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  • 利用傅里叶变换来绘制一副图像的频谱频谱图 opencv2
  • 整理的图像处理离散傅里叶变换频谱相位谱幅度谱关系ppt,及matlab代码
  • 本文转载于松下J27,原文分为三章讲解,在此合并转载 文一:https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80109139...如何理解 图像傅里叶变换频谱图1、周期性2、高低频率的分布3、频谱图的能量分布4、纵横“交

    本文转载于松下J27,原文分为三章讲解,在此合并转载
    文一:https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80109139
    文二:https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80394570
    文三:https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80394596

    很多人都不了解图像(二维)频谱中的每一点究竟代表了什么,有什么意义?
    一句话:二维频谱中的每一个点都是一个与之一一对应的二维正弦/余弦波。

    常言道,百闻不如一见,人脑对于图像的理解能力是非常发达的。换句话说,一副图像(不论是灰度的图像还是彩色图像)所提供的信息是显而易见,清晰有力的。然而,一副图像的傅里叶频谱图,却常常让人难以理解,捉摸不透,也正因为如此,相对于一维频谱的频域处理方式而言,二维频域的处理方式显得非常有限,例如,二维卷积的频域计算,傅里叶中心切片定理Fourier Slice Theorem(医学领域)。

    在这里插入图片描述
    我这里再次选用了著名的Cameraman的图像,这幅照片向我们表达的信息是显而易见的,一位优秀的摄影师,黑色的风衣,潇洒的发型,很有质感的皮手套,灰色的裤子,一台照相机,一个三脚架,草坪,蓝天,背景是MIT。而他的频谱图则并没有像一维的频谱图那样,有助于我们理解图像自身以外的或者是隐藏在图像背后的信息。比如说,中间的那条白线是什么,如果你没看我之前写的那篇文章你可能都不知道它究竟代表了什么。这也就是我为什么说,图像的傅里叶变换有些多此一举,反而把一个简单的问题弄得很复杂,弄巧成拙了。

    言归正传,说了这么多,搞图像的哪有不和二维傅里叶变换打交道的呢。现在我就尽力说明一下图像二维傅里叶变换的一些属性(这里主讲二维频谱的特性,一维里面的共有特性就不细讲了)。

    1、周期性

    DFT的周期性:时时刻刻都要记住,对于DFT而言,他的空域和频域始终都是沿着X和Y方向无限周期拓展的。 在这里插入图片描述
    如果只取其中的一个周期,则我们会得到如下的结果(即,频谱未中心化)。
    在这里插入图片描述
    为了便于频域的滤波和频谱的分析,常常在变换之前进行频谱的中心化。

    频谱的中心化

    从数学上说是在变换之前用指数项乘以原始函数,又因为e^jπ = 1,所以往往我们在写程序的时候实际上是把原始矩阵乘以(-1)^(x+y)达到频谱居中的目的。如下图所示:1<—–>3 对调,2<—–>4 对调,matlab中的fftshit命令就是这么干的。
    在这里插入图片描述
    变换后对调频谱的四个象限(swap quadrant)
    在这里插入图片描述
    经过中心化后的频谱
    在这里插入图片描述
    截取了其中的一个周期,作为图像的频谱
    在这里插入图片描述

    2、高低频率的分布

    除了周期性之外,还应该知道的就是哪里是高频哪里是低频。在经过频谱居中后的频谱中,
    中间最亮的点是最低频率,属于直流分量(DC分量)。越往边外走,频率越高。所以,频谱图中的四个角和X,Y轴的尽头都是高频。
    在这里插入图片描述
    没有经过频谱居中处理的频谱图则正好相反,中间区域是高频,而四个角则是DC低频分量。在这里插入图片描述

    这里我再用一个正弦波的例子来展示频谱图的高低频的分布,见下图。在这里插入图片描述
    频谱中心化以后,正弦波的频点靠中心越近,频率越低,离中心越远,频率越高。

    3、频谱图的能量分布

    这里我顺便提一下频谱中的能级分布,则如下图所示。明显,DC分量所占能量最大最多,不论是二维还是一维都应该是这样。频率越高的部分,能量越少。如下图所示,图示画的不好,勉强能够理解就好。中间最小的那个圆圈内包含了大约85%的能量,中间那个圈包含了大约93%的能量,而最外面那个圈则包含了几乎99%的能量。在这里插入图片描述

    4、纵横“交错”性

    在二维傅里叶变换中,空间域中横向的周期变化会反应在频谱图中的Y轴上,而空间域中纵向的周期变化会反应在频谱图中的X轴上。空间域中东南方向的周期变化会反应在频谱图中的东北方向,反之亦然。说明见下图。在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    最后再附加一个例子。在这里插入图片描述

    5、方向性(direction)

    在二维频谱图中的任意“一对亮点”(注意:频谱的对称性),都在相应的空间域有一个与之相对应的二维正弦波。亮点在二维频谱中的位置决定了与之对应的正弦波的频率和方向。

    在空域图中的任意一条正弦线上,作该正弦线的法线。同时,把频谱图中的一对白色频点和坐标原点(DC中点)用一条直线连接起来。则,空域图中的法线正好和频谱图中的连线是完全平行的,一致的。

    在这里插入图片描述

    上图是一个45度倾斜的正弦波图像。

    注意空间域中的任意一条法线和频谱图中频点和频谱图原点(DC)连线都是平行的,同时,空间域中的任意一条正弦线和频谱图中的连线是刚好正交的/垂直的。在这里插入图片描述
    上图为相同方向,较低频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域(左图)的法线和频谱图中(右图)一对频点和DC的连线延长线,是平行的。在这里插入图片描述
    上图为相同方向,较高频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域(左图)的法线和频谱图中(右图)一对频点和DC的连线延长线,是平行的。

    下面我们来验证一下其他角度的情况,这一法则是否适用。在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    上面所有的例子中的频谱图都是频谱中心化的,那么针对没有经过频谱中心化的图呢?在这里插入图片描述
    这些实验还说明了一个非常重要的问题,那就是:频谱图中的任意一对对称的两点,或者说是频点,经过傅里叶反变换之后,就是空间域中的一个与之对应的正弦波(即,相应的频率和方向)。如下图所示。在这里插入图片描述

    6、平移和旋转

    图像的平移并不会影响图像的频谱,同时,图像的相位会随着图像的旋转而旋转。在这里插入图片描述

    Part I 平移和旋转对频谱的影响

    下面我用矩形的频谱图来说明 图像中矩形的平移并不会对频谱有丝毫的影响
    在这里插入图片描述
    再比如在这里插入图片描述
    再来看看 频谱随着矩形的旋转而旋转相同的角度。在这里插入图片描述

    Part II 平移和旋转对相位的影响

    先用一个简单的例子来说明图像相位的作用(所用图像为cameraman),在图像的频域分析和滤波中,相位是常常被忽略的。虽然相位分量的贡献很不直观,但是它恰恰很重要。相位是频谱中各正弦分量关于原点的位移的度量。

    上面的小实验充分说明了,看似无用的,且常常被忽略的相位,在DFT的频域中起到了多么重要的作用(注意区分实部和虚部(直角坐标系)VS 频谱和相位(极坐标系)!)。

    接下来我们再来看看图像在空间域中的移位和旋转对相位有什么影响。下图中,左边一列是图像,中间一列是频谱,右边一列是相位图。你必须意识到,通过肉眼,你很难从相位图中得到什么有用的信息。在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    <script>
    					(function(){
    						function setArticleH(btnReadmore,posi){
    							var winH = $(window).height();
    							var articleBox = $("div.article_content");
    							var artH = articleBox.height();
    							if(artH > winH*posi){
    								articleBox.css({
    									'height':winH*posi+'px',
    									'overflow':'hidden'
    								})
    								btnReadmore.click(function(){
    									articleBox.removeAttr("style");
    									$(this).parent().remove();
    								})
    							}else{
    								btnReadmore.parent().remove();
    							}
    						}
    						var btnReadmore = $("#btn-readmore");
    						if(btnReadmore.length>0){
    							if(currentUserName){
    								setArticleH(btnReadmore,3);
    							}else{
    								setArticleH(btnReadmore,1.2);
    							}
    						}
    					})()
    				</script>
    				</article>
    
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  • 频谱分析观点来看,当T增加时,基波频率变小,离散谱线变密,频谱幅度变小,当周期T趋于无穷大的时候,离散频谱就会连成一片变成面频谱,并且从平面消失,这时候傅里叶级数也就没有了意义。 虽然当周期趋于无穷...

    参考资料:《信号与系统(第二版)》 杨晓非 何丰

    从傅里叶级数到傅里叶变换

    通过分析连续周期信号的周期与频谱的关系,当周期趋于无穷大的时候,周期信号变成非周期信号。从频谱分析观点来看,当T增加时,基波频率变小,离散谱线变密,频谱幅度变小,当周期T趋于无穷大的时候,离散频谱就会连成一片变成面频谱,并且从平面消失,这时候傅里叶级数也就没有了意义。

     虽然当周期趋于无穷大时,相邻谱线的间隔、频率分量的幅度都趋于无穷小,但是之间保持一定的比例关系,这里引入频谱密度的概念:

    频谱密度是相对于频率f而不是角频率w,能量谱密度也是一样的,都是相对于频率。

    这样得到了傅里叶变换对:

    周期信号的傅里叶变换

    很多人说傅里叶级数用于周期信号,傅里叶变换用于非周期信号。那问题来了,周期信号的傅里叶变换是什么?并且和傅里叶级数的系数有什么关系?  为了解开这个谜团,我们先来热热身~来点预备知识。首先,周期信号可以由傅里叶级数表示,即e指数的求和形式,想到这一点,周期信号的傅里叶变换本质上就是e指数的傅里叶变换。

    转载于:https://www.cnblogs.com/qinguoyi/p/7607296.html

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  • 幅度:第n点处的fft计算机过是复数a+bi,模值A=sqrt(a^2+b^2),那么实际信号的幅度为A/N*2,当n=0时(0HZ),第一个点就是直流分量,它的模值是直流分量的N倍,那么实际信号的幅度是A/N,注意N是采样点得个数不是...

            对于一个时域信号x(t),采样频率为Fs,采样点数为N,进行采样后为y[n],fft(y)计算所得到的结果就是在每个点处的复数a+bi,每一个点都对应一个频率点,这个点的模值就是该频率下的幅频特性。

    • 频率点:实际信号第n点的频率是Fs/N * n;
    • 幅度:第n点处的fft计算机过是复数a+bi,模值A=sqrt(a^2+b^2),那么实际信号的幅度为A/N*2,当n=0时(0HZ),第一个点就是直流分量,它的模值是直流分量的N倍,那么实际信号的幅度是A/N,注意N是采样点得个数不是进行fft的点数;
    • 相位:每个点处的相位就是该频率下信号的相位;

            fft变换后得到的幅频为什么要除以N乘以2,除以N是因为傅里叶级数里面有除以N,而傅里叶变换里没有除,那为什么还要乘以2呢,比如我这里A1=0.7,f1=50,A2=1,f2=120,Fs=1000,N=2000:

    y1 = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t),通过欧拉公式还可以表示为

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  • 傅里叶变换傅里叶级数 傅里叶级数 对于满足狄利克雷条件的周期信号可以进行傅里叶展开,对于周期函数f(t),其周期为T1,角频率为w1 = 2π/T1,f1 = 1/T1,其傅里叶级数展开为: 上式的右端就是所谓的傅里叶...

    傅里叶变换与傅里叶级数

    傅里叶级数

    对于满足狄利克雷条件的周期信号可以进行傅里叶展开,对于周期函数f(t),其周期为T1,角频率为w1 = 2π/T1,f1 = 1/T1,其傅里叶级数展开为:

     

    上式的右端就是所谓的傅里叶级数。周期信号按照傅里叶级数展开,可以分解成为直流分量a0,和许多正余弦分量an,bn而这些正余弦的分量必定是基频f1(1/T,T为周期函数的周期)的整数倍)。

    将(1)式相同的频率项合并,可以写成:

    cndnnw1 的关系绘制成下图的曲线,得到的就是周期信号的幅度频谱,其中每一条线代表某一频率分量的的幅度。

    根据欧拉公式可以将傅里叶级数写成指数形式

    傅里叶变换

    而对于非周期信号,可以视为周期无限大的周期信号,但当T1无限大时,w1 = 2π/T1间隔无限小,因此非周期信号的谱线就由离散变为连续,并且此时谱线长度Fn趋于0,则按照周期信号计算的频谱化为乌有。但是从物理上来说信号存在,那么必定有相应的能量存在,因此为了解决这个问题引入了频谱密度函数从傅里叶级数导出傅里叶变换。具体推导过程本文就不详讲,直接给出傅里叶变换的公式:

    傅里叶变换又分离散和非离散,这里给出一个总结

    傅里叶变换与频谱、功率谱、能量

    在上文讲到,一个信号可以分解成无数个周期信号的叠加,每个信号都有自己的频率分量,描述这种频率分量的图叫做频谱图。频谱图分为两部分,一部分是幅度频谱,另一部分是相位谱。语音中不怎么关注相位,因此下面会多讲一下幅度谱。任意信号经过傅里叶变换(FFT)可到的是一个复数序列,每一项记为a+ib。以下面代码为例

    fs = 1000;            % 采样频率                   
    T = 1/fs;             % 采样周期       
    L = 1500;             % 信号长度
    t = (0:L-1)*T;        % 时间
    S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
    signal = S + 2*randn(size(t));
    figure;
    plot(1000*t(1:50),signal(1:50))
    title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
    xlabel('t (milliseconds)')
    ylabel('X(t)')
    Y = fft(signal);
    L = length(signal);
    P2 = abs(Y/L);    %频谱
    P1 = P2(1:L/2+1);
    P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);    
    %P1 = 20*log10(P1); 
    f = fs*(0:(L/2))/L;
    figure;
    plot(f,P1) ;
    title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)');
    xlabel('f (Hz)');
    ylabel('|P1(f)|');

    运行后我们可以看到,其中各个变量的类型与数目如上图所示。由于傅里叶变换后的点的个数与时域信号采样点个数相同(signal数组数目等于Y数组的数目),但是傅里叶变换是堆成的因此只用显示其中的一半即可(P1,一半会多取一点,这样不用考虑采样点的奇偶情况)。时域波形如下图所示

    傅里叶变换得到复数的模即为频谱的幅值:

    如下图所示,第一张图为单边频谱,第二张图为双边频谱

    有时候也会用对数计算后的结果来表示频谱,此时单位为dB

    信号的能谱为信号频谱的平方,根据帕斯维尔定理,实信号的能量等于频域能量即

    其中功率为

    语音信号处理交流群:652292630

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空空如也

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傅里叶变换的幅度频谱