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  • 傅里叶变换的原理论文
    2019-06-28 13:38:49

    转载自:http://blog.sina.com.cn/u/5296820733

    小波变换通俗解释

    从傅里叶变换到小波变换,并不是一个完全抽象的东西,可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义,如果我们从它的提出时所面对的问题看起,可以整理出非常清晰的思路。

    下面就按照傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的顺序,讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。

    一、傅里叶变换
        关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了,默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。
        下面我们主要将傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱,那么为什么还要提出小波变换?答案“对非平稳过程,傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号:

    做完FFT(快速傅里叶变换)后,可以在频谱上看到清晰的四条线,信号包含四个频率成分。

    一切没有问题。但是,如果是频率随着时间变化的非平稳信号呢?

    如上图,最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号,它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。做FFT后,我们发现这三个时域上有巨大差异的信号,频谱(幅值谱)却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号,我们从频谱上无法区分它们,因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的,只是出现的先后顺序不同。

    可见,傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分,但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号,可能频谱图一样。
        然而平稳信号大多是人为制造出来的,自然界的大量信号几乎都是非平稳的,所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中,基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

    上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号,只知道包含哪些频率成分是不够的,我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况,各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。

    二、短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform,STFT)

    一个简单可行的方法就是——加窗。 “把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。
    看图:

    时域上分成一段一段做FFT,不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗!

    用这样的方法,可以得到一个信号的时频图了:


    图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分,还能看到出现的时间。两排峰是对称的,所以大家只用看一排就行了。
        是不是棒棒的?时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。
        使用STFT存在一个问题,我们应该用多宽的窗函数?
        窗太宽太窄都有问题:

    窗太窄,窗内的信号太短,会导致频率分析不够精准,频率分辨率差。窗太宽,时域上又不够精细,时间分辨率低。

    (这里插一句,这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置,我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在,我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。)
    看看实例效果吧:

    上图对同一个信号(4个频率成分)采用不同宽度的窗做STFT,结果如右图。用窄窗,时频图在时间轴上分辨率很高,几个峰基本成矩形,而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上,窄窗明显不如下边两个宽窗精确。
        所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低,宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号,高频适合小窗口,低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的,在一次STFT中宽度不会变化,所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。
    三、小波变换
        那么你可能会想到,让窗口大小变起来,多做几次STFT不就可以了吗?!没错,小波变换就有着这样的思路。
        但事实上小波并不是这么做的(有人认为“小波变换就是根据算法,加不等长的窗,对每一小部分进行傅里叶变换”,这是不准确的。小波变换并没有采用窗的思想,更没有做傅里叶变换。)
        至于为什么不采用可变窗的STFT呢,我认为是因为这样做冗余会太严重,STFT做不到正交化,这也是它的一大缺陷。
        于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗,分段做FFT;而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率,还可以定位到时间了~
    【解释】
        来我们再回顾一下傅里叶变换吧,没弄清傅里叶变换为什么能得到信号各个频率成分的同学也可以再借我的图理解一下。
        傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数:

    这个基函数会伸缩、会平移(其实是两个正交基的分解)。缩得窄,对应高频;伸得宽,对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度(宽窄)下乘出来的结果,就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是,基函数会在某些尺度下,与信号相乘得到一个很大的值,因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。

    仔细体会可以发现,这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。

    看,这两种尺度能乘出一个大的值(相关度高),所以信号包含较多的这两个频率成分,在频谱上这两个频率会出现两个峰。

    以上,就是粗浅意义上傅里叶变换的原理。
        如前边所说,小波做的改变就在于,将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

     

    这就是为什么它叫“小波”,因为是很小的一个波嘛~

    从公式可以看出,不同于傅里叶变换,变量只有频率ω,小波变换有两个变量:尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函数的伸缩,平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率(反比),平移量 τ就对应于时间。

    当伸缩、平移到这么一种重合情况时,也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是,这不仅可以知道信号有这样频率的成分,而且知道它在时域上存在的具体位置。

    而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后,我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。
        看到了吗?有了小波,我们从此再也不害怕非稳定信号啦!从此可以做时频分析啦!
        做傅里叶变换只能得到一个频谱,做小波变换却可以得到一个时频谱!

    ↑:时域信号

    ↑:傅里叶变换结果

    ↑:小波变换结果
        小波还有一些好处:
        1. 我们知道对于突变信号,傅里叶变换存在吉布斯效应,我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号:

    然而衰减的小波就不一样了:

    2. 小波可以实现正交化,短时傅里叶变换不能。
    以上,就是小波的意义。
    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
        以上只是用形象地给大家展示了一下小波的思想,希望能对大家的入门带来一些帮助。毕竟如果对小波一无所知,直接去看那些堆砌公式、照搬论文语言的教材,一定会痛苦不堪。
    在这里推荐几篇入门读物,都是以感性介绍为主,易懂但并不深入,对大家初步理解小波会很有帮助。文中有的思路和图也选自于其中:
    1. THE WAVELET TUTORIAL (强烈推荐,点击链接:INDEX TO SERIES OFTUTORIALS TO WAVELET TRANSFORM BY ROBI POLIKAR)
    2. WAVELETS:SEEING THE FOREST AND THE TREES
    3. A Really Friendly Guide to Wavelets
    4. Conceptual wavelets
        但是真正理解透小波变换,这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个“尺度函数”的存在,它是构造“小波函数”的关键,并且是它和小波函数一起才构成了小波多分辨率分析,理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理;你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也很糟糕,大家就一点一点啃吧~http://cda.pinggu.org/view/18623.html

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    作者丨咚懂咚懂咚@知乎(已授权)

    来源丨https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818

    转载丨极市平台

    导读

     

    想要正确的认识小波变换就必须先了解傅里叶变换,本文作者按照傅里叶-短时傅里叶变换-小波变换的顺序,由浅到深的解释小波变换的缘由以及思路。帮助初学者们深入理解傅里叶变换和小波变换。

    从傅里叶变换到小波变换,并不是一个完全抽象的东西,可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义,如果我们从它的提出时所面对的问题看起,可以整理出非常清晰的思路。

    下面我就按照傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的顺序,讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。(反正题主要求的是通俗形象,没说简短,希望不会太长不看。。)

    一、傅里叶变换

    关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了,默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。(在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换)

    下面我们主要讲傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱,那么为什么还要提出小波变换?答案就是@方沁园所说的“对非平稳过程,傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号:

    做完FFT(快速傅里叶变换)后,可以在频谱上看到清晰的四条线,信号包含四个频率成分。

    一切没有问题。但是,如果是频率随着时间变化的非平稳信号呢?

    如上图,最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号,它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。

    做FFT后,我们发现这三个时域上有巨大差异的信号,频谱(幅值谱)却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号,我们从频谱上无法区分它们,因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的,只是出现的先后顺序不同。

    可见,傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分,但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号,可能频谱图一样。

    然而平稳信号大多是人为制造出来的,自然界的大量信号几乎都是非平稳的,所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中,基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

    上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号,只知道包含哪些频率成分是不够的,我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况,各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。

    二、短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform, STFT)

    一个简单可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁园同学的描述了,“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。

    看图:

    时域上分成一段一段做FFT,不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗!

    用这样的方法,可以得到一个信号的时频图了:

    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”

    图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分,还能看到出现的时间。两排峰是对称的,所以大家只用看一排就行了。

    是不是棒棒的?时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。

    使用STFT存在一个问题,我们应该用多宽的窗函数?

    窗太宽太窄都有问题:

    窗太窄,窗内的信号太短,会导致频率分析不够精准,频率分辨率差。窗太宽,时域上又不够精细,时间分辨率低。

    (这里插一句,这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置,我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在,我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。)

    看看实例效果吧:

    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”

    上图对同一个信号(4个频率成分)采用不同宽度的窗做STFT,结果如右图。用窄窗,时频图在时间轴上分辨率很高,几个峰基本成矩形,而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上,窄窗明显不如下边两个宽窗精确。

    所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号,高频适合小窗口,低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的,在一次STFT中宽度不会变化,所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

    三、小波变换

    那么你可能会想到,让窗口大小变起来,多做几次STFT不就可以了吗?!没错,小波变换就有着这样的思路。

    但事实上小波并不是这么做的(关于这一点,方沁园同学的表述“小波变换就是根据算法,加不等长的窗,对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想,更没有做傅里叶变换。)
    至于为什么不采用可变窗的STFT呢,我认为是因为这样做冗余会太严重,STFT做不到正交化,这也是它的一大缺陷。

    于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗,分段做FFT;而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率,还可以定位到时间了~

    【解释】

    来我们再回顾一下傅里叶变换吧,没弄清傅里叶变换为什么能得到信号各个频率成分的同学也可以再借我的图理解一下。

    傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数:

    这个基函数会伸缩、会平移(其实本质并非平移,而是两个正交基的分解)。缩得窄,对应高频;伸得宽,对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度(宽窄)下乘出来的结果,就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是,基函数会在某些尺度下,与信号相乘得到一个很大的值,因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。

    仔细体会可以发现,这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。

    看,这两种尺度能乘出一个大的值(相关度高),所以信号包含较多的这两个频率成分,在频谱上这两个频率会出现两个峰。

    以上,就是粗浅意义上傅里叶变换的原理。

    如前边所说,小波做的改变就在于,将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

    这就是为什么它叫“小波”,因为是很小的一个波嘛~

    从公式可以看出,不同于傅里叶变换,变量只有频率ω,小波变换有两个变量:尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函数的伸缩平移量 τ控制小波函数的平移尺度就对应于频率(反比),平移量 τ就对应于时间

    当伸缩、平移到这么一种重合情况时,也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是,这不仅可以知道信号有这样频率的成分,而且知道它在时域上存在的具体位置。

    而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后,我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分

    看到了吗?有了小波,我们从此再也不害怕非稳定信号啦!从此可以做时频分析啦!

    做傅里叶变换只能得到一个频谱,做小波变换却可以得到一个时频谱

    ↑:时域信号

    ↑:傅里叶变换结果

    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
    ↑:小波变换结果

    小波还有一些好处,比如,我们知道对于突变信号,傅里叶变换存在吉布斯效应,我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号:

    然而衰减的小波就不一样了:

    以上,就是小波的意义。

    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

    以上只是用形象地给大家展示了一下小波的思想,希望能对大家的入门带来一些帮助。毕竟如果对小波一无所知,直接去看那些堆砌公式、照搬论文语言的教材,一定会痛苦不堪。
    在这里推荐几篇入门读物,都是以感性介绍为主,易懂但并不深入,对大家初步理解小波会很有帮助。文中有的思路和图也选自于其中:
    1. THE WAVELET TUTORIAL (强烈推荐,点击链接:Ihttp://users.rowan.edu/~polikar/WTtutorial.html)
    2. WAVELETS:SEEING THE FOREST AND THE TREES
    3. A Really Friendly Guide to Wavelets
    4. Conceptual wavelets

    但是真正理解透小波变换,这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个“尺度函数”的存在,它是构造“小波函数”的关键,并且是它和小波函数一起才构成了小波多分辨率分析,理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理;你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也很糟糕,大家就一点一点啃吧~

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    一些问题的回答:

    1. 关于海森堡不确定性原理

    不确定性原理,或者叫测不准原理,最早出自量子力学,意为在微观世界,粒子的位置与动量不可同时被确定。但是这个原理并不局限于量子力学,有很多物理量都有这样的特征,比如能量和时间、角动量和角度。体现在信号领域就是时域和频域。不过更准确一点的表述应该是:一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中;一个函数时域越“窄”,它经傅里叶变换的频域后就越“宽”。

    如果有兴趣深入研究一下的话,这个原理其实非常耐人寻味。信号处理中的一些新理论在根本上也和它有所相连,比如压缩感知。如果你剥开它复杂的数学描述,最后会发现它在本质上能实现其实和不确定性原理密切相关。而且大家不觉得这样一些矛盾的东西在哲学意义上也很奇妙吗?

    2. 关于正交化

    什么是正交化?为什么说小波能实现正交化是优势?

    简单说,如果采用正交基,变换域系数会没有冗余信息,变换前后的信号能量相等,等于是用最少的数据表达最大的信息量,利于数值压缩等领域。JPEG2000压缩就是用正交小波变换。

    比如典型的正交基:二维笛卡尔坐标系的(1,0)、(0,1),用它们表达一个信号显然非常高效,计算简单。而如果用三个互成120°的向量表达,则会有信息冗余,有重复表达。

    但是并不意味着正交一定优于不正交。比如如果是做图像增强,有时候反而希望能有一些冗余信息,更利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。

    3. 关于瞬时频率

    原问题:图中时刻点对应一频率值,一个时刻点只有一个信号值,又怎么能得到他的频率呢?

    很好的问题。如文中所说,绝对意义的瞬时频率其实是不存在的。单看一个时刻点的一个信号值,当然得不到它的频率。我们只不过是用很短的一段信号的频率作为该时刻的频率,所以我们得到的只是时间分辨率有限的近似分析结果。这一想法在STFT上体现得很明显。小波用衰减的基函数去测定信号的瞬时频率,思想也类似。(不过到了Hilbert变换,思路就不一样了,以后有机会细讲)

    4. 关于小波变换的不足

    这要看和谁比了。

    A.作为图像处理方法,和多尺度几何分析方法(超小波)比:
    对于图像这种二维信号的话,二维小波变换只能沿2个方向进行,对图像中点的信息表达还可以,但是对线就比较差。而图像中最重要的信息恰是那些边缘线,这时候ridgelet(脊波), curvelet(曲波)等多尺度几何分析方法就更有优势了。

    B. 作为时频分析方法,和希尔伯特-黄变换(HHT)比:
    相比于HHT等时频分析方法,小波依然没脱离海森堡测不准原理的束缚,某种尺度下,不能在时间和频率上同时具有很高的精度;以及小波是非适应性的,基函数选定了就不改了。

    5. 关于文中表述的严谨性

    评论中有不少朋友提到,我的一些表述不够精准。这是肯定的,并且我也是知道的。比如傅里叶变换的理解部分,我所说的那种“乘出一个大的值”的表述肯定是不够严谨的。具体我也在评论的回答中做了解释。我想说的是通俗易懂和精确严谨实在难以兼得,如果要追求严谨,最好的就是教科书上的数学表达,它们无懈可击,但是对于初学者来说,恐怕存在门槛。如果要通俗解释,必然只能侧重一个关键点,而出现漏洞。我想这也是教科书从来不把这些通俗解释写出来的原因吧——作者们不是不懂,而是怕写错。所以想深入理解傅里叶变换和小波变换的朋友还请认真学习教材,如果这篇文章能给一些初学者一点点帮助,我就心满意足了。

    展开全文
  • 分数阶傅里叶变换(FrFT)详细原理与matlab代码实现

    万次阅读 多人点赞 2021-08-31 09:26:33
    本文给出了一种高效、精确计算分数傅里叶变换的算法。对于时间带宽积为N的信号,该算法计算复杂度为O(N logN)。我们还讨论了离散分数傅里叶变换的定义。 引言 略…… 预备知识 分数傅里叶变换 定义{Ff}(x)\{\...

    本文主要是基于Haldun M. Ozaktas, Orhan等人的论文Digital Computation of the Fractional Fourier Transform 翻译而成。如有错误之处还请指出。

    摘要

    本文给出了一种高效、精确计算分数傅里叶变换的算法。对于时间带宽积为N的信号,该算法计算复杂度为O(N logN)。我们还讨论了离散分数傅里叶变换的定义。

    引言

    略……

    预备知识

    分数傅里叶变换

    定义 { F f } ( x ) \{\mathcal{F}f\}(x) {Ff}(x)表示对 f ( x ) f(x) f(x)做一次傅里叶变换, { F a f } ( x ) \{\mathcal{F}^af\}(x) {Faf}(x)表示连续对 f ( x ) f(x) f(x) a a a次傅里叶变换。
    根据傅里叶变换的定义,有 { F 2 f } ( x ) = f ( − x ) \{\mathcal{F}^2f\}(x)=f(-x) {F2f}(x)=f(x) { F 4 f } ( x ) = f ( x ) \{\mathcal{F}^4f\}(x)=f(x) {F4f}(x)=f(x)(注:使用信号与系统里的傅里叶变换定义公式推导时可能会差 2 π 2\pi 2π倍,需要将 ω \omega ω换成 2 π f 2\pi f 2πf并以 f f f作为积分变量计算),可见傅里叶变换周期为 a = 4 a=4 a=4,于是设定 a a a的定义域为 0 < ∣ a ∣ < 2 0<|a|<2 0<a<2,负数时表示逆傅里叶变换。

    a a a次傅里叶变换用卷积表示:
    在这里插入图片描述
    其中 ≡ \equiv 表示恒等于, B a ( x , x ′ ) B_a(x,x') Ba(x,x)表示卷积核,注意 x ′ x' x并不是表示 x x x的导数,只是一个新的变量,用于区分 x x x
    这个卷积核有前人推导过了,表达式如下:
    在这里插入图片描述
    其中 i i i表示虚数单位。

    a = 0 a=0 a=0时, B a ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) B_a(x,x')=\delta(x-x') Ba(x,x)=δ(xx) δ \delta δ表示冲激函数,显然,根据冲激函数定义,当且仅当 x ′ = x x'=x x=x时,积分有非零值,因此 { F 0 f } ( x ) = f ( x ) \{\mathcal{F}^0f\}(x)=f(x) {F0f}(x)=f(x).
    a = ± 2 a=\pm2 a=±2时, B a ( x , x ′ ) = δ ( x + x ′ ) B_a(x,x')=\delta(x+x') Ba(x,x)=δ(x+x),同理,此时 { F ± 2 f } ( x ) = f ( − x ) \{\mathcal{F}^{\pm2}f\}(x)=f(-x) {F±2f}(x)=f(x).
    a = 1 a=1 a=1时, A ϕ = 1 A_\phi=1 Aϕ=1, B a ( x , x ′ ) = e − 2 π i x x ′ B_a(x,x')=e^{-2\pi i x x'} Ba(x,x)=e2πixx,卷积核为傅里叶变换核, { F 1 f } ( x ) = F ( x ) \{\mathcal{F}^1f\}(x)=\mathcal{F}(x) {F1f}(x)=F(x)
    a = − 1 a=-1 a=1时, A ϕ = 1 A_\phi=1 Aϕ=1, B a ( x , x ′ ) = e 2 π i x x ′ B_a(x,x')=e^{2\pi i x x'} Ba(x,x)=e2πixx,卷积核为逆傅里叶变换核, { F − 1 f } ( x ) = F − 1 ( x ) \{\mathcal{F}^{-1}f\}(x)=\mathcal{F}^{-1}(x) {F1f}(x)=F1(x)

    傅里叶变换对如下:
    F ( x ) = F ( f ( x ′ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ′ ) e − 2 π i x x ′ d x ′ F(x)=\mathcal{F}(f(x'))=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x')e^{-2\pi ixx'}dx' F(x)=F(f(x))=+f(x)e2πixxdx
    f ( x ′ ) = F − 1 ( F ( x ) ) = ∫ − ∞ + ∞ F ( x ) e 2 π i x x ′ d x f(x')=\mathcal{F}^{-1}(F(x))=\int_{-\infty}^{+\infty}F(x)e^{2\pi ixx'}dx f(x)=F1(F(x))=+F(x)e2πixxdx
    (与平常课本上学的在形式上不太一样,不过物理意义是相同的,只不过是把角频率换成了频率)

    可以证明有如下性质成立:
    F a 1 F a 2 = F a 1 + a 2 \mathcal{F}^{a_1}\mathcal{F}^{a_2}=\mathcal{F}^{a_1+a_2} Fa1Fa2=Fa1+a2

    傅里叶变换的核函数,其完备集合是Hermite-Gaussian 函数:
    在这里插入图片描述
    (这块不细讲了)
    为方便起见, { F a f } ( x ) \{\mathcal{F}^{a}f\}(x) {Faf}(x)简写为 f a ( x ) f_a(x) fa(x)

    和维纳分布的关系以及分数阶傅里叶域的概念

    如果时域函数为 f ( x ) f(x) f(x),则维纳分布函数为:
    在这里插入图片描述
    粗略来讲,维纳分布函数给出了信号在时域和频域上的能量分布,有如下特点:
    在这里插入图片描述
    分数阶傅里叶变化的出现,丰富了时域和频域的概念,以时域中的时间为x轴,频域中的频率为y轴,可以画出时频域平面,即分数傅里叶域。维纳分布函数也可以通过几何的方法,改写为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    分数阶傅里叶变换突破了时域和频域的概念,可以做到任意角度的变换。

    时域、频域和维格纳空间中的紧凑型

    略……

    离散傅里叶变换

    在这里插入图片描述

    计算连续分数阶傅里叶变换的方法

    上述计算连续分数阶傅里叶变换的公式,很难用解析的方法求解,因此我们通常使用数值计算方法,比如用指数或者二次函数近似,但是这样通常情况下需要大量的样本。当 a a a接近 0 0 0 ± 2 \pm2 ±2时,情况更加严重。

    有一种快速计算方法是利用 F a = F 1 F a − 1 \mathcal{F}^a=\mathcal{F}^1\mathcal{F}^{a-1} Fa=F1Fa1,其中 F a − 1 \mathcal{F}^a-1 Fa1可以直接得到。
    还有一种方法用到了核函数的频谱分解。
    尽管这两种方法都期望能得到正确的结果,但是我们不会进一步考虑他们,因为他们的计算复杂度为 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)

    分数阶傅里叶变换的快速算法

    分数阶傅里叶变换是一类更普遍的变换,通常被称为linear canonical transformations 或 quadratic-phase transforms。这些变换通常能分解成一系列简单的操作,比如线性调频卷积、线性调频相乘、缩放和原始傅里叶变换。这里我们主要研究两种分解方法,对应两种独特的方法。

    方法一

    首先,我们将分数阶傅里叶变换分解成一个线性调频相乘跟着一个线性调频卷积跟着另一个线性调频相乘。在这个方法中,假设 a ∈ [ − 1 , 1 ] a\in [-1,1] a[1,1],可以将分数阶傅里叶变换公式变为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这里 g ( x ) g(x) g(x) g ′ ( x ) g'(x) g(x)代表中间结果,其中 ′ ' 不表示导数, β = csc ⁡ ϕ \beta=\csc\phi β=cscϕ

    在第一步(公式16)中,我们把 f ( x ) f(x) f(x)乘以了一个线性调频函数,首先我们要获得 g ( x ) g(x) g(x)的采样,需要内插。接下来是把 g ( x ) g(x) g(x)卷积上一个线性调频函数。注意到 g ( x ) g(x) g(x)带宽有限,因此线性调频函数可以等价为一个带宽有限函数:
    在这里插入图片描述
    注意到式(19)是线性调频函数 exp ⁡ ( i π β x 2 ) \exp(i\pi \beta x^2) exp(iπβx2)的傅里叶变换。 h ( x ) h(x) h(x)可以认为是菲涅尔积分:
    在这里插入图片描述
    g ′ ( x ) g'(x) g(x)被采样后,结果为:
    在这里插入图片描述
    这个卷积可以通过快速傅里叶变换计算。
    目前采样间隔为 1 / 2 Δ x 1/2\Delta x 1/2Δx,需要使用抽删操作,大批删减样本,使样本间隔变为 1 / Δ x 1/\Delta x 1/Δx

    总而言之, f ( x ) f(x) f(x) f a ( x ) f_a(x) fa(x)都是以 1 / Δ x 1/\Delta x 1/Δx为间隔采样的,均为 N N N个样本,,将这些样本以列向量表示,分别为 f \mathbf{f} f f a \mathbf{f}_a fa,则总程序可以表示为:
    在这里插入图片描述
    D \mathbf{D} D J \mathbf{J} J表示抽删和内插操作的矩阵, Λ \mathbf{\Lambda} Λ表示线性调频相乘, H l p \mathbf{H}_{lp} Hlp对应卷积操作。

    如果我们只关心计算和绘制给定的连续函数 f ( x ) f(x) f(x)的分数阶傅里叶变换,那么抽删和内插操作可以省去。
    注意 a a a的定义域是 − [ 1 , 1 ] -[1,1] [1,1],如果 a a a在区域之外,可以利用分数阶傅里叶变化的对称和周期性将 a a a转换到定义域内。

    方法二

    接下来我们关注一个改进的方法,这个方法不需要菲涅尔积分。分数阶傅里叶变换公式可以写为:
    在这里插入图片描述
    其中 α = cot ⁡ ϕ , β = csc ⁡ ϕ \alpha=\cot\phi,\beta=\csc\phi α=cotϕ,β=cscϕ

    在一堆看不懂的假设后, e i π α x ′ 2 f ( x ′ ) e^{i\pi\alpha x'^{2}}f(x') eiπαx2f(x)可以用香农内插公式书写:
    在这里插入图片描述
    其中 N = ( Δ x ) 2 N=(\Delta x)^2 N=(Δx)2,改变求和顺序后可以得到:
    在这里插入图片描述
    里面的积分等于
    在这里插入图片描述
    窗函数可以去掉,公式写为
    在这里插入图片描述
    采样后的变换函数可以写为:
    在这里插入图片描述
    这是一个有限的求和,允许我们依照原函数的采样求得分数傅里叶变换的采样。直接计算需要 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)次乘法,但是接下来我们介绍如何用 O ( N log ⁡ N ) O(N\log N) O(NlogN)的时间复杂度计算。把上式通过代数变换变为:
    在这里插入图片描述
    可以很明显的看到,求和符号里面是关于 e i π β ( n / 2 Δ x ) e^i\pi\beta(n/2\Delta x) eiπβ(n/2Δx)和线性调频调制后的 f ( x ) f(x) f(x)线性卷积。线性卷积可以使用快速傅里叶变换(fft)计算得到,而fft的计算复杂度为 O ( N log ⁡ N ) O(N\log N) O(NlogN)
    得出的结果样本在乘以一个线性调频函数,就是最终结果。
    计算过程用矩阵和向量总结如下:
    在这里插入图片描述
    注意 ∣ m ∣ , ∣ n ∣ < N |m|,|n|<N m,n<N
    在这个方法中假设了 0.5 ≤ ∣ a ∣ ≤ 1.5 0.5\leq|a|\leq1.5 0.5a1.5,不过我们可以使用分数傅里叶变换的可加性将其拓展到任意定义域,比如对于范围 0 ≤ ∣ a ∣ ≤ 0.5 0\leq|a|\leq0.5 0a0.5,可以使用以下变换式:
    在这里插入图片描述
    注意最后一项不是表示乘积,是表示连续做两次变换。

    在这种计算方法中,分数阶傅里叶变换和原傅里叶变换之间的关系为:
    在这里插入图片描述
    可以看出
    在这里插入图片描述
    其中 F \mathbf{F} F表示原傅里叶变换矩阵.


    代码与注释

    论文的原理部分翻译到此结束了,下面是按照原论文的思想,参考了其它博主的代码实现,加了一些注释便于理解。

    function Faf = myfrft(f, a)
    %分数阶傅里叶变换函数
    %输入参数f为原始信号,a为阶数
    %输出结果为原始信号的a阶傅里叶变换
    N = length(f);%总采样点数
    shft = rem((0:N-1)+fix(N/2),N)+1;%此项等同于fftshift(1:N),起到翻转坐标轴的作用
    sN = sqrt(N);%看原文中对离散傅里叶变换的定义,有这个乘积项
    a = mod(a,4);%按周期性将a定义在[0,4]
    
    %特殊情况直接处理
    if (a==0), Faf = f; return; end%自身
    if (a==2), Faf = flipud(f); return; end%f(-x)
    if (a==1), Faf(shft,1) = fft(f(shft))/sN; return; end%f的傅里叶变换
    if (a==3), Faf(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; return; end%f的逆傅里叶变换
    
    %利用叠加性将阶数变换到0.5 < a < 1.5
    if (a>2.0), a = a-2; f = flipud(f); end%a=2是反转
    if (a>1.5), a = a-1; f(shft,1) = fft(f(shft))/sN; end%a=1是傅里叶变换
    if (a<0.5), a = a+1; f(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; end%a=-1是逆傅里叶变换
    
    %开始正式的变换
    alpha = a*pi/2;
    tana2 = tan(alpha/2);
    sina = sin(alpha);
    
    f = [zeros(N-1,1) ; interp(f) ; zeros(N-1,1)];%使用香农插值,拓展为4N
    % 以下操作对应原论文中公式(29% 线性调频预调制
    chrp = exp(-1i*pi/N*tana2/4*(-2*N+2:2*N-2)'.^2);
    f = chrp.*f;
    % 线性调频卷积
    c = pi/N/sina/4;
    Faf = fconv(exp(1i*c*(-(4*N-4):4*N-4)'.^2),f);
    Faf = Faf(4*N-3:8*N-7)*sqrt(c/pi);
    % 线性调频后调制
    Faf = chrp.*Faf;
    % 乘以最前面的A_Phi项
    Faf = exp(-1i*(1-a)*pi/4)*Faf(N:2:end-N+1);
    
    end
    
    function xint=interp(x)%香农插值
    % sinc interpolation
    N = length(x);
    y = zeros(2*N-1,1);
    y(1:2:2*N-1) = x;
    xint = fconv(y(1:2*N-1), sinc([-(2*N-3):(2*N-3)]'/2));%计算卷积
    xint = xint(2*N-2:end-2*N+3);
    end
    
    function z = fconv(x,y)%利用fft快速计算卷积
    N = length([x(:);y(:)])-1;%计算最大点数
    P = 2^nextpow2(N);%补零
    z = ifft( fft(x,P) .* fft(y,P));%频域相乘,时域卷积
    z = z(1:N);%去零
    end
    

    测试

    使用如下代码进行测试:

    close all
    a=0:0.25:4;%分数阶傅里叶变换阶数
    
    %生成一个窗函数
    fx=zeros(500,1);
    fx(150:250)=1;
    
    for ai=a
        figure
        F=myfrft(fx,ai);
        plot(abs(F))
        title("a="+num2str(ai))
        grid on
        ylim([0,5])
    end
    

    首先生成一个窗函数,长度为500,在150到250点处为1,其余为0。
    学过信号与系统的同学都知道,窗函数的傅里叶变换是一个Sa函数(也称Sinc函数),选取傅里叶变换的阶数为0到4之间,间隔为0.25,观察每一个结果。我将分数阶傅里叶变换的结果做成了一个动图,可以更加直观的理解分数阶傅里叶变换的物理意义和时频域的概念。
    请添加图片描述

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  • 第25章 DSP变换运算-快速傅里叶变换原理(FFT) 在数字信号处理中常常需要用到离散傅立叶变换(DFT),以获取信号的频域特征。尽管传统的DFT算法能够获取信号频域特征,但是算法计算量大,耗时长,不利于计算机实时对...

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    第25章       DSP变换运算-快速傅里叶变换原理(FFT)

    在数字信号处理中常常需要用到离散傅立叶变换(DFT),以获取信号的频域特征。尽管传统的DFT算法能够获取信号频域特征,但是算法计算量大,耗时长,不利于计算机实时对信号进行处理。因此导致DFT被发现以来,在很长的一段时间内都不能被应用到实际工程项目中,直到一种快速的离散傅立叶计算方法——FFT被发现,离散是傅立叶变换才在实际的工程中得到广泛应用。需要强调的是,FFT并不是一种新的频域特征获取方式,而是DFT的一种快速实现算法。

    特别声明:FFT原理的讲解来自网络和书籍。

    25.1 FFT由来

    25.3 直接计算DFT的问题及改进路径

    25.3 改善DFT运算效率的基本途径

    25.4 按时间抽选的基2-FFT算法

    25.5 按频率抽选的基2-FFT算法

    25.6 总结

     

     

    25.1 初学者重要提示

    1、  为大家推荐西电的国家级精品课程信号与系统,含课堂视频,书籍和课堂PPT

    http://www.armbbs.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=94886

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    25.2 FFT的由来

    离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是数字信号处理最重要的基石之一,也是对信号进行分析处理时,最常用的工具之一。在200多年前,法国数学家、物理学家傅里叶提出以他的名字命名的傅里叶级数之后,用DFT这个工具来分析信号就已经被人们所知。

    历史上最伟大的数学家之一,欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式,例如:y = f(x)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一,给出了一个用实变量函数表示傅立叶系数的方程,用三角级数来描述离散声音在媒介中传播,发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。 但在很长时间内,这种分析方法并没有引起更多的重视,最主要的原因在于这种方法运算量比较大。直到1965年,Cooley和Tukey在《计算机科学 》发表著名的《机器计算傅立叶级数的一种算法》论文,FFT才开始大规模应用。

    那个年代,有个肯尼迪总统科学咨询委员会,其中有项研究主题是对苏联核测试进行检测,Tukey就是其中一员。美国/苏联核测试提案的批准,主要取决于不实地访问核测试设施而做出检测方法。其中一个想法是,分析离海岸的地震情况,这种计算需要快速算法来计算DFT。其它应用是国家安全,如用声学探测远距离的核潜艇。所以在军事上,迫切需要一种快速的傅立叶变换算法,这也促进了FFT的正式提出。

    FFT充分利用了DFT运算中的对称性和周期性,从而将DFT运算量从N2减少到 。当N比较小时,FFT优势并不明显。但当N大于32开始,点数越大,FFT对运算量的改善越明显。比如当N为1024时,FFT的运算效率比DFT提高了100倍。在库利和图基提出的FFT算法中,其基本原理是先将一个N点时域序列的DFT分解为N个1点序列的DFT,然后将这样计算出来的N个1点序列DFT的结果进行组合,得到最初的N点时域序列的DFT值。实际上,这种基本的思想很早就由德国伟大的数学家高斯提出过,在某种情况下,天文学计算(也是现在FFT应用的领域之一)与等距观察的有限集中的行星轨道的内插值有关。由于当时计算都是靠手工,所以产生一种快速算法的迫切需要。 而且,更少的计算量同时也代表着错误的机会更少,正确性更高。高斯发现,一个富氏级数有宽度N=N1*N2,可以分成几个部分。计算N2子样本DFT的N1长度和N1子样本DFT的N2长度。只是由于当时尚欠东风——计算机还没发明。在20世纪60年代,伴随着计算机的发展和成熟,库利和图基的成果掀起了数字信号处理的革命,因而FFT发明者的桂冠才落在他们头上。

    之后,桑德(G.Sand)-图基等快速算法相继出现,几经改进,很快形成了一套高效运算方法,这就是现在的快速傅立叶变换(FFT)。这种算法使DFT的运算效率提高1到2个数量级,为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了良好的条件,大大推进了数学信号处理技术。1984年,法国的杜哈梅(P.Dohamel)和霍尔曼(H.Hollamann)提出的分裂基块快速算法,使运算效率进一步提高。

    库利和图基的FFT算法的最基本运算为蝶形运算,每个蝶形运算包括两个输入点,因而也称为基-2算法。在这之后,又有一些新的算法,进一步提高了FFT的运算效率,比如基-4算法,分裂基算法等。这些新算法对FFT运算效率的提高一般在50%以内,远远不如FFT对DFT运算的提高幅度。从这个意义上说,FFT算法是里程碑式的。可以说,正是计算机技术的发展和FFT的出现,才使得数字信号处理迎来了一个崭新的时代。除了运算效率的大幅度提高外,FFT还大大降低了DFT运算带来的累计量化误差,这点常为人们所忽略。

    25.3 直接计算DFT的问题及改进路径

    25.3.1 问题的提出

    设有限长序列x(n),非零值长度为N,若对x(n)进行一次DFT运行,共需要多大的运算工作量。

    25.3.2 DFT的运算量

    DFT和IDFT的变换式:

     

    下面以DFT为例说明计算量:

    计算机运算时(编程实现):

     

    由上面的结算可得DFT的计算量如下:

     

    复数乘法的计算量:(a+jb)(c+jd)=(ab-bd)+j(bc+ad)

    下面通过两个实例来说明计算量:

    例一:计算一个N点DFT,共需 次复乘。以做一次复乘1 计算,若N=4096,所需时间为

    例二:石油勘探,有24个通道的记录,每通道波形记录长度为5秒,若每秒抽样500点/秒。

    1. 每道总抽样点数:500*5 = 2500点。
    2. 24道总抽样点数:24*2500=6万点。

    由于计算量大,且要求相当大的内存,难以实现实时处理,限制了DFT的应用,人们一直在寻求一种能提高DFT运算速度的方法。

    FFT便是Cooley和Tukey在1995年提出来的快速算法,它可以使运算速度提高几百倍,从而使数字信号处理成为一个新兴的应用学科。

    25.4 改善DFT运算效率的基本途径

    1、利用DFT运算的系数 的固有对称性和周期性,改善DFT的运算效率。

    1)对称性

    2)周期性

    3)可约性

     

    2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT的思路

    因为DFT的运算量与N2成正比,如果一个大点数N的DFT能分解为若干小点数DFT的组合,则显然可以达到减少运算工作量的效果。

    FFT算法的基本思想:

    • 利用DFT系数的特性,合并DFT运算中的某些项。
    • 把长序列DFTà短序列DFT,从而减少运算量。

     

    FFT算法分类:

    时间抽选法

    DIT: Decimation-In-Time

    频率抽选法

    DIF: Decimation-In-Frequency

    25.5 按时间抽选的基2-FFT算法

    25.5.1 算法原理

    设输入序列长度为N = 2M(M为正整数),将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列,称为基2按时间抽取的FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。

    其中基2表示:N = 2M,M为整数。若不满足这个条件,可以人为地加上若干零值(加零补长)使其达到N = 2,M。

    25.5.2 算法步骤

    • 分组,变量置换

     

    • 分组,变量置换

    其中k = 0, 1,…. N/2 – 1。 和 只有N/2个点,以N/2为周期;而X(k)却有N个点,以N为周期。要用x1(k)和x2(k)表达全部的X(k)值。还必须利用系数的周期特性。

     

    有了上面的计算结果后,我们可以得到如下的蝶形运算流图符号:

     

    关于这个蝶形运算流图符号说明如下:

    1. 1个蝶形运算需要1次复乘,2次复加。
    2. 左边两路为输入。
    3. 右边两路为输出。
    4. 中间以一个小圆表示加减运算(右上路为相加输出,右下路为相减输出)。
    • 分解后的运算量

     

    运算量减少了近一半。

    例子:求N=23=8点FFT变化。按N=8àN/2=4,做4点的DFT,先将N=8点的DFT分解成2个4点的DFT:

    可知:  时域上 x(0),x(2),x(4),x(6)为偶子序列。

                   x(1),x(3),x(5),x(7)为奇子序列。

            频域上  X(0) 到X(3) 由X(k)给出

                    X(4) 到X(7) 由X(k+N/2)给出

    此外,还有4个蝶形结,每个蝶形结需要1次复乘,2次复加。一共是:复乘4次,复加8次。

    用分解的方法的得到X(k)需要:

    复乘:32+4=36次

    复加:24+8=32次

    N = 23 = 8 按时间抽取的DFT分解过程:

    因为4点DFT还是比较麻烦,所以再继续分解。

    若将N/2(4点)子序列按奇/偶分解成两个N/4点(2点)子序列。即对将x1(r)和x2(r)分解成奇、偶两个N/4点(2点)的子序列。

    因此可以对两个N/2点的DFT再分别作进一步的分解。将一个8点的DFT可以分解成四个2点的DFT,直到最后得到两两点的DFT为止。

    由于这种方法每一步分解都是按输入序列是属于偶数还是奇数来抽取的,所以称为“按时间抽取的FFT算法”。

    下图是由4个两点DFT组成的8点DFT:

    下图是按8点抽取的FFT运算流图:

    这里注意观察蝶形图的系数

     

    25.5.3 FFT算法和直接计算DFT运算量的比较

    FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线

    25.6 按频率抽选的基2-FFT算法

    在基2快速算法中,频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法,简称DIF-FFT。

    鉴于网上和课本中关于FFT原理已经讲解非常详细了,在这里就不再赘述了。有兴趣的查阅相关书籍进行学习即可。

    25.7 总结

    本章节主要讲解了FFT的基2算法实现原理,讲解稍显枯燥,不过还是希望初学的同学认真学习,搞懂一种快速傅里叶算法的实现即可。

     

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  • 就我而言,我其实不需要深入了解傅里叶变换原理,但又不得不必须学会如何使用FFT对采样的数据进行处理并得到最终的图像,比如频谱图,比如色散图。所以,对于傅里叶变换的作用的直观理解,应该是从它的结果图像中...
  • 详细介绍了数字水印技术的概念、原理、实现方式,并重点介绍了基于 FFT的数字音频水印原理和实现算法,最后给出了实验结果。
  • 文章目录(1)傅里叶变换(2)Graph上的傅里叶变换(3)Graph上的傅里叶变换总结二、为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基?特征值表示频率?(1)为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基?(2...
  • 基于中心类型DFT矩阵特征分解的MA-CDFRFT(Muhiangle ...结合偶数点离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)运算的对称性原理,通过数学推导将MA-CDFRFT算法中的一维对称性扩展到频率和变换阶数的二维平面上.
  • 【算法】离散傅里叶变换(DFT)

    千次阅读 2022-04-13 13:53:21
    说明:上图结果证明了离散傅里叶变化是对FT变化在区间(0,2*pi)的等间距N点采样 四、窗函数与频谱泄露-STFT短时傅里叶变换 参考:动手实践–窗函数与频谱泄漏 在上一篇文章中,离散傅里叶变换 (DFT)为我们提供了一...
  • 我所理解的快速傅里叶变换(FFT)

    万次阅读 多人点赞 2016-10-22 18:01:58
    1.历史放在最前头 ...傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温

空空如也

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傅里叶变换的原理论文