plt.imshow(output_shift, 'gray', vmin=0,vmax=1), plt.title('output Amplitude')
        plt.show()
    
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    离散信号的傅里叶变换

    取样与取样定理

    取样定理是信号领域中一个很重要的概念,而这个概念的提出也是与应用相关联的:即为了能把自然界中采集的信号放到计算机中进行处理,需要使信号能在【连续】和【离散】状态之间进行切换。
    在这里插入图片描述
    上述过程引发了如下问题:

    • 模拟信号经过采样会有怎样的变化(频谱,信号的内容)?
    • 怎样采样才能保证信号的内容不丢失?
    • 为了能将信号从离散恢复成连续,需要怎样的条件?

    信号的取样

    1. 定义
    在这里插入图片描述
    2. 条件与分类
    (1)取样条件

    被取样的连续信号f(t)必须是带限信号(频带受限的信号),即f(t)的频谱只在区间(-ωm,ωm)内为有限值,其余区间均为0。此时信号f(t)就有其相应的频谱表示方式:
    f ( t ) ↔ F ( j ω ) f(t)↔F(jω) f(t)F(jω)

    (2)取样类型

    • 自然取样:又称矩形脉冲取样,取样脉冲序列s(t)是周期为Ts矩形脉冲信号(开关函数)
    • 冲激取样:取样脉冲序列s(t)是周期为Ts冲激函数序列δTs(t)

    3. 矩形脉冲取样
    在这里插入图片描述
    4. 冲激取样
    在这里插入图片描述
    5. 采样定理的引出
    在这里插入图片描述

    取样定理

    1. 意义
    在这里插入图片描述
    2. 描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    时域取样定理

    1. 定理描述
    在这里插入图片描述
    2. 常见基本信号及其运算的取样定理
    在这里插入图片描述

    频域取样定理

    频域取样定理是根据时域取样定理的对偶运算得到的

    在这里插入图片描述


    从连续变换到离散变换

    连续到离散的演化

    直觉上理解:
    之所以需要进行从连续到离散的演化,是因为在计算机中我们能够处理的信号形式必定是离散的;
    也因此我们想要探究在连续域上的变换是否可以且怎样转换到离散域中。

    1. 从FT到DTFT
    在这里插入图片描述
    运算推导逻辑

    ①背景原因:因为傅里叶变换公式(如上图)在时间(t)和频域(ω)上均是连续的,不适用于在计算机内部进行处理;

    ②推导过程:从FT到DTFT的转换是时间离散化的结果,对连续时间信号(t)进行离散采样得到关于n·Δt的函数式;且要注意关于时间的积分运算自然转换成求和运算;为了表达的简练,将时间间隔归一化为1,从而将连续时间变量t转换成离散时间变量n;

    ③后续分析:自此我们从连续信号的傅里叶变换(得到连续频谱)推广到离散时间信号的离散时间傅里叶变换(依然是连续频谱),下一步自然而然联想在频域上也进行离散化处理。

    2. 从DTFT到DFT
    在这里插入图片描述
    运算推导逻辑

    ①背景原因:因为DTFT变换公式(如上图)在频域(ω)上仍是连续的,不适用于在计算机内部进行处理;

    ②推导过程:且观察DTFT的变换公式中信号基ejωn是以2π为周期的复信号函数,DTFT的变换结果也是2π为周期的连续周期函数;
    自此就联想到在频域内以2π/N为间隔对DTFT的变换结果进行频域取样。

    3. 从DFT到DFS
    在这里插入图片描述

    如果将离散周期序列中的一个周期的信号取出来,并将原信号DFS变换结果中的一个周期也取出来,就可以得到如下式所示的变换公式——
    本质上说明了离散傅里叶变换也可以从DFS变换得到
    在这里插入图片描述

    五种傅里叶变换的比较

    在这里插入图片描述

    频域和时域的信号谱特点有对应关系:
    周期谱↔离散谱
    非周期谱↔连续谱
    即:周期性和离散性呈现出一种对偶关系

    在这里插入图片描述

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空空如也

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