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  • 傅里叶变换理解

    2020-01-17 14:53:42
    由于工作上需要做分层匹配,在实现分层匹配钱先理解一下傅里叶变换和小波变换的区别。所以现在先转发一篇傅里叶变换通俗易懂的博文。 原文地址:https://www.guancha.cn/HanZuo/2014_06_08_235439.shtml 这篇...

    由于工作上需要做分层匹配,在实现分层匹配钱先理解一下傅里叶变换和小波变换的区别。所以现在先转发一篇傅里叶变换通俗易懂的博文。

    原文地址:https://www.guancha.cn/HanZuo/2014_06_08_235439.shtml

     

    这篇文章的核心思想就是:

    要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

    傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。(您把教材写得好玩一点会死吗?会死吗?)所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。

    ————以上是定场诗————

    下面进入正题:

    抱歉,还是要啰嗦一句:其实学习本来就不是易事,我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松,充满乐趣。但是千万!千万不要把这篇文章收藏起来,或是存下地址,心里想着:以后有时间再看。这样的例子太多了,也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何,耐下心,读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……

    一、啥叫频域

    从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为,世间万物都在随着时间不停的改变,并且永远不会静止下来。但如果我告诉你,用另一种方法来观察世界的话,你会发现世界是永恒不变的,你会不会觉得我疯了?我没有疯,这个静止的世界就叫做频域。

    先举一个公式上并非很恰当,但意义上再贴切不过的例子:

    在你的理解中,一段音乐是什么呢?

    一段音乐

    这是我们对音乐最普遍的理解,一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说,音乐更直观的理解是这样的:

    一段音乐

    好的!下课,同学们再见。

    是的,其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子,而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生,只是从来没意识到而已。

    现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话:世界是永恒的。

    将以上两图简化:

    时域:

    时域

    频域:

    频域

    在时域,我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动,就如同一支股票的走势;而在频域,只有那一个永恒的音符。

    所以,你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界,实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

    抱歉,这不是一句鸡汤文,而是黑板上确凿的公式:傅里叶同学告诉我们,任何周期函数,都可以看作是不同振幅,不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为,利用对不同琴键不同力度,不同时间点的敲击,可以组合出任何一首乐曲。

    而贯穿时域与频域的方法之一,就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数(Fourier Serie)和傅里叶变换(Fourier Transformation),我们从简单的开始谈起。

    二、傅里叶级数(Fourier Series)

    还是举个栗子(举个例子)并且有图有真相才好理解。

    如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来,你会相信吗?你不会,就像当年的我一样。但是看看下图:

    第一幅图是1个(郁闷的)正弦波 cos(x)

    第二幅图是 2 个(卖萌的)正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)

    第三幅图是 4 个(发春的)正弦波的叠加

    第四幅图是 10 个(便秘的)正弦波的叠加

    随着正弦波数量逐渐的增长,他们最终会叠加成一个标准的矩形,大家从中体会到了什么道理?

    随着叠加的递增,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢?不幸的告诉大家,答案是无穷多个。(上帝:我能让你们猜着我?)

    不仅仅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点,但是一旦接受了这样的设定,游戏就开始有意思起来了。

    还是上图的正弦波累加成矩形波,我们换一个角度来看看:

    在这几幅图中,最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和,也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了,每两个正弦波之间都还有一条直线,那并不是分割线,而是振幅为 0 的正弦波!也就是说,为了组成特殊的曲线,有些正弦波成分是不需要的。

    这里,不同频率的正弦波我们成为频率分量。

    好了,关键的地方来了!!

    如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”,我们就有了构建频域的最基本单元。

    对于我们最常见的有理数轴,数字“1”就是有理数轴的基本单元。

    (好吧,数学称法为——基。在那个年代,这个字还没有其他奇怪的解释,后面还有正交基这样的词汇我会说吗?)

    时域的基本单元就是“1 秒”,如果我们将一个角频率为的正弦波 cos(t)看作基础,那么频域的基本单元就是。

    有了“1”,还要有“0”才能构成世界,那么频域的“0”是什么呢?cos(0t)就是一个周期无限长的正弦波,也就是一条直线!所以在频域,0 频率也被称为直流分量,在傅里叶级数的叠加中,它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

     

    接下来,让我们回到初中,回忆一下已经死去的八戒,啊不,已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧

    正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。

    从正弦波到圆

    从正弦波到圆

    介绍完了频域的基本组成单元,我们就可以看一看一个矩形波,在频域里的另一个模样了:

    这是什么奇怪的东西?

     

    这就是矩形波在频域的样子,是不是完全认不出来了?教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想,以及无穷的吐槽,其实教科书只要补一张图就足够了:频域图像,也就是俗称的频谱,就是——

    这是什么奇怪的东西?

     

    再清楚一点:

    可以发现,在频谱中,偶数项的振幅都是0,也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。

    正弦波的时域与频域

    老实说,在我学傅里叶变换时,维基的这个图还没有出现,那时我就想到了这种表达方法,而且,后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

    但是在讲相位谱之前,我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗?估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下,世界上每一个看似混乱的表象,实际都是一条时间轴上不规则的曲线,但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影,而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢?

    我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布,幕布的后面有无数的齿轮,大齿轮带动小齿轮,小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演,却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转,永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话,这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的。

     

    以上文篇,作者有异议时麻烦通知一下我删除,在此发布纯属为了共享学习。谢谢。下一篇事关于小波变换的通俗易懂的讲解!

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  • 首先从周期函数的傅里叶级数讲起。任何周期函数 都可以写成三角函数和的形式: 也就是说任何一个周期为 的函数都可以展开成周期为 的三角函数之和。 :利用三角函数和差化积的公式,公式 和下面的公式是等价的: 带...

    bd4493ba869ff644ab6745f57cf4399e.png

    首先从周期函数的傅里叶级数讲起。

    任何周期函数

    都可以写成三角函数和的形式:

    也就是说任何一个周期为

    的函数都可以展开成周期为
    的三角函数之和。

    :利用三角函数和差化积的公式,公式
    和下面的公式是等价的:

    带相位的公式在直觉上更加直观,特别是配上教科书中矩形波展开成三角函数的图片。但是将相位转换为正弦和余弦函数的系数在计算上却变得简便,因为三角函数系

    正交的,利用这个性质,系数就可以通过求内积的方法得到(函数正交和内积的概念可以将傅里叶级数和矢量的分解联系起来):

    数学上还需要一些定理增加严谨性:狄利克雷收敛定理,但是大多数情况下我们只需要愉快的直接使用就可以了。对于有限区间上的函数,可以使用延拓的方法,非常好理解。


    :但是如果这个函数在整个数轴上都是非周期的呢?其实这种情况对应频率的连续分布。此时从傅里叶级数表示变成了傅里叶积分表示,也就是说:周期函数和有限区间上的函数是级数表示;无穷区间上的非周期函数是积分表示。

    其中系数为:

    上面的叫做傅里叶积分,别和傅里叶变换混淆了。(4)式的推导可以查教科书,形式上只需要将(1)式中的求和变为积分即可

    同样需要一些数学上严谨性的保证:这边的函数

    ,要求是绝对可积的。(有时候拿到一个周期函数要求它的傅里叶系数,就想当然的带入上面的公式,这是错误的。首先周期函数一般不是绝对可积的,其次周期函数使用正交的三角函数系展开。)

    :为什么傅里叶变换带有虚数,且出现了负频率?

    前面都是实数的形式,相对来说在脑海中可以构建出数轴的模型,但是最终傅里叶变换中突然就引入了虚数,这就是难理解的拐点之一,也就是凭什么要多此一举呢?因为我们真实世界中的信号实函数就可以描述了,我们测量的所有物理量也是实数,我们对于实数有着天生的直觉,但是对于复数大多人其实怀有畏惧的心理。

    其实虚数在这里出现的原因出奇的简单,可以用下面这个图片说明:

    9072a8f2b044a68acc7fec4c2c6b97f4.png

    你可以想象,如果数字用右边的那一列表示,那么进行数字的竖式运算,以及加减乘除会多么的麻烦。强如拉马努金,可能也很难通过右边原始的数学符号,猜出那些神奇的等式吧。

    傅里叶变换的复数形式为:

    其中:

    其实公式(6)(7)和公式(4)(5)之间是通过欧拉公式联系起来的。

    欧拉公式:

    由欧拉公式可得:

    这个叫做傅里叶变换的公式:

    ,实际上代替了傅里叶积分表示中的
    ,而
    则代替了
    。当然这里如果说得明白一点就可以自然理解负频率出现的意义了,因为在傅里叶积分中,我们对频率的积分是从零到无穷大,但是因为我们的正交函数系是三角函数系,频率都是正的,但是这里我们的基函数是
    ,而由欧拉公式
    ,
    所以对三角函数在正实轴的积分其实就是对
    在整个数轴上的积分,仅此而已
    。所以说实数函数的能谱一定是正负频率对称的。

    所以虚数的引入并没有改变傅里叶积分的意义,这里我觉得:

    形式上简化了,处理起来简单了,理解上困难了,这就是复数在这里的作用。我们大多数所说的能谱(功率谱),实际上就是不关心傅里叶变换中的相位部分,只关心某种频率成分的比重,这时候其实对应的就是傅里叶变换F的模。而复数的幅角实际上就是不同频率成分的相位信息。


    以上就是从傅里叶级数——傅里叶积分——傅里叶变换,三者之间的联系。但是我们实际测量一个连续的物理信号的时候,得到的其实都是这个实际物理信号在特定时间间隔的采样,其次计算机在进行傅里叶分析的时候,每次积分只能得到某个频率成分的比重,计算的频率点增多,随之的计算量也变得很大。于是就有了快速傅里叶变换FFT,当然离散傅里叶变换DFT和FFT是两个不同的概念,FFT是DFT的快速算法,对采样点有限制。这里我们就讲FFT。

    原来FFT的具体实现,目前自己居然从未接触过,只是在计算软件中给出具体的实现函数。FFT的具体推导过程可以在“信号与系统”的参考书中找到。


    最后就是广义傅里叶变换了,这在偏微分方程教材中有,但是如何和前面的理解有机的结合在一起,形成一个系统的知识体系,这是一个问题。

    难点四:在广义傅里叶变换下,原先的一些周期函数诸如

    函数也可以进行广义傅里叶变换,变成
    函数

    在前面已经指出,对于周期函数没有傅里叶变换,一般可以展开成傅里叶级数,系数可以表示成一个周期内的积分。但是在广义傅里叶变换中,傅里叶变换可以表示成频域中的

    函数。

    广义函数的定义:函数空间到实数(或复数)空间的映射。

    一般可以写成这样的形式:

    这样

    就是一个广义函数,典型的广义函数就是
    函数,将一个函数映射为在原点的取值。一些周期函数在这样的定义下也是广义函数,这要适当选取函数空间
    可以保证定义中右边的积分是收敛的。如果函数空间
    中的函数都可以进行傅里叶变换,那么变换后仍然可以构成一个函数空间,那么就可以把广义函数的傅里叶变换转移到实验函数的傅里叶变换,也就是说:

    可以给出以下关系的不严格的证明:

    只需将f(t)换成delta函数,并根据delta函数的性质,就可以得到delta函数的傅里叶变换,当然这里并没有用到广义函数的傅里叶变换的定义,所以这样的证明当然是不严格的。这样一个简单的关系,配合广义傅里叶变换的时移,频移,伸缩,求导等性质,可以得到很多常见函数的广义傅里叶变换

    思考:一个函数如果存在傅里叶变换,那么它的广义傅里叶变换和傅里叶变换是否一样?

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  • 首先从周期函数的傅里叶级数讲起。任何周期函数 都可以写成三角函数和的形式: 也就是说任何一个周期为 的函数都可以展开成周期为 的三角函数之和。 :利用三角函数和差化积的公式,公式 和下面的公式是等价的: 带...

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    首先从周期函数的傅里叶级数讲起。

    任何周期函数

    都可以写成三角函数和的形式:

    也就是说任何一个周期为

    的函数都可以展开成周期为
    的三角函数之和。

    :利用三角函数和差化积的公式,公式
    和下面的公式是等价的:

    带相位的公式在直觉上更加直观,特别是配上教科书中矩形波展开成三角函数的图片。但是将相位转换为正弦和余弦函数的系数在计算上却变得简便,因为三角函数系

    正交的,利用这个性质,系数就可以通过求内积的方法得到(函数正交和内积的概念可以将傅里叶级数和矢量的分解联系起来):

    数学上还需要一些定理增加严谨性:狄利克雷收敛定理,但是大多数情况下我们只需要愉快的直接使用就可以了。对于有限区间上的函数,可以使用延拓的方法,非常好理解。


    :但是如果这个函数在整个数轴上都是非周期的呢?其实这种情况对应频率的连续分布。此时从傅里叶级数表示变成了傅里叶积分表示,也就是说:周期函数和有限区间上的函数是级数表示;无穷区间上的非周期函数是积分表示。

    其中系数为:

    上面的叫做傅里叶积分,别和傅里叶变换混淆了。(4)式的推导可以查教科书,形式上只需要将(1)式中的求和变为积分即可

    同样需要一些数学上严谨性的保证:这边的函数

    ,要求是绝对可积的。(有时候拿到一个周期函数要求它的傅里叶系数,就想当然的带入上面的公式,这是错误的。首先周期函数一般不是绝对可积的,其次周期函数使用正交的三角函数系展开。)

    :为什么傅里叶变换带有虚数,且出现了负频率?

    前面都是实数的形式,相对来说在脑海中可以构建出数轴的模型,但是最终傅里叶变换中突然就引入了虚数,这就是难理解的拐点之一,也就是凭什么要多此一举呢?因为我们真实世界中的信号实函数就可以描述了,我们测量的所有物理量也是实数,我们对于实数有着天生的直觉,但是对于复数大多人其实怀有畏惧的心理。

    其实虚数在这里出现的原因出奇的简单,可以用下面这个图片说明:

    37c46f87ca2a00716c013284b5d4f1f6.png

    你可以想象,如果数字用右边的那一列表示,那么进行数字的竖式运算,以及加减乘除会多么的麻烦。强如拉马努金,可能也很难通过右边原始的数学符号,猜出那些神奇的等式吧。

    傅里叶变换的复数形式为:

    其中:

    其实公式(6)(7)和公式(4)(5)之间是通过欧拉公式联系起来的。

    欧拉公式:

    由欧拉公式可得:

    这个叫做傅里叶变换的公式:

    ,实际上代替了傅里叶积分表示中的
    ,而
    则代替了
    。当然这里如果说得明白一点就可以自然理解负频率出现的意义了,因为在傅里叶积分中,我们对频率的积分是从零到无穷大,但是因为我们的正交函数系是三角函数系,频率都是正的,但是这里我们的基函数是
    ,而由欧拉公式
    ,
    所以对三角函数在正实轴的积分其实就是对
    在整个数轴上的积分,仅此而已
    。所以说实数函数的能谱一定是正负频率对称的。

    所以虚数的引入并没有改变傅里叶积分的意义,这里我觉得:

    形式上简化了,处理起来简单了,理解上困难了,这就是复数在这里的作用。我们大多数所说的能谱(功率谱),实际上就是不关心傅里叶变换中的相位部分,只关心某种频率成分的比重,这时候其实对应的就是傅里叶变换F的模。而复数的幅角实际上就是不同频率成分的相位信息。


    以上就是从傅里叶级数——傅里叶积分——傅里叶变换,三者之间的联系。但是我们实际测量一个连续的物理信号的时候,得到的其实都是这个实际物理信号在特定时间间隔的采样,其次计算机在进行傅里叶分析的时候,每次积分只能得到某个频率成分的比重,计算的频率点增多,随之的计算量也变得很大。于是就有了快速傅里叶变换FFT,当然离散傅里叶变换DFT和FFT是两个不同的概念,FFT是DFT的快速算法,对采样点有限制。这里我们就讲FFT。

    原来FFT的具体实现,目前自己居然从未接触过,只是在计算软件中给出具体的实现函数。FFT的具体推导过程可以在“信号与系统”的参考书中找到。


    最后就是广义傅里叶变换了,这在偏微分方程教材中有,但是如何和前面的理解有机的结合在一起,形成一个系统的知识体系,这是一个问题。

    难点四:在广义傅里叶变换下,原先的一些周期函数诸如

    函数也可以进行广义傅里叶变换,变成
    函数

    在前面已经指出,对于周期函数没有傅里叶变换,一般可以展开成傅里叶级数,系数可以表示成一个周期内的积分。但是在广义傅里叶变换中,傅里叶变换可以表示成频域中的

    函数。

    广义函数的定义:函数空间到实数(或复数)空间的映射。

    一般可以写成这样的形式:

    这样

    就是一个广义函数,典型的广义函数就是
    函数,将一个函数映射为在原点的取值。一些周期函数在这样的定义下也是广义函数,这要适当选取函数空间
    可以保证定义中右边的积分是收敛的。如果函数空间
    中的函数都可以进行傅里叶变换,那么变换后仍然可以构成一个函数空间,那么就可以把广义函数的傅里叶变换转移到实验函数的傅里叶变换,也就是说:

    可以给出以下关系的不严格的证明:

    只需将f(t)换成delta函数,并根据delta函数的性质,就可以得到delta函数的傅里叶变换,当然这里并没有用到广义函数的傅里叶变换的定义,所以这样的证明当然是不严格的。这样一个简单的关系,配合广义傅里叶变换的时移,频移,伸缩,求导等性质,可以得到很多常见函数的广义傅里叶变换

    思考:一个函数如果存在傅里叶变换,那么它的广义傅里叶变换和傅里叶变换是否一样?

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  • 关键字: 傅里叶级数 傅里叶变换 卷积...傅里叶变换理解,什么是傅里叶变换,什么是傅里叶级数,两者的关系如何;为什么能从一个时域的工具应用到图像上;卷积公式和模板的关系,卷积公式的理解傅里叶变换和卷积

    关键字: 傅里叶级数 傅里叶变换 卷积公式 模板 滤波 

    傅里叶变换是图像处理的基础之一。本文是我理解各个概念及其相关关系的一个涂鸦笔记,所谓涂鸦,就是不正规,不够严谨,不够工整,重在自己的理解,方便以后自己查阅

    包括如下内容:

    傅里叶变换的理解,什么是傅里叶变换,什么是傅里叶级数,两者的关系如何;为什么能从一个时域的工具应用到图像上;卷积公式和模板的关系,卷积公式的理解,傅里叶变换和卷积公式的关系;滤波和卷积公式、模板及傅里叶变换的关系。


    1.傅里叶变换的理解

    1.1 傅里叶级数(变换)的意义

    1.1.1函数与三角函数级数

    周期函数可以写成三角级数的形式


    左边是 t的函数,可以理解为时域的形式

    右边是若干个(无穷个)正弦函数的线性叠加,可以理解为频率域的形式

    故可以理解为 时域的形式可以写成频率域的形式

     

     

    但是,目前的形式不利于计算和分析。

    傅里叶是一个天才,想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为,式子右边一大堆的函数,其实都是最简单的正弦函数,有利于后续的分析和计算。当然,这个式能否成立,关键是级数中的每一项都有一个未知系数,如A0、An等,如果能把这些系数求出来,那么5式就可以成立。当然在5式中,唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数,上式就可以成立,也能计算了。

    感性的理解见 不懂傅里叶变换就掐死我一文

     

    图像表示有三种等价形式

    1:三角函数形式在实数域上;

    2:复数指数形式在复数域上 这个图;

    3:复数指数形式在域上, 《特征提取与图像处理》书其系数的图像

     

    图1三角函数形式在实数域上

     

    对应的,

    2复数指数形式在复数域上 (是离散的,是无数条黑色螺旋线!)


    3复数指数形式在域上 (《特征提取与图像处理》书)

    其系数的图像为:

     


    1.2 傅里叶变换与傅里叶级数

    1.2.1       傅里叶级数

    傅里叶级数有两种形式 三角函数形式和复数形式

    1.2.1.1  三角函数形式的傅里叶级数

    f(t)是周期为T=2l的定义域为负无穷到正无穷


     

                   W=2pi/T=pi/l

    1.2.1.2复指数函数形式

     欧拉公式

     


    Cn是复变指数函数形式中的系数。前面的系数部分。

    其值是复变指数基下的;比方, 三角函数形式的an和bn是各自为cos和sin的。 这个值不直接等于an或bn,但是有等式。

     

     

    1.2.1.3例子

    周期函数

     

     

    奇函数

     



    1.2.2       傅里叶变换

    是对非周期函数而言的,

    是对复变指数函数形式而言的

     

     

    推导 见 http://wenku.baidu.com/link?url=d7YOQgqKOZjCvWWRd8eL-PqVaKjf8_EdTHA76N3ODtfdvt4N34dHCL9FaDJ__5snECBzlOYMi1eO_kf9L7_Tg_CAJP2q-LkuPx2uhps6Euq

     

    典型的非周期函数

    单脉冲(0点对称) 《特征提取与图像处理》书P30

    Cos函数对应的傅里叶变换 P33

    高斯函数对应的 P33

    。。。

     

    1.2.3       傅里叶级数VS 傅里叶变换

     

     

    上部 是傅里叶级数的复变指数函数形式,只列出了实数轴的样子,因为是对称函数虚数轴为0,全画出来的样子是:

     

    下部是傅里叶变换的复变指数函数形式,只列出了实数轴的样子,因为是对称函数虚数轴为0

     

     

    完全举例子:简单的例子周期性的脉冲函数 (傅里叶级数)

    A 用三角函数级数形式在实数域上表示

    B 用复变指数函数形式在复数域上表示

    C 用复数指数形式在域上表示

     



    2. 为什么能从一个一维时域信号用的工具应用到二维图像上

    2.1

    想象:如果是一维的图像把其一个像素视为一秒。

    二维的图像类似想象。像是涟漪一样。从左上角原点扩散开来。

    抽象的说,把空间域当成时间域。


    2.2 频率的理解

    时域的高频是指在一定时间内值变化的多

    空间域的高频是指在一定的空间内值的变化多,

    例如,在空间距离d中,空间频率(由白到灰)<(由白到黑)<(由白->黑->白)。所以,越细条,越频率高。





    3.滤波的理解

    滤波的两种方式:

    频率域滤波器:通过傅里叶变换->改变傅里叶变换->用逆傅里叶变换

    空间域滤波器:通过模板


    3.1 通过模板

    见4节描述

    3.2 频率域滤波(正规军)





    4.卷积与模板的理解

    4.1理解卷积

    模板等价于卷积运算,理解好模板有利于理解卷积

    卷积: 记为h(x)=(f*g)(x),

    模板:

    深蓝的点是x,g是 图像对应的函数,f是模板对应的函数。自变量在模板的范围内时,f的取值<>0;在模板范围外时,f的取值=0


    4.2  卷积、模板与傅里叶变换

    因为模板等价于卷积,故亦是模板与傅里叶变换的关系.

    空间域滤波器和频率域滤波器之间的对应关系(模板与频率域滤波器之间的关系):
    两者组成了一组傅里叶变换对。也就是说给出在频率域的滤波器,通过傅里叶反变换就可以得到在空间域相应的滤波器,反之亦然。
    这个最基本的联系是有卷积定理建立的

    卷积定理 f(x,y) * g(x,y)<=>F(u,v)G(u,v)

    所以,通过模板的函数f能求出其F,能知道模板对图像的滤波作用。

    对于 高斯模板,平均数模板,都是低通滤波器(low-pass)





    4.3 选择频率域滤波器还是空间域滤波器



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