究竟信号与系统这门课和一般的数学课有什么区别？难道仅仅是所谓的知识内容不一样吗？

    其实不是的，在学习信号与系统之前，我们必须要彻底弄明白一点：对于一个函数方程而言，输入是一个值，输出也是一个值，没有时间变化关系。而对于一个系统而言，输入的是一个信号，一个随着时间关系变化的信号，输出也是一个信号（如果只往系统里输入一个值，就相当于输入了一个脉冲信号）。

    很早就想写一个关于傅里叶变换的博客，来深度地阐述一下究竟什么是傅里叶变换。很多人或许都对傅里叶变换的公式有疑问，为什么一个信号，乘上一个指数函数，再积个分，就成了频域表示了呢？

    大多数博客都是在阐述傅里叶变换后的效果，而忽视了最本质的东西——傅里叶变换究竟是怎么产生的？以及，傅里叶变换的公式应该怎么去理解？究竟是怎么“造”出来这么神奇的公式的？我相信，不用任何公式来阐述比较难懂的数学原理就是在耍流氓，以及，用别人看不懂的公式来阐述数学原理，同样是耍流氓。

    我决定花一段时间，分段来完成这个任务：究竟什么是傅里叶变换，以及傅里叶变换的公式究竟怎么理解。既有效果的显示和图式，也有公式的提出和拓展。这个工作量可能会比较大（曾经给同学讲，在他已经学习了信号系统的前提下花了我将近一个小时），不过各位不必担心，如果你此时此刻不知道什么是傅里叶变换，也从来没有听说过傅里叶变换，都没有任何关系，因为我会从根源开始讲起，从百年前，还没有傅里叶变换的时候讲起。

    没有历史的数学不是完整的数学，任何复杂的概念也都是由实际的应用推导出来的，我们将开始这场历史之旅，去探索发现关于傅里叶变换的历史。

    转接第三章，我们知道了和     可以代表信号中频率为 的分量大小,所以现在涉及的最重要的问题就是，如何把求出来（毕竟可以直接使用的共轭来得出）。

    以下的整个过程，就被称为傅里叶级数（即）的求法。

    它的求法其实没有什么可解释的，无非是看看《信号与系统》或者《傅里叶变换与应用》这些课本。为了完整性这里也是重新带着大家推导一遍：以下推导求的公式，并没有什么物理意义，仅仅只是为了推导求的值罢了，不想看就可以跳过。

     在等式两边同时乘，

    

    之后，我们对等式两边进行一个周期内的积分：为了简单就从0到T（这里的 T 其实就是 2π/ω ）之间进行积分，你可以为了找刺激从2.1T到3.1T进行积分，不过，反正我们的目标只是为了求出来就好了，干嘛要为难自己呢？

    所以我们得到了：

    

    对于最后边的公式，我们可以化成正余弦形式：

    

    我们知道，对正弦信号的一个周期求积分的结果为0，如果k≠n，那么根据 ，即积分的区间（0-T）是k-n个  的周期，也是k-n个  的周期，即加起来以后都是0。所以说有以下结论：

    

  所以我们求得：

  

  这就是我们要求得的值。假设我们现在有了一个信号：x(t),我们想知道这个信号的频域中，频率为3的分量的幅值是多少的时候，我们就可以把n=3代入，也就可以得到相应的的值，再把取共轭，就得到了的值。

  由此，我们就得到了我们想要的东西：当我们有了一个周期信号在时间域上的表示x(t)，通过傅里叶变换，我们就可以求出其在频域上的表示。

  但是要知道，世界上大部分信号并不是周期的，很多也都是非周期的信号，那我们应该怎样去计算它的频域上的表示呢？这将在下一章进行叙述。

 

    讲到这里，关于傅里叶变换的历史起源就讲完了，或许以后我还会发布一些关于傅里叶变换的应用之类的文章，但那也是以后的事情了。

    其实简单来说，其实傅里叶变换就是把一个信号变为一堆正弦信号的组合。这些正弦信号是什么频率，这个总的信号的频谱就包含这些频率。

    中间给了很多公式，也做了不少解释。但我认为还是有一些地方仍然没有解释好，但是有些内容再解释恐怕也很难讲清楚。总之，傅里叶变换就是这么来的，它也不算特别高深的知识，但是如果你之前不知道复数域，不知道什么是频率，那恐怕这篇文章很多地方的解释也很难看懂。

    我原本怕自己开一个坑，然后很久也填不上，但是想不到两天就把这个坑填完了。一个引子一个结语，中间六章内容，我觉得用来阐述“傅里叶变换的产生和意义”已经很够了。

    很早之前看过一篇文章，叫《如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧~~》，大家可以结合这篇文章来理解什么是频域，什么是频谱。但如果抛开了公式，傅里叶变换也会变得很虚幻。

    如果在里面有什么地方解释的不对或者不清楚，大家也可以留言，我会在第一时间里把这些内容进行修改。

    里面有些地方，比如所谓吉伯斯现象，其实就是傅里叶变换在不连续点的表现。

    我最开始想写这篇文章的时候，是一个人问我这么一个问题：我知道傅里叶变换是干嘛的，但是我就是不明白为什么一个信号，乘以一个 ，再进行积分，就变成了它的频域分量呢？我想，如果不借助公式的话，那也绝对不可能真的理解傅里叶变换。

    最后，我给这个系列的文章定的难度是：刚上大学的孩子，知道微积分是干嘛的，知道什么是复数，知道什么是正弦信号，就够了。如果这样的孩子看不懂，请务必联系我，我会再思考怎么解释得更清楚。

    之前，我们已经了解到了周期信号可以分解为许多正弦信号（或者说，复指数信号）。只要给一个具体的x(t)周期信号在一个周期上的时域表示，我们就能求出来它在频域上的表示。

    但是问题又来了：如果信号是非周期的呢？

    假设我们现在的信号是这个样子：

    

    像这种在时域上是非周期的信号，我们就做如此假设：假设其周期是无穷大，即从负无穷到正无穷。

    借用上一章的式子，我们把一个周期积分的区间改为从-T到T：

    

     然后设周期变为无穷大，即：

     

     但是想必大家已经看出来了一个问题：T是无穷大的，也就是说除非x(t)本身也是指数级或者变化率更快的函数，否则这样积分以后永远是0，这就很让人不爽了，如果都是0，难道说非周期信号在频域上各个频率都是0不成？

     不是这样的，因为我们知道，非周期信号只是所谓的周期无穷大了而已，我们做一个小的变换：把等式两边同时乘T：

    

    所以现在有意思的要来了，我们知道在周期信号中，T代表一个最小的周期，则是对应最小周期的频率，也就是，而当T是无穷大的时候，不就是无穷小了嘛？所以我们需要重新调整一下：之前分解的信号的所有频率可以表示为  来表示，这里的k是整数。而当无穷小的时候，我们就可以理解为，这个频率可以取到任何值！再更具体一点，假设周期信号中，则这个信号在频域中可以求其频率在1，2，3，4……上面的幅值，但是现在，无穷小了，也就是说，频率仍然可以取，但是这个  可以取遍所有实数：可以是1.23456，可以是0.000000001，也可以是12345，那么，也就是说，可以取遍实数空间，再进一步说， 不再是离散的值了，它是连续的值！

    假设我们想取这个非周期信号在频率为11.111处的幅值，我们只需要把代入  就好了！而且这个值求出来是一定存在的，谁让非周期信号的是无穷小呢~

     但是我们还是要思考一点，既然右边的式子里  可以取任何实数值，不就相当于这个值是连续的吗？那我们为什么不用一个连续变量代替  呢？所以，我们让  , 左边也换一下，既然是求的是频率在任意  处的幅值，左边直接写成 不就好了吗？

    现在式子变成了：

       ，是不是觉得这样表示非常简洁？它的意义是，知道了非周期信号x(t)的时域表示以后，我们就能求它在任意频率信号的幅值。

    但是书本上并没有写作，而是写为 , 即：

      ,  我也不太理解为什么一定要前面加个 j , 问了一些搞信号的专家，他们也都不明所以，只是好像加上以后公式更好看了呢~ 

    最后，这就是非周期信号的傅里叶变换表示形式。我们再做一些公式上的推导，得到如下的公式：

      

    这就是说通过傅里叶变换后的频域表示我们也可以得到原始信号。与此，周期与非周期信号的傅里叶变换的解释就都结束了！当然，信号是有离散的，也有连续的，至于离散的信号怎么处理，这里就不再做解释了。

   现在我们就明白了，一个信号的时域表示，我们乘以 然后再进行积分，就可以得到它的频域上的表示，这就是这个公式的意义。

我们再换一种理解方式：

假如我们有这么一个信号：





我们知道 ,

所以





即一个周期信号求得的级数，随着周期变大，



包络线内的级数越来越密集——>非周期信号则变为了连续的“级数”，即傅里叶变换。