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  • 展开全部傅立叶变换的公式为:即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下:傅立叶变换,表示能将满足32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363564一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)...

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    傅立叶变换的公式为:

    即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下:

    傅立叶变换,表示能将满足32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363564一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

    傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

    扩展资料

    如果t满足狄里赫莱条件:在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点,附f(x)单调或可划分成有限个单调区间,则F(x)以2T为周期的傅里叶级数收敛,和函数S(x)也是以2T为周期的周期函数,且在这些间断点上,函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、绝对可积。

    傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小)。

    为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换,必须将函数定义在离散点上而非连续域内,且须满足有限性或周期性条件。

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  • 傅里叶分析之掐死教程,我看了,说实话我觉得有点绕,如果没学过傅里叶变换我觉得不可能看一遍就懂,估计会卡死很久。尤其是那些矢量图和大海螺旋图,让我一脸懵逼,怀疑自己没学过傅里叶变换。Heinrich:傅里叶分析...

    709c41ee4ab2852557c1d1f4750dd21d.png

    <前言>

    傅里叶分析之掐死教程,我看了,说实话我觉得有点绕,如果没学过傅里叶变换我觉得不可能看一遍就懂,估计会卡死很久。尤其是那些矢量图和大海螺旋图,让我一脸懵逼,怀疑自己没学过傅里叶变换。

    Heinrich:傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06zhuanlan.zhihu.com
    5bc00b7ae92f357e82fba81bae6483f5.png

    仔细一想,作者说“要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析”。这就麻烦了,数学语言简洁直接,要最快理解显然应该不应该走这条路,而应该先把相关的数学知识搞清楚到能理解傅里叶变换的程度。

    当然像作者这样去讲述也是很棒的(尤其是我引用的那张图,很清晰),但是我总觉得这样会使已经有一点数学基础的人看的更晕,没有数学基础的同学也不可能很快理解。

    </前言>

    <正文>

    我们可以将任意信号强度随时间变化的规律写成函数f(x),x表示时间。

    任意信号往往非常复杂毫无规律,难以用数学式表示,于是我们希望将函数f(x)分解为几个简单的函数相加的形式,分解如下表示:

    7ab3df0e949aafca70995792fb8b03ff.png

    我们自然希望找到一种分解(选择一种合适的基底函数),能够很方便地求出系数c_n。数学家告诉我们三角函数、复指数函数正是合适的基底函数。

    利用三角函数系或复指数函数系展开的函数级数被称为傅立叶级数。

    周期为T的函数f(x)傅里叶级数展开如下:

    fe82362636aabc37c79addebb23acff1.png

    数学家(知道我们不会算)同时告诉了我们系数:

    943baa58802f9b2ac91b1a35af85fe1d.png
    式中a_n, b_n是傅立叶系数,ω为基频,与周期T或频率f的关系是ω=2π/T=2πf。

    4d583e96ce7afd9b97c5bd0c39bf53d0.png
    补充一下振幅和相位的定义

    把频率作为x轴(数值用n表示),把振幅An作为y轴,可以画出频谱图(幅度谱):

    1a5122d9b8246e6f545022a5f91c349e.png
    (随便取的数值)

    利用频谱图还可以直观地分析各谐波分量的组成以及比重。当然还有相位谱图,频率作为x轴(数值用n表示),相位φ作为y轴就好了。

    如上所述,我们可以将一个复杂的周期性信号分解成几个简单的简谐波叠加。

    (把复杂的波形变成如上几根线段,真是太爽了!)

    那非周期性函数怎么办?非周期函数的傅立叶展开式,周期无限大,采用傅立叶积分。

    傅立叶积分是傅立叶级数取极限得到的,推导过程如下图所示:

    (前方复指数函数警告,没学过可以跳过下图推导)

    2c876abbdaaaaf296b01d69be03b4af3.png
    (非周期拿几个简谐波叠加凑不好,那就多几个,无限多个来个积分总够了吧!)

    对比一下傅里叶级数的式子:

    39da8ccdc91d7693edb64563f9350d8f.png

    非周期信号的F(f)就是周期性信号的An(也就是一开始说的系数)。

    非周期信号和周期性信号的区别就在于频谱是否连续:

    454dad13e7b10da13228bdc2a839cf7d.png
    (两图的数值都是乱定的)

    <总结一下>

    所以呢,傅里叶变换就是在分解一个函数的过程中,某个叫傅里叶的人发现某种分解方式特别简洁好算,然后就把这种分解方式(变换)命名为傅里叶变换。

    从数学上理解,就是把一个函数写成几个(或者无限个,取个极限)函数(三角函数或复指数函数)相加的过程。

    从信号处理的角度来理解,就是把一个在时域上非常复杂的信号函数(随时间变化非常复杂),转变为在频域上相对简单便于处理的频谱函数的过程。

    下图非常直观地表现了这一过程。基底函数是三角函数,原始信号函数前面那个是图像类似于矩形波的函数。如果要分解真正的矩形波(显然是非周期函数),频谱图像就是连续的。

    e4a8f8fae958112fc0b0635385620a0e.png

    </总结一下>

    很多时候会把f写成u:

    d2e926afb2774d402a4b677a9e014a41.png

    还有傅里叶反(逆)变换:

    df09699d85424318fa71be3f5b1c5807.png

    傅立叶变换是互逆的,唯一的。如果没有这一性质,就不能将一个时域的函数变换为频域进行分析,再变换回时域。

    值得注意的是,上文我们以信号随时间的变化举例来理解一维的傅里叶变换,或者说应用一维傅里叶变换处理随时间变换的信号问题。但是傅里叶变换在数学上仅仅是一个函数变换,具体变量的含义并无规定。

    </正文>

    <遥感数字图像处理原理课的复习>

    通过“处理时间信号”的例子,现在我们已经理解了傅里叶变换。很容易将傅里叶变换拓展至多维。二维函数的傅立叶变换和反变换分别定义为:

    b6663785008e6374e3d0cf807fe7867b.png

    处理静态二维图像需要使用二维傅里叶变换。

    f(x,y)是一幅图像,F(u,v)是它的傅立叶变换。u, v是傅立叶变换的空间频率。

    对比一下利用一维傅里叶变换处理时间信号:

    • 一维傅里叶变换(处理时间信号):时域的函数变换为频域,进行分析,再变换回时域。
    • 二维傅里叶变换(处理二维图像):空域的函数变换为频域,进行分析,再变换回空域。

    应该不难理解。

    空间频率在上一节课《数字图像处理的光学基础》中已经讲过,可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。对于图像信号,空间频率是指单位长度内亮度作周期性变化的次数。

    空间频率的概念在图像处理中十分重要。了解噪声、线、细节、背景或平滑区域等对应的空间频率特性,才能更好地对图像进行处理。

    空间频率知识细节对应到光学,涉及阿贝成像理论:

    物体经过光学系统到像经历了两个过程:

    (1)物经过光学系统后,在它的后焦面上形成衍射图样(夫琅和费衍射)。

    (2)以衍射图样为次波波源,在像平面上产生振幅叠加而构成了物的像。

    这两个过程分别对应傅立叶正变换和傅里叶反变换。阿贝在数学上证明了,二次成像过程就是对二维光场的复振幅进行正、反两次傅立叶变换的过程。

    第一次是把光场复振幅的空间分布,变成光学系统后焦面上的空间频率的分布。

    第二次的作用是把空间频率分布还原成光场复振幅的空间分布。

    光的二次傅立叶变换,是数字图像处理中改善图像质量的光学理论基础。

    </遥感数字图像处理原理课的复习>

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  • Matlab使用杂谈3-Fourier函数实现傅里叶变换傅里叶变换Matlab中Fourier函数Fourier使用实例普通用法参数变换向量输入傅里叶...傅立叶变换,表示能将满足一定条件某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或...

    傅里叶变换

    傅里叶展开式(Fourier expansion)是指用三角级数表示的形式,即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。傅立叶变换,表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合
    来源百度百科

    来源百度百科

    Matlab中的Fourier函数

    Matlab中关于Fourier使用的讲解
    语法:
    fourier(f)
    fourier(f,transVar)
    fourier(f,var,transVar)

    f-输入,可以是表达式、函数、向量或矩阵等
    var-变量,一般为时间变量或空间变量,如果不设置该变量,一般使用函数中的符号变量作为默认值

    transVar-转换变量,可以是符号变量,表达式,向量或矩阵,该变量通常称为“频率变量”,默认情况下,傅立叶使用w,如果w是f的自变量,则傅立叶使用v。
    The Fourier transform of the expression f = f(x) with respect to the variable x at the point w is

    在这里插入图片描述

    c and s are parameters of the Fourier transform. The fourier function uses c = 1, s = –1.

    Fourier使用实例

    普通用法

    clear;clc
    %% Fourier函数的使用
    %-----------基本使用------------%
    % 一般默认w为变换变量,x为待变换变量
    syms t x
    f=exp(-t^2-x^2);
    f1=fourier(f)
    % 指定转换变量
    syms y
    f2=fourier(f,y)
    % 指定待变换变量和变换变量
    f3=fourier(f,t,y)
    
    

    运行输出结果为:
    在这里插入图片描述

    参数变换

    The Fourier transform of the expression f = f(x) with respect to the variable x at the point w is

    在这里插入图片描述

    c and s are parameters of the Fourier transform. The fourier function uses c = 1, s = –1.

    %------傅里叶变换参数的变换------%
    % 傅里叶中c默认为1,s默认为-1
    % 使用sympref改变其参数
    sympref('FourierParameters',[2 1]);
    fourier(f)
    % 在使用完后记得恢复默认,否则影响下次使用
    sympref('FourierParameters','default');
    

    运行结果为:
    在这里插入图片描述

    向量输入

    %------------向量输入------------%
    syms a b c d w x y z
    M=[exp(x) 1;sin(y) i*z];
    vars=[w x;y z];
    transVars=[a b; c d];
    fourier(M,vars,transVars);
    

    运行结果为:
    在这里插入图片描述

    傅里叶变换无结果

    %---------傅里叶变换不存在--------%
    syms f(t) w
    fourier(f,t,w)
    

    运行结果为:
    在这里插入图片描述

    傅里叶逆变换

    利用ifourier进行变换,语法基本与fourier一致

    ifourier(F,w,t)
    ans = f(t)
    
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  • 要了解傅里叶变换,必须要先掌握傅里叶级数,有三角函数和指数形式。傅里叶级数可以参考:炫云:傅里叶级数指数(复数)表示法​zhuanlan.zhihu.com炫云:傅里叶展开,傅里叶级数推导--非常棒​zhuanlan.zhihu.com...

    要了解傅里叶变换,必须要先掌握傅里叶级数,有三角函数和指数形式。

    傅里叶级数可以参考:

    炫云:傅里叶级数的指数(复数)表示法zhuanlan.zhihu.com
    1a132d749b5b583e41741a20b63e13aa.png
    炫云:傅里叶展开,傅里叶级数推导--非常棒zhuanlan.zhihu.com
    c52bd5e826a0856020e4f4d2822b5687.png

    傅里叶级数可用于周期为

    的周期函数(periodic function)。但是,非周期函数,或者说周期范围为
    的周期函数,不适用于傅里叶级数,但适用于傅里叶变换。接下来基于傅里叶级数的指数形式(式(28)),进行傅里叶变换的公式推导。

    傅里叶级数的指数形式


    ,代入式
    得:

    为了方便理解,引入自变量为

    的函数
    :

    将式(30)代入式(24),并令

    ,可得在自变量的区间
    内,傅里叶级数的指

    数形式为:

    即:

    由于

    ,令
    ,则
    ,代入式(32)得:

    当周期

    时,
    ,用积分符号代替式(33)中的累加符号,并设定积分上下限为正无穷与负无穷,得:

    注意一下,此时,运算已经从

    拓展到了
    ,傅里叶级数也拓展到了傅里叶变换。由式(34)可得:

    式(35)中,

    的傅里叶变换,记为:


    还可得傅里叶变换逆变换(Inverse Fourier Transform),记为

    问题一:为什么按照傅里叶公式做就可以将信号从时域转变到频域?


    其实不需要从公式的角度理解,从第一部分的傅里叶级数的定义就可以回答这个问题了。在傅里叶级数的定义中,"任何周期函数(

    )都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数,或者指数函数构成的无穷级数来表示。”实际上,式(1)中的
    项,每一项正弦函数,余弦函数或者指数函数都代表某一种频率的信号。也就是说,任何周期函数
    (为时域信号)都可以用基波(fundamental wave)与无穷的谐波(harmonic wave)的线性组合(linear combination)来表示。式(1)中,基波频率为
    ,其权值为
    ,单位为赫兹(Herz, Hz),谐波频率为
    ,其权值为
    ,单位同样为Hz。所谓傅里叶变换,实际上就是求得基波与各个谐波相对应的权值
    ,这也可以从式(30)中看出来。求得所有频率成分的权值
    后,即可将信号从时域转变到频率上,如图3所示。

    2da670b5a030d61b0dc4214fd985fd0b.png
    图3:傅里叶变换

    问题二:为什么式中的

    部分会出现一个负号?有什么特定的意义?

    由式(30)可知,傅里叶变换

    由傅里叶级数的指数形式的权值
    得来。由式(22)可知,
    计算得来。由式(5)与式(6)可得知
    的计算公式是利用了正弦与余弦函数的正交性得来。综上,根据欧拉公式,傅里叶变换式(35)中的
    实际上是利用正弦与余弦函数的正交性,在时域信号
    中,“过滤出”角频率为
    的信号(图3中被分离出来的各个简谐波),从而得到该信号的权值
    ,这个权值
    在图3的“Frequency Domain”中也表现为各个“峰”的高度。
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    2016-12-23 17:37:00
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  • 傅里叶变换的理解

    千次阅读 2018-05-18 22:26:26
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    千次阅读 2015-06-01 17:59:27
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    万次阅读 多人点赞 2020-04-07 17:30:06
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空空如也

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傅里叶变换的三角函数展开