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  • § 傅里叶变换应用 29傅里叶变换应用求解常微分方程例 用傅里叶变换法解常微分方程′′ ′y (x) + y (x) − xy (x) = 0.解 记F [y (x)] = Y (α). 对方程两端作傅里叶变换 利用线性性质、微分性质和...

    § 傅里叶变换的应用 29

    傅里叶变换的应用

    求解常微分方程

    例 用傅里叶变换法解常微分方程

    ′′ ′

    y (x) + y (x) − xy (x) = 0.

    解 记F [y (x)] = Y (α). 对方程两端作傅里叶变换 利用线性性质、微分性质和乘多项式性

    质 有

    d

    2

    (iα) Y (α) − i Y (α) = 0

    d

    Y (α) − (iα2 + α)Y (α) = 0

    解之 得

    i +

    Y (α) = ce .

    对上式两端作傅里叶逆变换 有

    −1 c ∫ +∞ i( + ) iαx c ∫ +∞ i( + +αx)

    y (x) = F [Y (α)] = e e dα = e dα.

    2π 2π

    −∞ −∞

    求热传导方程的初值问题

    例 求解初值问题

     2

    ut = a uxx + f (x, t), − ∞ < x < +∞, t > 0, (5.3.1)

    u(x, 0) = ϕ(x), − ∞ < x < +∞.

    解 对u(x, t), f (x, t)和ϕ(x)关于x进行傅里叶变换 记F [u(x, t)] = U (α, t), F [f (x, t)] = F (α, t),

    F [ϕ(x)] = Φ(α). 在泛定方程和定解条件两端关于x作傅里叶变换 利用线性性质和微分性

    质 有这里假设当|x | → +∞时 u, ux → 0

     2 2 2 2

    U (α, t) = a (iα) U (α, t) + F (α, t) = −α a U (α, t) + F (α, t), t > 0,

    t

    U (α, 0) = Φ(α).

    则偏微分方程的初值问题 转化为了关于t的ODE 的初值问题把α看作参数 解得

    U (α, t) = Φ(α)e−αat + ∫0t F (α, τ )e−αa (t−τ )dτ

    对上式两端关于α作傅里叶逆变换 并利用卷积定理 有

    [ ]

    u(x, t) =F −1 [u(α, t)] = F −1 [Φ(α)e−αat]

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  • 快速傅里叶变换在信号处理应用

    万次阅读 多人点赞 2018-09-12 16:41:09
    傅里叶变换FT(Fourier Transform)是一种将信号从时域变换到频域的变换形式。它声学、信号处理等领域有广泛的应用计算机处理信号的要求是...它是傅里叶变换在离散域的表示形式。但是一般来说,DFT的运算量是非...

    傅里叶变换FT(Fourier Transform)是一种将信号从时域变换到频域的变换形式。它在声学、信号处理等领域有广泛的应用。计算机处理信号的要求是:在时域和频域都应该是离散的,而且都应该是有限长的。而傅里叶变换仅能处理连续信号,离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)就是应这种需要而诞生的。它是傅里叶变换在离散域的表示形式。但是一般来说,DFT的运算量是非常大的。在1965年首次提出快速傅里叶变换算法FFT(Fast Fourier Transform)之前,其应用领域一直难以拓展,是FFT的提出使DFT的实现变得接近实时。DFT的应用领域也得以迅速拓展。除了一些速度要求非常高的场合之外,FFT算法基本上可以满足工业应用的要求。由于数字信号处理的其它运算都可以由DFT来实现,因此FFT算法是数字信号处理的重要基石。

    傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。如图1所示,即为时域信号与不同频率的正弦波信号的关系,这是最近翻阅文献看到的对于时域频域表示的最简单明了的图,原处为参考文献中的第二个链接,有兴趣的朋友可以去原文查阅。图中最右侧展示的是时域中的一个信号,这是一个近似于矩形的波,而图的正中间则是组成该信号的各个频率的正弦波。从图中我们可以看出,即使角度几乎为直角的正弦波,其实也是由众多的弧度圆滑的正弦波来组成的。在时域图像中,我们看到的只有一个矩形波,我们无从得知他是由这些正弦波组成。但当我们通过傅里叶变换将该矩形波转换到频域之后,我们能够很清楚的看到许多脉冲,其中频域图中的横轴为频率,纵轴为振幅。因此可以通过这个频域图像得知,时域中的矩形波是由这么多频率的正弦波叠加而成的。

    图1   时域频域关系图

    这就是傅里叶变换的最基本最简单的应用,当然这是从数学的角度去看傅立叶变换。在信号分析过程中,傅里叶变换的作用就是将组成这个回波信号的所有输入源在频域中按照频率的大小来表示出来。傅里叶变换之后,信号的幅度谱可表示对应频率的能量,而相位谱可表示对应频率的相位特征。经过傅立叶变换可以在频率中很容易的找出杂乱信号中各频率分量的幅度谱和相位谱,然后根据需求,进行高通或者低通滤波处理,最终得到所需要频率域的回波。

    傅里叶变换在图像处理过程中也有非常重要的作用,设信号f是一个能量有限的模拟信号,则其傅里叶变换就表示信号f的频谱。从纯粹的数学意义上看,傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们就可以直观地看出图像的能量分布:如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的,这是因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小;反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。

    下面我们以信号处理过程中的一个例子来详细说明FFT的效果:假设采样频率为Fs,信号频率为F,采样点数为N。那么FFT处理之后的结果就是一个点数为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点,而每个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。假设原始信号的峰值为A,那么在处理后除第一个点之外的其他点的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即频率为0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn 所能分辨到的最小频率为Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数N为1024点,则最小分辨率可以精确到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做FFT处理,则结果可以分析到1Hz;如果采样2秒时间的信号并做FFT处理,则结果可以精确到0.5Hz。

    假设现在我们有一个输入信号,该信号总共包含3种成分信号,其一是5V的直流分量;其二是频率为50Hz、相位为-60度、幅度为10V的交流信号;第三个成分信号是频率为100Hz、相位为90度、幅度为5V的交流信号。该输入信号用数学表达式表示如下:

                                                S=5+10*cos(2*pi*50*t-pi*60/180)+5*cos(2*pi*100*t+pi*90/180)

    图2 输入信号

    图2即为S信号的图像表示。现在,我们以256Hz的采样率Fs对这个信号进行采样,采样点数N同样为256点。根据公式我们可以算出其频谱图中的频率精度为1Hz。因此对于输入信号频率包含0Hz、50Hz和100hz的复合信号,在其经过FFT处理之后,应该会在频谱图中出现3个峰值,而且频率分别为0Hz、50Hz和100Hz,处理结果如图3所示:

    图3 信号频谱全图

    结果正如我们所预料的,对输入信号’S’做FFT处理之后,图3中出现了5个峰值,这是因为对输入信号做256点的FFT处理之后并没有第257个频点信息,这也是前文中所提到的第一个点的模值是N倍的原因。因此,信号的 FFT结果具有一定的对称性。一般情况下,我们只使用前半部分的结果,即小于采样频率一半的结果。对于图像进行简单处理后,我们的前半部分的FFT结果如图4所示:

    图4  处理后的频谱图

    从图4中可以看出,三个输入信号频点的幅值依次为1280、1280、640;其他频率所对应的幅值均为0。按照公式,可以计算直流分量(频率为0Hz)的幅值为:1280/N= 1280/256=5;频率为50Hz的交流信号的幅值为:1280/(N/2)= 1280/(256/2)=10;而75Hz的交流信号的幅值为640/(N/2)=640/(256/2)=5。这也正是我们输入信号中的三个分量的直流分量值,由此可见,从频谱分析出来的幅值是正确的。

    通过上面的例子我们可以看出,对于一个输入信号,假如我们不能确定该输入信号的频率组成,我们对其进行FFT处理之后,便可以很轻松的看出其频率分量,并且可以通过简单的计算来获知该信号的幅值信息等。另外,如果想要提高频率分辨率,我们根据计算公式首先想到的就是需要增加采样点数,但增加采样点数也就意味着计算量增加,这在工程应用中增加了工程难度。解决这个问题的方法有频率细分法,比较简单的方法是采样较短时间的信号,然后在后面补充一定数量的0,使其长度达到需要的点数(一般为2的幂次方的点数),然后再做FFT,就能在一定程度上提高频率分辨率。

     

    参考文献

    https://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/72817527

    https://blog.csdn.net/Best_Coder/article/details/39560287

    https://blog.csdn.net/wordwarwordwar/article/details/68951605

    https://wenku.baidu.com/view/aa227c1e650e52ea55189866.html

    https://wenku.baidu.com/view/c33302126edb6f1aff001f04.html

    https://blog.csdn.net/xz_wang/article/details/24926415

    https://blog.csdn.net/djzhao/article/details/78333996

    https://blog.csdn.net/liuuze5/article/details/40051395

     

     

     

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  • 傅里叶变换在图像滤波应用 1回顾傅里叶变换   首先回顾一下《信号与系统》这门课主要学习了什么。第一章中,学习了与信号和系统的数学表示有关的某些基本概念,特别练习了信号的某些变换(如时移和尺度...

    傅里叶变换在图像滤波中的应用

    1回顾傅里叶变换

      首先回顾一下在《信号与系统》这门课中主要学习了什么。在第一章中,学习了与信号和系统的数学表示有关的某些基本概念,特别练习了信号的某些变换(如时移和尺度变换),接着又学习了几个非常重要的基本连续时间信号和离散时间信号(复指数信号、单位冲击阶跃等),最后学习了系统的六个基本性质,如线性、时不变性等。第二章建立在上述两个性质的基础之上,即线性时不变系统LTI,学习了如何计算LTI系统的卷积以及卷积的性质。最后,介绍了一些奇异函数(阶跃、冲击和冲击偶等)及其在描述和分析连续时间线性时不变系统中的作用。第三章引入了傅里叶级数的概念,且主要在学习连续时间周期信号的傅里叶级数。针对分析公式和综合公式,做了相应的练习,学习到的傅里叶级数的性质可以帮助我们对一个周期信号快速傅里叶展开。学习这一章,有如下两个基本理由:1)大部分的信号都可以表示成复指数信号的加权和或加权积分。2)线性时不变系统对复指数输入信号的响应比较简单。在本章的最后,指出可以利用傅里叶展开将一个时域的周期信号变换到频域上,之后在频域范围内进行滤波。第四章的傅里叶变换是傅里叶展开的延伸,将一个非周期信号扩展成周期信号,再利用傅里叶展开求级数,之后将周期取极限就得到了傅里叶变换的公式,由此也能看出傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系。在这一章中,学习的是连续时间的傅里叶变换,第五章会将离散时间的傅里叶变换,但我们没有着重学习。学习卷积性质,可以为频率选择性滤波提供另一个审视角度。
      从以上回顾中可以看出,本课程的重点是傅里叶变换,可以说前三章的内容都是为傅里叶变换做铺垫的。下面给出连续时间傅里叶变换的公式[1]
    x(t)=12πX(jw)ejwtdw(1)x(t)=\frac1{2π}\int_{-\infin}^\infin X(jw)e^{jwt}dw\tag{1}
    X(jw)=x(t)ejwtdt(2)X(jw)=\int_{-\infin}^\infin x(t) e^{-jwt}dt\tag{2}
      公式(1)和公式(2)分别称为傅里叶变换的综合公式和分析公式,从中可以看出连续时间的傅里叶变换是借助积分实现的。现在摆在我们面前的有两个问题,一是计算机进行运算时很难处理连续的信号,二是公式(1)和(2)只是一维的傅里叶变换,而本文讨论的图像是二维的,因此有必要引出二维离散傅里叶变换。

    2二维离散傅里叶变换的定义

      在计算机中存储的所有图像,都是经过数字化处理之后的,此时可以用一个二维离散信号f(m,n)来表示。对于二维离散信号{f (m, n) |m=0, 1, …, M-1, n=0, 1, …, N-1}, 其离散傅立叶变换定义为[2]
    F(u,v)=1MNm=0M1n=0N1f(m,n)ej2π[muM+nvN])(3)F(u,v)=\frac1{\sqrt M \sqrt N}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)e^{-j2π[\frac {mu}{M}+\frac{nv}{N}])} \tag{3}
      上式当中,u=0, 1, …, M-1, v=0, 1, …, N-1, 称为空间频率。j为虚数单位, j2j^2=-1。
      傅里叶反变换定义为
    f(m,n)=1MNu=0M1v=0N1F(u,v)ej2π[muM+nvN](4)f(m,n)=\frac 1{\sqrt M \sqrt N} \sum_{u=0}^{M-1}∑_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{-j2π[\frac {mu}M+\frac {nv}N]}\tag{4}
      式中, m=0, 1, …, M-1, n=0, 1, …, N-1。
      在图像处理时, 一般选取图像块为N×N的方阵, 即M=N取, 这时二维离散傅立叶变换和反变换式为
    F(u,v)=1Nm=0N1n=0N1f(m,n)ej2π[mu+nvN](5)F(u,v)=\frac 1N ∑_{m=0}^{N-1}∑_{n=0}^{N-1}f(m,n)e^{-j2π[\frac{mu+nv}N]}\tag{5}
    f(m,n)=1Nu=0N1v=0N1F(u,v)ej2π[mu+nvN](6)f(m,n)=\frac 1N ∑_{u=0}^{N-1}∑_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{-j2π[\frac{mu+nv}N]}\tag{6}
      在 (5) (6) 两式中, u, v, m, n=0, 1, …, N-1。它们就是二维离散傅里叶变换的综合公式和分析公式。

    3傅里叶变换滤波原理

      从前面的讨论中可以看出,傅里叶变换的主要工作就是把一个信号从时域映射到频域。傅里叶变换算法表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加[3]。
      根据傅立叶变换理论,任何满足条件的信号都可以表示为一系列正弦信号的叠加。在图像处理中,每个灰度图像都可以表示为由正弦信息组成的图像。每个正弦信息都包含三个变量:频率,幅度和相位。转换后的图像是图像的频谱图(或功率图)。在频谱图中,频率和幅度更为重要,并且相位参数被丢弃(在相图中表示)[4]。
      在一维情况下,与图像相对应的频谱图可以表示为二维坐标系,其中水平轴是频率,垂直轴是振幅。频率为0的水平轴的中心点表示直流频率,即整个图像的平均亮度。频率为f的其他信号在图中显示为一个单峰,横坐标为f,且峰高是信号的幅度。
      二维图像的频谱图形成与一维相似,不同之处在于二维图像需要进行列扫描和行扫描,然后叠加。不同的是,频谱图的水平轴和垂直轴都代表频率,每个像素代表正弦信号的频率值,而正弦信号的幅度由像素的亮度代表。在没有频移的情况下,频谱图的中心点代表图像的直流频率(平均亮度)。频谱图中的点越亮,灰度的对比度越强(对比度越大)。图中的点与灰度图像中的点没有对应关系,但是反映了灰度图像的梯度分布(灰度图像中的明暗变化)。频谱图中有许多亮点,这意味着图像更锐利,否则图像更柔和。
      为了更好的理解上述概念,可以看一下不同图片的幅度谱(中心化后)和相位谱。
    海大校徽

    图1 海大校徽

    在这里插入图片描述

    图2 海大鱼山

      从图1和图2中可以看出,海大校徽和海大鱼山的照片的相位谱、幅度谱都不相同。图像的相位信息是非常重要的[5],但这不是我们研究的重点,我们着重讨论图像的频率信息。对于一个频谱图,它的频率分布如图3所示。
    在这里插入图片描述

    图3 频率分布

      现在我们应该已经知道,当把一副图片经过傅里叶变换到频域上时,中间部分是低频,越远离中心,频率越高,亮度代表幅度的大小。频谱图上的点越亮,表示它所处的频率成分越多。

    4三种滤波方法

    4.1高通滤波

      高通滤波,顾名思义就是只让高频分量通过,而阻挡住低频分量。在频谱图中的体现就是把中间的部分去掉,四周部分保留,公式化的定义如下:
    H(u,v)={0,D(u,v)D01,D(u,v)>D0(7)H(u,v)= \begin{cases} 0,\quad \sqrt D(u,v)≤D_0\\ 1,\quad \sqrt D(u,v)>D_0\\ \end{cases} \tag{7}

      其中,D0D_0表示通带半径,D(u,v)是到频谱中心的距离(欧式距离),计算公式如下:
    D(u,v)=(uM2)2+(vN2)2(8)D(u,v)= \sqrt{(u-\frac M2)^2+(v-\frac N2)^2 }\tag{8}
      M,N的含义同公式(1),即表示频谱图像的大小,(M/2, N/2)即为频谱图像的中心。
      根据公式(7)(8),我们可以构建一个中心为0,四周全为1的模板矩阵,然后将其与中心化后的频谱图相乘,再将该频谱图进行逆变换就可以得到高通滤波之后的图像。对海大鱼山进行高通滤波,如图4所示。
    在这里插入图片描述

    图4 高通滤波

      原始图像的大小为500*333,D是一个以(255,166)为中心,边长为60的正方形,也就是说把频谱上处于此范围的低频分量给过滤掉。前面我们已经讨论过,低频分量存储的主要是图像的细节,高频分量存储的主要是图像的轮廓,现在我们使用的是高,通滤波器,把低频分量给过滤去了,只保留下高频分量,从图4中可以清晰的看出,滤波之后的图像只有轮廓信息了。而滤波之后的频谱图中间是黑色的,结合前面的讨论,频谱图中用像素点的亮度表示振幅的大小,即相应频率分量的比例,因为我们把低频部分给过滤掉了,所以频谱图中中间的低频部分为黑色。

    4.2低通滤波

      低通滤波与高通滤波恰好相反,它是把图像中的高频成分过滤掉,只保留下低频成分。低通滤波的公式化定义与公式(7)类似,如下式:
    H(u,v)={1D(u,v)D00D(u,v)>D0(9)H(u,v)= \begin{cases} 1, \quad D(u,v)≤D_0\\ 0, \quad D(u,v)>D_0\\ \end{cases} \tag{9}
      D0仍是通带半径,D(u,v)的计算公式与公式(8)相同。
      现在根据公式(7)(9),我们可以构造一个中心为1,四周全为0的矩阵模板,然后将其与中心化后的频谱图相乘,再将该频谱图进行逆变换就可以得到低通滤波后的图像。对海大鱼山进行低通滤波,如图5所示。
    在这里插入图片描述

    图5 低通滤波

      原始图像的大小为500*333,D是一个以(255,166)为中心,边长为60的正方形,现在是把D之外的频率分量给过滤掉。如高通滤波中所进行的讨论,现在是保留低频分量,过滤掉高频分量。从图5中可以看出,滤波之后的图像变得模糊了起来,但是仍能看出大体形状。低通滤波会把图像钝化,淡化边缘信息,但是仍然保留大部分细节信息。从滤波之后的频谱图中可以得知,滤波器把高频分量给阻隔掉了。

    4.3带通滤波

      前面已经介绍了高通滤波和低通滤波的概念,我们会很自然的联想到带通滤波,即将高通滤波和低通滤波结合起来。在带通滤波中,我们可以指定某个频率范围内的分量可以通过,而其余的频率分量则进行阻隔。公式化定义如下:
    F(u,v)={1,D0D(u,v)D10,else F(u,v)= \begin{cases} 1, \quad D_0≤D(u,v)≤D_1\\ 0, \quad \quad \quad \quad else\\ \end{cases}
      对海大鱼山进行带通滤波,如图6所示。
    在这里插入图片描述

    图6 带通滤波

      从图6中可以看出,滤波之后的图像,细节信息要多于高通滤波,边缘信息要多于低通滤波。
      与带通滤波器相对应的是带阻滤波器,其实只要对带通滤波器取反就可以得到带阻滤波器,即将原先的1变为0,0变为1。
      带阻滤波可以用于某些周期性噪声的清除,如图(7),原始图像中含有周期性的噪声,这会让变换出来的频谱图中产生尖峰信号(如图圈出的部分),可以通过带通滤波的方式去除这种噪声。
      低通滤波和高通滤波各有优缺点,而带阻滤波器是结合了低通、高通滤波器在图像处理中的优势, 不但避免了低通、高通滤波的局限性, 而且可以同时发挥两者的优点, 在对指纹图像滤波处理过程中, 不但可以滤除噪声, 而且还对图像边缘进行了增强。
    在这里插入图片描述

    图7 过滤周期噪声

    5.总结

      本文首先回顾了《信号与系统》课程上学到的主要内容,并将其与傅里叶变换串连起来,之后由一维连续时间傅里叶变换引出图像处理中需要的二维离散时间傅里叶变换公式。针对傅里叶变换的形式,对滤波的原理进行了讨论。最后结合具体的实例,分别论述了高通滤波、低通滤波和带通(阻)滤波的原理和实现方法。限于篇幅,本文主要讲解这三种滤波方法的实现原理,给出的滤波实例仅是为了说明问题,在实际的使用中,还是需要结合具体的问题具体分析。
      傅里叶变换为我们提供了一种思考世界的新思路,正如我们所认知的空间域中的图像,可理解为无数频率域中彼此无关的正弦曲线的叠加投影,伴随着正弦曲线幅值、频率、相位的变化,投影出的便是缤纷灿烂的大千世界。而图像处理恰恰就扮演了这样一个幕后之手的角色,通过对频率域的筛选与改变,得到期望的图像。

    参考文献:

    [1]奥本海姆.信号与系统[M].电子工业出版社,2015.
    [2] 王文发,刘彦保.傅立叶变换用于图像处理时的特性分析[J].延安大学学报 (自然科学版),2006(03):22-24.
    [3]杨帆.数字图像处理与分析[M].北京航空航天大学出版社,2010.
    [4]马晓凯,付禹.浅谈傅里叶变换在图像处理中的应用[J].科技资 讯,2018,16(08):80-81.
    [5]罗进.基于相位信息的图像边缘检测算法研究[D].湖南大学,2017.


    附源代码

    #仅附高通滤波器源代码,低通和带通(阻)滤波器只需做少许修改即可
    import numpy as np
    import cv2
    from matplotlib import pyplot as plt
    def dft_matrix(N):
        i, j = np.meshgrid(np.arange(N), np.arange(N))
        omega = np.exp(-2j * np.pi / N)
        w = np.power(omega, i * j)
        return w
    def dft2d(image):
        h, w = image.shape[:2]
        output = np.zeros((h, w), np.complex)
        output = dft_matrix(h).dot(image).dot(dft_matrix(w))
        return output
    
    if __name__ == '__main__':
        img = cv2.imread("f:/daitong.png", 0)
        f = dft2d(img)
        img_shift = np.fft.fftshift(f)  # 中心化,把低频信号移到中心
        center = np.log(np.abs(img_shift))  # 使用对数变化进行图像增强
        ph_fshift = np.angle(img_shift)  # 相位谱
        h, w = img.shape
        mask = np.ones(img.shape)
        mask[int(h / 2 - 30):int(h / 2 + 30), int(w / 2 - 30):int(w / 2 + 30)] = 0
        output_shift = img_shift * mask  # 高通滤波
        output = np.fft.ifftshift(output_shift)
        output = np.fft.ifft2(output)
        output = np.abs(output)  # 逆变换
        center = (center - np.amin(center)) / (np.amax(center) - np.amin(center))
        output_shift = np.copy(center)
        output_shift = output_shift * mask
        plt.subplot(2, 2, 1), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('origin')
        plt.subplot(2, 2, 2), plt.imshow(output, 'gray'), plt.title('output')
        plt.subplot(2, 2, 3), plt.imshow(center, 'gray'), plt.title('origin Amplitude')
        plt.subplot(2, 2, 4), plt.imshow(output_shift, 'gray', vmin=0,vmax=1), plt.title('output Amplitude')
        plt.show()
    
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  • 傅里叶变换FFT算法的介绍及其微机继电保护应用 陆志强傅里叶算法微机继电保护应用传统的微机继电保护算法 ,一般使用梯形算法来计算周期信号的直流分量和各次谐波的系数 ,此方法计算比较复杂 。...

    傅里叶变换FFT算法的介绍及其在微机继电保护中的应用 陆志强

    傅里叶算法在微机继电保护中的应用传统的微机继电保护算法中 ,一般使用梯形算法来计算周期信号的直流分量和各次谐波的系数 ,此方法计算比较复杂 。本文提出了一种基于 FFT 的算法 。该算法利用 FFT 可以由输入序列直接计算出输入信号的直流分量和各次谐波的幅值和相角的特点 ,大大简化了谐波分析的计算 。与梯形算法相比 ,该算法具有精度高 、计算量小 、更易在数字信号处理器上实现等优点 。因而可以取代梯形算法来计算谐波系数 。针对 FFT计算 ,还介绍了正弦信号采样频率的选择方法 。

    ?傅里叶算法?;? FFT;?谐波分析The Introduction of Fourier algorithm based on FFT in

    Modif ied model of power metering

    Lu Zhiqiang

    (School of Physics and Electronic and Information Engineering, Wenzhou University,)

    Abstract: In microcomputer relay protection of traditional algorithm, coefficient of DC component generally use the trapezoidal algorithm to calculate the periodic signal and harmonic,and this method is very complex. This paper presents an algorithm based on FFT. The algorithm makes use of the FFT and it can be calculated directly from the input sequence characteristics of amplitude and phase of the DC component of the input signal and harmonic, greatly simplifies the calculation of harmonic analysis. Compared with the trapezoidal algorithm, this algorithm has high precision, small computation, easily realized in digital signal processor. So that you can replace trapezoidal algorithm to calculate the harmonic coefficient. For the FFT calculation, the selection method of sine signal sampling frequency is also presented.

    Keywords: Fourier algorithm;FFT;harmonic analysis;Modif ied model of power metering.

    一、傅立叶变换FFT算法简介:

    计算离散傅里叶变换的一种快速算法,简称FFT。快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是被变换的抽样点数N越多,FFT算法计算量的节省就越显著。

    有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化快速傅里叶变换成有限长序列。但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT).?1965年,Cooley和Tukey提出了计算离散傅里叶变换(DFT)的快速算法,将DFT的运算量减少了几个数量级。从此,对快速傅里叶变换(FFT)算法的研究便不断深入,数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法,基本算法是基2DIT和基2DIF。FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。快速傅氏变换(FFT),是离散傅氏变换的快速算法,它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现,但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换,可以说是进了一大步。设快速傅里叶变换x(n)为N项的复数序列,由DFT变换,任一X(m)的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法,而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法,一次复数加法等于两次实??快速傅里叶变换数加法,即使把一

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  • 傅里叶算法微机继电保护应用传统的微机继电保护算法 ,一般使用梯形算法来计算周期信号的直流分量和各次谐波的系数 ,此方法计算比较复杂 。本文提出了一种基于 FFT 的算法 。该算法利用 FFT 可以由输入序列...
  •  为了减小匹配傅里叶变换分析的计算量,提出了一种基于快速...同时给出了其雷达信号处理线性调频信号的检测与参数估计的应用。理论及计算机仿真结果表明了该算法的有效性和精确性,有良好的工程应用前景。
  • 傅里叶变换在实际有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅里叶变换就表示f的频谱。从纯粹的数学意义上看,傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅里叶变换是将...
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  •  法国数学家吉恩·巴普提斯特·约瑟夫·傅里叶被世人铭记的最大的贡献是:他指出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和的形式,每个正弦项和/或余弦项乘以不同的系数(现在称该和为傅里叶级数)。...
  • 傅里叶变换

    2018-12-25 08:16:33
    傅里叶变换应用,主要是在计算机视觉方面,对于搞计算机的需要学习傅里叶变换的同学很有帮助
  • 一、一些关键概念的引入1、离散傅里叶变换(DFT)离散傅里叶变换(discrete Fourier transform) 傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法,傅里叶变换傅里叶分析的核心,通过它把信号从时间域变换到频率域,进而研究...
  • 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)是现代生活的幕后数字主力,这个处处需要连接设备万物互联的世界,它使人们的信号传输成为现实,是一条不折不扣的数字捷径。 虽然人们随手打开的小视频(诸如...
  • 傅里叶变换(一)——认识傅里叶变换

    万次阅读 多人点赞 2018-05-29 22:36:07
    注:本文为博主参考书籍和他人文章并加上自己的理解所编,作为学习笔记使用并将其分享出去供大家学习。若涉及到引用您的文章内容请评论区告知!...一、什么是傅里叶变换   时域及频域  讲...
  • 信号处理领域,存在诸多变换,比如标题的五个变换。本文将对这五个变换进行介绍和比较。开始之前,我们需要先理清什么是平稳信号,什么是非平稳信号。 我们知道,自然界几乎所有信号都是非平稳信号,比如...
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  • 傅里叶变换的科学应用

    万次阅读 2017-04-04 20:04:53
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  • 一文梳理傅里叶变换中相关概念

    千次阅读 2018-11-04 13:41:55
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  • 快速傅里叶变换

    千次阅读 2018-09-09 09:46:23
    它对傅氏变换的理论并没有新的发现,但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换,可以说是进了一大步。这是360百科对于fft的一种概念解释。我们可以这么理解:FFT(Fast Fourier Transformation)...
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  • 本文结合July、dznlong 两位大神的博客文章内容加上自己的理解与阐述,介绍了傅里叶变换的基础内容以及实数形式离散傅里叶变换的理解。
  • 这是一个论坛看的帖子, 如果有人问我,如果傅里叶变换没有学好(深入理解概念),是否能学好小波。答案是否定的。如果有人还问我,如果第一代小波变换没学好,能否学好第二代小波变换。答案依然是...

空空如也

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傅里叶变换在计算机中的应用