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  • 傅里叶变换matlab FFT 函数解析 傅里叶变换网上有很多资料了,本博客主要讲实现《信号系统》P181页,不同周期的方波 的傅里叶级数: 与sinc形成包络: 其间隔ω0,如下图: 本博客用matlab 实现一下。 下面...

    傅里叶变换 和 matlab FFT 函数解析

    傅里叶变换网上有很多资料了,本博客主要讲实现《信号系统》P181页,不同周期的方波

    在这里插入图片描述
    的傅里叶级数:
    在这里插入图片描述
    与sinc形成包络:
    在这里插入图片描述
    其间隔ω0,如下图:
    在这里插入图片描述
    本博客用matlab 实现一下。

    下面解析matlab fft

    matlab fft 函数用于离散快速傅里叶变换,输出一个与输入等长n的序列。
    它按以下方式计算:
    在这里插入图片描述
    有此公式也可以自行实现fft,例如实部:

    clear
    t0 = 0.1;% 采样间隙
    tr = 32;
    t = -tr:t0:tr;
    n = length(t);
    y = 3*cos(2*t);
    mY = zeros(size(t));
    w = linspace(-1/t0*pi,1/t0*pi,n);
    for k = 1:n
        for j = 1:n
           mY(k) = mY(k) + y(j)*cos(-2*pi*(j-1)*(k-1)/n); 
        end
    end
    Y = fft(y);
    plot(real(Y)-mY)
    

    对比连续的傅里叶级数展开公式:
    在这里插入图片描述
    设n是全部样本数,t0是时间间隔,则有以下转换方式:
    在这里插入图片描述
    那么傅里叶系数ak对应fft()函数结果有如下关系:
    在这里插入图片描述
    这说明ak在fft()结果中间隔nt0/T,可以离散fft用来离散化连续傅里叶级数。

    代码

    基础设置

    clear
    t0 = 0.01;% 采样间隙
    tr = 3200;
    t = -tr:t0:tr;%样本时长,注意tr必须为T的整数倍,保证周期完整!
    T1 = 0.1;%单周期方波时长
    T = T1*16;%方波周期,改变T为4T1,8T1,16T1对应上面三个图
    n = length(t); %离散化的点数,也对应fft结果的点数
    y = zeros(size(t)); %信号
    w = linspace(-1/t0*pi,1/t0*pi,n);% 频域范围对应2pi/t0
    % ω 间隔2pi/(t0n),对应ak间隔2pi/(t0n)*nt0/T= ω0 与书上结论一致
    

    产生占空比为2T1/T的方波:

    for i = 1:n
        if abs((rem(t(i),T))) < T1 || abs((rem(t(i),T)))>=T-T1
            y(i) = 1;
        end
    end
    figure()
    plot(t,y);
    

    调整T,画包络图

    figure()
    plot(w,2*sin(w*T1)./w) %sinc
    hold on
    Y = fft(y)/n;
    k = fftshift(Y); %fftshift 将Y(0)移动到中心,Y(n/2:end)移动到负数频域
    plot(w,T*real(k)) %频谱(包含ak,间隔nt0/T)
    

    实验结果

    T = 4T1
    T = 4T1
    在这里插入图片描述
    T = 8T1
    在这里插入图片描述
    T = 16T1

    参考:

    1. <<信号与系统>>
    2. https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/fft.html
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  • 傅里叶变换,缩写为FFT变换,是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限...

    傅里叶变换,缩写为FFT变换,是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。

    傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。

    而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

    和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

    因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

    一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。 采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。

    N个采样点,经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算,通常N取2的整数次方。

    假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。

    具体跟原始信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。

    而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。

    由此可见,FFT频谱图中所能达到的分辨率为为Fs/N,即某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。

    假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是An=sqrt(a*a+b*b)(某点处的幅度值An = A*(N/2)),相位就是Φ=atan2(b,a)。

    根据以上的结果,就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为:2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Φ)。

    对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性,通常我们只使用前半部分的结果,即小于采样频率一半的结果。

    下面以上一篇文章的信号来做说明

    f0=10;fs=80;N=64;n=0:N-1;y=sin(2*pi*n*f0/fs);

    则matlab程序为

    f0=10;

    fs=80;

    N=64;

    n=0:N-1;

    y=sin(2*pi*n*f0/fs);

    y1=fft(y);

    z=abs(y1);

    plot(n,z);

    图形为:

    11d705906e8e53549d727597e7c0667c.png

    由图形可知 在n = 8时有最大值32,可以验证上述是否成立,并且验证x[n]是否与x[t]有对应关系。

    因为An = A*(N/2),所以A = 1

    因为频谱分辨率为fs/N = 1.25,所以fs = n*fs/N = 8*1.25 = 10,与原函数相同

    如果想在图形中直接显示原函数的频率需要将n轴归一化,如下图所示

    9cf434b638b7dfbf36bbe18618f0930a.png

    以上就是正弦函数及其FFT变换的全部内容了,你学会了没有?

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  • 描述一种积分变换,它来源于函数傅里叶积分表示。积分 (1) 称为ƒ 的傅里叶积分。周期函数在一定条件下可以展成傅里叶级数,而在(-∞,∞)上定义的非周期函数ƒ,显然不能用三角级数来表示。但是J.-B.-J.傅里叶...

    描述

    一种积分变换,它来源于函数的傅里叶积分表示。积分 (1) 称为ƒ 的傅里叶积分。周期函数在一定条件下可以展成傅里叶级数,而在(-∞,∞)上定义的非周期函数ƒ,显然不能用三角级数来表示。但是J.-B.-J.傅里叶建议把ƒ表示成所谓傅里叶积分的方法。

    傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小)。

    傅里叶变换(fft)matlab程序一

    Fs = 128; % 采样频率

    T = 1/Fs; % 采样时间

    L = 256; % 信号长度

    t = (0:L-1)*T; % 时间

    x = 5 + 7*cos(2*pi*15*t - 30*pi/180) + 3*cos(2*pi*40*t - 90*pi/180); %cos为底原始信号

    y = x + randn(size(t)); %添加噪声 figure; plot(t,y)

    title(‘加噪声的信号’)

    xlabel(‘时间(s)’)

    N = 2^nextpow2(L); %采样点数,采样点数越大,分辨的频率越精确,N》=L,超出的部分信号补为0

    Y = fft(y,N)/N*2; %除以N乘以2才是真实幅值,N越大,幅值精度越高

    f = Fs/N*(0:1:N-1); %频率

    A = abs(Y); %幅值

    P = angle(Y); %相值

    figure;

    subplot(211);plot(f(1:N/2),A(1:N/2)); %函数fft返回值的数据结构具有对称性,因此我们只取前一半

    title(‘幅值频谱’);

    xlabel(‘频率(Hz)’);

    ylabel(‘幅值’);

    subplot(212);

    plot(f(1:N/2),P(1:N/2));

    title(‘相位谱频’);

    xlabel(‘频率(Hz)’);

    ylabel(‘相位’);

    傅里叶变换(fft)matlab程序二

    tp=0:2048; % 时域数据点数

    N yt=sin(0.08*pi*tp).*exp(-tp/80); % 生成正弦衰减函数

    plot(tp,yt), axis([0,400,-1,1]), % 绘正弦衰减曲线

    t=0:800/2048:800; % 频域点数Nf

    f=0:1.25:1000;

    yf=fft(yt); % 快速傅立叶变换

    ya=abs(yf(1:801)); % 幅值

    yp=angle(yf(1:801))*180/pi; % 相位 y

    r=real(yf(1:801)); % 实部

    yi=imag(yf(1:801)); % 虚部

    figure subplot(2,2,1)

    plot(f,ya),axis([0,200,0,60]) % 绘制幅值曲线

    title(‘幅值曲线’)

    subplot(2,2,2)

    plot(f,yp),axis([0,200,-200,10]) % 绘制相位曲线

    title(‘相位曲线’)

    subplot(2,2,3)

    plot(f,yr),axis([0,200,-40,40]) % 绘制实部曲线

    title(‘实部曲线’)

    subplot(2,2,4)

    plot(f,yi),axis([0,200,-60,10]) % 绘制虚部曲线

    title(‘虚部曲线’)

    结果

    57fd7df076dc7a0aaf81f60d43a0e105.png

    c608672862fa39bb0562343ca1467302.png

    傅里叶变换(fft)matlab程序三

    clear all %清除内存所有变量

    close all %关闭所有打开的图形窗口

    %% 执行FFT点数与原信号长度相等(100点)

    % 构建原信号

    N=100; % 信号长度(变量@@@@@@@)

    Fs=1; % 采样频率

    dt=1/Fs; % 采样间隔

    t=[0:N-1]*dt; % 时间序列

    xn=cos(2*pi*0.24*[0:99])+cos(2*pi*0.26*[0:99]);

    xn=[xn,zeros(1,N-100)]; % 原始信号的值序列

    subplot(3,2,1) % 变量@@@@@@@

    plot(t,xn) % 绘出原始信号

    xlabel(‘时间/s’),title(‘原始信号(向量长度为100)’) % 变量@@@@@@@

    % FFT分析

    NN=N; % 执行100点FFT

    XN=fft(xn,NN)/NN; % 共轭复数,具有对称性

    f0=1/(dt*NN); % 基频

    f=[0:ceil((NN-1)/2)]*f0; % 频率序列

    A=abs(XN); % 幅值序列

    subplot(3,2,2),stem(f,2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel(‘频率/Hz’) % 绘制频谱(变量@@@@@@@)

    axis([0 0.5 0 1.2]) % 调整坐标范围

    title(‘执行点数等于信号长度(单边谱100执行点)’); % 变量@@@@@@@

    %% 执行FFT点数大于原信号长度

    % 构建原信号

    N=100; % 信号长度(变量@@@@@@@)

    Fs=1; % 采样频率

    dt=1/Fs; % 采样间隔

    t=[0:N-1]*dt; % 时间序列

    xn=cos(2*pi*0.24*[0:99])+cos(2*pi*0.26*[0:99]);

    xn=[xn,zeros(1,N-100)]; % 原始信号的值序列

    subplot(3,2,3) % 变量@@@@@@@

    plot(t,xn) % 绘出原始信号

    xlabel(‘时间/s’),title(‘原始信号(向量长度为100)’) % 变量@@@@@@@

    % FFT分析

    NN=120; % 执行120点FFT(变量@@@@@@@)

    XN=fft(xn,NN)/NN; % 共轭复数,具有对称性

    f0=1/(dt*NN); % 基频

    f=[0:ceil((NN-1)/2)]*f0; % 频率序列

    A=abs(XN); % 幅值序列

    subplot(3,2,4),stem(f,2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel(‘频率/Hz’) % 绘制频谱(变量@@@@@@@)

    axis([0 0.5 0 1.2]) % 调整坐标范围

    title(‘执行点数大于信号长度(单边谱120执行点)’); % 变量@@@@@@@

    %% 执行FFT点数与原信号长度相等(120点)

    % 构建原信号

    N=120; % 信号长度(变量@@@@@@@)

    Fs=1; % 采样频率

    dt=1/Fs; % 采样间隔

    t=[0:N-1]*dt; % 时间序列

    xn=cos(2*pi*0.24*[0:99])+cos(2*pi*0.26*[0:99]);

    xn=[xn,zeros(1,N-100)]; % 原始信号的值序列

    subplot(3,2,5) % 变量@@@@@@@

    plot(t,xn) % 绘出原始信号

    xlabel(‘时间/s’),title(‘原始信号(向量长度为120)’) % 变量@@@@@@@

    % FFT分析

    NN=120; % 执行120点FFT(变量@@@@@@@)

    XN=fft(xn,NN)/NN; % 共轭复数,具有对称性

    f0=1/(dt*NN); % 基频

    f=[0:ceil((NN-1)/2)]*f0; % 频率序列

    A=abs(XN); % 幅值序列

    subplot(3,2,6),stem(f,2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel(‘频率/Hz’) % 绘制频谱(变量@@@@@@@)

    axis([0 0.5 0 1.2]) % 调整坐标范围

    title(‘执行点数等于信号长度(单边谱120执行点)’); % 变量@@@@@@@

    结果

    e7f5f03658f2503f41a92de7e37f883f.png

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    傅里叶变换

    通过傅里叶变换,可以将混合信号解析成叠加的不同频率信号的振幅

    代码见博客最后方


    算法实现

    • 请编写 1024 点快速傅里叶变换的算法。自行生成一段混杂若干不同频率正弦的信号,测试所编写的快速傅里叶变换算法。

    设计思路

    • 首先生成一个由多个不同频率的正弦函数叠加的信号,这里我的频率都是小于1/2pi的,因此其中必有周期2pi
    • 再在2pi周期里面等分取1024个点的值
    • 利用傅里叶变换后输出,观察每种频率信号对应的振幅

    数值实验

    • 不同频率的振幅如下
      这里写图片描述

    结果分析

    • 由于一开始生成的信号,其实是sin(x)跟sin(5x)叠加的信号,因此最后变换后得到的结果符合原结果

    代码实现

    clear;
    format long;
    A1 = [100,50];
    A2 = [1,5];
    N = 1024;
    k = 5;
    
    for n = 1:N
        x = (2*pi/N)*(n);
        y(n) = 10*sin(x) + 30*sin(5*x);
    end
    
    w = exp(1i*2*pi/N);
    for m = 0:k
        c(m+1) = 0.0;
    
        for j = 0:N-1
            c(m+1) = c(m+1) + y(j+1)*(w^(m*j));
        end
        %c(m) = c(m)/N;
        result(m+1) = m;
    end
    
    %plot(result, c);
    bar(result,c);
    
    
    
    
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傅里叶变换对应的matlab函数

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