精华内容
下载资源
问答
  • http://blog.jobbole.com/70549/网上有很多傅里叶变换都转载自他这里。傅里叶变换就是时域到频域变换,将随时间改变变换为永恒...傅里叶变换在实际中有非常明显物理意义,设f是一个能量有限模拟信号,...

    图像傅里叶变换的物理意义: 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅里叶变换就表示f的频谱。从纯粹的数学意义上看,傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。

           傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数傅里叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,通常用一个二维矩阵表示空间上各点,记为z=f(x,y)。又因空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就必须由梯度来表示,这样我们才能通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。

      傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们就可以直观地看出图像的能量分布:如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小);反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的

      对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰。一幅频谱图如果带有正弦干扰,移频到原点上就可以看出,除了中心以外还存在以另一点为中心、对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的。这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

    4. 傅里叶变换的物理意义

    1. 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。(灰度变化得快频率就高,灰度变化得慢频率就低)。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数
    2. 傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点灰度值差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(差异/梯度越大,频率越高,能量越低,在频谱图上就越 暗。差异/梯度越小,频率越低,能量越高,在频谱图上就越 亮。换句话说,频率谱上越亮能量越高,频率越低,图像差异越小/平缓)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。频谱图,也叫功率图
      在这里插入图片描述
      在经过频谱中心化(用(-1)x+y乘以输入的图像函数在这里插入图片描述)后的频谱中,中间最亮的点是最低频率,属于直流分量(DC分量)(当频率为0时,表示直流信号,没有变化。在原点(u,v两个频率域变量均为零)的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级,F(0,0)称做频 率谱的直流成分)。越往边外走,频率越高。所以,频谱图中的四个角和X,Y轴的尽头都是高频,如下图:
      在这里插入图片描述

    我们首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰

     傅立叶变换在图像处理中非常的有用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面,傅立叶的改进算法,

     比如离散余弦变换,gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。

     印象中,傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用:
     1.图像增强与图像去噪
    绝大部分噪音都是图像的高频分量,通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量,可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘;
    2.图像分割之边缘检测
    提取图像高频分量
    3.图像特征提取:
    形状特征:傅里叶描述
    纹理特征:直接通过傅里叶系数来计算纹理特征
    其他特征:将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性
    4.图像压缩
    可以直接通过傅里叶系数来压缩数据;常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换;

    傅立叶变换
    傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下,傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象:一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器,每个成分的颜色由波长(或频率)来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜,将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
    傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性,对称性(可以用在计算信号的傅里叶变换里面);

    时移性:函数在时域中的时移,对应于其在频率域中附加产生的相移,而幅度频谱则保持不变;

    频移性:函数在时域中乘以e^jwt,可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理,通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性(将不同的信号调制到不同的频段上同时传输);
    卷积定理:时域卷积等于频域乘积;时域乘积等于频域卷积(附加一个系数)。(图像处理里面这个是个重点)

    信号在频率域的表现
    在频域中,频率越大说明原始信号变化速度越快;频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时,表示直流信号,没有变化。因此,频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分,而低频分量决定信号的整体形象。
    在图像处理中,频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度,也就是图像灰度的变化速度,也就是图像的梯度大小。对图像而言,图像的边缘部分是突变部分,变化较快,因此反应在频域上是高频分量;图像的噪声大部分情况下是高频部分;图像平缓变化部分则为低频分量。也就是说,傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像,可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。书面一点说就是,傅里叶变换提供了一条从空域到频率自由转换的途径。对图像处理而言,以下概念非常的重要:

    图像高频分量:图像突变部分;在某些情况下指图像边缘信息,某些情况下指噪声,更多是两者的混合;
    低频分量:图像变化平缓的部分,也就是图像轮廓信息
    高通滤波器:让图像使低频分量抑制,高频分量通过
    低通滤波器:与高通相反,让图像使高频分量抑制,低频分量通过
    带通滤波器:使图像在某一部分的频率信息通过,其他过低或过高都抑制
    还有个带阻滤波器,是带通的反。


    模板运算与卷积定理
    在时域内做模板运算,实际上就是对图像进行卷积。模板运算是图像处理一个很重要的处理过程,很多图像处理过程,比如增强/去噪(这两个分不清楚),边缘检测中普遍用到。根据卷积定理,时域卷积等价与频域乘积。因此,在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。
    比如说一个均值模板,其频域响应为一个低通滤波器;在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应作一个低通滤波。


    图像去噪
    图像去噪就是压制图像的噪音部分。因此,如果噪音是高频额,从频域的角度来看,就是需要用一个低通滤波器对图像进行处理。通过低通滤波器可以抑制图像的高频分量。但是这种情况下常常会造成边缘信息的抑制。常见的去噪模板有均值模板,高斯模板等。这两种滤波器都是在局部区域抑制图像的高频分量,模糊图像边缘的同时也抑制了噪声。还有一种非线性滤波-中值滤波器。中值滤波器对脉冲型噪声有很好的去掉。因为脉冲点都是突变的点,排序以后输出中值,那么那些最大点和最小点就可以去掉了。中值滤波对高斯噪音效果较差。

    椒盐噪声:对于椒盐采用中值滤波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果,但是会引起边缘的模糊。
    高斯白噪声:白噪音在整个频域的都有分布,好像比较困难。
    冈萨雷斯版图像处理P185:算术均值滤波器和几何均值滤波器(尤其是后者)更适合于处理高斯或者均匀的随机噪声。谐波均值滤波器更适合于处理脉冲噪声。


    图像增强
    有时候感觉图像增强与图像去噪是一对矛盾的过程,图像增强经常是需要增强图像的边缘,以获得更好的显示效果,这就需要增加图像的高频分量。而图像去噪是为了消除图像的噪音,也就是需要抑制高频分量。有时候这两个又是指类似的事情。比如说,消除噪音的同时图像的显示效果显著的提升了,那么,这时候就是同样的意思了。
    常见的图像增强方法有对比度拉伸,直方图均衡化,图像锐化等。前面两个是在空域进行基于像素点的变换,后面一个是在频域处理。我理解的锐化就是直接在图像上加上图像高通滤波后的分量,也就是图像的边缘效果。对比度拉伸和直方图均衡化都是为了提高图像的对比度,也就是使图像看起来差异更明显一些,我想,经过这样的处理以后,图像也应该增强了图像的高频分量,使得图像的细节上差异更大。同时也引入了一些噪音。

    展开全文
  • 1.理解二维傅里叶变换的定义 ...1.3图像傅里叶变换的物理意义 2.二维傅里叶变换有哪些性质? 2.1二维离散傅里叶变换的性质 2.2二维离散傅里叶变换图像性质 3.任给一幅图像,对其进行二维傅里...
    1.理解二维傅里叶变换的定义    
    
    1.1二维傅里叶变换    
    
    1.2二维离散傅里叶变换    
    
    1.3用FFT计算二维离散傅里叶变换    
    
    1.3图像傅里叶变换的物理意义    
    
    2.二维傅里叶变换有哪些性质?    
    
    2.1二维离散傅里叶变换的性质    
    
    2.2二维离散傅里叶变换图像性质    
    
    3.任给一幅图像,对其进行二维傅里叶变换和逆变换    
    
    4.附录    9
    
    4.1matlab代码    
    
    4.2参考文献    
    目录

    1.理解二维傅里叶变换的定义

    1.1二维傅里叶变换

    二维Fourier变换:

    逆变换:

    1.2二维离散傅里叶变换

    一个图像尺寸为M×N的 函数的离散傅里叶变换由以下等式给出:


    其中 和。
    其中变量
    uv用于确定它们的频率,频域系统是由所张成的坐标系,其中和用做(频率)变量。空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。可以得到频谱系统在频谱图四角处沿和方向的频谱分量均为0。

    离散傅里叶逆变换由下式给出:

    令R和I分别表示F的实部和需部,则傅里叶频谱,相位角,功率谱(幅度)定义如下:


    1.3用FFT计算二维离散傅里叶变换

    二维离散傅里叶变换的定义为:

        

    二维离散傅里叶变换可通过两次一维离散傅里叶变换来实现:

    1)作一维N点DFT(对每个m做一次,共M次)

    2)作M点的DFT(对每个k做一次,共N次)


    这两次离散傅里叶变换都可以用快速算法求得,若M和N都是2的幂,则可使用基二FFT算法,所需要乘法次数为                                    

     

    而直接计算二维离散傅里叶变换所需的乘法次数为(M+N)MN,当M和N比较大时用用FFT运算,可节约很多运算量。

    1.3图像傅里叶变换的物理意义

    图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅里叶变换就表示f的频谱。从纯粹的数学意义上看,傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。

    傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数傅里叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,通常用一个二维矩阵表示空间上各点,记为z=f(x,y)。又因空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就必须由梯度来表示,这样我们才能通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。

    傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们就可以直观地看出图像的能量分布:如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小);反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。

    对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰。一幅频谱图如果带有正弦干扰,移频到原点上就可以看出,除了中心以外还存在以另一点为中心、对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的。这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

    2.二维傅里叶变换有哪些性质?

    2.1二维离散傅里叶变换的性质

    1)分离性

    二维离散傅里叶变换具有分离性

      

    分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步求得。第1步,沿着的每一行取变换,将其结果乘以1/N,取得二维函数;第2步,沿着的每一列取变换,再将结果乘以1/N,就得到了。这种方法是先行后列。如果采用先列后行的顺序,其结果相同。

    如图:


     

     

     

     

     

    对逆变换f(x,y)也可以类似地分两步进行。

    2)平移性

    傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指:

     

    由乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换,使频率平面的原点位移至。同样地,以指数项乘以并取其反变换,将空间域平面的原点位移至当N/2时,指数项为:

    即为

    这样,用(x+y)乘以就可以将的傅里叶变换原点移动到N*N频率方阵的中心,这样才能看到整个谱图。另外,对的平移不影响其傅里叶变换的幅值。

    此外,与连续二维傅里叶变换一样,二维离散傅里叶变换也具有周期性共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有重要意义。

    2.2二维离散傅里叶变换图像性质

    1、图像经过二维傅里叶变换后,其变换系数矩阵具有如下性质:若变换矩阵原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅里叶变换矩阵的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。

    2、图像灰度变化缓慢的区域,对应它变换后的低频分量部分;图像灰度呈阶跃变化的区域,对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外,图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域,它们都具有变换后的高频分量特征。

     

    3.任给一幅图像,对其进行二维傅里叶变换和逆变换

    原图

    二维傅里叶变换

    逆变换

    频谱图

    原图

    加入高斯躁声

    加入椒盐躁声

     

    对高斯躁声中值滤波

    对椒盐躁声中值滤波

     

    对高斯躁声算术均值滤波

    对椒盐躁声算术均值滤波

     

    4.附录

    4.1matlab代码

    1)程序一

     1 [i,lcmp]=imread('F:/123.jpg');%=======读取图像 显示图像
     2 
     3 subplot(2,2,1),imshow(i,lcmp);
     4 
     5 title('original');
     6 
     7 ii=im2double(i); %=====将图像矩阵类型转换为double(图像计算很多是不能用整型的),没有这个会报错!! ,如果不用这个就必须转化为灰度图!
     8 
     9 i1 = fft2(ii); %======傅里叶变换
    10 
    11 i2 =fftshift(i1); %======将变换的频率图像四角移动到中心(原来良的部分在四角 现在移动中心,便于后面的处理)
    12 
    13 i3=log(abs(i2)); %=====显示中心低频部分,加对数是为了更好的显示
    14 
    15 subplot(2,2,2),imshow(i3,[]);
    16 
    17 title('Fourier');
    18 
    19 map=colormap(lcmp); %===取色谱
    20 
    21 imwrite(i3,map,'f:/ffttank.bmp'); %===将上面i3输入到ffttank文件中
    22 
    23 i5 = real(ifft2(ifftshift(i2))); %===频域的图反变换到空域 并取实部
    24 
    25 i6 = im2uint8(mat2gray(i5)); %===取其灰度图
    26 
    27 imwrite(i6,map,'f:/tank2.bmp','bmp'); %===利用灰度图和原来取得颜色模板 还原图像
    28 
    29 subplot(2,2,3),imshow(i6);
    30 
    31 title('anti-Fourier');
    32 
    33 i7=rgb2gray(i);
    34 
    35 i8=fft2(i7);%===对灰色图才能归一化。因为那是2维矩阵,彩色图是3维矩阵,需要转化为2维灰图
    36 
    37 m=fftshift(i8); %直流分量移到频谱中心
    38 
    39 %RR=real(m); %取傅立叶变换的实部
    40 
    41 %II=imag(m); %取傅立叶变换的虚部
    42 
    43 A=abs(m);%计算频谱幅值
    44 
    45 %A=sqrt(RR.^2+II.^2);
    46 
    47 A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225; %归一化
    48 
    49 subplot(2,2,4),imshow(A); %显示原图像
    50 
    51 colorbar; %显示图像的颜色条
    52 
    53 title('FFT spectrum'); %图像命名
    54 
    55  

     

     

    2)程序二

     1 m=imread('F:/123.jpg');
     2 
     3 M=rgb2gray(m); %==滤波函数都是对二维灰度图,Tif可直接滤波
     4 
     5 subplot(3,3,1)
     6 
     7 imshow(M);%显示原始图像
     8 
     9 title('original')
    10 
    11 P1=imnoise(M,'gaussian',0.02); %加入高斯躁声
    12 
    13 subplot(3,3,2)
    14 
    15 imshow(P1) %加入高斯躁声后显示图像
    16 
    17 title('gaussian noise');
    18 
    19 P2=imnoise(M,'salt & pepper',0.02); %=加入椒盐躁声
    20 
    21 subplot(3,3,3)
    22 
    23 imshow(P2) %%加入椒盐躁声后显示图像
    24 
    25 title('salt & pepper noise');
    26 
    27 g=medfilt2(P1); %对高斯躁声中值滤波
    28 
    29 subplot(3,3,5)
    30 
    31 imshow(g)
    32 
    33 title('medfilter gaussian')
    34 
    35 h=medfilt2(P2); %对椒盐躁声中值滤波
    36 
    37 subplot(3,3,6)
    38 
    39 imshow(h)
    40 
    41 title('medfilter salt & pepper noise')
    42 
    43 l=[1 1 1 %对高斯躁声算术均值滤波
    44 
    45 1 1 1
    46 
    47 1 1 1];
    48 
    49 l=l/9;
    50 
    51 k=conv2(P1,l);
    52 
    53 subplot(3,3,8)
    54 
    55 imshow(k,[])
    56 
    57 title('arithmeticfilter gaussian')
    58 
    59 %对椒盐躁声算术均值滤波
    60 
    61 d=conv2(P2,l);
    62 
    63 subplot(3,3,9)
    64 
    65 imshow(d,[])
    66 
    67 title('arithmeticfilter salt & pepper noise')
    68 
    69  

     

    4.2参考文献

    [1]孟凡文, 吴禄慎.基于FTP的二维傅里叶变换的研究.激光与红外. 第38卷第9期 2008年9月       

    [2] 董健,邓国辉,李金武. 基于二维傅里叶变换实现图像变换的研究. 福建电脑. 2015年第 9期

    转载于:https://www.cnblogs.com/tenderwx/p/5245859.html

    展开全文
  • 在图像处理中,频域反应图像在空域灰度变化剧烈程度,也就是图像灰度变化速度,也就是图像梯度大小 图像频率是表征图像中灰度变化剧烈程度指标,是灰度在平面空间上梯度 设 f 是一个能量有限模拟信号,其...

    傅里叶变换的物理意义

    • 傅里叶原理:
      任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加
    • 图像傅里叶变换的物理意义
      对一张图像使用傅里叶变换就是将它分解成正弦和余弦两部分,将图像从空间域转换到频域
      在图像处理中,频域反应图像在空域灰度变化剧烈程度,也就是图像灰度的变化速度,也就是图像梯度大小
      图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度
      设 f 是一个能量有限的模拟信号,其傅里叶变换表示的就是 f 谱,从数学意义上是将一个函数转换为一系列周期函数来处理, 从物理意义上是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数
    • 举例:
      大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应频率值很低
      对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应频率值很高
    • 对图像进行二维傅里叶变换得到的频谱图就是图像梯度的分布图, 频谱图上的各点与图像上的各点并不存在一一对应关系。傅里叶频谱图上所看到的明亮不一的亮点实际上是图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点频率的大小
    • 梯度大则该点的亮度强,反之则弱。 通过观察傅里叶变换后的频谱图(功率图)可以看出能量分布。如果频谱图中暗点多,则实际图像比较柔和(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之图像尖锐、边界分明两边像素差异较大
    • 在频域里,对于一幅图像,高频部分代表图像的细节、纹理信息;低频部分代表图像的轮廓信息。 图像边缘部分是突变部分,变化较快,反映在频域上是高频分量,图像的噪声大部分情况下是高频部分;图像平缓变化部分则为低频分量。如果对一幅精细的图像使用低通滤波器,那么滤波后的结果就只剩下轮廓。如果图像受到的噪声恰好定位于某个特定的“频率”范围内,则可以通过滤波器来恢复原来的图像

    应用

    1. 图像增强与图像去噪
      绝大部分噪音都是图像的高频分量,通过低通滤波器来滤除高频噪声;边缘也是图像的高频分量,可以通过添加图像的高频分量来增强原始图像的边缘
    2. 图像分割之边缘检测
      提取图像的高频分量
    3. 图像特征提取
      形状特征:傅里叶描述
      纹理特征:直接通过傅里叶系数来计算纹理特征
      其他特征:将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性
    4. 图像压缩
      直接通过傅里叶系数来压缩数据,常用的离散余弦变换是傅里叶变换的实变换

    类比理解

    冈萨雷斯版《图像处理》解释:将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜,棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器,每个成分的颜色由波长(或频率)来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜,将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率。同样,傅里叶变换能使我们通过频率成分来分析一个函数。

    傅里叶变换性质

    • 线性
    • 对称性
    • 时移性:函数在时域中的时移,对应于其在频率域中附加产生的相移,而幅度频谱则保持不变
    • 频移性:函数在时域中乘以e^(jwt),可以使整个频谱搬移w
    • 卷积定理:时域卷积等于频域乘积;时域乘积等于频域卷积(附加一个系数)

    信号在频率域的表现

    在频域中,频率越大说明原始信号变化速度越快;频率越小说明原始信号越平缓
    当频率为0时,表示直流信号,没有变化
    高频分量解释信号的突变部分;低频分量决定决定信号的整体形象

    dft() 函数详解

    dft 函数的作用是对一维或者二维浮点数数组进行正向或反向离散傅里叶变换

    void dft(InputArray src,OutputArray dst,int flags =0,int nonzeroRows=0)
    

    第一个参数:InputArray 类型的 src ,输入矩阵,可以为实数或者虚数
    第二个参数:OutputArray 类型的 dst,函数调用后的运算结果存在这里,其尺寸和类型取决于标识符,也就是第三个参数 flags
    第三个参数:int 类型的 flags,转换的标识符,有默认值 0,取值可以为为下表:
    在这里插入图片描述
    第四个参数:int 类型的 nonzeroRows,默认值为 0,当此参数设为非零时,函数会假设只有输入矩阵的第一个非零行包含非零元素,或只有输出矩阵的一个非零行包含非零元素

    #include "opencv2\core\core.hpp"
    #include "opencv2\imgproc\imgproc.hpp"
    #include "opencv2\highgui\highgui.hpp"
    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    using namespace cv;
    
    int main()
    {
    	//以灰度模式读取原始图像并显示
    	Mat srcImage = imread("girl.jpg", 0);
    	imshow("原始图像", srcImage);
    	//将输入图像延扩到最佳尺寸,边界用0补充
    	int m = getOptimalDFTSize(srcImage.rows);
    	int n = getOptimalDFTSize(srcImage.cols);
    	//将添加的像素初始化为0
    	Mat padded;
    	copyMakeBorder(srcImage, padded, 0, m - srcImage.rows, 0, n - srcImage.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
    	//为傅里叶变换的结果(实部和虚部)分配存储空间
    	//将planes数组组合合并成一个多通道的数组complexI
    	Mat planes[] = { Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(),CV_32F) };
    	Mat complexI;
    	merge(planes, 2, complexI);
    	//进行就地离散傅里叶变换
    	dft(complexI, complexI);
    	//将复数转换为幅值
    	split(complexI, planes);//将多通道数组complexI分离成几个单通道数组
    	magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);
    	Mat magnitudeImage = planes[0];
    	//进行对数尺度缩放
    	magnitudeImage += Scalar::all(1);
    	log(magnitudeImage, magnitudeImage);
    	//剪切和重分布幅度图象限
    	//若有奇数行或奇数列,进行频谱裁剪
    	magnitudeImage = magnitudeImage(Rect(0, 0, magnitudeImage.cols& -2, magnitudeImage.rows& -2));
    	//重新排列傅里叶图像中的象限,使得原点位于图像中心
    	int cx = magnitudeImage.cols / 2;
    	int cy = magnitudeImage.rows / 2;
    	Mat q0(magnitudeImage, Rect(0, 0, cx, cy));//ROI区域的左上
    	Mat q1(magnitudeImage, Rect(cx, 0, cx, cy));//ROI区域的右上
    	Mat q2(magnitudeImage, Rect(0, cy, cx, cy));//ROI区域的左下
    	Mat q3(magnitudeImage, Rect(cx, cy, cx, cy));//ROI区域的右下
    	//交换象限(左上与右下进行交换)
    	Mat tmp;
    	q0.copyTo(tmp);
    	q3.copyTo(q0);
    	tmp.copyTo(q3);
    	//交换象限(右上与左下进行交换)
    	q1.copyTo(tmp);
    	q2.copyTo(q1);
    	tmp.copyTo(q2);
    	//归一化
    	normalize(magnitudeImage, magnitudeImage, 0, 1, NORM_MINMAX);
    	//显示效果图
    	imshow("频谱幅值", magnitudeImage);
    	waitKey();
    	return 0;
    }
    
    展开全文
  • 傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅里叶变换就表示f的频谱。从纯粹的数学意义上看,傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅里叶变换是将...

    1.理解二维傅里叶变换的定义

    1.1二维傅里叶变换

    二维Fourier变换:

    逆变换:

    1.2二维离散傅里叶变换

    一个图像尺寸为M×N的 函数的离散傅里叶变换由以下等式给出:


    其中 和。其中变量u和v用于确定它们的频率,频域系统是由所张成的坐标系,其中和用做(频率)变量。空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。可以得到频谱系统在频谱图四角处沿和方向的频谱分量均为0。

    离散傅里叶逆变换由下式给出:

    令R和I分别表示F的实部和需部,则傅里叶频谱,相位角,功率谱(幅度)定义如下:


    1.3用FFT计算二维离散傅里叶变换

    二维离散傅里叶变换的定义为:

    二维离散傅里叶变换可通过两次一维离散傅里叶变换来实现:

    1)作一维N点DFT(对每个m做一次,共M次)

    2)作M点的DFT(对每个k做一次,共N次)


    这两次离散傅里叶变换都可以用快速算法求得,若M和N都是2的幂,则可使用基二FFT算法,所需要乘法次数为

    而直接计算二维离散傅里叶变换所需的乘法次数为(M+N)MN,当M和N比较大时用用FFT运算,可节约很多运算量。

    1.3图像傅里叶变换的物理意义

    图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅里叶变换就表示f的频谱。从纯粹的数学意义上看,傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅里叶变换以前图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,通常用一个二维矩阵表示空间上各点,记为z=f(x,y)。又因空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就必须由梯度来表示,这样我们才能通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。

    傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们就可以直观地看出图像的能量分布:如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小);反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。

    对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰。一幅频谱图如果带有正弦干扰,移频到原点上就可以看出,除了中心以外还存在以另一点为中心、对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的。这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

    2.二维傅里叶变换有哪些性质

    2.1二维离散傅里叶变换的性质

    1)分离性

    二维离散傅里叶变换具有分离性

    分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步求得。第1步,沿着的每一行取变换,将其结果乘以1/N,取得二维函数;第2步,沿着的每一列取变换,再将结果乘以1/N,就得到了。这种方法是先行后列。如果采用先列后行的顺序,其结果相同。

    如图:


    对逆变换f(x,y)也可以类似地分两步进行。

    2)平移性

    傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指:

    由乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换,使频率平面的原点位移至。同样地,以指数项乘以并取其反变换,将空间域平面的原点位移至当N/2时,指数项为:

    即为

    这样,用(x+y)乘以就可以将的傅里叶变换原点移动到N*N频率方阵的中心,这样才能看到整个谱图。另外,对的平移不影响其傅里叶变换的幅值。

    此外,与连续二维傅里叶变换一样,二维离散傅里叶变换也具有周期性、共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有重要意义。

    2.2二维离散傅里叶变换图像性质

    1、图像经过二维傅里叶变换后,其变换系数矩阵具有如下性质:若变换矩阵原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅里叶变换矩阵的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。

    2、图像灰度变化缓慢的区域,对应它变换后的低频分量部分;图像灰度呈阶跃变化的区域,对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外,图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域,它们都具有变换后的高频分量特征。

    3.任给一幅图像,对其进行二维傅里叶变换和逆变换

    原图

    二维傅里叶变换

    逆变换

    频谱图

    原图 加入高斯噪声 计入椒盐噪声
      对高斯噪声中值滤波 对椒盐噪声中值滤波
      对高斯噪声算术均值滤波 对椒盐噪声算术均值滤波

    4.附录

    4.1matlab代码 

    1)DEMO1
    [i,lcmp]=imread('F:/123.jpg');%=======读取图像 显示图像
    subplot(2,2,1),imshow(i,lcmp);
    title('original');
    ii=im2double(i); %=====将图像矩阵类型转换为double(图像计算很多是不能用整型的),没有这个会报错!! ,如果不用这个就必须转化为灰度图!
    i1 = fft2(ii); %======傅里叶变换
    i2 =fftshift(i1); %======将变换的频率图像四角移动到中心(原来良的部分在四角 现在移动中心,便于后面的处理)
    i3=log(abs(i2)); %=====显示中心低频部分,加对数是为了更好的显示
    subplot(2,2,2),imshow(i3,[]);
    title('Fourier');
    map=colormap(lcmp); %===取色谱
    imwrite(i3,map,'f:/ffttank.bmp'); %===将上面i3输入到ffttank文件中
    i5 = real(ifft2(ifftshift(i2))); %===频域的图反变换到空域 并取实部
    i6 = im2uint8(mat2gray(i5)); %===取其灰度图
    imwrite(i6,map,'f:/tank2.bmp','bmp'); %===利用灰度图和原来取得颜色模板 还原图像
    subplot(2,2,3),imshow(i6);
    title('anti-Fourier');
    i7=rgb2gray(i);
    i8=fft2(i7);%===对灰色图才能归一化。因为那是2维矩阵,彩色图是3维矩阵,需要转化为2维灰图
    m=fftshift(i8); %直流分量移到频谱中心
    %RR=real(m); %取傅立叶变换的实部
    %II=imag(m); %取傅立叶变换的虚部
    A=abs(m);%计算频谱幅值
    %A=sqrt(RR.^2+II.^2);
    A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225; %归一化
    subplot(2,2,4),imshow(A); %显示原图像
    colorbar; %显示图像的颜色条
    title('FFT spectrum'); %图像命名
    2)DEMO2
    m=imread('F:/123.jpg');
    M=rgb2gray(m); %==滤波函数都是对二维灰度图,Tif可直接滤波
    subplot(3,3,1)
    imshow(M);%显示原始图像
    title('original')
    P1=imnoise(M,'gaussian',0.02); %加入高斯躁声
    subplot(3,3,2)
    imshow(P1) %加入高斯躁声后显示图像
    title('gaussian noise');
    P2=imnoise(M,'salt & pepper',0.02); %=加入椒盐躁声
    subplot(3,3,3)
    imshow(P2) %%加入椒盐躁声后显示图像
    title('salt & pepper noise');
    g=medfilt2(P1); %对高斯躁声中值滤波
    subplot(3,3,5)
    imshow(g)
    title('medfilter gaussian')
    h=medfilt2(P2); %对椒盐躁声中值滤波
    subplot(3,3,6)
    imshow(h)
    title('medfilter salt & pepper noise')
    l=[1 1 1 %对高斯躁声算术均值滤波
    1 1 1
    1 1 1];
    l=l/9;
    k=conv2(P1,l);
    subplot(3,3,8)
    imshow(k,[])
    title('arithmeticfilter gaussian')
    %对椒盐躁声算术均值滤波
    d=conv2(P2,l);
    subplot(3,3,9)
    imshow(d,[])
    title('arithmeticfilter salt & pepper noise')

    4.2参考文献

    [1]孟凡文, 吴禄慎.基于FTP的二维傅里叶变换的研究.激光与红外.第38卷第9期 2008年9月       

    [2] 董健,邓国辉,李金武. 基于二维傅里叶变换实现图像变换的研究. 福建电脑. 2015年第 9期

    原文链接:http://www.cnblogs.com/tenderwx/p/5245859.html

    展开全文
  • 1、为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么? 傅里叶原理表明:任何连续测量时序或信号,都可以表示为不同频率正弦波信号无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到原始信号,以累加...
  • 请参考下文了解傅里叶变化中空域、时域和频域:https://blog.csdn.net/fengyingv/article/details/109630076 1、什么是傅里叶变换? (1),什么是傅里叶变换?...傅里叶变换是一种分析信号方法,它可分析信号
  • 前言  前面转载过一篇关于傅里叶变换原理文章《一篇难得关于傅里叶分析好文》。那篇文章写得非常棒,浅显易懂,可以说稍有基础人...那么数字图像处理中,傅里叶变换之后得到频谱图又有怎样运用呢?...
  • 前言 前面转载过一篇关于傅里叶变换原理的文章《一篇难得的关于傅里叶分析的好文》。...这篇博客就是为了简单讲讲傅里叶变换在数字图像处理的意义和基本应用,如有错误请各位指出。 数字图像的傅里叶变...
  • 不同研究领域,傅里叶变换具有多种不同变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。  傅立叶变换属于调和分析内容。"分析"二字,可以解释为深入研究。从字面上来看,"分析"二字,实际就是"条分缕析...
  • 图像傅里叶变换物理意义图像的频率是表征图像中...傅里叶变换在实际中有非常明显物理意义,设f是一个能量有限模拟信号,则其傅里叶变换就表示f频谱。从纯粹数学意义上看,傅里叶变换是将一个函数转...
  • 图像的傅里叶变换

    千次阅读 2014-12-16 12:06:57
    傅里叶变换在图像处理的意义和作用
  • 前言 前面转载过一篇关于傅里叶变换原理的文章《一篇难得的关于傅里叶分析的好文》...这篇博客就是为了简单讲讲傅里叶变换在数字图像处理的意义和基本应用,如有错误请各位指出。 数字图像的傅里叶变换 通过前面的...
  • 关于傅里叶变化讲解,很多大神都写得非常详尽了,通过下面几篇博文,可以让大家对傅里叶变换何相关知识有一个全面了解,这里我主要是想从图像处理角度谈一谈自己非常浅显理解。 韩昊-傅里叶分析之掐死...
  • 傅里叶是法国科学家,生于1768年,因为其的 任何一个周期函数都可以通过正弦函数组合而来 理论而出名。当时的研究背景是热扩散处理,...卷积定理的意义图像增强分为频域和空间域两类。对于空间滤波来讲,对整个图像
  • Windows操作系统下MATLAB2019b应用程序中编写程序,待程序调试完成后,通过选取两组图像分别进行傅里叶变换处理获取其相应幅度谱和相位谱,并交换两幅图像的幅度谱和相位谱重构图像仿真实验来验证图像信号...
  • 二维傅里叶变换的意义

    千次阅读 2017-10-03 17:38:51
    信号处理中,常常用到一维傅里叶变换,即可以将一个时域信号变换为一系列不同幅度正弦波叠加,那么对于图像处理,可以理解为中心傅里叶谱中心为原点(0,0),建一个坐标系,水平方向为v方向,竖直方向为u...
  • 1.1、信号变化越快,说明频率越大,信号变化越慢,说明频率越小。...1.2、对于灰度图来说,先说它是怎么来,我们真实的图像,比如一本书封面,海报这些图像都是连续图像(模拟图像),当我们计算机中看到
  • 对矩阵的傅里叶变换

    万次阅读 2017-08-29 15:41:05
    这篇博客是我对傅里叶变换的概念的复习,并且对...这里,重点举例说明了二维傅里叶变换在图像处理的意义。在实际应用中,通常对信号做离散傅里叶变换。在matlab中,fft对矩阵的处理是取其每列元素的傅里叶变换。
  • 介绍傅里叶变换是数学中最深刻的见解之一,但不幸的是,它的意义被埋一些荒谬的方程中。傅里叶变换是一种把东西分解成正弦波的方法。这个名字来自一个数学家叫傅里叶。数学术语中,傅里叶变换是一种将信号转换成...
  • 二维离散傅里叶变换后的图像的意义(《数字图像处理》贾永红): 低频部分反映图像的概貌,高频反映图像的细节,改变换建立了图像空间域的像素特性与其频率域上的信息强度之间的联系。 代码效果展示: ...
  • 视觉优势永远大于其他器官对人作用,所以对标眼睛的图像处理起到了非常重要作用。 相比于时域分析图像艰难,频域分析图像就变得无比轻松,但是由于频域比较抽象,理解起来比较吃力,所以很多人并不能一下...
  • 1.图像频域处理的意义 在图像处理和分析中,经常会将图像从图像空间转换到其他空间中,并利用这些空间的特点进行对转换后图像进行分析处理,然后再将处理后的图像转换到图像空间中,这称之为图像变换。 在一些...
  • 如何理解 图像傅里叶变换的频谱图

    千次阅读 2019-03-25 10:19:14
    视觉优势永远大于其他器官对人作用,所以对标眼睛的图像处理起到了非常重要作用。 相比于时域分析图像艰难,频域分析图像就变得无比轻松,但是由于频域比较抽象,理解起来比较吃力,所以很多人并不能一下...
  • 1.图像频域处理的意义 在图像处理和分析中,经常会将图像从图像空间转换到其他空间中,并利用这些空间的特点进行对转换后图像进行分析处理,然后再将处理后的图像转换到图像空间中,这称之为图像变换。 在一些图像...
  • 傅立叶变换在图像处理应用

    千次阅读 2014-01-24 15:00:53
    1、为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么? 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示...
  • 频域滤波—傅里叶变换

    千次阅读 2019-07-27 10:38:04
    傅里叶变换的作用离散傅里叶变换是最经典一种正弦余弦型正交变换,它建立了空间域与频率域间联系,具有明确物理意义,能够更直观、方便地解决许多图像处理问题。而且具有快速算法,因此广泛应用于图像处理等...
  • OpenCV中离散傅里叶变换的解读

    千次阅读 2018-06-30 14:03:03
    关于傅里叶变换及其意义请参照:https://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/72817527?locationNum=9&amp;fps=1点击打开链接读完上面链接中文章,可以知道频域处理图像的频率信息简单了不少。频谱...
  • 目录一、图像变换概念和意义图像处理方法分类频域变换一般处理过程二、傅立叶变换傅里叶变换的作用傅里叶变换的定义傅里叶变换的条件离散傅里叶变换傅立叶变换规律FFT应用-高通滤波FFT应用-低通滤波频域...
  • 傅里叶变换与小波

    千次阅读 2014-01-17 21:02:55
    无论是图像处理、信号处理,还是做音视频处理等方面研究,总是避不开的傅里叶变换和小波相关知识。此,网上看到相关知识,很受启发,特转载其中图片过来共勉,然后,根据本人对其中内容作出相关解释,如下图所示...
  • 转自:https://blog.csdn.net/zhangsong051052/article/details/791636591. 傅立叶变换图像处理在信号处理中,傅立叶变换用于将时域信号转换到频域上。图像也可以看作一种平面空间上二维信号,所以对图像也可以...

空空如也

空空如也

1 2 3
收藏数 54
精华内容 21
关键字:

傅里叶变换在图像处理的意义