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  • 二维傅里叶变换频谱图的含义 在一维傅里叶变换得到的频谱图中,每个点表示其...二位傅里叶变换的频谱图,简谐波的振幅由对应点处对应的亮度表示,每一个点表示的波形为其对应的横纵坐标所表示的简谐波的叠加。 ...

    二维傅里叶变换频谱图的含义

    在一维傅里叶变换得到的频谱图中,每个点表示其对应的幅度频率与其坐标对应的简谐波。
    

    频谱图示例

    二位傅里叶变换的频谱图,简谐波的振幅由对应点处对应的亮度表示,每一个点表示的波形为其对应的横纵坐标所表示的简谐波的叠加。
    

    二维傅里叶变换示意图

    蓝点处所示波形叠加组成示例

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  • 从傅里叶级数到傅里叶变换 通过分析连续周期信号周期与频谱的关系,当周期趋于无穷大时候,周期信号变成非周期信号。从频谱分析观点来看,当T增加时,基波频率变小,离散谱线变密,频谱幅度变小,当周期T趋于...

    参考资料:《信号与系统(第二版)》 杨晓非 何丰

    从傅里叶级数到傅里叶变换

    通过分析连续周期信号的周期与频谱的关系,当周期趋于无穷大的时候,周期信号变成非周期信号。从频谱分析观点来看,当T增加时,基波频率变小,离散谱线变密,频谱幅度变小,当周期T趋于无穷大的时候,离散频谱就会连成一片变成面频谱,并且从平面消失,这时候傅里叶级数也就没有了意义。

     虽然当周期趋于无穷大时,相邻谱线的间隔、频率分量的幅度都趋于无穷小,但是之间保持一定的比例关系,这里引入频谱密度的概念:

    频谱密度是相对于频率f而不是角频率w,能量谱密度也是一样的,都是相对于频率。

    这样得到了傅里叶变换对:

    周期信号的傅里叶变换

    很多人说傅里叶级数用于周期信号,傅里叶变换用于非周期信号。那问题来了,周期信号的傅里叶变换是什么?并且和傅里叶级数的系数有什么关系?  为了解开这个谜团,我们先来热热身~来点预备知识。首先,周期信号可以由傅里叶级数表示,即e指数的求和形式,想到这一点,周期信号的傅里叶变换本质上就是e指数的傅里叶变换。

    转载于:https://www.cnblogs.com/qinguoyi/p/7607296.html

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  • 文章目录非周期信号的频谱--傅里叶变换1 频谱密度函数1.1 引出1.2 频谱密度函数2 傅里叶变换2.1 傅里叶变换2.2 傅里叶反变换2.3 傅里叶变换对2.4 说明3 常用函数的傅里叶变换3.1 单边指数函数3.2 双边指数函数 ...

    非周期信号的频谱–傅里叶变换

    1 频谱密度函数

    1.1 引出

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    • TT→∞时, f(t)f(t):周期信号 非周期信号;
    • 谱线间隔=2π/T0Ω=2π/T →0,谱线幅度0→0,周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱

    注意:虽然各频率分量的幅度趋近于无穷小,但无穷小量之间仍有相对大小差别。故引入频谱密度函数(相当于用显微镜看细菌)。

    1.2 频谱密度函数

    =1T频率=\frac{1}{T}
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    F(jω)F( jω)称为频谱密度函数,简称频谱密度或频谱。单位频率上的频谱。

    2 傅里叶变换

    2.1 傅里叶变换

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    F(jω)F( jω) 称为f(t)f(t)的傅里叶变换。

    F(jω)F( jω)一般是复函数,写为
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    这里的频谱密度与ω\omega的关系,周期信号的是实际频谱与Ω\Omega的关系。

    2.2 傅里叶反变换

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    2.3 傅里叶变换对

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    2.4 说明

    (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明,函数
    f(t)f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:
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    (2)用下列关系还可方便计算一些积分
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    3 常用函数的傅里叶变换

    3.1 单边指数函数

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    3.2 双边指数函数

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    3.3 门函数(矩形脉冲)

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    3.4 冲激函数δ(t)δ´(t)δ(n)(t)δ(t)、δ´(t)、 δ^{(n)}(t)

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    3.5 常数 1

    有些函数(如1,ε(t)ε(t) 等)不满足绝对可积这一充分条件,直接用定义式不易求解。可构造一函数序列{fn(t)fn(t)}逼近f(t)f (t) ,即
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    fn(t)f_n(t)满足绝对可积条件,并且{fn(t)f_n(t)}的傅里叶变换所形成的序列{Fn(jω)F_n(jω)}是极限收敛的。则f(t)f(t)的傅里叶变换F(jω)F(jω)
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    这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换

    eαtαe^{-\alpha|t|},\alpha趋于无穷,其值为1。
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    F(jw)F(jw)ω=0\omega=0时是无穷大,ω0\omega\not=0时是0,故F(jw)F(jw)是一个冲激函数,通过求[][-\infty,\infty]的积分可以求得其面积,为2π2\pi,而δ(ω)\delta(\omega)面积为1,故F(jω)=2πδ(w)F(j\omega)=2\pi\delta(w)

    另一种求法: δ(ω)δ(ω) 代入反变换定义式,有
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    3.6 符号函数

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    3.7 阶跃函数 ε(t)ε(t)

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    3.8 归纳总结

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    《工程信号与系统》作者:郭宝龙等

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  • 傅里叶变换的定义式 函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内f(t)绝对可积,但它并非必要条件。 当引入广义函数的概念后,许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换,这给信号与系统分析带来很大...

    一、前言

    傅里叶变换的定义式
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    函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内f(t)绝对可积,但它并非必要条件。
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    当引入广义函数的概念后,许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换,这给信号与系统分析带来很大方便。

    二、傅里叶变换的性质

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    三、奇异函数的傅里叶变换

    1、冲激函数的频谱

    方法一:根据傅里叶变换的定义式,并且考虑到冲激函数的取样性质,得
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        其频谱密度在-∞<w<∞区间处处相等,常称为“均匀谱”或“白色频谱”。

    方法二:应用广义极限的概念,单位冲激函数δ(t)是幅度为1/τ,脉宽为τ的矩形脉冲当τ→0的广义极限,因而可以写为
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      门函数的傅里叶变换
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      因而
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      所以
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    2、冲激函数导数的频谱

      冲激函数导数定义式为
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      其中φ(t)为检验函数,φ(t)是急降的。
      按广义函数理论,由于选取了性能良好的检验函数空间 Φ,广义函数的各阶导数都存在并且仍属于缓增广义函数空间 Φ’。

      根据定义,冲激函数的一阶导数δ’(t)的频谱函数为
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      即δ’(t)的频谱函数为
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    3、单位直流信号的频谱

      幅度等于1的直流信号可表示为 f(t)=1, -∞ < t < ∞
      显然,该信号不满足绝对可积条件,但其傅里叶变换却存在。
      根据傅里叶变换的性质(对称性),可得
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    4、符号函数的频谱

      符号函数记作sgn(t),它的定义为
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      显然,该函数也不满足绝对可积条件。
      函数sgn(t)可看作是
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      当α趋于0时的极限,因此其频谱函数也是f1(t)的频谱函数F1(jw) 当α趋于0时的极限。
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      它是ω的奇函数,在ω=0处F1(0)=0,因此当α趋近于零时,有
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      于是得
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    5、阶跃函数的频谱

      单位阶跃函数u(t)也不满足绝对可积条件。它可看作是幅度为½的直流信号与幅度为½的符号函数之和,即
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      对上式两边进行傅里叶变换,得
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    四、常用信号的傅里叶变换表

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傅里叶变换的幅度频谱