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  • 傅里叶变换理解

    2020-01-17 14:53:42
    由于工作上需要做分层匹配,在实现分层匹配钱先理解一下傅里叶变换和小波变换的区别。所以现在先转发一篇傅里叶变换通俗易懂的博文。 原文地址:https://www.guancha.cn/HanZuo/2014_06_08_235439.shtml 这篇...

    由于工作上需要做分层匹配,在实现分层匹配钱先理解一下傅里叶变换和小波变换的区别。所以现在先转发一篇傅里叶变换通俗易懂的博文。

    原文地址:https://www.guancha.cn/HanZuo/2014_06_08_235439.shtml

     

    这篇文章的核心思想就是:

    要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

    傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。(您把教材写得好玩一点会死吗?会死吗?)所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。

    ————以上是定场诗————

    下面进入正题:

    抱歉,还是要啰嗦一句:其实学习本来就不是易事,我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松,充满乐趣。但是千万!千万不要把这篇文章收藏起来,或是存下地址,心里想着:以后有时间再看。这样的例子太多了,也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何,耐下心,读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……

    一、啥叫频域

    从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为,世间万物都在随着时间不停的改变,并且永远不会静止下来。但如果我告诉你,用另一种方法来观察世界的话,你会发现世界是永恒不变的,你会不会觉得我疯了?我没有疯,这个静止的世界就叫做频域。

    先举一个公式上并非很恰当,但意义上再贴切不过的例子:

    在你的理解中,一段音乐是什么呢?

    一段音乐

    这是我们对音乐最普遍的理解,一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说,音乐更直观的理解是这样的:

    一段音乐

    好的!下课,同学们再见。

    是的,其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子,而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生,只是从来没意识到而已。

    现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话:世界是永恒的。

    将以上两图简化:

    时域:

    时域

    频域:

    频域

    在时域,我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动,就如同一支股票的走势;而在频域,只有那一个永恒的音符。

    所以,你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界,实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

    抱歉,这不是一句鸡汤文,而是黑板上确凿的公式:傅里叶同学告诉我们,任何周期函数,都可以看作是不同振幅,不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为,利用对不同琴键不同力度,不同时间点的敲击,可以组合出任何一首乐曲。

    而贯穿时域与频域的方法之一,就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数(Fourier Serie)和傅里叶变换(Fourier Transformation),我们从简单的开始谈起。

    二、傅里叶级数(Fourier Series)

    还是举个栗子(举个例子)并且有图有真相才好理解。

    如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来,你会相信吗?你不会,就像当年的我一样。但是看看下图:

    第一幅图是1个(郁闷的)正弦波 cos(x)

    第二幅图是 2 个(卖萌的)正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)

    第三幅图是 4 个(发春的)正弦波的叠加

    第四幅图是 10 个(便秘的)正弦波的叠加

    随着正弦波数量逐渐的增长,他们最终会叠加成一个标准的矩形,大家从中体会到了什么道理?

    随着叠加的递增,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢?不幸的告诉大家,答案是无穷多个。(上帝:我能让你们猜着我?)

    不仅仅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点,但是一旦接受了这样的设定,游戏就开始有意思起来了。

    还是上图的正弦波累加成矩形波,我们换一个角度来看看:

    在这几幅图中,最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和,也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了,每两个正弦波之间都还有一条直线,那并不是分割线,而是振幅为 0 的正弦波!也就是说,为了组成特殊的曲线,有些正弦波成分是不需要的。

    这里,不同频率的正弦波我们成为频率分量。

    好了,关键的地方来了!!

    如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”,我们就有了构建频域的最基本单元。

    对于我们最常见的有理数轴,数字“1”就是有理数轴的基本单元。

    (好吧,数学称法为——基。在那个年代,这个字还没有其他奇怪的解释,后面还有正交基这样的词汇我会说吗?)

    时域的基本单元就是“1 秒”,如果我们将一个角频率为的正弦波 cos(t)看作基础,那么频域的基本单元就是。

    有了“1”,还要有“0”才能构成世界,那么频域的“0”是什么呢?cos(0t)就是一个周期无限长的正弦波,也就是一条直线!所以在频域,0 频率也被称为直流分量,在傅里叶级数的叠加中,它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

     

    接下来,让我们回到初中,回忆一下已经死去的八戒,啊不,已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧

    正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。

    从正弦波到圆

    从正弦波到圆

    介绍完了频域的基本组成单元,我们就可以看一看一个矩形波,在频域里的另一个模样了:

    这是什么奇怪的东西?

     

    这就是矩形波在频域的样子,是不是完全认不出来了?教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想,以及无穷的吐槽,其实教科书只要补一张图就足够了:频域图像,也就是俗称的频谱,就是——

    这是什么奇怪的东西?

     

    再清楚一点:

    可以发现,在频谱中,偶数项的振幅都是0,也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。

    正弦波的时域与频域

    老实说,在我学傅里叶变换时,维基的这个图还没有出现,那时我就想到了这种表达方法,而且,后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

    但是在讲相位谱之前,我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗?估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下,世界上每一个看似混乱的表象,实际都是一条时间轴上不规则的曲线,但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影,而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢?

    我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布,幕布的后面有无数的齿轮,大齿轮带动小齿轮,小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演,却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转,永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话,这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的。

     

    以上文篇,作者有异议时麻烦通知一下我删除,在此发布纯属为了共享学习。谢谢。下一篇事关于小波变换的通俗易懂的讲解!

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  • 关于快速傅里叶变换理解,讲的很详细,适合了解一点FFT的人深入学习
  • 前言:之前的关于图像识别的傅里叶变换的文章发布后,有一部分读者私信关于傅里叶变换的部分看的雾蒙蒙的,于是下文便把图像方面的傅里叶变换讲解一遍,便于大家的理解,如果希望入门基于Python的fft2()函数进行傅里叶...

    前言:之前的关于图像识别的傅里叶变换的文章发布后,有一部分读者私信关于傅里叶变换的部分看的雾蒙蒙的,于是下文便把图像方面的傅里叶变换讲解一遍,便于大家的理解,如果希望入门基于Python的fft2()函数进行傅里叶变换,请认真研读每一句话,欢迎私信交流.

    视觉/nlp/等各方向计算机科学交流群:499027005

    作者:张一极

    转载请注明出处,谢谢

    关于傅里叶变换在图像方面的应用,在一些计算机教材上把他写的过于复杂,导致许多人看的不是很懂,其实有些东西,深入理解之后并不难理解,下面带大家去探究傅里叶变换的具体细节

    首先,傅里叶变换变换的是图像的高低频信号,所谓高低频信号,通俗来说 , 高频信号就是图像灰度变化强烈的地方,低频区域就是变化较小的地方 , 如果图像信号表示成一个函数,那么高频区域就是变换强烈的地方,低频区域就是变换平缓的地方,最直观的体现就是,我们第一眼看到一个图像信息,看到的肯定是图像主题的边缘,边缘就是信号变换强烈的地方,也就是所谓高频区域.

    关于傅里叶变换 , 讲的是任何正弦波都可以由若干个简单的正弦波组成,由弯也能变直,那么怎么去理解这个定义呢,来自wiki的一组动图可以让我们理解一下正弦函数的叠加:

    由图中可以看出越叠加,对应的波形越来越平缓,在某个极限时刻是有可能达到视觉直线的.

    那么这和图像的信号变换有什么关系呢?

    引用上一篇文章中的内容:

    傅里叶函数变换以后的图像信号变化会变成复数形式如下图:

    输出部分就是fft2()函数的返回值

    这里就必须提到大家可能没有接触过的一种三角函数表达方式:

    cos(x)+isin(x)⇔a+ib

    一个三角函数的表示:

    cos(x)+isin(x)⇔a+ib

    其中我们在代码中利用abs()函数获取其绝对值就是[i],就是图像的高低变化量,反应的图我们需要用一个新的名词来形象的描述 一 高低频差图

    这里又要放出wiki的动图了,方便大家理解:

    最后得到的蓝线图像就是高低频差图,反应一个图像各部分信号变化强弱,其实就是各个分量正弦函数的振幅,对应到图像上就是不同明暗的点.

    了解了傅里叶变换基本的定义之后之后,让我们来看两张图片了解基于python的傅里叶变换:

    上图是一个二维坐标轴,经过傅里叶变换之后,显示出来的图像如下图:

    傅里叶变换对于图像反映的是一个点和它邻域的差异强弱,在Python中主要应用的就是利用傅里叶变换后的频率图得到需要的数据,进行滤波操作或者边缘检测形状检测等.

    如果还有不是很明白的朋友,可以私信我,我会尽力解答.

    参考资料:

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  • 关键字: 傅里叶级数 傅里叶变换 卷积...傅里叶变换理解,什么是傅里叶变换,什么是傅里叶级数,两者的关系如何;为什么能从一个时域的工具应用到图像上;卷积公式和模板的关系,卷积公式的理解傅里叶变换和卷积

    关键字: 傅里叶级数 傅里叶变换 卷积公式 模板 滤波 

    傅里叶变换是图像处理的基础之一。本文是我理解各个概念及其相关关系的一个涂鸦笔记,所谓涂鸦,就是不正规,不够严谨,不够工整,重在自己的理解,方便以后自己查阅

    包括如下内容:

    傅里叶变换的理解,什么是傅里叶变换,什么是傅里叶级数,两者的关系如何;为什么能从一个时域的工具应用到图像上;卷积公式和模板的关系,卷积公式的理解,傅里叶变换和卷积公式的关系;滤波和卷积公式、模板及傅里叶变换的关系。


    1.傅里叶变换的理解

    1.1 傅里叶级数(变换)的意义

    1.1.1函数与三角函数级数

    周期函数可以写成三角级数的形式


    左边是 t的函数,可以理解为时域的形式

    右边是若干个(无穷个)正弦函数的线性叠加,可以理解为频率域的形式

    故可以理解为 时域的形式可以写成频率域的形式

     

     

    但是,目前的形式不利于计算和分析。

    傅里叶是一个天才,想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为,式子右边一大堆的函数,其实都是最简单的正弦函数,有利于后续的分析和计算。当然,这个式能否成立,关键是级数中的每一项都有一个未知系数,如A0、An等,如果能把这些系数求出来,那么5式就可以成立。当然在5式中,唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数,上式就可以成立,也能计算了。

    感性的理解见 不懂傅里叶变换就掐死我一文

     

    图像表示有三种等价形式

    1:三角函数形式在实数域上;

    2:复数指数形式在复数域上 这个图;

    3:复数指数形式在域上, 《特征提取与图像处理》书其系数的图像

     

    图1三角函数形式在实数域上

     

    对应的,

    2复数指数形式在复数域上 (是离散的,是无数条黑色螺旋线!)


    3复数指数形式在域上 (《特征提取与图像处理》书)

    其系数的图像为:

     


    1.2 傅里叶变换与傅里叶级数

    1.2.1       傅里叶级数

    傅里叶级数有两种形式 三角函数形式和复数形式

    1.2.1.1  三角函数形式的傅里叶级数

    f(t)是周期为T=2l的定义域为负无穷到正无穷


     

                   W=2pi/T=pi/l

    1.2.1.2复指数函数形式

     欧拉公式

     


    Cn是复变指数函数形式中的系数。前面的系数部分。

    其值是复变指数基下的;比方, 三角函数形式的an和bn是各自为cos和sin的。 这个值不直接等于an或bn,但是有等式。

     

     

    1.2.1.3例子

    周期函数

     

     

    奇函数

     



    1.2.2       傅里叶变换

    是对非周期函数而言的,

    是对复变指数函数形式而言的

     

     

    推导 见 http://wenku.baidu.com/link?url=d7YOQgqKOZjCvWWRd8eL-PqVaKjf8_EdTHA76N3ODtfdvt4N34dHCL9FaDJ__5snECBzlOYMi1eO_kf9L7_Tg_CAJP2q-LkuPx2uhps6Euq

     

    典型的非周期函数

    单脉冲(0点对称) 《特征提取与图像处理》书P30

    Cos函数对应的傅里叶变换 P33

    高斯函数对应的 P33

    。。。

     

    1.2.3       傅里叶级数VS 傅里叶变换

     

     

    上部 是傅里叶级数的复变指数函数形式,只列出了实数轴的样子,因为是对称函数虚数轴为0,全画出来的样子是:

     

    下部是傅里叶变换的复变指数函数形式,只列出了实数轴的样子,因为是对称函数虚数轴为0

     

     

    完全举例子:简单的例子周期性的脉冲函数 (傅里叶级数)

    A 用三角函数级数形式在实数域上表示

    B 用复变指数函数形式在复数域上表示

    C 用复数指数形式在域上表示

     



    2. 为什么能从一个一维时域信号用的工具应用到二维图像上

    2.1

    想象:如果是一维的图像把其一个像素视为一秒。

    二维的图像类似想象。像是涟漪一样。从左上角原点扩散开来。

    抽象的说,把空间域当成时间域。


    2.2 频率的理解

    时域的高频是指在一定时间内值变化的多

    空间域的高频是指在一定的空间内值的变化多,

    例如,在空间距离d中,空间频率(由白到灰)<(由白到黑)<(由白->黑->白)。所以,越细条,越频率高。





    3.滤波的理解

    滤波的两种方式:

    频率域滤波器:通过傅里叶变换->改变傅里叶变换->用逆傅里叶变换

    空间域滤波器:通过模板


    3.1 通过模板

    见4节描述

    3.2 频率域滤波(正规军)





    4.卷积与模板的理解

    4.1理解卷积

    模板等价于卷积运算,理解好模板有利于理解卷积

    卷积: 记为h(x)=(f*g)(x),

    模板:

    深蓝的点是x,g是 图像对应的函数,f是模板对应的函数。自变量在模板的范围内时,f的取值<>0;在模板范围外时,f的取值=0


    4.2  卷积、模板与傅里叶变换

    因为模板等价于卷积,故亦是模板与傅里叶变换的关系.

    空间域滤波器和频率域滤波器之间的对应关系(模板与频率域滤波器之间的关系):
    两者组成了一组傅里叶变换对。也就是说给出在频率域的滤波器,通过傅里叶反变换就可以得到在空间域相应的滤波器,反之亦然。
    这个最基本的联系是有卷积定理建立的

    卷积定理 f(x,y) * g(x,y)<=>F(u,v)G(u,v)

    所以,通过模板的函数f能求出其F,能知道模板对图像的滤波作用。

    对于 高斯模板,平均数模板,都是低通滤波器(low-pass)





    4.3 选择频率域滤波器还是空间域滤波器



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  • 傅里叶变换理解之三

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    对工科生来讲,傅里叶变换可以从三个层次来看: 傅里叶变换(Fourier Transform,FT)-> 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)-> 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) FT是理论基础,以FT为...

    一个很好的学习傅里叶变换的网站

    http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/

    一本很形象的书籍

    《漫画傅里叶解析》


    对工科生来讲,傅里叶变换可以从三个层次来看:

    傅里叶变换(Fourier Transform,FT)-> 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)-> 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)
    FT是理论基础,以FT为理论基础,可以完成从频率估计到求解微分方程各式各样的问题;
    DFT是指信号被采样之后你会得到 离散 (如你需要处理的音频信号被采样)而非 连续 的信号,这个时候就需要DFT来告诉你怎样处理并告知你一些离散情况下的特殊问题;
    FFT是一种计算DFT的算法,计算复杂度很低也就是执行起来很快的意思。
    举个例子吧:有人通过在小黑屋按钢琴的一个键不松会产生一个单音信号给你传递情报,
    y(t)=\sin(2\pi ft+\theta)
    信号的频率 f 取决于他所按的键。你看不见他,却希望获知信号的频率。怎么办?
    1.FT的理论就会告诉你可以通过傅里叶变化获知这个频率。
    但是这个信号飘荡在空中,你需要先通过采样得到一个离散信号
    y[i]=\sin(2\pi \frac{f}{f_{s}}i+\theta) \  \ \ \ \ (i=1,2,...N)
    ( f_{s} 是采样频率,香农和奈奎斯特告诉我们,需要 f_{s}>2f )。
    2.得到离散信号后如何计算 f ,DFT就会告诉你怎么办;
    3.你嫌DFT太慢了怎么办,FFT就粉墨登场了。

    从你计算机的专业背景和希望做音频降噪的需求来看。你需要掌握的是DFT和FFT我建议
    1. 找本高等数学的书,花半个小时看看什么是FT;
    2. 强烈推荐《Understanding Digital Signal Processing》,一本只需高中数学,且英文比中文都易懂的书,在 amazon.com 上有很高的评价( Understanding Digital Signal Processing (3rd Edition): Richard G. Lyons: 9780137027415: Amazon.com: Books ),国内有卖,建议认真看第1、2、3章。你会对离散傅里叶变换有很深入的了解;
    3. 实践出真知,看完什么理论,立马用matlab试试看,会理解的很透彻;
    4. project可以沿着matlab->VC->DSP->FPGA的道路前进。
    展开全文
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空空如也

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傅里叶变换理解