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  • 傅里叶变换的性质微分定理 积分定理 相似性定理 延迟定理 位移定理 卷积定理 3.傅里叶变换存在的条件傅里叶积分定理 若函数 在区间 上满足条件:1)函数 在任一有限区间上满足狄里希利条件;2) 函数 在区间 上绝对...

    1.傅里叶变换的定义

    函数

    的傅里叶变换对为

    2.傅里叶变换的性质

    微分定理

    积分定理

    相似性定理

    延迟定理

    位移定理

    卷积定理

    3.傅里叶变换存在的条件

    傅里叶积分定理 若函数

    在区间
    上满足条件:1)函数
    在任一有限区间上满足狄里希利条件;2) 函数
    在区间
    上绝对可积,则
    可以表示成傅里叶积分,且

    4.困境

    傅里叶变换将函数

    表示成谐波函数
    的积分,但是谐波函数本身的傅里叶变换是不存在的,因为
    发散。谐波函数本身的傅里叶变换不存在这一点是令人难以接受的。下面将会看到,通过引入
    函数,就可以成功地定义谐波函数的傅里叶变换,同时还可将傅里叶变换推广到周期函数上。

    5.

    函数

    对于任何一个定义在

    上的连续函数

    这称为

    函数的挑选性质,因为它将
    在点
    的值
    挑选出来。

    利用

    函数的挑选性质,可以定义谐波
    的傅里叶变换,如下

    进一步推广,对于周期函数

    ,其傅里叶变换为

    5.广义傅里叶变换

    式(3-4)已不是通常意义下的傅里叶变换,而是广义傅里叶变换。

    函数可由序列的极限来表示,

    因而得到

    函数的广义傅里叶变换

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  • 真设计 高恒伟宋余君何辉* 中国矿业大学信电学院江苏徐州 221008 摘要本文简要阐述了傅里叶变换的基本原理傅里叶变换的性质傅里叶变换的尺度变换 性频移特性时域卷积定理时域微分性对称性以及傅里叶变换的应用-...
  • 傅里叶变换

    千次阅读 2016-04-18 15:43:32
    典型非周期信号的傅里叶变换 1单边指数信号 2双边指数信号 3矩形脉冲信号 4升余弦脉冲信号 5直流信号 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 冲激函数的傅里叶变换 阶跃函数的傅里叶变换 傅里叶变换基本性质 对称性 线性...

    引言

    由时域分析转入变换域分析,傅里叶变换时在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的
    发展出快速傅里叶变换(FFT)



    三角函数形式

    f(t)T1,w1=2πT1,f1=1T1
    展开表达式:f(t)=a0+n=1[ancos(nw1t)+bnsin(nw1t)]


    直流分量:a0=1T1t0+T1t0f(t)dt
    余弦分量幅度:an=2T1t0+T1t0f(t)cos(nw1t)dt
    正弦分量幅度:an=2T1t0+T1t0f(t)sin(nw1t)dt


    满足条件——狄利克雷(Dirichlet)条件
    1)一个周期内,间断点有限
    2)一个周期内,极大值和极小值数目有限
    3)一个周期内,信号绝对可积,即t0+T1t0|f(t)|dt是有限值


    另外一种形式
    f(t)=c0+n=1cncos(nw1t+φn)
    f(t)=d0+n=1dncos(nw1t+θn)
    a0=c0=d0
    cn=dn=a2n+b2n
    …..



    指数形式

    根据欧拉公式:
    cos(nw1t)=12(ejnw1t+ejnw1t)
    sin(nw1t)=12j(ejnw1tejnw1t)
    于是:f(t)=+F(nw1)ejnw!t
    F(nw1)Fn:Fn=1T1t0+T1t0f(t)ejnw1tdt



    平均功率
    P=f2(t)¯¯¯¯¯¯¯¯=1T1t0+T1t0f2(t)dt
    =a20+12n(a2n+b2n)=c20+12n=1c2n
    =n=|Fn|2



    傅里叶有限级数与最小方均误差

    实际应用中,经常采用有限项级数来代替无限项级数。
    所选项级数愈逼近原函数,方均误差愈小。
    傅里叶级数:
    f(t)=a0+n=1[ancos(nw1t)+bnsin(nw1t)]
    有限项傅里叶级数(前2N+1项)
    SN(t)=a0+Nn=1[ancos(nw1t)+bnsin(nw1t)]
    误差函数:
    εN(t)=f(t)=SN(t)
    方均误差:
    EN=ε2N(t)¯¯¯¯¯¯¯¯=1T1t0+T1t0ε2N(t)dt
    =f2(t)¯¯¯¯¯¯¯[a20+12Nn=1(a2n+b2n)]
    这里写图片描述


    吉布斯现象
    当选取傅里叶有限级数的项数愈多时,所合成的波形SN中出现的的峰愈靠近f(t)的不连续点
    下例矩形波和*锯齿波*
    这里写图片描述




    傅里叶变换

    周期T1无限增大,周期信号就转化为非周期的单脉冲信号。
    T1线w1(=2πT1)线



    f(t)=n=F(nw1)ejnw!t


    其频谱F(nw1)=1T1T12T12f(t)ejnw1tdt
    最后得到F(w)=limw102πF(nw1)w1=limT1F(nw1)T1


    F(nw1)w1表示单位频带的频谱值——即频谱密度
    F(w)f(t)频谱函数


    傅里叶正变换:
    F(w)=[f(t)]=+f(t)ejwtdt
    傅里叶逆变换:
    f(t)=1[F(w)]=12π+F(w)ejwtdw



    典型非周期信号的傅里叶变换


    1)单边指数信号

    f(t)=eat(t0)
    F(w)=1a+jw


    2)双边指数信号

    f(t)=ea|t|(t+)
    F(w)=2aa2+w2


    3)矩形脉冲信号

    f(t)=u(t+τ2)u(tτ2)
    F(w)=Sa(wτ2)


    4)升余弦脉冲信号

    f(t)=E2[1+cos(πtτ)](0|t|τ)
    F(w)=EτSa(wτ)1(wτπ)2


    5)直流信号

    f(t)=E
    F(w)=2πEδ(w)


    6)符号函数

    f(t)=sgn(t)=+1(t0);=0(t=0);1(t0)
    这种信号显然不满足绝对可积条件,但是它却存在傅里叶变换
    可以借助符号函数与双边指数衰减函数相乘,先求乘积信号的频谱,再取极限
    最后得到F(w)=2jw


    冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

    冲激函数的傅里叶变换

    f(t)=δ(t)
    F(w)=[δ(t)]=1


    阶跃函数的傅里叶变换

    f(t)=u(t)=12+12sgn(t)
    F(w)=πδ(w)+1jw



    傅里叶变换基本性质

    对称性

    F(w)=[f(t)]
    则:[F(w)]=2πf(w)


    线性(叠加性)

    [fi(t)]=Fi(w)
    则:[ni=1aifi(t)]=bi=1aiFi(w)


    奇偶虚实性


    尺度变换特性

    [f(t)]=F(w)
    则:[f(at)]=1|a|F(wa)


    时移特性

    [f(t)]=F(w)
    则:[f(tt0)]=F(w)ejwt0


    频移特性

    [f(t)]=F(w)
    则:[f(t)ejw0t]=F(ww0)
    频载信号
    cos(w0t)=12(ejw0t+ejw0t)
    sin(w0t)=12j(ejw0tejw0t)
    矩阵调幅信号:
    f(t)=G(t)cos(w0t)
    可得频谱:
    F(w)=Eτ2Sa[(ww0)τ2]+Eτ2Sa[(w+w0)τ2]
    运用至调制解调器上,可将低频信号转化为高频信号,方便无线电波和激光等模拟信号携带信息传输


    余弦信号的频谱:

    [cos(w0t)]=π[δ(w+w0)+δ(ww0)]


    微分和积分特性

    [f(t)]=F(w)
    [df(t)dt]=jwF(w)


    [f(t)]=F(w)
    [tf(τdτ)]=F(w)jw+πF(0)δ(w)




    卷积特性

    第一卷积定理

    给定2个时间函数f1(t),f2(t),
    [f1(t)]=F1(w)
    [f2(t)]=F2(w)
    则:[f1(t)f2(t)]=F1(w)F2(w)


    第二卷积定理

    给定2个时间函数f1(t),f2(t),
    [f1(t)]=F1(w)
    [f2(t)]=F2(w)
    则:[f1(t)f2(t)]=12πF1(w)F2(w)



    周期信号的傅里叶变换

    提炼出周期函数的特性,构造出一般化针对周期函数的傅里叶变换快速算法


    f(t)T1,w1(=2πf1=2πT1)f(t):
    f(t)=n=Fnejnw1t

    算法
    1)两边取傅里叶变换
    [f(t)]=n=Fn[ejnw1t]
    得到:
    [f(t)]=2πn=Fnδ(wnw1)
    2)其中Fnf(t)的傅里叶级数的系数,已知它等于:
    Fn=1T1T12T12f(t)ejnw1tdt
    3)F0(w)
    F0(w)=T12T12f(t)ejwtdt
    4)Fn=1T1F0(w)w=nw1


    例子
    1:
    δT(t)=n=δ(tnT1)
    Fn=1T1T12T12δT(t)ejnw1tdt=1T1T12T12δ(t)ejnw1tdt=1T1
    [f(t)]=2πn=Fnδ(wnw1)直接得到:
    F(w)=[δT(t)]=2πn=1T1δ(wnw1)=[δT(t)]=w1n=δ(wnw1)



    2:
    E,τ,T1,w1
    一眼看去,截取一个周期的信号:
    f0(t)=EGτ(t)
    傅里叶变换F0(w):
    F0(w)=EτSa(wτ2)
    由此求出傅里叶系数Fn:
    Fn=1T1F0(w)w=nw1=EτT1Sa(nw1τ2)
    直接得到傅里叶级数和傅里叶变换:
    f(t)=EτT1n=Sa(nw1τ2)ejnw1t
    F(w)=2πn=Fnδ(wnw1)=Eτw1n=Sa(nw1τ2)δ(wnw1)

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  • 基于MATLAB GUI的傅里叶变换分析的仿真设计,高恒伟,宋余君,本文简要阐述了傅里叶变换的基本原理、傅里叶变换的性质:傅里叶变换的尺度变换性、频移特性、时域卷积定理、时域微分性、对称性
  • 参考资料 《数学物理方法》(德)顾樵 编著以下是我在学习顾樵的《数学物理方法》中拉普拉斯变换一章时所做的笔记同上次一样,笔记写得很烂,大家随便看看就行同上次一样,...求解的步骤与傅里叶变换的差不多,先在...

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    参考资料 《数学物理方法》(德)顾樵 编著

    以下是我在学习顾樵的《数学物理方法》中拉普拉斯变换一章时所做的笔记

    同上次一样,笔记写得很烂,大家随便看看就行

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    同上次一样,这里的笔记没有包括拉普拉斯变换的应用。拉普拉斯变换主要应用于求解微分方程和积分方程,尤其是线性常微分方程(组)的初值问题。这是因为拉普拉斯变换的导数定理中含有初值f(0),二阶导数中含有初值f'(0)。求解的步骤与傅里叶变换的差不多,先在方程两边取拉普拉斯变换,代入初值,解出关于拉普拉斯变换F(p)的代数方程,最后进行反演。通常反演会比傅里叶变换的简单,因为从上面给出的常用公式里可以看到,很多函数的拉普拉斯变换都是关于p的有理函数。一般求解关于F(p)的代数方程后得到的关于p的式子也都是有理函数,所以也就比较容易反演。而傅里叶变换的反演通常都要积分,所以很多时候利用傅里叶变换仅仅能得到方程的形式解而不是一般解。

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  • 第三章:3.7 傅里叶变换性质(二)

    万次阅读 多人点赞 2017-08-27 11:29:55
    如果一个信号为有限长度的信号,那么它导数的积分为0频域微分与积分特性卷积特性根据傅里叶变换的对偶特性,卷积定理分为时域卷积定理和频域卷积定理这两种。时域卷积表明他们对应的傅里叶变换为为乘积关系,频域...

    微分特性

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    积分特性

    时域积分,信号变得平滑。频域进行积分,高频分量的信号会衰减。

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    如果一个信号为有限长度的信号,那么它导数的积分为0

    这里写图片描述

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    频域微分与积分特性

    这里写图片描述

    这里写图片描述

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    卷积特性

    根据傅里叶变换的对偶特性,卷积定理分为时域卷积定理和频域卷积定理这两种。时域卷积表明他们对应的傅里叶变换为为乘积关系频域卷积说的是时域相乘,频域为(1/2Pi)傅里叶变换的乘积

    这里写图片描述

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    测不准原理

    对于一个单位阶跃信号,他在一个确定的时刻会发生跳变。当他通过一个高通滤波器的时候,他的高频分量会被截断。在时域中他的波形就会变得波动。此时你要是在想确定信号的跳变时刻,就会发现它实际上是一个上升的时间范围。这时信号在上升时刻具有了某种不确定的范围。

    这里写图片描述

    这种信号位置的不确定性称为信号测不准原理。

    总结

    最后我们用一张表和图来对傅里叶变换的性质做一个总结

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  • 本文简要罗列傅里叶变换几大常用性质,方便各位复习与整理。 一、线性 若有 则必然有 二、对偶性 三、尺度变换性质 四、时移性质 五、频移性质 六、时域微分 七、卷积定理 时域卷积 频域卷积 ...
  •  傅里叶变换把空间域和频域联系起来,一个空间域序列可以通过其变换得到对应频域序列。而通过反变换亦能得到原始序列。卷积定理的意义:图像增强分为频域和空间域两类。对于空间滤波来讲,对整个图像
  • 拉普拉斯变换

    2019-09-27 05:53:20
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  • 4.3.2离散傅里叶变换的基本性质(92) 4.4傅里叶变换的应用(94) 4.4.1解积分、微分方程问题(94) 4.4.2求解偏微分方程问题(95) 4.4.3电路系统求解问题(96) 数学家简介——傅里叶(97) 习题四(98) 第5章拉普拉斯变换与z...
  • 6.2.2傅里叶变换的性质 6.2.3傅里叶余弦变换和正弦变换 6.2.4傅里叶变换及傅里叶余弦变换和正弦变换算例 6.2.5傅里叶变换的应用 6.3拉普拉斯(Laplace)变换 6.3.1拉普拉斯变换 6.3.2拉普拉斯变换的性质 6.3.3单项式...
  • 6.2.2傅里叶变换的性质 6.2.3傅里叶余弦变换和正弦变换 6.2.4傅里叶变换及傅里叶余弦变换和正弦变换算例 6.2.5傅里叶变换的应用 6.3拉普拉斯(Laplace)变换 6.3.1拉普拉斯变换 6.3.2拉普拉斯变换的性质 6.3.3单项式...
  • 智能信息处理(2)

    2020-12-05 20:13:43
    傅里叶变换 为什么需要将信号从时域变换到频域去分析信号? (1)使复杂计算简单化 如用对数变换可以使乘、除变为加、减,用拉普拉斯变换可将微分方程变为代数方程; (2)便于特征提取 如经傅立叶变换可知道...
  • 16·1 傅里叶积分与傅里叶变换 16·2 傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换 16·3 傅里叶核 16·4 有限傅里叶变换 16·5 离散傅里叶变换 16·6 快速傅里叶变换 16·7 拉普拉斯变换 16·8 汉克尔变换.有限汉克尔变换 16·9...
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  • 研究实变函数和泛函分析,在广义函数、偏微分方程理论、经典分析和傅里叶级数领域有重要贡献。在数学教学方面颇具影响力,其多部著作(包括与盖尔范德等合作《广义函数》)已成为经典并广为流传。 目录 · · · ...
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傅里叶变换的微分定理