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  • 傅里叶变换的幅度频谱
    千次阅读
    2020-09-16 11:18:47

    初级操作整理

    创建一个一维数组

    zeros(1,n)%建立一個一行N列的一维数组
    

    创建一个正弦数组

    Si = zeros(1,n)
    i = 0;
    for j = 1:N
    i = i+1
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    1.傅里叶级数和傅里叶变换

    笔记来源:fourier series and fourier transform

    1.1 正弦波



    1.1.1 正弦波相位

    改变相位(对应上面第一幅动图中的杆,其初始位置)

    1.1.2 正弦波振幅

    改变振幅(对应上面第一幅动图中的杆,其长度大小)

    1.1.3 正弦波频率

    改变频率(对应上面第一幅动图中的杆,其转动的频率)

    1.2 两种相同频率、不同振幅的正弦波叠加

    1.3 两种相同频率、不同振幅、不同相位的正弦波叠加

    假设两个正弦函数有不同的相位



    两个相同频率的正弦波之和 = 另一个有相同频率的正弦波(此正弦波与前面两个正弦波的振幅和相位不相同)

    1.4 两个不同频率、不同振幅的正弦波叠加

    假设两个正弦波有不同频率(似乎是转动频率)


    蓝色转一圈的过程中红色转三圈


    将两个不同频率的正弦波叠加,得到的结果不再是正弦波


    1.5 三种不同频率、不同振幅的正弦波叠加


    1.6 五种相同相位、不同频率、不同振幅的正弦波叠加






    随着无数相同相位、不同频率、不同振幅的正弦波的叠加,图像会大致呈现如下图
    这里的无数个正弦函数,其实就对应了傅里叶级数






    另一个五种相同相位、不同频率、不同振幅的正弦波叠加的例子:

    这里的无数个正弦函数,其实就对应了傅里叶级数

    经证明,每一个波形和函数都可以通过不同的正弦波叠加在一起得到
    这里的无数个正弦函数,其实就对应了傅里叶级数

    上面提到的两个例子中所有正弦波叠加会出现一个重复波形
    这里再次列出上面两个示例

    1.7 傅里叶级数和傅里叶变换区别

    下图来自:傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06

    1.8 离散频谱

    不重复的波形也可以通过正弦波叠加得到,但此时或许需要各种频率的正弦波,并且这些正弦波的振幅是无限小的

    各种频率的正弦波


    振幅无限小的正弦波


    若将无限个振幅无限小的正弦波叠加之后,就可以得到可以观察和测量的波形了,类似于将无限个纸片叠起来,每张纸自身的体积几乎为0,但叠起来却可以得到一个可测量体积的物体

    在这里插入图片描述
    当我们把这个物体压实后,我们就可以测量它每个部分的密度了


    同理,我们将无限个振幅无限小的正弦波叠加在一起就可以测量叠加后波的频率密度,这就是我们说的波形频谱(Frequency Spectrum)


    下图来自:傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06
    离散频谱

    所有信号和波形都有一个频谱
    当信号和波形与物质相互影响时,它们的频谱就会改变
    通过理解频谱如何被改变,我们就可以理解信号和波形是如何被改变的

    频域图像、时域图像

    1.9 连续频谱

    下图来自:傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06

    2.0 傅里叶级数的相位谱(离散)

    下图来自:傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06

    2.1 指数形式的傅里叶变换

    下图来自:傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06

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    实验4 图像的二维傅里叶变换和频谱

    一、实验目的

    通过本实验使学生掌握使用MATLAB 进行二维傅里叶变换的方法,加深对二维傅里叶变换的理解和图像频谱的理解。

    二、实验原理

    本实验是基于数字图像处理课程中的二维傅里叶变换理论来设计的。

    本实验的准备知识:第四章频域图像增强中的一维傅里叶变换和二维傅里叶变换,频域图像增强的步骤,频域滤波器。

    实验用到的基本函数:

    一维傅里叶变换函数: fft,

    一维傅里叶反变换函数:ifft

    频谱搬移函数:fftshift

    二维傅里叶变换函数:fft2

    二维傅里叶反变换函数:ifft2

    绘图函数:imshow, mesh

    【说明,如对上述函数的使用方法有疑问,请先用help命令查询。建议先用help命令查询器应用方法,再做具体实验内容。】

    例:计算图像 f的频谱并显示

    F=fft2(f);

    S=abs(F); %求幅度

    imshow(S,[]);%显示图像幅度频谱

    Fc=fftshift(F); %将图像频谱原点移动到中心显示

    imshow(abs(Fc));

    三、实验内容

    (一)一维傅里叶变换的实现和分析

    1、生成一个一维向量,x=[1 2 3 4 5 6 7 8]; 计算该向量的傅里叶变换,并由傅里叶变换求反变换,验证结果。

    2在时间域中将x乘以(-1)n,计算其傅里叶变换,实现傅里叶变换的平移性质使用fftshift函数,实现频谱的平移。

    (二)二维傅里叶变换的实现和分析

    产生如图所示图象 f1(x,y)(64×64 大小,中间亮条宽 16,高 40,居中,暗处=0,亮处=255),用 MATLAB 中的 fft2 函数求其傅里叶变换,要求:

    1、同屏显示原图f1和FFT(f1)的幅度谱图;

    2、若令 f2(x,y)=(-1)x+y f1(x,y),重复过程 1,比较二者幅度谱的异同,简述理由;

    3、若将 f2(x,y)顺时针旋转 90 度得到 f3(x,y),试显示 FFT(f3)的幅度谱,并与

    FFT(f2)的幅度谱进行比较。

    (三)任意图像的频谱显示任意图像的频谱显示

    1、读入图像lenagray.tif,计算该图像的频谱,并将频谱原点移到中心位置显示。

    2、读入图像rice.tif,计算该图像的频谱,并将频谱原点移到中心位置显示。

    四、实验步骤

    (一)一维傅里叶变换的实现和分析

    展开全文
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    本章摘要:FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后,就很容易...本章主要讲解如何采用matlab进行傅里叶变换,以及需要注意的事项。

    快速傅里叶变换FFT进行频谱分析(matlab)

    本章摘要:FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后,就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。本章主要讲解如何采用matlab进行傅里叶变换,以及需要注意的事项。

    一、组合信号

    比如有这样一个组合信号,其波形图如下,杂乱无章,看不出名堂。
    S=2+3 * cos (2 * pi * 50 * t - pi * 30/180) + 1.5 * cos(2 * pi * 75* t + pi * 90/180)。
    在这里插入图片描述

    二、频谱分析

    上面的信号波形图杂乱无章,我们可不可以将其频率进行提取了,提取各个信号分量的频率、幅值、相位。答案是可以的,那就是傅里叶变换FFT。下面直接给出结果看看效果,是不是提取出了信号分量的两个频率50Hz, 75Hz,还有它们对应的幅值3,1.5。

    在这里插入图片描述

    三、快速傅里叶变换FFT

    下面给出了,达到上面结果的FFT变换matlab代码。

    t=0:1/256:1;        %采样步长
    y= 2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180);
    N=length(t);        %样点个数
    plot(t,y);
    fs=256;             %采样频率
    df=fs/(N-1);        %分辨率
    f=(0:N-1)*df;       %其中每点的频率
    Y=fft(y(1:N))/N*2;  %真实的幅值
    %Y=fftshift(Y);
    figure(2)
    plot(f(1:N/2),abs(Y(1:N/2)));
    

    关于上面代码中的一些参数说明:

    • 经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍。 假设采样频率为Fs,信号频率为F,那就因该Fs > 2F

    • 采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。N个采样点,经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。结果结果是左右对称的,所以上面图中的结果只取了一半 256/2=128。为了方便进行FFT运算,通常N取2的整数次方。

    • 分辨率:例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。则Fn所能分辨到频率为Fs / N。如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。

    • 幅值:那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。

    比如上面峰值处对应的复数表示:
    1点: 512+0i
    51点:332.55 - 192i
    76点:3.4315E-12 + 192i
    对应模值分别为:
    1点:512
    51点:384
    76点:192
    通过模值可以看出:第一点直流分量的模值512,真实模值2,之间的关系为:512/(N=256)=2
    其它两点,384/(N/2)=3,192/(N/2)=1.5。

    • 相位角:直流信号没有相位可言,不用管它。50Hz信号的相位,atan2(-192,332.55)=-0.5236弧度,换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位 atan2192,3.4315E-12)=1.5708弧度,换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。

    参考文献:利用matlab怎样进行频谱分析

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