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  • 平面极坐标系下质点的运动方程

    千次阅读 2019-12-29 16:16:49
    一、平面极坐标系定义 1. 定义 在参考系上取一点 OOO 称为极点,由 OOO 点引一有刻度的射线,称之为极轴,即构成极坐标系。 2. 极坐标系 质点的位置 PPP 由极径 ρ\rhoρ 和幅角 θ\thetaθ 给出。如下图所示。 ...

    一、平面极坐标系定义

    1. 定义

    在参考系上取一点 OO 称为极点,由 OO 点引一有刻度的射线,称之为极轴,即构成极坐标系。

    2. 极坐标系

    质点的位置 PP 由极径 ρ\rho 和幅角 θ\theta 给出。如下图所示。
    图1 平面极坐标系示意图
    ρ\rho :极径,极点到质点的距离
    θ\theta:幅角或极角,极径与极轴的夹角,规定角度取逆时针方向为正

    3. 正交单位矢量

    • 径向单位矢量 i\bm{i} :方向从极点指向质点。则矢径 r=ρi\bm{r} = \rho \bm{i}
    • 横向单位矢量 j\bm{j} :方向与径向单位矢量垂直,且指向 θ\theta 增加的方向。

    4. 正交单位矢量对时间 t 的导数的计算

    设初始时刻质点位置为P1P_{1},经过时间dtdt,质点位置为P2P_{2},幅角变化量为dθd\theta。如下图所示。
    图2 正交单位矢量求导示意图

    4.1 径向单位矢量i\bm{i}

    经过时间dtdt,径向单位矢量由i1\bm{i}_{1}变化到i2\bm{i}_{2},转过的角度为dθd\theta
    di=i2i1 d\bm{i}=\bm{i}_{2}-\bm{i}_{1}

    由于i\bm{i}为单位矢量,且dtdt为趋于00的微元。所以did\bm{i}的大小即为以i|\bm{i}|为半径,角度为dθd\theta所对应的弧长(单位矢量i\bm{i}i1\bm{i}_{1}旋转到i2\bm{i}_{2}时,箭头末端所经过的路程),其大小为:
    di=idθ=dθ |d\bm{i}|=|\bm{i}|\cdot d\theta=d\theta

    did\bm{i}的方向为从i1\bm{i}_{1}的末端指向i2\bm{i}_{2}的末端,当dtdt趋于00时,did\bm{i}的方向垂直于i\bm{i}并且指向θ\theta的增加方向,所以did\bm{i}j\bm{j}同向。即:
    di=jdθ d\bm{i}=\bm{j}d\theta

    对时间的导数为
    didt=jdθdt \frac{d\bm{i}}{dt}=\bm{j}\frac{d\theta}{dt}

    4.2 横向单位矢量j\bm{j}

    同理,经过时间dtdt,横向单位矢量由j1\bm{j}_{1}变化到j2\bm{j}_{2},转过的角度为dθd\theta
    dj=j2j1 d\bm{j}=\bm{j}_{2}-\bm{j}_{1}

    其大小为
    dj=jdθ=dθ |d\bm{j}|=|\bm{j}|\cdot d\theta=d\theta

    其方向与径向单位矢量i\bm{i}反向,所以横向单位矢量对时间的导数为
    djdt=idθdt \frac{d\bm{j}}{dt}=-\bm{i}\frac{d\theta}{dt}

    二、极坐标系下运动方程

    • 运动学方程:r=r(t)r=r(t),\hspace{0.3cm} θ=θ(t)\theta=\theta (t)
    • 质点位置矢量:r=r(t)\bm{r}=\bm{r}(t)
    • 质点轨迹方程:r=r(θ)r=r(\theta)

    三、极坐标系中的速度

    在极坐标系中
    r=ρi \bm{r}=\rho \bm{i}

    速度
    v=drdt=d(ρi)dt=dρdti+ρdidt \bm{v}=\frac{d\bm{r}}{dt}=\frac{d(\rho \bm{i})}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\bm{i}}{dt}


    didt=jdθdt \frac{d\bm{i}}{dt}=\bm{j}\frac{d\theta}{dt}

    所以
    v=dρdti+ρdθdtj=vri+vθj \bm{v}=\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j}=v_{r}\bm{i}+v_{\theta}\bm{j}

    • 径向速度vr=dρdtv_{r}=\frac{d\rho}{dt},由位矢的量值变化所引起的;
    • 横向速度vθ=ρdθdtv_{\theta}=\rho \frac{d\theta}{dt},由位矢方向的变化所引起的,其中ω=dθdt\omega=\frac{d\theta}{dt}为角速度。

    总的速度大小
    v=vr2+vθ2=(dρdt)2+(ρdθdt)2 |\bm{v}|=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\theta}^{2}}=\sqrt{(\frac{d\rho}{dt})^{2}+(\rho \frac{d\theta}{dt})^{2}}

    四、极坐标系中的加速度

    由加速度定义
    a=dvdt=ddt(dρdti+ρdθdtj) \bm{a}=\frac{d\bm{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j})

    其中
    ddt(dρdti)=d2ρdt2i+dρdtdidt=d2ρdt2i+dρdtdθdtj \frac{d}{dt}(\frac{d\rho}{dt}\bm{i})=\frac{d^2 \rho}{dt^2}\bm{i}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\bm{i}}{dt}=\frac{d^2 \rho}{dt^2}\bm{i}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}

    ddt(ρdθdtj)=dρdtdθdtj+ρd2θdt2j+ρdθdtdjdt=dρdtdθdtj+ρd2θdt2jρ(dθdt)2i \frac{d}{dt}(\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j})=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}+\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}\bm{j}+\rho \frac{d\theta}{dt}\frac{d\bm{j}}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}+\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}\bm{j}-\rho (\frac{d\theta}{dt})^2 \bm{i}

    由此可得
    a=[d2ρdt2ρ(dθdt)2]i+[ρd2θdt2+2dρdtdθdt]j=ari+aθj \bm{a}=[\frac{d^2 \rho}{dt^2}-\rho (\frac{d\theta}{dt})^2]\bm{i}+[\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}+2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}]\bm{j}=a_{r}\bm{i}+a_{\theta}\bm{j}


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  • 极坐标点和直角坐标点的区别 一、极坐标点:第一个参数为极径,第二个参数为极角。 二、平面直角坐标系:第一个参数为横坐标对应的位置,第二个参数为纵坐标对应的位置。 转化原则 例题 ...

    极坐标点和平面直角坐标点的区别

    一、极坐标点:第一个参数为极径,第二个参数为极角。
    二、平面直角坐标点:第一个参数为横坐标对应的位置,第二个参数为纵坐标对应的位置。

    转化原则

    例题

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  • 平面直角坐标系(也称笛卡尔坐标系)与极坐标系之间的换算关系 1.数学知识 平面直角坐标系(也称笛卡尔坐标系)与极坐标系之间的换算关系 Y=ρsin(θ) X​=ρcos(θ) 其中: X X表示在平面直角坐标系中的横坐标 YY...

    1.数学知识

    平面直角坐标系(也称笛卡尔坐标系)与极坐标系之间的换算关系

    {X=ρcos(θ)Y=ρsin(θ)\left\{ \begin{aligned} X & = \rho \cos( \theta ) \\ Y & = \rho \sin( \theta ) \\ \end{aligned} \right.

    其中:
    XX表示在平面直角坐标系中的横坐标
    YY表示在平面直角坐标系中的纵坐标
    ρ\rho表示在极坐标中的极径
    θ\theta表示在极坐标中的极角
    在这里插入图片描述

    2核心代码:

            public Polar_y TestMethod1(Rect_v rv)   //输入一个结构体(x,y)点(笛卡尔坐标系)的坐标
            {
                Polar_y pv;
                pv.magnitude = Math.Sqrt(rv.x * rv.x + rv.y * rv.y);//开根
                if (pv.magnitude == 0)//位于极点 magnitude表示极径
                    pv.angle = 0.0;  //angle 表示极角
                
                else
                    pv.angle = (180 / (4 * Math.Atan(1))) * Math.Atan2(rv.y, rv.x);//atan2()返回弧度值,此为转换为角度的公式
                return pv;      //返回一个结构体,包括极角和极径
            }
    

    3 完整可运行代码

    
    using System;
    using Microsoft.VisualStudio.TestTools.UnitTesting;
    using MathNet.Numerics;
    
    
    //namespace PolarCoordinates
    //{
        public struct Polar_y
        {
            public double magnitude;//与极点的距离
            public double angle;//角度
        };
    
        public struct Rect_v
        {
            public double x;
            public double y;
        };
    
    
        [TestClass]
        public class UnitTest
        {
            [TestMethod]
            public Polar_y TestMethod1(Rect_v rv)   //输入数一个结构体(x,y)点的坐标
            {
                Polar_y pv;
                pv.magnitude = Math.Sqrt(rv.x * rv.x + rv.y * rv.y);//开根
                if (pv.magnitude == 0)//位于极点
                    pv.angle = 0.0;
                
                else
                    pv.angle = (180 / (4 * Math.Atan(1))) * Math.Atan2(rv.y, rv.x);//atan2()返回弧度值,此为转换为角度的公式
                return pv;      //返回一个结构体,包括极角和极径
            }
        }
    
        public class Polar
        {
    
            public static void Main(String[] args)
            {
            Rect_v input;
            Polar_y result;
            input.x = 2.0;
            input.y = 3.0;
    
            UnitTest unit = new UnitTest();
            result=unit.TestMethod1(input);
            Console.WriteLine(result.angle);
            Console.WriteLine(result.magnitude);
            Console.ReadKey();
        }
        }
    //}
    
    
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  • 平面上任一点 P 的直角坐标 (x, y),和极坐标 (ρ, θ),ρ 称作极径,θ 为极角 转换公式为:  x = ρcosθ,y = ρsinθ  或  ρ2 = x2 + y2 ,tanθ = y / x (x≠0) 转载于:...

    设平面上任一点 P 的直角坐标 (x, y),和极坐标 (ρ, θ),ρ 称作极径, θ 为极角

    转换公式为:

      x = ρcosθ,y = ρsinθ

      或

      ρ= x2 + y2 ,tanθ = y / x  (x≠0)

    转载于:https://www.cnblogs.com/openxyz/p/6789121.html

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