精华内容
下载资源
问答
  • 对于雷达的分数傅里叶变换 很详细 里面有原理以及相应的仿真结果
  • 第25章 DSP变换运算-快速傅里叶变换原理(FFT) 在数字信号处理中常常需要用到离散傅立叶变换(DFT),以获取信号的频域特征。尽管传统的DFT算法能够获取信号频域特征,但是算法计算量大,耗时长,不利于计算机实时对...

     完整版教程下载地址:http://www.armbbs.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=94547

    第25章       DSP变换运算-快速傅里叶变换原理(FFT)

    在数字信号处理中常常需要用到离散傅立叶变换(DFT),以获取信号的频域特征。尽管传统的DFT算法能够获取信号频域特征,但是算法计算量大,耗时长,不利于计算机实时对信号进行处理。因此导致DFT被发现以来,在很长的一段时间内都不能被应用到实际工程项目中,直到一种快速的离散傅立叶计算方法——FFT被发现,离散是傅立叶变换才在实际的工程中得到广泛应用。需要强调的是,FFT并不是一种新的频域特征获取方式,而是DFT的一种快速实现算法。

    特别声明:FFT原理的讲解来自网络和书籍。

    目录

    第25章       DSP变换运算-快速傅里叶变换原理(FFT)

    25.1 初学者重要提示

    25.2 FFT的由来

    25.3 直接计算DFT的问题及改进路径

    25.3.1 问题的提出

    25.3.2 DFT的运算量

    25.4 改善DFT运算效率的基本途径

    25.5 按时间抽选的基2-FFT算法

    25.5.1 算法原理

    25.5.2 算法步骤

    25.5.3 FFT算法和直接计算DFT运算量的比较

    25.6 按频率抽选的基2-FFT算法

    25.7 总结


     

    25.1 初学者重要提示

    1、  为大家推荐西电的国家级精品课程信号与系统,含课堂视频,书籍和课堂PPT

    http://www.armbbs.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=94886

    2、 非常好的DSP基础知识普及书籍:

    http://www.armbbs.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=97312

    25.2 FFT的由来

    离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是数字信号处理最重要的基石之一,也是对信号进行分析处理时,最常用的工具之一。在200多年前,法国数学家、物理学家傅里叶提出以他的名字命名的傅里叶级数之后,用DFT这个工具来分析信号就已经被人们所知。

    历史上最伟大的数学家之一,欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式,例如:y = f(x)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一,给出了一个用实变量函数表示傅立叶系数的方程,用三角级数来描述离散声音在媒介中传播,发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。 但在很长时间内,这种分析方法并没有引起更多的重视,最主要的原因在于这种方法运算量比较大。直到1965年,Cooley和Tukey在《计算机科学 》发表著名的《机器计算傅立叶级数的一种算法》论文,FFT才开始大规模应用。

    那个年代,有个肯尼迪总统科学咨询委员会,其中有项研究主题是对苏联核测试进行检测,Tukey就是其中一员。美国/苏联核测试提案的批准,主要取决于不实地访问核测试设施而做出检测方法。其中一个想法是,分析离海岸的地震情况,这种计算需要快速算法来计算DFT。其它应用是国家安全,如用声学探测远距离的核潜艇。所以在军事上,迫切需要一种快速的傅立叶变换算法,这也促进了FFT的正式提出。

    FFT充分利用了DFT运算中的对称性和周期性,从而将DFT运算量从N2减少到 。当N比较小时,FFT优势并不明显。但当N大于32开始,点数越大,FFT对运算量的改善越明显。比如当N为1024时,FFT的运算效率比DFT提高了100倍。在库利和图基提出的FFT算法中,其基本原理是先将一个N点时域序列的DFT分解为N个1点序列的DFT,然后将这样计算出来的N个1点序列DFT的结果进行组合,得到最初的N点时域序列的DFT值。实际上,这种基本的思想很早就由德国伟大的数学家高斯提出过,在某种情况下,天文学计算(也是现在FFT应用的领域之一)与等距观察的有限集中的行星轨道的内插值有关。由于当时计算都是靠手工,所以产生一种快速算法的迫切需要。 而且,更少的计算量同时也代表着错误的机会更少,正确性更高。高斯发现,一个富氏级数有宽度N=N1*N2,可以分成几个部分。计算N2子样本DFT的N1长度和N1子样本DFT的N2长度。只是由于当时尚欠东风——计算机还没发明。在20世纪60年代,伴随着计算机的发展和成熟,库利和图基的成果掀起了数字信号处理的革命,因而FFT发明者的桂冠才落在他们头上。

    之后,桑德(G.Sand)-图基等快速算法相继出现,几经改进,很快形成了一套高效运算方法,这就是现在的快速傅立叶变换(FFT)。这种算法使DFT的运算效率提高1到2个数量级,为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了良好的条件,大大推进了数学信号处理技术。1984年,法国的杜哈梅(P.Dohamel)和霍尔曼(H.Hollamann)提出的分裂基块快速算法,使运算效率进一步提高。

    库利和图基的FFT算法的最基本运算为蝶形运算,每个蝶形运算包括两个输入点,因而也称为基-2算法。在这之后,又有一些新的算法,进一步提高了FFT的运算效率,比如基-4算法,分裂基算法等。这些新算法对FFT运算效率的提高一般在50%以内,远远不如FFT对DFT运算的提高幅度。从这个意义上说,FFT算法是里程碑式的。可以说,正是计算机技术的发展和FFT的出现,才使得数字信号处理迎来了一个崭新的时代。除了运算效率的大幅度提高外,FFT还大大降低了DFT运算带来的累计量化误差,这点常为人们所忽略。

    25.3 直接计算DFT的问题及改进路径

    25.3.1 问题的提出

    设有限长序列x(n),非零值长度为N,若对x(n)进行一次DFT运行,共需要多大的运算工作量。

    25.3.2 DFT的运算量

    DFT和IDFT的变换式:

     

    下面以DFT为例说明计算量:

    计算机运算时(编程实现):

     

    由上面的结算可得DFT的计算量如下:

     

    复数乘法的计算量:(a+jb)(c+jd)=(ab-bd)+j(bc+ad)

     

    下面通过两个实例来说明计算量:

    例一:计算一个N点DFT,共需 次复乘。以做一次复乘1 计算,若N=4096,所需时间为

     

    例二:石油勘探,有24个通道的记录,每通道波形记录长度为5秒,若每秒抽样500点/秒。

    1. 每道总抽样点数:500*5 = 2500点。
    2. 24道总抽样点数:24*2500=6万点。

    由于计算量大,且要求相当大的内存,难以实现实时处理,限制了DFT的应用,人们一直在寻求一种能提高DFT运算速度的方法。

    FFT便是Cooley和Tukey在1995年提出来的快速算法,它可以使运算速度提高几百倍,从而使数字信号处理成为一个新兴的应用学科。

    25.4 改善DFT运算效率的基本途径

    1、利用DFT运算的系数 的固有对称性和周期性,改善DFT的运算效率。

    1)对称性

    2)周期性

    3)可约性

     

    2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT的思路

    因为DFT的运算量与N2成正比,如果一个大点数N的DFT能分解为若干小点数DFT的组合,则显然可以达到减少运算工作量的效果。

    FFT算法的基本思想:

    • 利用DFT系数的特性,合并DFT运算中的某些项。
    • 把长序列DFTà短序列DFT,从而减少运算量。

     

    FFT算法分类:

    时间抽选法

    DIT: Decimation-In-Time

    频率抽选法

    DIF: Decimation-In-Frequency

    25.5 按时间抽选的基2-FFT算法

    25.5.1 算法原理

    设输入序列长度为N = 2M(M为正整数),将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列,称为基2按时间抽取的FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。

    其中基2表示:N = 2M,M为整数。若不满足这个条件,可以人为地加上若干零值(加零补长)使其达到N = 2,M。

    25.5.2 算法步骤

    • 分组,变量置换

     

    • 分组,变量置换

     

    其中k = 0, 1,…. N/2 – 1。 和 只有N/2个点,以N/2为周期;而X(k)却有N个点,以N为周期。要用x1(k)和x2(k)表达全部的X(k)值。还必须利用系数的周期特性。

     

    有了上面的计算结果后,我们可以得到如下的蝶形运算流图符号:

     

    关于这个蝶形运算流图符号说明如下:

    1. 1个蝶形运算需要1次复乘,2次复加。
    2. 左边两路为输入。
    3. 右边两路为输出。
    4. 中间以一个小圆表示加减运算(右上路为相加输出,右下路为相减输出)。
    • 分解后的运算量

    运算量减少了近一半。

    例子:求N=23=8点FFT变化。按N=8àN/2=4,做4点的DFT,先将N=8点的DFT分解成2个4点的DFT:

    可知:  时域上 x(0),x(2),x(4),x(6)为偶子序列。

                   x(1),x(3),x(5),x(7)为奇子序列。

            频域上  X(0) 到X(3) 由X(k)给出

                    X(4) 到X(7) 由X(k+N/2)给出

     

    此外,还有4个蝶形结,每个蝶形结需要1次复乘,2次复加。一共是:复乘4次,复加8次。

    用分解的方法的得到X(k)需要:

    复乘:32+4=36次

    复加:24+8=32次

    N = 23 = 8 按时间抽取的DFT分解过程:

     

    因为4点DFT还是比较麻烦,所以再继续分解。

    若将N/2(4点)子序列按奇/偶分解成两个N/4点(2点)子序列。即对将x1(r)和x2(r)分解成奇、偶两个N/4点(2点)的子序列。

     

    因此可以对两个N/2点的DFT再分别作进一步的分解。将一个8点的DFT可以分解成四个2点的DFT,直到最后得到两两点的DFT为止。

    由于这种方法每一步分解都是按输入序列是属于偶数还是奇数来抽取的,所以称为“按时间抽取的FFT算法”。

    下图是由4个两点DFT组成的8点DFT:

     

    下图是按8点抽取的FFT运算流图:

    这里注意观察蝶形图的系数

     

    25.5.3 FFT算法和直接计算DFT运算量的比较

    FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线

     

    25.6 按频率抽选的基2-FFT算法

    在基2快速算法中,频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法,简称DIF-FFT。

    鉴于网上和课本中关于FFT原理已经讲解非常详细了,在这里就不再赘述了。有兴趣的查阅相关书籍进行学习即可。

    25.7 总结

    本章节主要讲解了FFT的基2算法实现原理,讲解稍显枯燥,不过还是希望初学的同学认真学习,搞懂一种快速傅里叶算法的实现即可。

     

    展开全文
  • 第25章 DSP变换运算-快速傅里叶变换原理(FFT) 在数字信号处理中常常需要用到离散傅立叶变换(DFT),以获取信号的频域特征。尽管传统的DFT算法能够获取信号频域特征,但是算法计算量大,耗时长,不利于计算机实时对...

     完整版教程下载地址:http://www.armbbs.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=94547

    第25章       DSP变换运算-快速傅里叶变换原理(FFT)

    在数字信号处理中常常需要用到离散傅立叶变换(DFT),以获取信号的频域特征。尽管传统的DFT算法能够获取信号频域特征,但是算法计算量大,耗时长,不利于计算机实时对信号进行处理。因此导致DFT被发现以来,在很长的一段时间内都不能被应用到实际工程项目中,直到一种快速的离散傅立叶计算方法——FFT被发现,离散是傅立叶变换才在实际的工程中得到广泛应用。需要强调的是,FFT并不是一种新的频域特征获取方式,而是DFT的一种快速实现算法。

    特别声明:FFT原理的讲解来自网络和书籍。

    25.1 FFT由来

    25.3 直接计算DFT的问题及改进路径

    25.3 改善DFT运算效率的基本途径

    25.4 按时间抽选的基2-FFT算法

    25.5 按频率抽选的基2-FFT算法

    25.6 总结

     

     

    25.1 初学者重要提示

    1、  为大家推荐西电的国家级精品课程信号与系统,含课堂视频,书籍和课堂PPT

    http://www.armbbs.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=94886

    2、 非常好的DSP基础知识普及书籍:

    http://www.armbbs.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=97312

    25.2 FFT的由来

    离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是数字信号处理最重要的基石之一,也是对信号进行分析处理时,最常用的工具之一。在200多年前,法国数学家、物理学家傅里叶提出以他的名字命名的傅里叶级数之后,用DFT这个工具来分析信号就已经被人们所知。

    历史上最伟大的数学家之一,欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式,例如:y = f(x)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一,给出了一个用实变量函数表示傅立叶系数的方程,用三角级数来描述离散声音在媒介中传播,发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。 但在很长时间内,这种分析方法并没有引起更多的重视,最主要的原因在于这种方法运算量比较大。直到1965年,Cooley和Tukey在《计算机科学 》发表著名的《机器计算傅立叶级数的一种算法》论文,FFT才开始大规模应用。

    那个年代,有个肯尼迪总统科学咨询委员会,其中有项研究主题是对苏联核测试进行检测,Tukey就是其中一员。美国/苏联核测试提案的批准,主要取决于不实地访问核测试设施而做出检测方法。其中一个想法是,分析离海岸的地震情况,这种计算需要快速算法来计算DFT。其它应用是国家安全,如用声学探测远距离的核潜艇。所以在军事上,迫切需要一种快速的傅立叶变换算法,这也促进了FFT的正式提出。

    FFT充分利用了DFT运算中的对称性和周期性,从而将DFT运算量从N2减少到 。当N比较小时,FFT优势并不明显。但当N大于32开始,点数越大,FFT对运算量的改善越明显。比如当N为1024时,FFT的运算效率比DFT提高了100倍。在库利和图基提出的FFT算法中,其基本原理是先将一个N点时域序列的DFT分解为N个1点序列的DFT,然后将这样计算出来的N个1点序列DFT的结果进行组合,得到最初的N点时域序列的DFT值。实际上,这种基本的思想很早就由德国伟大的数学家高斯提出过,在某种情况下,天文学计算(也是现在FFT应用的领域之一)与等距观察的有限集中的行星轨道的内插值有关。由于当时计算都是靠手工,所以产生一种快速算法的迫切需要。 而且,更少的计算量同时也代表着错误的机会更少,正确性更高。高斯发现,一个富氏级数有宽度N=N1*N2,可以分成几个部分。计算N2子样本DFT的N1长度和N1子样本DFT的N2长度。只是由于当时尚欠东风——计算机还没发明。在20世纪60年代,伴随着计算机的发展和成熟,库利和图基的成果掀起了数字信号处理的革命,因而FFT发明者的桂冠才落在他们头上。

    之后,桑德(G.Sand)-图基等快速算法相继出现,几经改进,很快形成了一套高效运算方法,这就是现在的快速傅立叶变换(FFT)。这种算法使DFT的运算效率提高1到2个数量级,为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了良好的条件,大大推进了数学信号处理技术。1984年,法国的杜哈梅(P.Dohamel)和霍尔曼(H.Hollamann)提出的分裂基块快速算法,使运算效率进一步提高。

    库利和图基的FFT算法的最基本运算为蝶形运算,每个蝶形运算包括两个输入点,因而也称为基-2算法。在这之后,又有一些新的算法,进一步提高了FFT的运算效率,比如基-4算法,分裂基算法等。这些新算法对FFT运算效率的提高一般在50%以内,远远不如FFT对DFT运算的提高幅度。从这个意义上说,FFT算法是里程碑式的。可以说,正是计算机技术的发展和FFT的出现,才使得数字信号处理迎来了一个崭新的时代。除了运算效率的大幅度提高外,FFT还大大降低了DFT运算带来的累计量化误差,这点常为人们所忽略。

    25.3 直接计算DFT的问题及改进路径

    25.3.1 问题的提出

    设有限长序列x(n),非零值长度为N,若对x(n)进行一次DFT运行,共需要多大的运算工作量。

    25.3.2 DFT的运算量

    DFT和IDFT的变换式:

     

    下面以DFT为例说明计算量:

    计算机运算时(编程实现):

     

    由上面的结算可得DFT的计算量如下:

     

    复数乘法的计算量:(a+jb)(c+jd)=(ab-bd)+j(bc+ad)

    下面通过两个实例来说明计算量:

    例一:计算一个N点DFT,共需 次复乘。以做一次复乘1 计算,若N=4096,所需时间为

    例二:石油勘探,有24个通道的记录,每通道波形记录长度为5秒,若每秒抽样500点/秒。

    1. 每道总抽样点数:500*5 = 2500点。
    2. 24道总抽样点数:24*2500=6万点。

    由于计算量大,且要求相当大的内存,难以实现实时处理,限制了DFT的应用,人们一直在寻求一种能提高DFT运算速度的方法。

    FFT便是Cooley和Tukey在1995年提出来的快速算法,它可以使运算速度提高几百倍,从而使数字信号处理成为一个新兴的应用学科。

    25.4 改善DFT运算效率的基本途径

    1、利用DFT运算的系数 的固有对称性和周期性,改善DFT的运算效率。

    1)对称性

    2)周期性

    3)可约性

     

    2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT的思路

    因为DFT的运算量与N2成正比,如果一个大点数N的DFT能分解为若干小点数DFT的组合,则显然可以达到减少运算工作量的效果。

    FFT算法的基本思想:

    • 利用DFT系数的特性,合并DFT运算中的某些项。
    • 把长序列DFTà短序列DFT,从而减少运算量。

     

    FFT算法分类:

    时间抽选法

    DIT: Decimation-In-Time

    频率抽选法

    DIF: Decimation-In-Frequency

    25.5 按时间抽选的基2-FFT算法

    25.5.1 算法原理

    设输入序列长度为N = 2M(M为正整数),将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列,称为基2按时间抽取的FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。

    其中基2表示:N = 2M,M为整数。若不满足这个条件,可以人为地加上若干零值(加零补长)使其达到N = 2,M。

    25.5.2 算法步骤

    • 分组,变量置换

     

    • 分组,变量置换

    其中k = 0, 1,…. N/2 – 1。 和 只有N/2个点,以N/2为周期;而X(k)却有N个点,以N为周期。要用x1(k)和x2(k)表达全部的X(k)值。还必须利用系数的周期特性。

     

    有了上面的计算结果后,我们可以得到如下的蝶形运算流图符号:

     

    关于这个蝶形运算流图符号说明如下:

    1. 1个蝶形运算需要1次复乘,2次复加。
    2. 左边两路为输入。
    3. 右边两路为输出。
    4. 中间以一个小圆表示加减运算(右上路为相加输出,右下路为相减输出)。
    • 分解后的运算量

     

    运算量减少了近一半。

    例子:求N=23=8点FFT变化。按N=8àN/2=4,做4点的DFT,先将N=8点的DFT分解成2个4点的DFT:

    可知:  时域上 x(0),x(2),x(4),x(6)为偶子序列。

                   x(1),x(3),x(5),x(7)为奇子序列。

            频域上  X(0) 到X(3) 由X(k)给出

                    X(4) 到X(7) 由X(k+N/2)给出

    此外,还有4个蝶形结,每个蝶形结需要1次复乘,2次复加。一共是:复乘4次,复加8次。

    用分解的方法的得到X(k)需要:

    复乘:32+4=36次

    复加:24+8=32次

    N = 23 = 8 按时间抽取的DFT分解过程:

    因为4点DFT还是比较麻烦,所以再继续分解。

    若将N/2(4点)子序列按奇/偶分解成两个N/4点(2点)子序列。即对将x1(r)和x2(r)分解成奇、偶两个N/4点(2点)的子序列。

    因此可以对两个N/2点的DFT再分别作进一步的分解。将一个8点的DFT可以分解成四个2点的DFT,直到最后得到两两点的DFT为止。

    由于这种方法每一步分解都是按输入序列是属于偶数还是奇数来抽取的,所以称为“按时间抽取的FFT算法”。

    下图是由4个两点DFT组成的8点DFT:

    下图是按8点抽取的FFT运算流图:

    这里注意观察蝶形图的系数

     

    25.5.3 FFT算法和直接计算DFT运算量的比较

    FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线

    25.6 按频率抽选的基2-FFT算法

    在基2快速算法中,频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法,简称DIF-FFT。

    鉴于网上和课本中关于FFT原理已经讲解非常详细了,在这里就不再赘述了。有兴趣的查阅相关书籍进行学习即可。

    25.7 总结

    本章节主要讲解了FFT的基2算法实现原理,讲解稍显枯燥,不过还是希望初学的同学认真学习,搞懂一种快速傅里叶算法的实现即可。

     

    展开全文
  • 傅里叶变换到小波变换,并不是一个完全抽象的东西,可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义,如果我们从它的提出时所面对的问题看起,可以整理出非常清晰的思路。 下面就按照傅里叶-->短时傅里叶变换--&...

    转载自:http://blog.sina.com.cn/u/5296820733

    小波变换通俗解释

    从傅里叶变换到小波变换,并不是一个完全抽象的东西,可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义,如果我们从它的提出时所面对的问题看起,可以整理出非常清晰的思路。

    下面就按照傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的顺序,讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。

    一、傅里叶变换
        关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了,默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。
        下面我们主要将傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱,那么为什么还要提出小波变换?答案“对非平稳过程,傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号:

    做完FFT(快速傅里叶变换)后,可以在频谱上看到清晰的四条线,信号包含四个频率成分。

    一切没有问题。但是,如果是频率随着时间变化的非平稳信号呢?

    如上图,最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号,它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。做FFT后,我们发现这三个时域上有巨大差异的信号,频谱(幅值谱)却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号,我们从频谱上无法区分它们,因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的,只是出现的先后顺序不同。

    可见,傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分,但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号,可能频谱图一样。
        然而平稳信号大多是人为制造出来的,自然界的大量信号几乎都是非平稳的,所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中,基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

    上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号,只知道包含哪些频率成分是不够的,我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况,各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。

    二、短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform,STFT)

    一个简单可行的方法就是——加窗。 “把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。
    看图:

    时域上分成一段一段做FFT,不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗!

    用这样的方法,可以得到一个信号的时频图了:


    图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分,还能看到出现的时间。两排峰是对称的,所以大家只用看一排就行了。
        是不是棒棒的?时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。
        使用STFT存在一个问题,我们应该用多宽的窗函数?
        窗太宽太窄都有问题:

    窗太窄,窗内的信号太短,会导致频率分析不够精准,频率分辨率差。窗太宽,时域上又不够精细,时间分辨率低。

    (这里插一句,这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置,我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在,我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。)
    看看实例效果吧:

    上图对同一个信号(4个频率成分)采用不同宽度的窗做STFT,结果如右图。用窄窗,时频图在时间轴上分辨率很高,几个峰基本成矩形,而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上,窄窗明显不如下边两个宽窗精确。
        所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低,宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号,高频适合小窗口,低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的,在一次STFT中宽度不会变化,所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。
    三、小波变换
        那么你可能会想到,让窗口大小变起来,多做几次STFT不就可以了吗?!没错,小波变换就有着这样的思路。
        但事实上小波并不是这么做的(有人认为“小波变换就是根据算法,加不等长的窗,对每一小部分进行傅里叶变换”,这是不准确的。小波变换并没有采用窗的思想,更没有做傅里叶变换。)
        至于为什么不采用可变窗的STFT呢,我认为是因为这样做冗余会太严重,STFT做不到正交化,这也是它的一大缺陷。
        于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗,分段做FFT;而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率,还可以定位到时间了~
    【解释】
        来我们再回顾一下傅里叶变换吧,没弄清傅里叶变换为什么能得到信号各个频率成分的同学也可以再借我的图理解一下。
        傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数:

    这个基函数会伸缩、会平移(其实是两个正交基的分解)。缩得窄,对应高频;伸得宽,对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度(宽窄)下乘出来的结果,就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是,基函数会在某些尺度下,与信号相乘得到一个很大的值,因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。

    仔细体会可以发现,这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。

    看,这两种尺度能乘出一个大的值(相关度高),所以信号包含较多的这两个频率成分,在频谱上这两个频率会出现两个峰。

    以上,就是粗浅意义上傅里叶变换的原理。
        如前边所说,小波做的改变就在于,将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

     

    这就是为什么它叫“小波”,因为是很小的一个波嘛~

    从公式可以看出,不同于傅里叶变换,变量只有频率ω,小波变换有两个变量:尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函数的伸缩,平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率(反比),平移量 τ就对应于时间。

    当伸缩、平移到这么一种重合情况时,也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是,这不仅可以知道信号有这样频率的成分,而且知道它在时域上存在的具体位置。

    而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后,我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。
        看到了吗?有了小波,我们从此再也不害怕非稳定信号啦!从此可以做时频分析啦!
        做傅里叶变换只能得到一个频谱,做小波变换却可以得到一个时频谱!

    ↑:时域信号

    ↑:傅里叶变换结果

    ↑:小波变换结果
        小波还有一些好处:
        1. 我们知道对于突变信号,傅里叶变换存在吉布斯效应,我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号:

    然而衰减的小波就不一样了:

    2. 小波可以实现正交化,短时傅里叶变换不能。
    以上,就是小波的意义。
    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
        以上只是用形象地给大家展示了一下小波的思想,希望能对大家的入门带来一些帮助。毕竟如果对小波一无所知,直接去看那些堆砌公式、照搬论文语言的教材,一定会痛苦不堪。
    在这里推荐几篇入门读物,都是以感性介绍为主,易懂但并不深入,对大家初步理解小波会很有帮助。文中有的思路和图也选自于其中:
    1. THE WAVELET TUTORIAL (强烈推荐,点击链接:INDEX TO SERIES OFTUTORIALS TO WAVELET TRANSFORM BY ROBI POLIKAR)
    2. WAVELETS:SEEING THE FOREST AND THE TREES
    3. A Really Friendly Guide to Wavelets
    4. Conceptual wavelets
        但是真正理解透小波变换,这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个“尺度函数”的存在,它是构造“小波函数”的关键,并且是它和小波函数一起才构成了小波多分辨率分析,理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理;你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也很糟糕,大家就一点一点啃吧~http://cda.pinggu.org/view/18623.html

    展开全文
  • 对样本点为N=2r,的离散傅里叶变换,按照库利图基按时间抽取的方法,得到一组等价的迭代方程,对方程中对偶结点对的性质作了详细分析,由此简化了方程中的计算公式。与直接计算相比,大大减少了运算次数,并且计算...
  • 傅里叶变换&短时傅里叶变换&小波变换

    万次阅读 多人点赞 2016-05-03 11:26:36
    傅里叶变换&短时傅里叶变换&小波变换

    一、傅里叶变换
    关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了,默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。(在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换)

    下面我们主要将傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱,那么为什么还要提出小波变换?答案就是方沁园所说的,“对非平稳过程,傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号:做完FFT(快速傅里叶变换)后,可以在频谱上看到清晰的四条线,信号包含四个频率成分。做完FFT(快速傅里叶变换)后,可以在频谱上看到清晰的四条线,信号包含四个频率成分。

    一切没有问题。但是,如果是非平稳信号呢?

    如上图,最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号,它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。
    做FFT后,我们发现这三个时域上有巨大差异的信号,频谱却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号,我们从频域上无法区分它们,因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的,只是出现的先后顺序不同。

    可见,傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分,但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号,可能频谱图一样。

    然而平稳信号大多是人为制造出来的,自然界的大量信号几乎都是非平稳的,所以在比如生物医学信号分析等领域的papers中,基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。
    上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号,只知道包含哪些频率成分是不够的,我们还想知道上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号,只知道包含哪些频率成分是不够的,我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况,各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。


    二、短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform, STFT)
    一个简单可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁园同学的描述了,“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。
    看图:
    时域上分成一段一段做FFT,不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗!时域上分成一段一段做FFT,不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗!
    用这样的方法,可以得到一个信号的时频图了:
    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL” ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
    图上既能看到300Hz, 200 Hz, 100 Hz, 50 Hz四个频域成分,还能看到出现的时间。两排峰是对称的,所以大家只用看一排就行了。

    是不是棒棒的?时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。

    使用STFT存在一个问题,我们应该用多宽的窗函数?
    窗太宽太窄都有问题:
    窗太窄,窗内的信号太短,会导致频率分析不够精准,频率分辨率差。窗太宽,时域上又不够精细,时间分辨率低。窗太窄,窗内的信号太短,会导致频率分析不够精准,频率分辨率差。窗太宽,时域上又不够精细,时间分辨率低。
    (这里插一句,这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置,我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在,我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。)

    看看实例效果吧:
    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL” ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
    上图对同一个信号(4个频率成分)采用不同宽度的窗做STFT,结果如右图。用窄窗,时频图在时间轴上分辨率很高,几个峰基本成矩形,而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上,窄窗明显不如下边两个宽窗精确。

    所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号,高频适合小窗口,低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的,在一次STFT中宽度不会变化,所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。


    三、小波变换

    那么你可能会想到,让窗口大小变起来,多做几次STFT不就可以了吗?!没错,小波变换就有着这样的思路。
    但事实上小波并不是这么做的(关于这一点,方沁园同学的表述“小波变换就是根据算法,加不等长的窗,对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想,更没有做傅里叶变换。)
    至于为什么不采用可变窗的STFT呢,我认为是因为这样做冗余会太严重,STFT做不到正交化,这也是它的一大缺陷。

    于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗,分段做FFT;而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率,还可以定位到时间了~

    【解释】
    来我们再回顾一下傅里叶变换吧,没弄清傅里叶变换为什么能得到信号各个频率成分的同学也可以再借我的图理解一下。
    傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数:

    这个基函数会伸缩、会平移(其实是两个正交基的分解)。缩得窄,对应高频;伸得宽,对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度(宽窄)下乘出来的结果,就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是,基函数会在某些尺度下,与信号相乘得到一个很大的值,因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含多少该频率的成分。

    (看,这两种尺度能乘出一个大的值,所以信号包含较多的这两个频率成分,在频谱上这两个频率会出现两个峰)(看,这两种尺度能乘出一个大的值,所以信号包含较多的这两个频率成分,在频谱上这两个频率会出现两个峰)

    以上,就是粗浅意义上傅里叶变换的原理。




    如前边所说,小波做的改变就在于,将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。
    这就是为什么它叫“小波”,因为是很小的一个波嘛~这就是为什么它叫“小波”,因为是很小的一个波嘛~


    从公式可以看出,不同于傅里叶变换,变量只有频率ω,小波变换有两个变量:尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函数的伸缩平移量τ控制小波函数的平移尺度就对应于频率(反比),平移量 τ就对应于时间



    当伸缩、平移到这么一种重合情况时,也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是,这不仅可以知道信号有这样频率的成分,而且知道它在时域上存在的具体位置。

    而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后,我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分

    看到了吗?有了小波,我们从此再也不害怕非稳定信号啦!从此可以做时频分析啦!

    做傅里叶变换只能得到一个频谱,做小波变换却可以得到一个时频谱
    ↑:时域信号 ↑:时域信号
    ↑:傅里叶变换结果↑:傅里叶变换结果

    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL” ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
    ↑:小波变换结果

    小波还有一些好处:
    1. 我们知道对于突变信号,傅里叶变换存在吉布斯效应,我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号:
    然而衰减的小波就不一样了:然而衰减的小波就不一样了:



    2. 小波可以实现正交化,短时傅里叶变换不能。


    以上,就是小波的意义。

    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

    以上只是用形象地给大家展示了一下小波的思想,希望能对大家的入门带来一些帮助。毕竟如果对小波一无所知,直接去看那些堆砌公式、照搬论文语言的教材,一定会痛苦不堪。
    在这里推荐几篇入门读物,都是以感性介绍为主,易懂但并不深入,对大家初步理解小波会很有帮助。文中有的思路和图也选自于其中:
    1. THE WAVELET TUTORIAL (强烈推荐,点击链接:INDEX TO SERIES OF TUTORIALS TO WAVELET TRANSFORM BY ROBI POLIKAR)
    2. WAVELETS:SEEING THE FOREST AND THE TREES
    3. A Really Friendly Guide to Wavelets
    4. Conceptual wavelets

    但是真正理解透小波变换,这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个“尺度函数”的存在,它是构造“小波函数”的关键,并且是它和小波函数一起才构成了小波多分辨率分析,理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理;你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也很糟糕,大家就一点一点啃吧~有问题欢迎私信我。水平有限,但一定帮助。

    第一次在知乎写这么长的回答,多数图都是用MATLAB和PPT自己画出来的,都是利用实验室搬完砖之余的时间一点点弄的,欢迎分享,如转载还请跟我说一声哈~










    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    2015.3.26
    评论中的一些问题的回答:
    1. 关于海森堡不确定性原理
    不确定性原理,或者叫测不准原理,最早出自量子力学,意为在微观世界,粒子的位置与动量不可同时被确定。但是这个原理并不局限于量子力学,有很多物理量都有这样的特征,比如能量和时间、角动量和角度。体现在信号领域就是时域和频域。不过更准确一点的表述应该是:一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中;一个函数时域越“窄”,它经傅里叶变换的频域后就越“宽”。
    如果有兴趣深入研究一下的话,这个原理其实非常耐人寻味。信号处理中的一些新理论在根本上都和它有所相连,比如压缩感知。如果你剥开它复杂的数学描述,最后会发现它在本质上能实现就源于不确定性原理。而且大家不觉得这样一些矛盾的东西在哲学意义上也很奇妙吗,世界观感觉就此被改变了。。


    2. 关于正交化
    什么是正交化?为什么说小波能实现正交化是优势?
    简单说,如果采用正交基,变换域系数会没有冗余信息,等于是用最少的数据表达最大的信息量,利于数值压缩等领域。JPEG2000压缩就是用正交小波变换。
    比如典型的正交基:二维笛卡尔坐标系的(1,0)、(0,1),用它们表达一个信号显然非常高效,计算简单。而如果用三个互成120°的向量表达,则会有信息冗余,有重复表达。
    但是并不意味着正交一定优于不正交。比如如果是做图像增强,有时候反而希望能有一些冗余信息,更利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。

    3. 关于瞬时频率
    原问题:图中时刻点对应一频率值,一个时刻点只有一个信号值,又怎么能得到他的频率呢?
    很好的问题。如文中所说,绝对意义的瞬时频率其实是不存在的。单看一个时刻点的一个信号值,当然得不到它的频率。我们只不过是用很短的一段信号的频率作为该时刻的频率,所以我们得到的只是时间分辨率有限的近似分析结果。这一想法在STFT上体现得很明显。小波等时频分析方法,如用衰减的基函数去测定信号的瞬时频率,思想也类似。

    4. 关于小波变换的缺点
    这要看和谁比了。
    A.作为图像处理方法,和多尺度几何分析方法(超小波)比:
    对于图像这种二维信号的话,二维小波变换只能沿2个方向进行,对图像中点的信息表达还可以,但是对线就比较差,这时候ridgelet(脊波), curvelet(曲波)等多尺度几何分析方法就更有优势了。
    B. 作为时频分析方法,和HHT比:
    相比于HHT等时频分析方法,小波依然没脱离海森堡测不准原理的束缚,某种尺度下,不能在时间和频率上同时具有很高的精度;以及小波是非适应性的,基函数选定了就不改了。
    知识有限,暂时想到的有这些,欢迎补充。


    网友方沁园[短时傅里叶变换]能不能通俗的讲解下傅立叶分析和小波分析之间的关系?给出的答复:
    两句话:
    傅里叶变换:知道一段时间内,信号的各个频率分量有分别多少。
    小波变换:知道一段时间内,信号的各个频率分量有分别多少,以及他们都是什么时候出现的。


    解释:
    傅里叶变换是把时域的函数比作无数不同频率的余弦函数的叠加,计算每个频率分量有多少,形成频谱。
    出现了问题: 如果每个频率分量都在整个时间域上持续,没问题。
    但如果有些频率分量可能一开始没有,只在某一段时间范围内出现(非平稳过程)。频谱图上看不出来。
    也就是说,时域相差很大的两个信号,可能频谱图一样!
    所以,对非平稳过程,傅里叶变换有局限性!!

    于是出现了短时傅里叶变换STFT--把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。

    其实“等长小过程”还是有局限性。如果根据某些原理,分解成不等长的小过程,就被优化了。--小波变换。就是根据算法,加不等长的窗,对每一小部分进行傅里叶变换。结果就是更更准确的知道在哪个时间点出现什么频率了。


    网友蒙面大侠[短时傅里叶变换]能不能通俗的讲解下傅立叶分析和小波分析之间的关系?给出的答复:
    建议参考matlab里的wave toolbox(命令行里输入‘wavemenu’),然后参照Matlab小波工具箱的使用1_了凡春秋和Matlab小波工具箱的使用2_了凡春秋,基本上大概可以弄懂小波分析大概是干什么的,对于具体的理论细节如:小波基的选取,尺度的确定,阀值的选定等, 可以慢慢通过相关的书籍了解.

    PS:有傅里叶分析基础理解起来比较快.大概应用的思路就是:把原始信号变换到一个特定的域里(傅里叶变化就是频域,小波变化姑且称之为小波域),在这个小波域中,可以反映出在原始信号在时域中并不明显的特征,加以阀值或其他相关的处理,再重构回时域.(以除白噪声为例,白噪声时域小波域里都是均匀分布的,而有用的纯净信号变换到了小波域不同尺度中的特性不同,利用这个特征设定相应阀值,重构回时域.可以去除原始信号中的白噪声

    时频结合多分辨率是小波分析的优势.


    网友xinqing moyi[短时傅里叶变换]能不能通俗的讲解下傅立叶分析和小波分析之间的关系?给出的答复:
    谢谢
    傅立叶变换 有局限性:只能知道频域上的事情
    而小波变换 利用窗函数 既可以知道频域上的事 也可以知道时间域上的事

    傅立叶变换 可以让你知道发生了一件事情 它有多厉害
    而小波变换 不仅可以让你知道这件事有多厉害 还可以让你知道这件事情什么时候发生的


    网友蒙面大侠[短时傅里叶变换]能不能通俗的讲解下傅立叶分析和小波分析之间的关系?给出的答复:
    说到底都是在搞基,只是基不同而已


    网友杨硕[短时傅里叶变换]能不能通俗的讲解下傅立叶分析和小波分析之间的关系?给出的答复:
    借这个地方写个笑话,文科生也能看懂。
    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    我没有认真学过wavelet,因为当时有人给我推荐了一个很好的教材,文章名字是这样的:

    看了几页就哭了:我真是连kids都不如啊……
    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    这篇文章链接在此:http://gtwavelet.bme.gatech.edu/wp/kidsA.pdf

    这篇文章是Google能找到citation最多的关于wavelet的tutorial,热心网友一致好评:


    网友傻妹妹牌炸酱面[短时傅里叶变换]能不能通俗的讲解下傅立叶分析和小波分析之间的关系?给出的答复:
    两者基函数不同。傅里叶是固定基函数,小波则是尺度和平移可变的基函数


    网友张生[短时傅里叶变换]能不能通俗的讲解下傅立叶分析和小波分析之间的关系?给出的答复:
    看了本文你还不懂傅里叶变换,那就来掐死我吧,相当好


    网友荔枝[短时傅里叶变换]能不能通俗的讲解下傅立叶分析和小波分析之间的关系?给出的答复:
    麻省理工开放课程_线性代数
    Lec31_基变换及图像压缩
    教授讲的很有意思,也许对你有所帮助教授讲的很有意思,也许对你有所帮助

    展开全文
  • 中国科技论文在线 基于 MATLAB GUI 的傅里叶变换分析的仿 真设计 高恒伟宋余君何辉* 中国矿业大学信电学院江苏徐州 221008 摘要本文简要阐述了傅里叶变换的基本原理傅里叶变换的性质傅里叶变换的尺度变换 性频移特性...
  • 基于MATLAB GUI的傅里叶变换分析的仿真设计,高恒伟,宋余君,本文简要阐述了傅里叶变换的基本原理傅里叶变换的性质:傅里叶变换的尺度变换性、频移特性、时域卷积定理、时域微分性、对称性
  • 本文结合July、dznlong 两位大神的博客文章内容加上自己的理解与阐述,介绍了傅里叶变换的基础内容以及实数形式离散傅里叶变换的理解。
  • 原标题:傅里叶变换和不确定性原理在现代数学中有一个很容易被外行误解的词汇:信号 (signal)。当数学家们说起「一个信号」的时候,他们脑海中想到的并不是交通指示灯所发出的闪烁光芒或者手机屏幕顶部的天线图案,...
  • 图像处理之傅里叶变换和小波变换

    千次阅读 2018-07-07 21:16:27
    最近在看物体识别论文摘要,好多论文中涉及到使用离散余弦傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)对图像进行处理,因此特地看了这部分的内容,傅里叶变换和小波变换。一、DFT的原理:以二维图像为例,归一化的...
  • 作者丨咚懂咚懂咚@知乎(已授权)来源丨https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818转载丨极市平台导读想要正确的认识小波变换就必须先了解傅里叶变换,本文作...
  • 一篇用VHDL实现快速傅立叶变换论文,包括原理分析和代码实现,印度圣雄甘地大学M.A.学院提供 FFT_report.pdf (408.73 KB, 下载次数: 60 ) synth_fft.zip (61.16 KB, 下载次数: 37 )
  • 傅里叶变换

    千次阅读 2019-06-04 14:21:18
    一、傅里叶变换的由来 ** 让我们先看看为什么会有傅立叶变换?傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830),Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上...
  • 这篇文章主要是为了实现量子傅里叶变换(Quantum Fourier Transform, QFT)的programming做准备,对QFT的算法以及它和在传统计算机上运行的FFT进行比较。 目录 1 FFT 1.1 DFT与FFT 1.2 FFT原理 1.3 FFT算法实现 ...
  • 大话傅里叶变换

    2018-10-26 14:53:21
    傅里叶级数与欧拉公式(一维傅里叶变换)欧拉公式傅里叶级数(一维)的复数形式傅里叶积分傅里叶变换离散傅里叶变换2. 二维傅里叶变换与代码二维傅里叶变换二维图像理解代码实现OpenCV函数实现 标签(空格分隔): ...
  • 一种基于离散辛傅里叶变换的多载波调制方法,孙伟鹏,舒磊,本文介绍一种基于离散辛傅里叶变换(DSFT)的多载波调制方法,该方法建立了与时频域坐标系统不同的延迟-多普勒坐标系。该方案通过�
  • 摘 要: 此文分析了傅里叶变换在通信系统中的相关应用,通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理,由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 关键词: 信号,调制解调,傅里叶变换,频分复用
  • 物理状态的位置表示是其动量表示的傅里叶变换,时间表示是其能量表示的傅里叶变换,我们可以得到普朗克关系E =hν布罗意关系p = h /λ,狄拉克基本换向关系,薛定er方程,量子力学中的海森堡不确定性原理以及玻尔...
  • 文章目录(1)傅里叶变换(2)Graph上的傅里叶变换(3)Graph上的傅里叶变换总结二、为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基?特征值表示频率?(1)为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基?(2...
  • 浅谈 傅里叶变换

    2019-03-18 20:34:18
    傅里叶变换是一种信号分析方法,让我们对信号的构成和特点进行深入的、定量的研究。把信号通过频谱的方式(包括幅值谱、相位谱和功率谱)进行准确的、定量的描述。 转自:傅里叶变换就是这么简单,你学会了吗? 学习...
  • 傅里叶变换与小波变换

    千次阅读 2016-09-25 16:58:52
    傅里叶变换到小波变换,并不是一个完全抽象的东西,可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义,如果我们从它的提出时所面对的问题看起,可以整理出非常清晰的思路。 下面我就按照傅里叶-->短时傅
  • 小波变换原理

    千次阅读 2020-02-06 16:05:35
    傅里叶变换到小波变换,并不是一个完全抽象的东西,可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义,如果我们从它的提出时所面对的问题看起,可以整理出非常清晰的思路。 下面就按照傅里叶–>短时傅里叶变换–>...
  • 理解傅里叶变换(Fourier Transform)

    千次阅读 多人点赞 2016-02-29 09:59:03
    理解傅里叶变换(Fourier Transform). 2 傅里叶变换是什么?.... 2 傅里叶变换的实际应用.... 2 参考资料:.... 2 参考资料的正确阅读姿势.... 3         理解傅里叶变换(Fourier Transform)  ...
  • 傅里叶变换的学习

    2018-12-03 00:07:55
    傅里叶变换想到的 作者:闻豪电话:15801172522地址:北京邮电大学电子工程学院 2017211202班 摘要 应老师之邀,在此研讨傅立叶的主要贡献,以及傅立叶变换的发展历程,以及如今傅立叶变换的主要应用。 正文 ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 1,782
精华内容 712
关键字:

傅里叶变换的原理论文