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  • 很早就想写一个关于傅里叶变换的博客,深度地阐述一下究竟什么是傅里叶变换。很多人或许都对傅里叶变换的公式有疑问,为什么一个信号,乘上一个指数函数,再积个分,就成了频域表示了呢? 大多数博客都是在阐述...

        究竟信号与系统这门课和一般的数学课有什么区别?难道仅仅是所谓的知识内容不一样吗?

        其实不是的,在学习信号与系统之前,我们必须要彻底弄明白一点:对于一个函数方程而言,输入是一个值,输出也是一个值,没有时间变化关系。而对于一个系统而言,输入的是一个信号,一个随着时间关系变化的信号,输出也是一个信号(如果只往系统里输入一个值,就相当于输入了一个脉冲信号)。

        很早就想写一个关于傅里叶变换的博客,来深度地阐述一下究竟什么是傅里叶变换。很多人或许都对傅里叶变换的公式有疑问,为什么一个信号,乘上一个指数函数,再积个分,就成了频域表示了呢?

        大多数博客都是在阐述傅里叶变换后的效果,而忽视了最本质的东西——傅里叶变换究竟是怎么产生的?以及,傅里叶变换的公式应该怎么去理解?究竟是怎么“造”出来这么神奇的公式的?我相信,不用任何公式来阐述比较难懂的数学原理就是在耍流氓,以及,用别人看不懂的公式来阐述数学原理,同样是耍流氓。

        我决定花一段时间,分段来完成这个任务:究竟什么是傅里叶变换,以及傅里叶变换的公式究竟怎么理解。既有效果的显示和图式,也有公式的提出和拓展。这个工作量可能会比较大(曾经给同学讲,在他已经学习了信号系统的前提下花了我将近一个小时),不过各位不必担心,如果你此时此刻不知道什么是傅里叶变换,也从来没有听说过傅里叶变换,都没有任何关系,因为我会从根源开始讲起,从百年前,还没有傅里叶变换的时候讲起。

        没有历史的数学不是完整的数学,任何复杂的概念也都是由实际的应用推导出来的,我们将开始这场历史之旅,去探索发现关于傅里叶变换的历史。

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  • 转接第三章,我们知道了... 它的求法其实没有什么可解释的,无非是看看《信号与系统》或者《傅里叶变换与应用》这些课本。为了完整性这里也是重新带着大家推导一遍:以下推导求的公式,并没有什么物理意义,仅仅只是...

        转接第三章,我们知道了a_{k}a_{-k}   (k\in (-\infty\sim +\infty))  可以代表信号中频率为k\omega_{0} 的分量大小,所以现在涉及的最重要的问题就是,如何把a_{k}求出来(毕竟a_{-k}可以直接使用a_{k}的共轭来得出)。

        以下的整个过程,就被称为傅里叶级数(即a_{k})的求法

        它的求法其实没有什么可解释的,无非是看看《信号与系统》或者《傅里叶变换与应用》这些课本。为了完整性这里也是重新带着大家推导一遍:以下推导求a_{k}的公式,并没有什么物理意义,仅仅只是为了推导求a_{k}的值罢了,不想看就可以跳过

       x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_{0}t}  在等式两边同时乘e^{-jn\omega_{0}t}

        x(t)e^{-jn\omega_{0}t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jk\omega_{0}t}e^{-jn\omega_{0}t}

        之后,我们对等式两边进行一个周期内的积分:为了简单就从0到T(这里的 T 其实就是 2π/ω )之间进行积分,你可以为了找刺激从2.1T到3.1T进行积分,不过,反正我们的目标只是为了求出来a_{k}就好了,干嘛要为难自己呢?

        所以我们得到了:

        \int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega_{0}t}=\int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jk\omega_{0}t}e^{-jn\omega_{0}t}dt=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k} \left\[ \int_{0}^{T} e^{j[k-n]\omega_{0}t} dt\right\]

        对于最后边的公式,我们可以化成正余弦形式:

        \int_{0}^{T} e^{j[k-n]\omega_{0}t} dt = \int_{0}^{T} \left\[cos(k-n)\omega_{0}tdt+jsin(k-n)\omega_{0}tdt\right\]

        我们知道,对正弦信号的一个周期求积分的结果为0,如果k≠n,那么根据T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=(k-n) \frac{2\pi}{(k-n)\omega_{0}} ,即积分的区间(0-T)是k-n个 cos(k-n)\omega_{0}t 的周期,也是k-n个 jsin(k-n)\omega_{0}t 的周期,即加起来以后都是0。所以说有以下结论:

        \int_{0}^{T} e^{j[k-n]\omega_{0}t} dt =\left\{\begin{matrix} 0 , k\neq n\\ T,k=n \end{matrix}\right.

      所以我们求得:

      a_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega_{0}t}

      这就是我们要求得的值。假设我们现在有了一个信号:x(t),我们想知道这个信号的频域中,频率为3的分量的幅值是多少的时候,我们就可以把n=3代入,也就可以得到相应的a_{3}的值,再把a_{3}取共轭,就得到了a_{-3}的值

      由此,我们就得到了我们想要的东西:当我们有了一个周期信号在时间域上的表示x(t),通过傅里叶变换,我们就可以求出其在频域上的表示。

      但是要知道,世界上大部分信号并不是周期的,很多也都是非周期的信号,那我们应该怎样去计算它的频域上的表示呢?这将在下一章进行叙述。

     

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        讲到这里,关于傅里叶变换的历史起源就讲完了,或许以后我还会发布一些关于傅里叶变换的应用之类的文章,但那也是以后的事情了。

        其实简单来说,其实傅里叶变换就是把一个信号变为一堆正弦信号的组合。这些正弦信号是什么频率,这个总的信号的频谱就包含这些频率。

        中间给了很多公式,也做了不少解释。但我认为还是有一些地方仍然没有解释好,但是有些内容再解释恐怕也很难讲清楚。总之,傅里叶变换就是这么来的,它也不算特别高深的知识,但是如果你之前不知道复数域,不知道什么是频率,那恐怕这篇文章很多地方的解释也很难看懂。

        我原本怕自己开一个坑,然后很久也填不上,但是想不到两天就把这个坑填完了。一个引子一个结语,中间六章内容,我觉得用来阐述“傅里叶变换的产生和意义”已经很够了。

        很早之前看过一篇文章,叫《如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换,那就过来掐死我吧~~》,大家可以结合这篇文章来理解什么是频域,什么是频谱。但如果抛开了公式,傅里叶变换也会变得很虚幻。

        如果在里面有什么地方解释的不对或者不清楚,大家也可以留言,我会在第一时间里把这些内容进行修改。

        里面有些地方,比如所谓吉伯斯现象,其实就是傅里叶变换在不连续点的表现。

        我最开始想写这篇文章的时候,是一个人问我这么一个问题:我知道傅里叶变换是干嘛的,但是我就是不明白为什么一个信号,乘以一个e^{-j\omega t} ,再进行积分,就变成了它的频域分量呢?我想,如果不借助公式的话,那也绝对不可能真的理解傅里叶变换。

        最后,我给这个系列的文章定的难度是:刚上大学的孩子,知道微积分是干嘛的,知道什么是复数,知道什么是正弦信号,就够了。如果这样的孩子看不懂,请务必联系我,我会再思考怎么解释得更清楚。

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  • 但是书本上并没有写作,而是写为 , 即: , 我也不太理解为什么一定要前面加个 j , 问了一些搞信号的专家,他们也都不明所以,只是好像加上以后公式更好看了呢~ 最后,这就是非周期信号的傅里叶变换表示形式。...

        之前,我们已经了解到了周期信号可以分解为许多正弦信号(或者说,复指数信号)。只要给一个具体的x(t)周期信号在一个周期上的时域表示,我们就能求出来它在频域上的表示。

        但是问题又来了:如果信号是非周期的呢?

        假设我们现在的信号是这个样子:

        

        像这种在时域上是非周期的信号,我们就做如此假设:假设其周期是无穷大,即从负无穷到正无穷。

        借用上一章的式子,我们把一个周期积分的区间改为从-T到T:

        a_{k}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt

         然后设周期变为无穷大,即:

        a_{k}=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt 

         但是想必大家已经看出来了一个问题:T是无穷大的,也就是说除非x(t)本身也是指数级或者变化率更快的函数,否则这样积分以后a_{k}永远是0,这就很让人不爽了,如果都是0,难道说非周期信号在频域上各个频率都是0不成?

         不是这样的,因为我们知道,非周期信号只是所谓的周期无穷大了而已,我们做一个小的变换:把等式两边同时乘T:

        Ta_{k}=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt

        所以现在有意思的要来了,我们知道在周期信号中,T代表一个最小的周期,\omega _{0}则是对应最小周期的频率,也就是\frac{2\pi}{T},而当T是无穷大的时候,\omega _{0}不就是无穷小了嘛?所以我们需要重新调整一下:之前分解的信号的所有频率可以表示为 k\omega _{0} 来表示,这里的k是整数。而当\omega _{0}无穷小的时候,我们就可以理解为,这个频率可以取到任何值!再更具体一点,假设周期信号中\omega _{0}=1,则这个信号在频域中可以求其频率在1,2,3,4……上面的幅值,但是现在,\omega _{0}无穷小了,也就是说,频率仍然可以取k\omega _{0},但是这个 k\omega _{0} 可以取遍所有实数:可以是1.23456,可以是0.000000001,也可以是12345,那么,也就是说,k\omega _{0}可以取遍实数空间,再进一步说,k\omega _{0} 不再是离散的值了,它是连续的值

        假设我们想取这个非周期信号在频率为11.111处的幅值,我们只需要把k\omega _{0}=11.111代入 \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt 就好了!而且这个值求出来是一定存在的,谁让非周期信号的\omega _{0}是无穷小呢~

         但是我们还是要思考一点,既然右边的式子里 k\omega _{0} 可以取任何实数值,不就相当于这个值是连续的吗?那我们为什么不用一个连续变量代替 k\omega _{0} 呢?所以,我们让 \omega = k\omega _{0} , 左边也换一下,既然是求的是频率在任意 \omega 处的幅值,左边直接写成X(\omega) 不就好了吗?

        现在式子变成了:

         X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt  ,是不是觉得这样表示非常简洁?它的意义是,知道了非周期信号x(t)的时域表示以后,我们就能求它在任意频率信号的幅值。

        但是书本上并没有写作X(\omega),而是写为X(j\omega) , 即:

        X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt  ,  我也不太理解为什么一定要前面加个 j , 问了一些搞信号的专家,他们也都不明所以,只是好像加上以后公式更好看了呢~ 

        最后,这就是非周期信号的傅里叶变换表示形式。我们再做一些公式上的推导,得到如下的公式:

        x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega  

        这就是说通过傅里叶变换后的频域表示我们也可以得到原始信号。与此,周期与非周期信号的傅里叶变换的解释就都结束了!当然,信号是有离散的,也有连续的,至于离散的信号怎么处理,这里就不再做解释了。

       现在我们就明白了,一个信号的时域表示,我们乘以e^{-j\omega t} 然后再进行积分,就可以得到它的频域上的表示,这就是这个公式的意义。

    我们再换一种理解方式:

    假如我们有这么一个信号:

    我们知道 \omega_0=2\pi / T,

    所以a_k=\frac{sin(2\pi k \frac{T_1}{T})}{k\omega_0 T}

    即一个周期信号求得的级数,随着周期变大,

    包络线内的级数越来越密集——>非周期信号则变为了连续的“级数”,即傅里叶变换。

     

     

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傅里叶变换怎么来的