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  • 平面坐标与极坐标转换
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    2019-10-05 21:49:55

    设平面上任一点 P 的直角坐标 (x, y),和极坐标 (ρ, θ),ρ 称作极径, θ 为极角

    转换公式为:

      x = ρcosθ,y = ρsinθ

      或

      ρ= x2 + y2 ,tanθ = y / x  (x≠0)

    转载于:https://www.cnblogs.com/openxyz/p/6789121.html

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    一、平面极坐标系定义

    1. 定义

    在参考系上取一点 O O O 称为极点,由 O O O 点引一有刻度的射线,称之为极轴,即构成极坐标系。

    2. 极坐标系

    质点的位置 P P P 由极径 ρ \rho ρ 和幅角 θ \theta θ 给出。如下图所示。
    图1 平面极坐标系示意图
    ρ \rho ρ :极径,极点到质点的距离
    θ \theta θ:幅角或极角,极径与极轴的夹角,规定角度取逆时针方向为正

    3. 正交单位矢量

    • 径向单位矢量 i \bm{i} i :方向从极点指向质点。则矢径 r = ρ i \bm{r} = \rho \bm{i} r=ρi
    • 横向单位矢量 j \bm{j} j :方向与径向单位矢量垂直,且指向 θ \theta θ 增加的方向。

    4. 正交单位矢量对时间 t 的导数的计算

    设初始时刻质点位置为 P 1 P_{1} P1,经过时间 d t dt dt,质点位置为 P 2 P_{2} P2,幅角变化量为 d θ d\theta dθ。如下图所示。
    图2 正交单位矢量求导示意图

    4.1 径向单位矢量 i \bm{i} i

    经过时间 d t dt dt,径向单位矢量由 i 1 \bm{i}_{1} i1变化到 i 2 \bm{i}_{2} i2,转过的角度为 d θ d\theta dθ
    d i = i 2 − i 1 d\bm{i}=\bm{i}_{2}-\bm{i}_{1} di=i2i1

    由于 i \bm{i} i为单位矢量,且 d t dt dt为趋于 0 0 0的微元。所以 d i d\bm{i} di的大小即为以 ∣ i ∣ |\bm{i}| i为半径,角度为 d θ d\theta dθ所对应的弧长(单位矢量 i \bm{i} i i 1 \bm{i}_{1} i1旋转到 i 2 \bm{i}_{2} i2时,箭头末端所经过的路程),其大小为:
    ∣ d i ∣ = ∣ i ∣ ⋅ d θ = d θ |d\bm{i}|=|\bm{i}|\cdot d\theta=d\theta di=idθ=dθ

    d i d\bm{i} di的方向为从 i 1 \bm{i}_{1} i1的末端指向 i 2 \bm{i}_{2} i2的末端,当 d t dt dt趋于 0 0 0时, d i d\bm{i} di的方向垂直于 i \bm{i} i并且指向 θ \theta θ的增加方向,所以 d i d\bm{i} di j \bm{j} j同向。即:
    d i = j d θ d\bm{i}=\bm{j}d\theta di=jdθ

    对时间的导数为
    d i d t = j d θ d t \frac{d\bm{i}}{dt}=\bm{j}\frac{d\theta}{dt} dtdi=jdtdθ

    4.2 横向单位矢量 j \bm{j} j

    同理,经过时间 d t dt dt,横向单位矢量由 j 1 \bm{j}_{1} j1变化到 j 2 \bm{j}_{2} j2,转过的角度为 d θ d\theta dθ
    d j = j 2 − j 1 d\bm{j}=\bm{j}_{2}-\bm{j}_{1} dj=j2j1

    其大小为
    ∣ d j ∣ = ∣ j ∣ ⋅ d θ = d θ |d\bm{j}|=|\bm{j}|\cdot d\theta=d\theta dj=jdθ=dθ

    其方向与径向单位矢量 i \bm{i} i反向,所以横向单位矢量对时间的导数为
    d j d t = − i d θ d t \frac{d\bm{j}}{dt}=-\bm{i}\frac{d\theta}{dt} dtdj=idtdθ

    二、极坐标系下运动方程

    • 运动学方程: r = r ( t ) r=r(t) r=r(t), \hspace{0.3cm} θ = θ ( t ) \theta=\theta (t) θ=θ(t)
    • 质点位置矢量: r = r ( t ) \bm{r}=\bm{r}(t) r=r(t)
    • 质点轨迹方程: r = r ( θ ) r=r(\theta) r=r(θ)

    三、极坐标系中的速度

    在极坐标系中
    r = ρ i \bm{r}=\rho \bm{i} r=ρi

    速度
    v = d r d t = d ( ρ i ) d t = d ρ d t i + ρ d i d t \bm{v}=\frac{d\bm{r}}{dt}=\frac{d(\rho \bm{i})}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\bm{i}}{dt} v=dtdr=dtd(ρi)=dtdρi+ρdtdi


    d i d t = j d θ d t \frac{d\bm{i}}{dt}=\bm{j}\frac{d\theta}{dt} dtdi=jdtdθ

    所以
    v = d ρ d t i + ρ d θ d t j = v r i + v θ j \bm{v}=\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j}=v_{r}\bm{i}+v_{\theta}\bm{j} v=dtdρi+ρdtdθj=vri+vθj

    • 径向速度 v r = d ρ d t v_{r}=\frac{d\rho}{dt} vr=dtdρ,由位矢的量值变化所引起的;
    • 横向速度 v θ = ρ d θ d t v_{\theta}=\rho \frac{d\theta}{dt} vθ=ρdtdθ,由位矢方向的变化所引起的,其中 ω = d θ d t \omega=\frac{d\theta}{dt} ω=dtdθ为角速度。

    总的速度大小
    ∣ v ∣ = v r 2 + v θ 2 = ( d ρ d t ) 2 + ( ρ d θ d t ) 2 |\bm{v}|=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\theta}^{2}}=\sqrt{(\frac{d\rho}{dt})^{2}+(\rho \frac{d\theta}{dt})^{2}} v=vr2+vθ2 =(dtdρ)2+(ρdtdθ)2

    四、极坐标系中的加速度

    由加速度定义
    a = d v d t = d d t ( d ρ d t i + ρ d θ d t j ) \bm{a}=\frac{d\bm{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j}) a=dtdv=dtd(dtdρi+ρdtdθj)

    其中
    d d t ( d ρ d t i ) = d 2 ρ d t 2 i + d ρ d t d i d t = d 2 ρ d t 2 i + d ρ d t d θ d t j \frac{d}{dt}(\frac{d\rho}{dt}\bm{i})=\frac{d^2 \rho}{dt^2}\bm{i}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\bm{i}}{dt}=\frac{d^2 \rho}{dt^2}\bm{i}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j} dtd(dtdρi)=dt2d2ρi+dtdρdtdi=dt2d2ρi+dtdρdtdθj

    d d t ( ρ d θ d t j ) = d ρ d t d θ d t j + ρ d 2 θ d t 2 j + ρ d θ d t d j d t = d ρ d t d θ d t j + ρ d 2 θ d t 2 j − ρ ( d θ d t ) 2 i \frac{d}{dt}(\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j})=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}+\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}\bm{j}+\rho \frac{d\theta}{dt}\frac{d\bm{j}}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}+\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}\bm{j}-\rho (\frac{d\theta}{dt})^2 \bm{i} dtd(ρdtdθj)=dtdρdtdθj+ρdt2d2θj+ρdtdθdtdj=dtdρdtdθj+ρdt2d2θjρ(dtdθ)2i

    由此可得
    a = [ d 2 ρ d t 2 − ρ ( d θ d t ) 2 ] i + [ ρ d 2 θ d t 2 + 2 d ρ d t d θ d t ] j = a r i + a θ j \bm{a}=[\frac{d^2 \rho}{dt^2}-\rho (\frac{d\theta}{dt})^2]\bm{i}+[\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}+2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}]\bm{j}=a_{r}\bm{i}+a_{\theta}\bm{j} a=[dt2d2ρρ(dtdθ)2]i+[ρdt2d2θ+2dtdρdtdθ]j=ari+aθj


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    极坐标点和平面直角坐标点的区别

    一、极坐标点:第一个参数为极径,第二个参数为极角。
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    当复数的形式为z = a + bi时,函数通过下列方程转换极坐标元素:

    z = r(cos θ + i *sin θ)

    极坐标中

    a=rcosθ

    b=rsinθ

    把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当z的虚部等于零时,常称z为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包,即任何复系数多项式在复数域中总有根。

    扩展资料:

    如所有的二维坐标系,极坐标系也有两个坐标轴:r(半径坐标)和θ(角坐标、极角或方位角,有时也表示为φ或t)。r坐标表示与极点的距离,θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线(有时也称作极轴)的角度,极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。

    比如,极坐标中的(3,60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。(−3,240°) 和(3,60°)表示了同一点,因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240° − 180° = 60°)。

    参考资料来源:百度百科--极坐标

    参考资料来源:百度百科--复数

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