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  • 叉乘与空间曲线切向量

    千次阅读 2020-10-08 12:43:41
    由F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0确定的空间曲线,空间曲线切向量? n1×n2=ln_1 \times n_2 =ln1​×n2​=l 其中n1和n2为曲面在Po处的法向量,l为曲线在Po处的切向量 向量的叉乘计算公式 a×b=∣ijkaxayazbxbybz∣a \...

    一个空间曲线是由两个面相交而成
    由F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0确定的空间曲线,空间曲线的切向量?

    n 1 × n 2 = l n_1 \times n_2 =l n1×n2=l
    其中n1和n2为曲面在Po处的法向量,l为曲线在Po处的切向量

    向量的叉乘计算公式

    a × b = ∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣ a \times b=\left| \begin{array} { l l } { i} & { j } & {k } \\ {a_x } & {a_y} & {a_z } \\ {b_x } & {b_y} & { b_z } \end{array}\right| a×b=iaxbxjaybykazbz

    例题:
    求 由 方 程 确 定 的 曲 线 { z − f ( x , y ) = 0 y = 0 的 切 线 方 程 a × b = ∣ i j k − f x − f y 1 0 1 0 ∣ = { ( − 1 ) 1 + 1 ( − 1 ) , ( − 1 ) 1 + 2 ( 0 ) , ( − 1 ) 1 + 3 ( − f x ) } 求由方程确定的曲线 \begin{cases} z-f(x,y)=0&\\ y=0& \end{cases}的切线方程 \\ a \times b=\left| \begin{array} { l l } { i} & { j } & {k } \\ {-f_x } & {-f_y} & {1 } \\ {0} & {1} & { 0 } \end{array}\right|=\{(-1)^{1+1} (-1),(-1)^{1+2} (0),(-1)^{1+3} (-f_x)\} 线{zf(x,y)=0y=0线a×b=ifx0jfy1k10={(1)1+1(1),(1)1+2(0),(1)1+3(fx)}
    行列式的计算方法

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  • 今天继续聊rhinopython101里的案例,根据曲线的曲率向量和切向量绘制椭圆,其实就是通过椭圆的走向来反应曲线的扭转情况。 1.求出曲线的区间值; 2.设定t值初始值为曲线起点处,根据采样点数,求得曲线t值的步进值;...

    今天继续聊rhinopython101里的案例,根据曲线的曲率向量和切向量绘制椭圆,其实就是通过椭圆的走向来反应曲线的扭转情况。

    1.求出曲线的区间值;
    2.设定t值初始值为曲线起点处,根据采样点数,求得曲线t值的步进值;
    3.利用while循环对t值进行迭代,分别求得每个t值处的取虑点、切向量、曲率向量,曲率向量和切向量叉乘,可以得到法向量;
    4.根据法向量和曲率向量构建平面,在平面上绘制椭圆;
    5.为了最后对曲率椭圆进行着色,这里将曲率半径也作为参数列表输出,用来映射颜色值。

    #ghpython
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  • 多元函数的切向量和法向量

    万次阅读 多人点赞 2017-12-13 11:25:33
    有一个很有启发性的说法:考虑描述曲面的隐...(F'x,F'y,F'z)是曲线的法向量,(dx,dy,dz)则是曲线切向量。 1 对曲面而言,求各变量在某一点的偏导数,即为这一点的法向量。 切向量我们假设以x为变...

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    有一个很有启发性的说法:考虑描述曲面的隐函数F(x,y,z)=0
    其全微分dF=F'xdx+F'ydy+F'zdz=0   即(F'xF'yF'z)(dx,dy,dz)=0

    F'x,F'y,F'z)是曲线的法向量,(dx,dy,dz)则是曲线的切向量。

     

    1 对曲面而言,求各变量在某一点的偏导数,即为这一点的法向量。


    切向量我们假设以x为变量(参数),则切向量为(1,0,Zx)。以y为变量,则切向量为(0,1,Zy)。

    验证以x为参数的切向量(1,0,Zx):因为Zx = -Fx/Fz,而法向量为(Fx,Fy,Fz)。所以 1*Fx + 0 * Fy + (-Fx/Fz) * Fz  = 0,所以两者正交,证毕。
    其余同理。

    2 而对于平面曲线而言,我们可以考虑其为,缺少的那一维向量的无限延伸,这样无论是封闭曲线还是不封闭曲线都可以抽象成一个曲面,这样求各变量的在某一点的偏导数既为这一点的法向量。(内外法向加一个正负进行区分)

    而平面曲线的切向量可以按照这种方法去考虑:把x看做变量,y为因变量,然后求y对x的偏导数,则切向量即为(1,Yx)。

    3 对于空间曲线,只考虑两个曲面给出一个方程组的形式。 F1(x,y,z) = 0, F2(x,y,z) = 0。

    切线求法1:可以将x理解为自变量,y和z为x的因变量(自变量可以随便去选),然后分别求因变量关于自变量的偏导数,然后得出一点的切线向量(1,Yx, Zx)。(三种形式)

     

     

    切线求法2:求出两个曲面的法向量,然后做差乘(向量积),结果也是切线向量。

     

     

     

    求x^2-y+z^2=1和x+y^2+z=-1两曲面的交线在p(-1,1,-1)处的切向量?

     

    只需要让两个式子对x求导即可。因为我们需要知道(dx,dy,dz)与dx的关系。

     

    联立两个方程 2x-dy/dz+2zdz/dx=0和1+2ydy/dx+dz/dx=0得到dy=0*dx  dz=-1*dx

    则切向量为(dx,0,-dx)---(1,0,-1)

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  • (dx,dy,dz) 就是曲线该点的切向量 对于曲面F( x , y , z ) = 0上某点( x0 , y0 , z0 )来说 (Fx’,Fy’,Fz’) 就是曲面该点的法向量 ---------------------------解释--------------------------

    (非证明,仅供理解)(实在是很好用忍不住写下来)

    ---------------------------结论-----------------------------

    对于曲线上某点( x0 , y0 , z0 )来说

    (dx,dy,dz) 就是曲线该点的切向量

    对于曲面F( x , y , z ) = 0上某点( x0 , y0 , z0 )来说

    (Fx’,Fy’,Fz’) 就是曲面该点的法向量

    ---------------------------解释-----------------------------

    解释1.(dx,dy,dz)是切向量:

    向量( dx , dy , dz )表示的本质是dx、dy、dz之间的线性的代数关系
    放在直角坐标系中着手理解:
    对函数 y=kx来说,dy=kdx 所以切向量就是( dx , dy ) = ( 1 , k )
    对函数y=ax^2 + bx来说,dy=(ax + b)dx 所以切向量就是( dx , dy ) = ( 1 , ax+b )

    可见( dx , dy , dz )实质是曲线在某点处分为极小份、视为直线时,这条直线方向向量,即是切向量

    解释2.(Fx’,Fy’,Fz’)是法向量:

    在理解了第一点后再来理解这一点

    对于曲面上的某点来说曲面上过此点的曲线有无数多条
    微分这些曲线也就对应着无数组切向量( dx , dy , dz )

    但是这些切向量(微分后的曲线)有着共同的特点
    那就是他们都在该点的切平面上,因此与这个切平面的法向量垂直

    所以只要找到这条与它们都垂直的向量即可
    这里需要借助原曲面方程F(x,y,z)=0

    在该点用全微分公式对曲面方程两边求出全微分:
    得到: Fx’·dx + Fy’·dy + Fz’·dz = 0
    也就是:( Fx’ , Fy’ , Fz’ ) · ( dx , dy , dz ) = 0
    这就说明,无论 ( dx , dy , dz )是哪一组切向量,都与( Fx’ , Fy’ , Fz’ )垂直
    ( Fx’ , Fy’ , Fz’ )就是切平面的法向量

    ---------------------------总结-----------------------------

    在明确以上关系之后,无论遇到多困难的求切向题目,都能有出发点
    那就是寻找dx 、 dy 、 dz的线性关系
    法向实际上只要知道曲面方程,都可以求,都可以求

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  • 由两个曲面确定的交线的切向量求解

    万次阅读 多人点赞 2016-12-11 21:26:42
    由两个曲线确定的交线的切向量求解@(微积分)有一个很有启发性的说法:考虑描述曲面的隐函数F(x,y,z)=0.F(x,y,z)=0. 其全微分dF=F′xdx+F′ydy+F′zdz=0dF=F'_xdx+F'_ydy+F'_zdz=0,即(F′x,F′y,F′z)(dx,dy,dz)=0(F...
  • 曲线斜率与法向量综合辨析

    千次阅读 2016-10-09 10:56:23
    偏导数构成的是法向量,参数导数构成的是切向量 1.平面曲线的切线与法线 曲线: F ( x , y ) = 0 F(x,y) = 0 法向量 : n → = ( F ′ x ( x 0 , y 0 ) , F ′ y ( x 0 , y 0 ) ) \overrightarrow n = (F...
  • 梯度与切向量

    千次阅读 2018-06-27 15:06:34
    之前一直错误的认为了切向量就是梯度,由于最近在看拉格朗日的方法,正好遇到这个问题,结果搞清楚了切向量和梯度的关系。简单的来说切向量和梯度都是求导数,但是要看的是对谁求导数。举个例子:y=x^2吧,简单点的...
  • 向量与直线,梯度与法向量,切向量

    千次阅读 2019-11-06 15:03:18
    ε≡٩(๑>₃<)۶ 一心向学 今天真的是想了很久,才弄明白梯度与法向量的关系 有的博客直接说 梯度就是法向量 ,我觉得这是不对或者...,所以在,某一点的切向量是 ( d x 0 , d x 0 ) (dx0,dx0) ( d x 0 , d x 0 )
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  • 切向量和梯度的关系

    千次阅读 2013-05-02 14:28:27
    之前一直错误的认为了切向量就是梯度,由于最近在看拉格朗日的方法,正好遇到这个问题,结果搞清楚了切向量和梯度的关系。 简单的来说切向量和梯度都是求导数,但是要看的是对谁求导数。举个例子: y=x^2吧,...
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  • 方程及证明 例题
  • 曲线切线与曲面面的求法

    千次阅读 2020-08-20 14:57:14
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  • 设t=t0时对应点M,那么M点处的切向量为: 切线方程为: M点处的法向量为:, 法线方程为: ,, å上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上,此平面称为在该点的切平面,切平面的方程为: , 2.曲...
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    千次阅读 2021-01-17 15:59:13
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  • [转载] ...记得在高中做数学题时,经常要求曲线的切线。...上大学又学习了曲面切线和法向量的求法,求偏导是法向量,然后套公式求出切线。 一个经典例子如下: (来自web上某个《几何应用》ppt...
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空空如也

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平面曲线的切向量