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  • 方向向量和法向量的关系2020-07-17 09:39:11文/王君婷法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,因此一个平面都存在无数个法向量...

    方向向量和法向量的关系2020-07-17 09:39:11文/王君婷

    法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,因此一个平面都存在无数个法向量(包括两个单位法向量)。方向向量是一个数学概念,空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示,该向量称为这条直线的一个方向向量。

    在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量),数量(或标量)只有大小,没有方向。

    向量的记法:印刷体记作黑体(粗体)的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。

    在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,例如向量势对应于物理中的势能。

    几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素,要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。因此,平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

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  • 在讨论直线与直线、直线与平面平面平面的平行、垂直等问题时,一个有效的思路是:明确直线、平面方向向量法向量,通过讨论这些向量的关系,来解决问题。在找到相关向量后,剩下的就是计算问题了;尤其是在...

    在讨论直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直等问题时,一个有效的思路是:明确直线、平面的方向向量、法向量,通过讨论这些向量的关系,来解决问题。在找到相关向量后,剩下的就是计算问题了;尤其是在解决是否平行和垂直问题时,往往这要比公理化的证明简单的多。

    直线的法向量

    定义:如果向量n与直线l垂直,则称向量n为l的法向量。

    设直线l有法向量c20cedfdc223739ded2dade036e3ab17.png,且经过点7227d7e5b9ee4d08e517303f6a26b2bf.png,则点P在直线l上的充要条件:e296fb5de05ebb3ecd60ee069570305d.png

    因为b35042f394b01343b97f1fc0cfc11bb8.png,所以直线的点法式方程为:14da4700c9f4ef8db583ad4be3d06d76.png

    如果直线有一般方程:db3acefa833e39d7bda9e617d336d619.png,若

    • A≠0,直线点法式:ee5aee37c8ca60f017a69e02eea1261b.png

    • B≠0,直线点法式:dc8be6562f3aeab0619cb9d1c7d61364.png

    所以直线db3acefa833e39d7bda9e617d336d619.png的法向量c20cedfdc223739ded2dade036e3ab17.png

    补充:直线db3acefa833e39d7bda9e617d336d619.png的方向向量为e05523a61d011c4ade7540006e106c37.png4bb3f97f2b1e9962b28afcbbc3853819.png

    空间平面的法向量

    与直线类似,平面c3c43411e951266c39b2578654d4598f.png的法向量为5a0957b8e8c45707011c0d1bbf219134.png

    两直线的关系

    设直线l1和l2的方程分别为2e25d0c4dd3a62345af1378655eb5801.png
    那么041e4453cff5f890253f4c6839fbef8c.png分别是直线l1和l2的的法向量。


    • 设直线l1和l2的夹角为α,1bb7d9cc798815e882650622909f3e17.png8d5b643e16c9f1b68d05f107ea7fbeb9.png的夹角为θ,则α=θ或α=π-θ,所以d360d63963270a3f5cf5c2d198942831.png。因为44386d4fc381279183e65b70629a5693.pngcba3735cf341221458cf11c8b749b2f2.png

    • 若直线l1和l2相交于一点,则过该点的直线:b5a6f33b1519f0b8879eaaf86a8701f4.png显然地,直线l1和l2的交点在该直线上,该直线的法向量74cb8ce8cf9cf797c74e1d40b06db16c.png根据平面向量基本定理知:用向量n₁和n₂可以表示出过交点的所有直线的法向量。

    • 如果l₁∥l₂,则n₁∥n₂,所以bac1632556f98e34e15a3562cc32865b.png;反之亦成立。

    • 如果l₁⊥l₂,则n₁⊥n₂,所以c8ab904effca26c6eef60df26327e942.png;反之亦成立。

    注意,上面的结论有个默认的前提:两个直线在同一平面上。如果是在空间中的两条直线,要讨论两直线的夹角(平行、垂直)的话,最好使用直线的方向向量。

    直线与平面的关系

    讨论空间中直线与平面的夹角问题,只需要讨论该直线的方向向量与平面的法向量的夹角。

    • 如果直线的方向向量与平面的法向量平行,则直线垂直于该平面。

    • 如果直线的方向向量与平面的法向量垂直:

      • 若直线与平面无交点,则直线平行于平面;

      • 若直线与平面有交点,则直线在平面上。

    平面与平面的关系

    设平面l₁和l₂的方程分别为7d2c085d0768df48cdefe5648b8c761f.png
    那么ce0c792109e9c9d5f6c44d878d6eb3a4.png分别是平面l₁和l₂的的法向量。


    类比直线与直线的关系,同样有:

    • 设平面l₁和l₂的夹角为α,73a15cff16e773785fcb5702a1e94b46.png87ffa19c6877363ef43c848ab7b05ee1.png的夹角为θ,则α=θ或α=π-θ,所以d360d63963270a3f5cf5c2d198942831.png。因为0b66174c5267134ae355a7a35bef8bb2.png50825a03cd4952a13d5cb8a096cbc5ed.png

    • 若平面l₁和l₂相交于一直线,则过该直线的平面:65791a65b9dd2604048e5d8b35aa5710.png显然地,平面l₁和l₂的交线在该平面上,该平面的法向量84310beb712e110287a6b77c72466451.png根据空间向量基本定理知:用n₁和n₂可以表示出过交线的所有平面的法向量。

    • 如果l₁∥l₂,则n₁∥n₂,所以6d1da746abd463b31eb86bae144f4f99.png

    • 如果l₁⊥l₂,则n₁⊥n₂,所以2a07d4c00a8df0575cac7aa7769c632e.png

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  • 扫码关注我们扫码关注我们空间向量的数乘运算线面角的几何求法学案利用向量解决立体几何探究性问题的解题方法导引二面角的求找二面角的平面角的方法汇总二面角题型总结及练习二面角的求---三垂线三余弦定理与...

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    空间向量的数乘运算

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    立体几何专题3:立体几何中的翻折问题

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  • 空间向量的概念:定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。模长:向量的大小叫做向量的模,a的模长记作│a│备注:文中加粗的小写字母均代表向量。2.空间向量的运算:运算法则:与平面向量运算一样,空间...

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    • 空间向量的基本概念

    1.空间向量的概念:

    定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。

    模长:向量的大小叫做向量的模,a的模长记作│a

    备注:文中加粗的小写字母均代表向量。

    2.空间向量的运算:

    运算法则:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法符合三角形法则跟平行四边形法则

    运算率:

    加法交换律:a+b=b+a

    加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

    数乘分配率:λ(a+b)= λab

    3.共线向量:

    定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或者重合,那么这些向量也叫共线向量或者平行向量

    共线向量定理:空间任意两个向量ab,且a0ab,存在实数λ,使ba

    三点共线:此部分的内容与平面向量的三点共线是一致的,A,B,C三点共线能得到以下两个等式。

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    4.共面向量:

    定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量

    备注:空间内任意的两个向量肯定是共面的,因为向量可以进行平移

    共面向量定理:如果两个向量ab不共线,p与向量ab共面的条件是存在实数x,y使p=xa+yb

    四点共面:若A,B,C,D四点共面也可以得到以下两个等式

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    5.空间向量基本定理:

    定理:如果三个向量abc不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc

    备注:若三向量abc不共面,我们把{abc}叫做空间的一个基底,abc叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

    推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使:

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    6.空间向量的数量积:

    向量的数量积:此部分内容也与平面向量相同,a·b=│a│·│b│·cos<a,b>

    备注:

    ① a2=│a│2

    ② 0向量与任何向量的数量积均为0

    空间向量数量积运算率:

    a)b=λ(a·b)=ab)

    a·b=b·a

    a·(b+c)=a·b+a·c

    7.空间向量的直角坐标系:

    空间直角坐标系:在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。

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    备注: 向量ijk作为空间直角坐标系的基底,是三个互相垂直的向量,长度为1,这样的基底叫单位正交基底。

    建立空间直角坐标系的右手定则:

    伸出右手的大拇指、食指和中指,并互为90°,则大拇指代表X坐标,食指代表Y坐标,中指代表Z坐标;大拇指的指向为X坐标正方向,食指的指向为Y坐标的正方向,中指的指向为Z坐标的正方向。

    空间向量的坐标运算:

    a=(x1,y1,z1),b=( x2,y2,z2)

    a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

    a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

    λa=( λx1,λy1,λz1)

    a·b=x1x2+y1y2+z1z2

    a∥b:x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2

    ab:x1x2+y1y2+z1z2=0

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    • 立体几何在空间向量中的应用

    1.法相量

    定义:如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,那么向量n叫做平面α的法向量.

    注意:

    法向量一定是非零向量;

    一个平面的法向量不唯一,但所有的法向量都互相平行;

    向量n是平面的法向量,向量m是与平面平行或在平面内,则有n·m=0

    求平面法相量的步骤:

    设一个平面的法向量为n=(x,y,z)

    找出平面内两个不共线的向量,并求出其坐标a=(a1,b1,c1)和b=(a2,b2,c2)

    根据法相量的定义建立方程组

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    解方程组,求出其中的一个解,即得到法向量

    2.用向量法解决立体几何平行问题

    设直线L,m的方向向量分别是ab,平面α,β的法向量分别是n1n2

    线线平行:L∥m⇔aba=k·b

    线面平行:L∥α⇔a⊥n1a·n1=0

    面面平行:α∥β⇔n1n2n1=k·n2

    3.用向量法解决立体几何垂直问题

    设直线L,m的方向向量分别是ab,平面α,β的法向量分别是n1n2

    线线垂直:L⊥m⇔aba·b=0

    线面垂直:L⊥α⇔an1a=k·n1

    面面垂直:α⊥β⇔n1n2n1·n2=0

    4.用向量法解决立体几何空间角问题

    ① 两条直线的夹角

    两条直线夹角范围为:[0, 90°]

    设直线L,m的方向向量分别为ab

    则两直线夹角为:

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    备注:两条异面直线的夹角范围为(0, 90°],注意两条异面直线的夹角不会是0°

    ② 直线与平面的夹角

    直线与平面夹角的范围:[0, 90°]

    设直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n

    直线L与平面α所成的角为:

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    ③ 二面角

    二面角的范围:[0, 180°]

    设平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2

    则平面α-L-β的二面角为法相量的夹角或者法相量夹角的补角。

    如果是法相量的夹角:

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    如果是法相量的夹角的补角:

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    那么如何判断二面角是法相量的夹角还是法相量夹角的补角呢?

    告诉大家一种判断的方法,在α内任意找一点A,β内找一点B,得到

    ef39a5d73250a35e2a6179e2398ee752.png

    如果

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    所得结果是同号,那么平面的二面角是两个法向量的夹角

    如果

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    所得结果是异号,那么平面的二面角是两个法向量的夹角的补角

    具体如下图:

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    概述摄像机标定实质上是对摄像机内外参数的确定。 1.内参:摄像机固有的内部几何与光学参数,主要包括图像的中心坐标、焦距、比例因子镜头畸变等。...理解相机模型中四个平面坐标系之间的关系,分别是像素平
  • 4.4.2 求平面的法向量 4.4.3 判断平面多边形凸性 4.5 重要几何对象表示 4.5.1 坐标系统坐标框架 4.5.2 点仿射组合 4.5.3 两个点线性插值 4.5.4 使用内插艺术动画 4.5.5 预览:用二次、三次内插生成...
  • 张宇带你学高数

    2018-06-11 13:35:26
    11.3.空间曲线积分与曲面积分的关系、利用斯托克斯公式计算空间曲线积分:转化为曲面积分 第十二章 无穷级数 12.1.常数项级数 12.1.1.概念与性质 概念:部分序列的极限 性质 数乘运算 逐项相加、逐项相减 去掉、...
  • 21.1.2 曲面的法向量、法线平面 21.1.3 曲线夹角、曲面夹角 21.1.4 练习题 §21.2 方向导数与梯度 21.2.1 方向导数 21.2.2 梯度 21.2.3 练习题 §21.3 Taylor公式与极值问题 21.3.1 Taylor公式 21.3.2 极值...
  • 第1 页共27 页 1 概述 频率计的基本原理是用一个频率稳定...向量的值作为程序计数器的高8 位,低8 位固定为00H,若引导向量为FCH, 则程序计数器内容为FC00H 即程序转到FC00H 地址开始执行而ISP 服务程序 就是从,FC00...
  • 主要研究方向为信息检索、自然语言处理数据挖掘。《信息检索导论》译者。主持国家973、863、国家自然科学基金、国际合作基金、国家支撑计划等课题20余项,发表学术论文120余篇。现为ACM会员、中国中文信息学会理事...
  • 主要研究方向为信息检索、自然语言处理数据挖掘。《信息检索导论》译者。主持国家973、863、国家自然科学基金、国际合作基金、国家支撑计划等课题20余项,发表学术论文120余篇。现为ACM会员、中国中文信息学会理事...
  • 令:△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小步长α 将△x代入泰勒展开式中:f(x+△x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x) 可以看出,α是取得很小正数,[f'(x)]²也是正数,所以可以得出:f(x+△x)<=f(x) 所以...
  • 向量的环流量•斯托克斯公式•旋度 ------------670.特殊的场 ------------671.向量分析的逆问题 ------------672.应用 --------§5.多重积分 ------------673.两立体间的引力及位势问题 ------------674. n维立体...

空空如也

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平面方向向量和法向量的关系