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  • 本发明属于图像采集,图像处理领域,特别的涉及一种频域高斯核函数图像追踪方法。背景技术:随着追踪在视频监督,人机界面和计算机感知方面的应用,追踪在计算机视觉方面已经成为了一个基本难题。尽管目前的一些设备...

    本发明属于图像采集,图像处理领域,特别的涉及一种频域高斯核函数图像追踪方法。

    背景技术:

    随着追踪在视频监督,人机界面和计算机感知方面的应用,追踪在计算机视觉方面已经成为了一个基本难题。尽管目前的一些设备允许对目标有很强的假设,有少许先验条件下去跟踪一个物体结果是非常令人满意的。其中非常成功的追踪途径就是侦查探测,这种方法直接来源于在机器学习识别方法的快速发展以及在单机探测方面的应用。许多这方面的算法被应用到在线训练过程中,在每一个成功的在线训练过程中,探测都提供了非常多的关于目标的信息。所有目前可以使用的方法都有一个共同点,那就是稀疏取样法。在每一个画面中,许多样本在目标周围被采集,每个样本的特征和目标的尺寸是一样的。很明显,这会有很多多余,因为样本有很多是重叠的,这种重叠结构通常被忽视。进而大多数方法只简单的收集很少数目的样本,因为不这样做的话采样花费的时间就会过长,但这样做会使追踪的精确度降低。实际上,如果训练数据有如此多的多余样本就意味着不可能有效利用它的结构。这就造成了问题,如果采用稀疏取样法会造成追踪过程中精度不够,而如果采用密集取样的话由于样本数量的增加就会造成运算速度的下降。另一方面传统的跟踪运算是在时域上对两帧图像在时域上做卷积,而在时域上做卷积运算量很大,同样会降低运算速度。

    技术实现要素:

    本发明要解决的技术问题为克服现有技术中的不足之处,提供一种新的快速、准确的频域高斯核函数图像追踪方法。

    为解决本发明的技术问题,所采用的技术方案为:频域高斯核函数图像追踪方法,特别是主要步骤如下:

    步骤1,对包含目标的当前一帧图像进行目标输入,确定目标窗口,将追踪窗口通过Hann窗口进行预处理;

    步骤2,采集追踪窗口的某一特征,采用密集采样的方法进行样本采集,同时通过每一个样本的位置信息对样本进行贴标签,将采集的样本采用循环矩阵进行处理;

    步骤3采用高斯核函数作为追踪函数的核心,利用循环矩阵在频域中计算高斯核函数;

    步骤4,通过频域计算密集采样样本和新的一帧图像的追踪窗口最大相应值,确定新的一帧图像中目标窗口的中心位置,选取与步骤1同样大小的目标窗口重复步骤1,2,3,4,完成图像追踪。

    步骤1中所述追踪窗口与所述目标窗口具有相同的中心位置,所述追踪区域大小为所述目标窗口区域大小的1.5~10倍,步骤1中所述单一图像特征为图像灰度特征或HOG特征或SIFT特征;步骤2中所述图像密集采样中样本中心在目标中心的样本为正样本,在目标中心以外的样本为负样本,处理样本过程中处理所有采集的样本,所述的负样本由正样本x=[x0,x1,x2,...,xn-1]T循环移位得到xi=Pix其中P为使向量整体向下移动一个元素,最后的一个元素移动到第一个元素的位置的置换矩阵,步骤2中所述对图像进行的标签采用yi=exp(-(i-i′)2/s2)方式对每个样本进行概率分布标签,其中i为负样本中心位置,i′为正样本中心,s为带宽,步骤2中所述循环矩阵为由向量x循环移位得到;步骤3中高斯核函数的计算通过傅里叶变换在频域当中进行;步骤4中所述训练样本与目标图像的追踪窗口的响应值计算通过傅里叶变换在频域当中进行。

    相对于现有技术的有益效果是:

    其一,利用密集采样法对样本进行采集,增加了追踪过程中的精确性,这对图像追踪有极大的意义,同时密集采样的结果是循环矩阵。

    其二,循环矩阵的性质特别适合计算机运算操作,因为循环矩阵的和、积以及逆都是循环的,这些操作通常包括向量x的快速傅里叶变换,这样就不需要详细的计算和储存一个循环矩阵C(x),因为C(x)由x而决定,储存时只需要储存x降低所需储存的数据。

    其三,在密集采样过程中利用循环矩阵的性质,在数据处理过程中将数据处理由时域的向量卷积通过傅里叶变换转化到频域的点积上面去,减少运算的次数,增加处理器处理样本的速度,从而提高追踪效率。

    附图说明

    图1是整个具体实施案例的流程图

    具体实施方式

    下面结合附图对本发明的优选方式作进一步详细的描述。

    如图1所示,一种频域高斯核函数图像追踪方法,包括以下步骤:

    步骤1,对包含目标的当前一帧图像进行目标输入,确定目标窗口,将追踪窗口通过Hann窗口进行预处理;更具体地,读取视频文件第一帧图像,由鼠标、键盘、语音或者程序自动输入确定所要选取的目标区域的大小、位置,同时确定目标区域的中心位置;以此中心位置为中心取目标窗口区域大小1.5-10倍区域作为追踪窗口区域;对追踪窗口进行Hann窗口处理,降低边缘效应。

    步骤2,采集追踪窗口的某一特征,采用密集采样的方法进行样本采集,同时通过每一个样本的位置信息对样本进行贴标签,将采集的样本采用循环矩阵进行处理;更具体地,对目标进行密集采样:对追踪区域提取单一的图像特征,如灰度特征,HOG特征,SIFT特征,采集到的图像追踪区域特征向量为x,作为正样本,x=[x0,x1,x2,...,xn-1]T,定义向量xi,

    其中P为使向量整体向下移动一个元素的置换矩阵,最后的一个元素移动到第一个元素的位置得来,使用循环移位进行向量处理,每循环移位一次就等于训练时进行了一次采样,循环移位得到的向量xi为采集到的负样本;由追踪区域可以确定标签的参数y,其中y为n阶向量y=[y0,y1,y2,...,yn-1]T,其中的元素为yi,为了处理目标的区域的边界,不同于正常情况下的标签表为0或者1,给每一个标签y给予一定的值,yi=exp(-(i-i′)2/s2),和目标最近的地方为1,远离样本的地方为0;通过密集采样和循环矩阵将向量x与向量y的向量卷积转化为频域的点积,使卷积运算转化为频域点积运算:对于循环矩阵C(x),这个循环矩阵是由向量x=[x0,x1,x2,...,xn-1]T循环移位得到,

    整个C(x)矩阵的第一行就是向量x,第二行是向量x整体向右移动一个元素,最后一个元素移动到第一个元素的位置,依次类推,同样由于C(x)结构特性,C(x)的元素定义为Cij=u(j-i)mod n,如果矩阵的元素仅仅依赖于(j-i)mod n,mod是求余操作,矩阵是循环矩阵。向量x和向量y的向量卷积,可以转化为C(x)y。由于循环矩阵的性质,将C(x)y转化为频域计算C(x)y=F-1(F*(x)⊙F(y)),其中F与F-1分别是傅里叶变换与傅里叶逆变换,⊙向量的点积,*是复共轭。

    步骤3采用高斯核函数作为追踪函数的核心,利用循环矩阵在频域中计算高斯核函数;更具体的,采用高斯核函数κ,作为追踪方法的核心函数,κ是幺正的核函数,对于任意的幺正矩阵U来说,κ(x,x')=κ(Ux,Ux'),因为置换矩阵是幺正的,对于矩阵P,矩阵K其中的元素为Kij=κ(Pix,Pjx),Kij=κ(Pix,Pjx)=κ(P-iPix,P-iPjx)=κ(x,Pj-ix),由此可以看出,Kij仅依赖于(j-i)mod n,所以K是循环的;将矩阵K转化为循环矩阵模式:定义向量k,k=[k1,k2,k3,...,kn]T,向量k的元素ki

    核函数矩阵K可以变换为K=C(k),k是n×1阶矩阵,K是n×n阶矩阵。当被转化到频域中时,在C(k)模式的矩阵中运行,矩阵乘法和矩阵求逆,都可以在k向量基础上按元素进行,计算时只需要存储k向量;将对向量k的计算转化到频域当中,对于高斯核函数有

    由于||x||2是与P无关的常数,再由C(x)y=F-1(F*(x)⊙F(y)),可以得到

    步骤4,通过频域计算密集采样样本和新的一帧图像的追踪窗口最大相应值,确定新的一帧图像中目标窗口的中心位置,选取与步骤1同样大小的目标窗口重复步骤1,2,3,4,完成图像追踪;更具体的,通过核岭回归得出最小化判别函数封闭解α=(K+λI)-1y。对于最小化判别函数f(x)=,通过

    函数来判别,利用核岭回归来计算函数,L(y,f(x))=(y-f(x))2,并且将分类器应用到更高维度的特征空间中,其中投影空间利用高斯核函数K来进行投影由f(x)一般定义,f(x)=wTx=∑iαiκ(x,xi)带入到上述的最小化判别函数当中去,求导,可以得到判别函数的封闭解

    α=(K+λI)-1y

    只和输入有关,K是核函数矩阵,其中的元素为Kij=K(xi,xj),I是单位矩阵,向量α的元素是αi,求解出来最小决策函数的解α,就避免决策函数的最小化决策;将封闭解α的运算转换到傅里叶域当中进行。由于矩阵K以及任意一个单位矩阵I是循环的,I=C(δ),δ=[1,0,0,...,0]T,ki=κ(x,Pix),α=(K+λI)-1y,可以得到α=(C(k)+λC(δ))-1y=(C(k+λδ))-1y,在傅里叶域中,循环矩阵可以进行智能元素相乘,以及矩阵反演;由于这些性质以及是二进制反码的n×1阶向量,其中的除法是元素的智能相除,有C(x)y=F-1(F*(x)⊙F(y))可以得到,向量α包含了所有的系数αi,α的解仅仅使用快速傅里叶变换和按元素智能操作,同时α的解利用傅里叶变换将计算转化到频域当中进行,其中的k可以通过快速傅里叶变换计算出来;对新的一帧图像,在图像中取第一帧图像目标的中心位置相同位置取与第一帧图像追踪窗口同样大小的追踪窗口,将追踪窗口的输入记为z,z=[z0,z1,z2,...,zn-1]T,对于输入的响应y′=∑iαiκ(xi,z),这个公式是输入特性的一般表示由xi=Pix,zi=Piz得到,定义是一个向量其中的向量元素由矩阵概念可以得到由C(u)v=F-1(F*(u)⊙F(v))得到,由以上公式可知,以上运算都通过傅里叶变换转化到频域中进行,并且都具有循环结构,利用循环结构可以同时高效的计算所有响应,找出响应的最大值;通过找到循环移位的最大相应值,确定为第二帧图像中的目标中心位置,同时以第二帧图像中心取上一帧目标区域大小作为新的目标区域,在设备上输出图像;将第二帧图像作为新的第一帧图像,将选中的目标区域作为目标区域,依次对第二帧对以上参数进行更新,继续步骤1,2,3,4操作,完成整个视频图像追踪。

    显然,本领域的技术人员可以对本发明的频域高斯核函数追踪方法进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样,倘若对本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内,则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

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  • 把传统的傅里叶变换以及卷积迁移到Graph上来,核心工作其实就是把拉普拉斯算子的特征函数变为Graph对应的拉普拉斯矩阵的特征向量。(1)傅里叶变换炫云:傅里叶变换的全面理解,非常棒​zhuanlan.zhihu.com(2)Graph上...

    把传统的傅里叶变换以及卷积迁移到Graph上来,核心工作其实就是把拉普拉斯算子的特征函数

    变为Graph对应的拉普拉斯矩阵的特征向量

    (1)傅里叶变换

    炫云:傅里叶变换的全面理解,非常棒zhuanlan.zhihu.com
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    (2)Graph上的傅里叶变换

    传统的傅里叶变换定义为:

    公式(1)表示的意义是傅立叶变换是时域信号

    与基函数
    (拉普拉斯算子特征函数)的积分,
    那么为什么要找
    作为基函数呢?
    1. 是正交函数系。
    2. 从数学上看,
      是拉普拉斯算子
      的特征函数(满足特征方程),
      就和特征值有关。

    至于

    由何种推导得来的请参考:傅里叶变换的全面理解

    拉普拉斯算子Δ的定义:

    炫云:拉普拉斯算子和拉普拉斯矩阵,图拉普拉斯算子推导zhuanlan.zhihu.com
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    其数学定义为:

    • 为何
      是拉普拉斯算子
      的特征函数?理解如下

    广义的特征方程定义为:

    其中

    是一种变换(例如:拉普拉斯),
    特征向量或者特征函数(无限维的特征向量),
    是特征值。

    带入函数

    满足:

    当然

    就是变换
    的特征函数,
    和特征值密切相关

    由上述证明可得结论:傅立叶变换是时域信号与拉普拉斯算子特征函数的积分。

    从整体推特殊,将以上的结论推广到(离散)图中可知:图上的傅立叶变换就是时域信号与图拉普拉斯算子特征函数的求和!

    那么,处理Graph问题的时候,用到拉普拉斯矩阵(拉普拉斯矩阵就是离散拉普拉斯算子),自然就去找拉普拉斯矩阵的特征向量了。

    是拉普拉斯矩阵,
    是其特征向量,自然满足下式

    对于傅里叶变换式(1),将特征函数转换为特征向量,离散积分就是一种内积形式,将积分转换为求和,那么N个顶点图上的傅立叶变化表达式为:

    是Graph上的
    维向量,
    与Graph的顶点一一对应,
    表示第
    个特征向量的第
    个分量。
    为图拉普拉斯算子第
    个特征值,公式(5)是
    特征值(频率)对应的傅立叶变换.

    注:上述的内积运算是在复数空间中定义的,所以采用了

    ,也就是特征向量
    的共轭。

    利用矩阵乘法将Graph上的傅里叶变换推广到矩阵形式:

    在Graph上傅里叶变换的矩阵形式为

    式中:

    的定义与拉普拉斯矩阵的谱分解的相同,为拉普拉斯谱分解的正交矩阵。

    (3)Graph上的傅里叶逆变换

    类似地,为了将频率函数变换为时域函数,传统的傅里叶逆变换是对频率

    求积分:

    公式(7)和公式(1)类似,差一个常数系数。公式(1)积分之后是一个关于w的函数,公式(7) 对w积分后是关于t的函数,从频域变换到了时域。

    迁移到Graph上变为对特征值

    求和:

    利用矩阵乘法将Graph上的傅里叶逆变换推广到矩阵形式:

    在Graph上傅里叶逆变换的矩阵形式为:


    二、为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基?特征值表示频率?

    (1)为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基?

    傅里叶变换一个本质理解就是:把任意一个函数表示成了若干个正交函数(由sin,cos 构成)的线性组合。

    edd757157356ebf43d408d9dccee8f6c.png
    图6 傅里叶逆变换图示

    通过

    式也能看出,
    graph傅里叶变换也把graph上定义的任意向量
    ,表示成了拉普拉斯矩阵特征向量的线性组合,即:

    那么:为什么graph上任意的向量

    都可以表示成这样的线性组合?

    原因在于

    是graph上
    维空间中的
    个线性无关的正交向量,由线性代数的知识可以知道:
    维空间中
    个线性无关的向量可以构成空间的一组基,而且拉普拉斯矩阵的特征向量还是一组正交基。

    所以拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基。

    (2)怎么理解拉普拉斯矩阵的特征值表示频率?

    graph空间上无法可视化展示“频率”这个概念,那么从特征方程上来抽象理解。

    可以观看

    炫云:拉普拉斯矩阵的谱分解,图的拉普拉斯矩阵zhuanlan.zhihu.com
    a3398ae2284d290e120204771270a6af.png

    将拉普拉斯矩阵

    非负实特征值,从小到大排列为
    ,而且最小的特征值
    ,因为
    维的全1向量对应的特征值为0(由
    的定义就可以得出):

    从特征方程的数学理解来看:

    在由Graph确定的

    维空间中,越小的特征值
    表明:拉普拉斯矩阵
    其所对应的基
    上的分量、“信息”越少,那么当然就是可以
    忽略的低频部分了。

    其实图像压缩就是这个原理把像素矩阵特征分解后,把小的特征值(低频部分)全部变成0,PCA降维也是同样的,把协方差矩阵特征分解后,按从大到小取出前K个特征值对应的特征向量作为新的“坐标轴”。

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  • 6.傅里叶变换

    2019-08-23 07:02:08
    傅里叶变换基础 傅里叶变换的核心是什么? 欧拉公式怎么理解? 傅里叶变换的定义是什么? 时域和频率域怎么理解?什么是频域图像? 什么是相位谱? 为什么傅里叶变换可以用于图像滤波? 二 二维傅里叶变换 ...

    目录

    一 傅里叶变换基础

     傅里叶变换的核心是什么?

    欧拉公式怎么理解?

    傅里叶变换的定义是什么?

    时域和频率域怎么理解?什么是频域图像?

    什么是相位谱?

    为什么傅里叶变换可以用于图像滤波?

    二 二维傅里叶变换

    频谱图示例

    旋转平移对频谱图的影响

    旋转平移对相角图的影响

    旋转平移对相角图的影响

    三 频率域滤波基础

    原理

    关于滤波函数H(u,v)的说明

    四 滤波原理的一些思考

    你能想到的最简单的滤波器是什么?

    如何理解频率图像中的高频和低频分量?

    如何解决高通滤波器直流分量消除的情况?

    五 频率域滤波步骤

     步骤1-2解释

    六 频率域与空间域对应关系

    给出一个频率域的滤波器,如果得到其空间域的滤波器?

    到底用哪个? 怎么用?


    强烈推荐大家仔细阅读下面的博文,写的深入浅出,看完绝对会对傅里叶变换有很深刻的理解 https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html

    文中引用了作者的几个图,在此向作者表示感谢


    一 傅里叶变换基础

    首先看一下正弦曲线

     傅里叶变换的核心是什么?

    任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/余弦和 的形式

     

    欧拉公式怎么理解?

    欧拉公式是复分析领域的公式,它将三角函数和复指数函数联系起来,因此复指数函数是周期 函数,因为它可以被描述成正弦函数与余弦函数的和

    傅里叶变换的定义是什么?

    时域和频率域怎么理解?什么是频域图像?

    什么是相位谱?

    为什么傅里叶变换可以用于图像滤波?

    在时域很难将某些频率成分去掉,但是 转换到频率域之后,不同的频率对应的只是 频率轴上一个固定的值,将该值设置为0 应该是一个很简单的事情吧? 这就是为什么要用傅里叶变换的根本原因

    二 二维傅里叶变换

    示意图如下

    首先看如下几个公式

     

    频谱图示例

    说明:频谱取决于正弦波的幅度,在给定的频率处,幅度较大意味着该频率的正弦波比较突出

    旋转平移对频谱图的影响

     

    结论:

    • 1.频谱图像跟着原始图像的旋转一致
    • 2.平移对频谱图无影响

    旋转平移对相角图的影响

    结论:相位图与图像的 变化之间关联 性不是很强。 但是它绝对了各个 正弦分量关于原点 位移的度量

    旋转平移对相角图的影响

    最重要的性质:

    • 1.关于原点对称
    • 2.变换后中心是频率域原点,强度最大,为直流分量
    • 3.图上越亮的位置表示该点对应的正弦波的振幅较大

     

    三 频率域滤波基础

    原理

    频率域滤波由 修改一幅图像的傅里叶变换然后计算其反变换得到的处理后的结果

    如果H 是实对称函数而f(原始图像)是实函数,则IDFT理论上生成实数量。但实际上反变换过程中通常会有误差而引入的寄生复数项 。因此这里用IDFT的实部来生成g(x,y)

     

    关于滤波函数H(u,v)的说明

    1.H(u,v),F(u,v), f(x,y)都是M*N尺寸的矩阵 2.按之前提到的对F(u,v)求中心化 ,   所以H(u,v)通常是中心对称的 3.关于求中心化,通常可以采用在变换前用 f(x,y) *   来实现

     

    四 滤波原理的一些思考

    你能想到的最简单的滤波器是什么?

    在变换的中心处为0 ,而在其他处为1,这样可以抑制F(u,v)中的直流项,而通过其他所有项 由上面的公式可知,直流项决定图像的平均灰度,因此将其设置为0 会把图像的平均灰度减少为0,图像整体变暗

    如何理解频率图像中的高频和低频分量?

    高频是由于灰度的尖锐过渡造成,如边缘和噪声。而低频对应了图像中缓慢变化的成分

    滤波时如何选择高频通过还是低频通过?

    高频是由于灰度的尖锐过渡造成,如边缘和噪声,而低频对应了图像中缓慢变化的成分
    因此:

    • 衰减高频而通过低频的滤波器(低通滤波器)将模糊一张图片  
    • 衰减低频而通过高频的滤波器(高通滤波器)将增强尖锐细节(但是图像对比度会降低)

    如何解决高通滤波器直流分量消除的情况?

    对滤波器加一个系数可以防止直流项被消除,保留色调

    五 频率域滤波步骤

     步骤1-2解释

    为什么要扩展必要数量的0?

     

    示例如下

     

    六 频率域与空间域对应关系

    给出一个频率域的滤波器,如果得到其空间域的滤波器?

    到底用哪个? 怎么用?

    之前讨论了空间域滤波,现在又讨论了频率域滤波,那到底应该用哪个?

    • (1)由于计算机处理空间域滤波的速度很快,所以从硬件上肯定是空间域滤波比较好
    • (2)但是由于空间域滤波很难准确的去掉某些频率成分,这时候就需要发挥频率域滤波的作用了

    别急,我们再来个结合二者特性的用法 首先我们在频率域选择一个比较好的滤波器 然后我们将该滤波器求傅里叶反变换得到空间域的滤波器 再取样生成空间域的滤波模板.

    下面举2个例子

     

     

    展开全文
  • 把传统的傅里叶变换以及卷积迁移到Graph上来,核心工作其实就是把拉普拉斯算子的特征函数e−iωte^{-i\omega t}e−iωt变为Graph对应的拉普拉斯矩阵的特征向量。 (1)傅里叶变换 5.1傅里叶展开,傅里叶级数推导–非常...


    把传统的傅里叶变换以及卷积迁移到Graph上来,核心工作其实就是把拉普拉斯算子的特征函数eiωte^{-i\omega t}变为Graph对应的拉普拉斯矩阵的特征向量。

    (1)傅里叶变换

    5.1傅里叶展开,傅里叶级数推导–非常棒

    5.3傅立叶变换意境级讲解_炫云云-CSDN博客

    (2)Graph上的傅里叶变换

    传统的傅里叶变换定义为:
    F(ω)=F[f(t)]=f(t)eiωtdt(1) F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int_{}^{}f(t)e^{-i\omega t} dt\tag1

    公式 (1) 表示的意义是傅立叶变换是时域信号 f(t)f(t) 与基函数 eiωte^{-i \omega t} \quad (拉普拉斯算子特征函数)的积分,那么为什么要找 eiωte^{-i \omega t} 作为基函数呢?

    1. eiωte^{-i \omega t} 是正交函数系。
    2. 从数学上看, eiωte^{-i \omega t} 是拉普拉斯算子 Δ\Delta特征函数 (满足特征方程) , ω\omega 就和特征值有关。

    至于 eiwte^{-i w t} 由何种推导得来的请参考:傅里叶变换的全面理解

    拉普拉斯算子Δ的定义:

    5.8 拉普拉斯算子和拉普拉斯矩阵,图拉普拉斯算子推导_炫云云

    其数学定义为:Δ=i=1n22xi(2)\Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial{^2x_{i}}} \quad\quad\quad(2)

    eiωte^{-i\omega t}为何是拉普拉斯算子 Δ\Delta的特征函数?理解如下

    广义的特征方程定义为:
    AV=λV(3) A V=\lambda V \tag{3}

    其中 AA一种变换(例如:拉普拉斯), VV特征向量或者特征函数 (无限维的特征向量), λ\lambda特征值

    带入函数 eiωte^{-i \omega t} 满足:
    Δeiwt=22xieiwt=22teiwt=w2eiwt(4) \Delta e^{-iwt}=\frac{\partial ^2}{\partial^2 x_i}e^{-iwt}=\frac{\partial ^2}{\partial^2 t}e^{-iwt}=-w^2e^{-iwt} \tag4

    当然 eiωte^{-i \omega t} 就是变换 Δ\Delta特征函数, ω\omega特征值密切相关。

    由上述证明可得结论:傅立叶变换是时域信号与拉普拉斯算子特征函数的积分。

    从整体推特殊,将以上的结论推广到(离散)图中可知:图上的傅立叶变换就是时域信号与图拉普拉斯算子特征函数的求和!

    那么,处理Graph问题的时候,用到拉普拉斯矩阵(拉普拉斯矩阵就是离散拉普拉斯算子),自然就去找拉普拉斯矩阵的特征向量了。

    LL 是拉普拉斯矩阵, VV 是其特征向量,自然满足下式

    LV=λV LV=\lambda V
    对于傅里叶变换式(1),将特征函数转换为特征向量,离散积分就是一种内积形式,将积分转换为求和,那么N个节点图上的傅立叶变化表达式为:
    F(x)=F(λl)=i=1Nxiul(i)(5) \mathscr{F}(x)=F(\lambda_l)=\sum_{i=1}^N x_i*u_l^*(i) \tag 5
    图信号xix_i (时域)与图的节点一一对应 ,经过图上的傅立叶变化得到 F(λl)F\left(\lambda_{l}\right) 是图上的NN维向量(频谱域), ul(i)u_{l}(i) 表示第ll个特征向量的ii个分量λl\lambda_{l} 为图拉普拉斯算子第 ll 个特征值,

    注:上述的内积运算是在复数空间中定义的, 所以采用了 ul(i)u_{l}^{*}(i), 也就是特征向量 ulu_{l}共轭。

    利用矩阵乘法将图上的傅里叶变换推广到矩阵形式:
    (F(λ1)F(λ2)F(λN))=( u1(1)u1(2)u1(N)u2(1)u2(2)u2(N)uN(1)uN(2)uN(N))(x1x2xN) \left(\begin{matrix} F(\lambda_1)\\ F(\lambda_2) \\ \vdots \\ F(\lambda_N) \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\ u_1(1) &u_1(2)& \dots &u_1(N) \\u_2(1) &u_2(2)& \dots &u_2(N)\\ \vdots &\vdots &\ddots & \vdots\\ u_N(1) &u_N(2)& \dots &u_N(N) \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x_1\\ x_2 \\ \vdots \\x_N \end{matrix}\right)
    xx 在Graph上\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{傅里叶 变换}}} 的矩阵形式为:
    F(x)=F=UTx(6) \mathscr{F}(x) =F= U^Tx \tag6
    式中: UTU^T的定义与5.9拉普拉斯矩阵的谱分解,谱图卷积,图卷积演变过程的相同,为拉普拉斯谱分解的正交矩阵。

    (3)Graph上的傅里叶逆变换

    类似地,为了将频率函数变换为时域函数,传统的傅里叶逆变换是对频率 ω\omega 求积分:
    F1[F(ω)]=12ΠF(ω)eiωtdω(7) \mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2\Pi}\int_{}^{}F(\omega)e^{i\omega t} d\omega \tag 7
    公式(7)和公式(1)类似,差一个常数系数。公式(1)积分之后是一个关于ww的频率函数,公式(7) 对ww积分后是关于tt的时域函数,从频域变换到了时域。

    迁移到Graph上变为对特征值 λl\lambda_l 求和:
    xi=l=1NF(λl)ul(i)(8) x_i=\sum_{l=1}^{N}{F(\lambda_l) u_l(i)} \tag 8
    利用矩阵乘法将Graph上的傅里叶逆变换推广到矩阵形式:
    (x1x1xN)=( u1(1)u2(1)uN(1)u1(2)u2(2)uN(2)u1(N)u2(N)uN(N))(F(λ1)F(λ2)F(λN)) \left(\begin{matrix}x_1\\ x_1 \\ \vdots \\x_N \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\ u_1(1) &u_2(1)& \dots &u_N(1) \\u_1(2) &u_2(2)& \dots &u_N(2)\\ \vdots &\vdots &\ddots & \vdots\\ u_1(N) &u_2(N)& \dots &u_N(N) \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} F(\lambda_1)\\ F(\lambda_2) \\ \vdots \\ F(\lambda_N) \end{matrix}\right)

    xx在Graph上\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{傅里叶逆变换}}} 的矩阵形式为:
    F1(x)=UU1x=UUTx=UF(9) \mathscr{F}^{-1}(x) =\mathbf{U} \mathbf{U}^{-1} x=\mathbf{U} \mathbf{U}^{T} x=\mathbf{U} F \tag9

    总结

    在谱方法中,图信号xx首先通过图傅里叶变换变换F(x)\mathscr{F}(x) 到谱域,然后进行卷积运算。卷积后,得到的信号用逆图傅里叶变换F1(x)\mathscr{F}^{-1}(x) 变换回来

    二、为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基?特征值表示频率?

    (1)为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基?

    傅里叶变换一个本质理解就是:把任意一个函数表示成了若干个正交函数(由sin,cossin,cos 构成)的线性组合。如下所示。

    img
    1 图1 傅里叶变换图示
    通过 (5)式也能看出,graph傅里叶变换也把graph上定义的任意向量 xx,表示成了拉普拉斯矩阵特征向量的线性组合,即:
    x=F(λ1)u1+F(λ2)u2++F(λn)un x=F(\lambda_1)u_1+F(\lambda_2)u_2+\cdots +F(\lambda_n)u_n

    那么:为什么graph上任意的向量 xx 都可以表示成这样的线性组合?

    原因在于 (u1,u2,,un)(\vec{u_1},\vec{u_2},\cdots,\vec{u_n}) 是graph上 nn 维空间中的 nn 个线性无关的正交向量,由线性代数的知识可以知道: nn 维空间中的 nn 个线性无关向量 可以构成空间的一组基,而且拉普拉斯矩阵的特征向量还是一组正交基

    所以拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基。

    (2)怎么理解拉普拉斯矩阵的特征值表示频率?

    graph空间上无法可视化展示“频率”这个概念,那么从特征方程上来抽象理解。

    可以观看

    5.9拉普拉斯矩阵的谱分解,谱图卷积,图卷积演变过程

    将拉普拉斯矩阵 LLnn 个非负实特征值, 从小到大排列为 λ1λ2λn\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}, 而且最小 的特征值 λ1=0\lambda_{1}=0, 因为 nn 维的全1向量对应的特征值为0(由 LL 的定义就可以得出 ):):
    L(111)=0 L \left(\begin{matrix}1\\ 1 \\ \vdots \\1 \end{matrix}\right)=0
    从特征方程的数学理解来看:
    Lu=λu Lu=\lambda u
    在由Graph确定的 nn 维空间中,越小的特征值 λl\lambda_{l} 表明:拉普拉斯矩阵 LL 其所对应的基 ulu_{l} 上的分 量、 “信息” 越少,那么当然就是可以忽略的低频部分了。

    其实图像压缩就是这个原理**,把像素矩阵特征分解后,把小的特征值(低频部分)全部变成0,PCA降维也是同样的,把协方差矩阵特征分解后,按从大到小取出前K个特征值**对应的特征向量作为新的“坐标轴”。

    学习过程的记录,如有侵权删!请大家多多支持我哦!!!文章可以会不定期的修改和添加内容哦。

    参考

    拉普拉斯矩阵与拉普拉斯算子的关系

    维基百科Discrete Laplace operator

    论文 The Emerging Field of Signal Processing on Graphs: Extending High-Dimensional Data Analysis to Networks and Other Irregular Domains

    图傅里叶变换

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