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  • 主要知识:离散傅里叶变换定理及其证明 适用对象:初学数字信号处理的同学以及考研备考的同学(尤其是目标院校是:南京理工大学) 重要程度:★★★★\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar★★★★ (满5颗星) 设...

    数字信号处理笔记(二)


    主要知识:离散傅里叶变换定理及其证明

    适用对象:初学数字信号处理的同学以及考研备考的同学(尤其是目标院校是:南京理工大学)

    重要程度: ★ ★ ★ ★ \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar (满5颗星)


    设序列 x [ n ] x[n] x[n] g [ n ] g[n] g[n] h [ n ] h[n] h[n] 的DTFT为 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) G ( e j ω ) G(e^{j\omega}) G(ejω) H ( e j ω ) H(e^{j\omega}) H(ejω) ,m为常数。

    序列移位

    内容:
    x [ n ] = g [ n − m ] X ( e j ω ) = G ( e j ω ) e − j ω m \begin{aligned} x\left[ n \right]&=g\left[ n-m \right] \\ X\left( {{e}^{j\omega }} \right)&=G\left( {{e}^{j\omega }} \right){{e}^{-j\omega m}} \\ \end{aligned} x[n]X(ejω)=g[nm]=G(ejω)ejωm
    证明:
    X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n = ∑ n = − ∞ ∞ g [ n − m ] e − j ω n → n − m = k = ∑ n = − ∞ ∞ g [ k ] e − j ω ( m + k ) = e − j ω m G ( e j ω ) \begin{aligned} X\left( {{e}^{j\omega }} \right)&=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{x\left[ n \right]{{e}^{-j\omega n}}} \\ & =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{g\left[ n-m \right]}{{e}^{-j\omega n}} \\ \xrightarrow{n-m=k}&=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{g\left[ k \right]{{e}^{-j\omega \left( m+k \right)}}} \\ & ={{e}^{-j\omega m}}G\left( {{e}^{j\omega }} \right) \end{aligned} X(ejω)nm=k =n=x[n]ejωn=n=g[nm]ejωn=n=g[k]ejω(m+k)=ejωmG(ejω)

    频谱移位

    内容:
    x [ n ] = e j ω 0 n g [ n ] X ( e j ω ) = G ( e j ( ω − ω 0 ) ) \begin{gathered} x\left[ n \right] = {e^{j{\omega _0}n}}g\left[ n \right] \\ X\left( {{e^{j\omega }}} \right) = G\left( {{e^{j\left( {\omega - {\omega _0}} \right)}}} \right) \\ \end{gathered} x[n]=ejω0ng[n]X(ejω)=G(ej(ωω0))
    证明:
    X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n = ∑ n = − ∞ ∞ e j ω 0 n g [ n ] e − j ω n = ∑ n = − ∞ ∞ g [ n ] e − j ( ω − ω 0 ) n = G ( e j ( ω − ω 0 ) ) \begin{aligned} X\left( {{e^{j\omega }}} \right) &= \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x\left[ n \right]} {e^{ - j\omega n}} \\ & = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{e^{j{\omega _0}n}}g\left[ n \right]{e^{ - j\omega n}}} \\ & = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {g\left[ n \right]{e^{ - j\left( {\omega - {\omega _0}} \right)n}}} \\ & = G\left( {{e^{j\left( {\omega - {\omega _0}} \right)}}} \right) \\ \end{aligned} X(ejω)=n=x[n]ejωn=n=ejω0ng[n]ejωn=n=g[n]ej(ωω0)n=G(ej(ωω0))

    卷积定理

    内容:
    x [ n ] = g [ n ] ∗ h [ n ] X ( e j ω ) = G ( e j ω ) H ( e j ω ) \begin{aligned} x\left[ n \right] &= g\left[ n \right] * h\left[ n \right]\\ X\left( {{e^{j\omega }}} \right) &= G\left( {{e^{j\omega }}} \right)H\left( {{e^{j\omega }}} \right) \end{aligned} x[n]X(ejω)=g[n]h[n]=G(ejω)H(ejω)
    证明:
    X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n = ∑ n = − ∞ ∞ { g [ n ] ∗ h [ n ] } e − j ω n = ∑ n = − ∞ ∞ { ∑ m = − ∞ ∞ g [ m ] h [ n − m ] } e − j ω n = ∑ m = − ∞ ∞ g [ m ] { ∑ n = − ∞ ∞ h [ n − m ] e − j ω n } = ∑ m = − ∞ ∞ g [ m ] H ( e j ω ) e − j ω m = H ( e j ω ) ∑ m = − ∞ ∞ g [ m ] e − j ω m = H ( e j ω ) G ( e j ω ) \begin{aligned} X\left( {{e^{j\omega }}} \right) &= \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x\left[ n \right]{e^{ - j\omega n}}} \\ &= \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\left\{ {g\left[ n \right]*h\left[ n \right]} \right\}{e^{ - j\omega n}}} \\ & = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\left\{ {\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {g\left[ m \right]h\left[ {n - m} \right]} } \right\}{e^{ - j\omega n}}} \\ &= \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {g\left[ m \right]\left\{ {\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {h\left[ {n - m} \right]{e^{ - j\omega n}}} } \right\}} \\ &= \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {g\left[ m \right]H\left( {{e^{j\omega }}} \right){e^{ - j\omega m}}} \\ & = H\left( {{e^{j\omega }}} \right)\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {g\left[ m \right]{e^{ - j\omega m}}} \\ &= H\left( {{e^{j\omega }}} \right)G\left( {{e^{j\omega }}} \right) \end{aligned} X(ejω)=n=x[n]ejωn=n={g[n]h[n]}ejωn=n={m=g[m]h[nm]}ejωn=m=g[m]{n=h[nm]ejωn}=m=g[m]H(ejω)ejωm=H(ejω)m=g[m]ejωm=H(ejω)G(ejω)

    调制定理

    内容:
    x [ n ] = g [ n ] h [ n ] X ( e j ω ) = 1 2 π ∫ − π π G ( e j θ ) H ( e j ( ω − θ ) ) d θ \begin{aligned} x\left[ n \right]&=g\left[ n \right]h\left[ n \right] \\ X\left( {{e}^{j\omega }} \right)&=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{G\left( {{e}^{j\theta }} \right)H\left( {{e}^{j\left( \omega -\theta \right)}} \right)d\theta } \\ \end{aligned} x[n]X(ejω)=g[n]h[n]=2π1ππG(ejθ)H(ej(ωθ))dθ
    证明:
    X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ g [ n ] h [ n ] e − j ω n = ∑ n = − ∞ ∞ [ 1 2 π ∫ − π π G ( e j ω 1 ) e j ω 1 n d ω 1 ] h [ n ] e − j ω n = 1 2 π ∫ − π π G ( e j ω 1 ) [ ∑ n = − ∞ ∞ h [ n ] e − j ( ω − ω 1 ) n ] d ω 1 = 1 2 π ∫ − π π G ( e j ω 1 ) H ( e j ( ω − ω 1 ) ) d ω 1 \begin{aligned} X\left( {{e}^{j\omega }} \right)&=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{g\left[ n \right]h\left[ n \right]{{e}^{-j\omega n}}} \\ & =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\left[ \frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{G\left( {{e}^{j{{\omega }_{1}}}} \right){{e}^{j{{\omega }_{1}}n}}d{{\omega }_{1}}} \right]h\left[ n \right]{{e}^{-j\omega n}}} \\ & =\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{G\left( {{e}^{j{{\omega }_{1}}}} \right)\left[ \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{h\left[ n \right]{{e}^{-j\left( \omega -{{\omega }_{1}} \right)n}}} \right]}d{{\omega }_{1}} \\ & =\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{G\left( {{e}^{j{{\omega }_{1}}}} \right)H\left( {{e}^{j\left( \omega -{{\omega }_{1}} \right)}} \right)d{{\omega }_{1}}} \end{aligned} X(ejω)=n=g[n]h[n]ejωn=n=[2π1ππG(ejω1)ejω1ndω1]h[n]ejωn=2π1ππG(ejω1)[n=h[n]ej(ωω1)n]dω1=2π1ππG(ejω1)H(ej(ωω1))dω1

    频域微分

    内容:
    x [ n ] = n g [ n ] X ( e j ω ) = j d G ( e j w ) d ω \begin{aligned} x\left[ n \right]&=ng\left[ n \right] \\ X\left( {{e}^{j\omega }} \right)&=j\frac{dG\left( {{e}^{jw}} \right)}{d\omega } \\ \end{aligned} x[n]X(ejω)=ng[n]=jdωdG(ejw)
    证明:
    G ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ g [ n ] e − j ω n d G ( e j ω ) d ω = − j ∑ n = − ∞ ∞ n g [ n ] e − j ω n n g [ n ] ⟷ D T F T I D T F T j d G ( e j ω ) d ω \begin{aligned} G\left( {{e}^{j\omega }} \right)&=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{g\left[ n \right]{{e}^{-j\omega n}}} \\ \frac{dG\left( {{e}^{j\omega }} \right)}{d\omega }&=-j\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{ng\left[ n \right]{{e}^{-j\omega n}}} \\ ng\left[ n \right]&\underset{IDTFT}{\overset{DTFT}{\longleftrightarrow}}j\frac{dG\left( {{e}^{j\omega }} \right)}{d\omega } \\ \end{aligned} G(ejω)dωdG(ejω)ng[n]=n=g[n]ejωn=jn=ng[n]ejωnIDTFTDTFTjdωdG(ejω)

    帕斯瓦尔定理

    内容:
    { ∑ n = − ∞ ∞ g [ n ] h ∗ [ n ] = 1 2 π ∫ − π π G ( e j ω ) H ∗ ( e j ω ) d ω ∑ n = − ∞ ∞ ∣ g [ n ] ∣ 2 = 1 2 π ∫ − π π ∣ G ( e j ω ) ∣ 2 d ω \left\{ \begin{aligned} & \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{g\left[ n \right]{{h}^{*}}\left[ n \right]}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{G\left( {{e}^{j\omega }} \right)H^*\left( {{e}^{j\omega }} \right)d\omega } \\ & \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{\left| g\left[ n \right] \right|}^{2}}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{{{\left| G\left( {{e}^{j\omega }} \right) \right|}^{2}}d\omega }} \\ \end{aligned} \right. n=g[n]h[n]=2π1ππG(ejω)H(ejω)dωn=g[n]2=2π1ππG(ejω)2dω
    证明:
    h [ n ] = 1 2 π ∫ − π π H ( e j ω ) e j ω n d ω h ∗ [ n ] = 1 2 π ∫ − π π H ∗ ( e j ω ) e − j ω n d ω \begin{aligned} h\left[ n \right]&=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{H\left( {{e}^{j\omega }} \right){{e}^{j\omega n}}d\omega } \\ {{h}^{*}}\left[ n \right]&=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{{{H}^{*}}\left( {{e}^{j\omega }} \right){{e}^{-j\omega n}}d\omega } \\ \end{aligned} h[n]h[n]=2π1ππH(ejω)ejωndω=2π1ππH(ejω)ejωndω

    ∑ n = − ∞ ∞ g [ n ] h ∗ [ n ] = ∑ n = − ∞ ∞ g [ n ] { 1 2 π ∫ − π π H ∗ ( e j ω ) e − j ω n d ω } = 1 2 π ∫ − π π H ∗ ( e j ω ) [ ∑ n = − ∞ ∞ g [ n ] e − j ω n ] d ω = 1 2 π ∫ − π π H ∗ ( e j ω ) G ( e j ω ) d ω \begin{aligned} \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{g\left[ n \right]{{h}^{*}}\left[ n \right]}&=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{g\left[ n \right]}\left\{ \frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{{{H}^{*}}\left( {{e}^{j\omega }} \right){{e}^{-j\omega n}}d\omega } \right\} \\ & =\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{{{H}^{*}}\left( {{e}^{j\omega }} \right)\left[ \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{g\left[ n \right]{{e}^{-j\omega n}}} \right]}d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }{{{H}^{*}}\left( {{e}^{j\omega }} \right)}G\left( {{e}^{j\omega }} \right)d\omega \end{aligned} n=g[n]h[n]=n=g[n]{2π1ππH(ejω)ejωndω}=2π1ππH(ejω)[n=g[n]ejωn]dω=2π1ππH(ejω)G(ejω)dω

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  • 真设计 高恒伟宋余君何辉* 中国矿业大学信电学院江苏徐州 221008 摘要本文简要阐述了傅里叶变换的基本原理傅里叶变换的性质傅里叶变换的尺度变换 性频移特性时域卷积定理时域微分性对称性以及傅里叶变换的应用-...
  • 这时候我们就需要拿出来我们的黑科技——傅里叶变换。一、傅里叶级数的推广当然这东西肯定不是凭空脑补出来的,而是将傅里叶级数进一步推广到非周期函数上。现在已经得到了周期函数的情况,一种很自然的想法就是将非...

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    在上一部分当中,得到了利用三角函数表示周期函数的方法,但是对于非周期函数就...凉了。所以有什么办法吗?没办法(划掉)。这时候我们就需要拿出来我们的黑科技——傅里叶变换。

    一、傅里叶级数的推广

    当然这东西肯定不是凭空脑补出来的,而是将傅里叶级数进一步推广到非周期函数上。现在已经得到了周期函数的情况,一种很自然的想法就是将非周期函数化归到周期函数上,那么就可以继续套用傅里叶级数了。

    如果要强行描述非周期函数的周期性,那它的周期就应该是无穷大,整个定义域都在它的一个周期内,以至于它不可能再重复这一周期。

    把这个想法用形式化的语言表示出来,就是

    的周期
    。因为
    ,那么
    。接下来观察一下此时的傅里叶级数
    。不大容易观(xuan)察(xue),三角形式有点复杂,不如采用指数形式

    时,
    从原本的离散变化变成了连续变化,
    也就可以表示为关于
    的函数

    傅里叶级数中

    ,事实上,这个积分的上下限不一定是
    ,只需要积
    的一个周期就可以了。

    换句话说,对于任意的

    ,系数可以表示为

    这个积分需要积一整个周期,而此时的周期为无穷大,也就是整个定义域上都需要积,所以要从

    积到

    只需要让上式中的

    ,便可以得到
    的表达式。不妨令
    ,就得到了

    因为

    ,所以
    ?当然不是,右侧的积分可能为无穷大,无穷小与无穷大的积不一定为无穷小。(如果等于零的话岂不是很有毒)

    但是这对无穷大和无穷小的阶并不好比较,我们得不出

    究竟应该等于什么值。既然
    这么烦,那不如把它从这里面丢出去,之后用到
    的时候再乘回来就好了,

    现在有了傅里叶级数对应的系数,该搞一搞

    这个式子了。把对应的系数
    代进去,再代入
    ,变形后有

    因为

    ,每次
    的增量
    都是由于
    变为
    造成的,所以

    同时

    连续变化,原本的离散意义下的求和就该变为连续意义下的积分,搞出来

    至此便推导出了傅里叶变换的两个公式

    上式称为傅里叶变换,下式称为傅里叶逆变换。

    还有另一个版本的傅里叶变换是

    这两个版本都差不多,不过就是

    这个系数的处理方法不大一样。mathematica上采用的是第二个版本的傅里叶变换,之前算了半天都跟自己手算的不一样,还以为自己算错了(溜

    二、傅里叶变换的条件

    由于傅里叶变换是从傅里叶级数推导得来的,所以还是狄利克雷条件,不过此时还要加上第三条,

    在一个周期内绝对可积。

    这一个条件在

    为周期函数时,可以由前两个条件推出来,因为周期和函数值均为有限值,所以在一个周期内一定绝对可积。但是推广到傅里叶变换后,这个推导就不成立了,需要单独判定第三个条件。

    三、性质

    以下均默认

    表示可以进行傅里叶变换的函数,

    函数的卷积

    1、线性性质:

    ,

    2、尺度变化:

    3、对称性:

    4、时移性:

    5、频移性:

    6、时域卷积定理:

    7、频域卷积定理:

    8、微分运算:

    这些运算性质都是在采取第一种形式的傅里叶变换下的性质,如果使用第二种形式,会在某些性质上带来常数因子上的差别。

    前面的7种运算性质的证明用积分的性质,再做点变量代换乱搞搞就可以了。这里主要说下微分运算性质的证明,用分部积分。只用证一阶导的情况就可以了,证出来之后使用数学归纳法可以很容易地推广到任意阶导数的情况。

    微分运算的性质使得傅里叶变换能够将复杂的微分运算转化为简单的乘法运算,所以这个性质的常见应用在于解微分方程。通过傅里叶变换使微分方程变为代数方程,解出代数方程后再利用傅里叶逆变换求出原微分方程的解。

    举个栗子,解物理上的简谐振动方程,除了常用的特征根法,还能够使用傅里叶变换

    ,方程两边同时傅里叶变换

    定义

    使得

    解出

    为常数

    进行逆变换

    使用辅助角公式合并

    ,
    为常数

    傅里叶变换在微分方程上的应用不局限于此,还能够应用于偏微分方程。但是最常用的并不是傅里叶变换,而是它的一般形式拉普拉斯变换

    四、广义傅里叶变换

    在实际问题当中,经常会遇到一些函数并不满足绝对可积的条件,因而它们对应的傅里叶变换积分发散,并不存在傅里叶变换。但是我们又需要它们的傅里叶变换,所以就有了广义上的傅里叶变换。

    比如刚刚求的简谐振动方程,对应的代数方程解出来后,发现

    是发散的,此时我们通过定义了一个新函数
    解决了发散的问题。暂时无视掉函数发散的问题,带着无穷大继续运算,最后逆变换时再作处理,这便是广义傅里叶变换的核心思想。

    考虑正余弦函数,它们严格意义上的傅里叶变换都是不存在的,但是可以表示为

    五、几何意义

    傅里叶变换的几何意义类似傅里叶级数,当

    时,所有的三角函数
    (
    )两两正交。换句话说,所有的三角函数都作为基向量,将
    向它们投影。

    实际上,无论是傅里叶级数还是傅里叶变换,都是在无穷维的希尔伯特空间中,将函数定义为空间中的向量,通过三角函数这样一组基向量表示空间中的任意函数。

    六、物理意义

    emm这一部分跟数学和oi的关系都不是特别大,就大概简略的写一下了,详细的介绍在网上也有很多资料,详细写的话怕是能再写这么长一篇文章(我懒)。

    傅里叶级数将函数分解到离散的频率之上,而傅里叶变换将函数分解到连续的频域中,这样使原本频域上离散的点变成一条连续的曲线,对应的就是

    的图像。
    描述的是
    这个频率分量上的大小。

    基于这样的物理意义,傅里叶变换在实际问题当中得到大量应用。比如说最常见的是音乐软件上那个疯狂抖动的条,我也不知道这东西叫啥,反正就是下面这个图里进度条上面的那一坨。这个东西实际上是把现在正在播放的音频进行傅里叶变换,画出的频域图。

    e4b6c82b595c44bf40aa87534a3ea330.png

    还有一种应用是视频以及图片的防伪和防盗版鉴别当中。将画面进行二维傅里叶变换,叠加高频分量,再进行逆变换即可。高频分量带来的差异很小,肉眼难以分辨,而且难以通过简单的截图和p图操作消除高频分量,因而是一种十分有效的“水印”。

    除此以外,音视频的压缩也可以采用傅里叶变换,只保留强度较高的频率,去除较弱的频率,减少存储的数据量。

    展开全文
  • 对fourier变换微分性质的深入理解

    千次阅读 2017-02-22 14:38:09
    3 连续傅里叶变换,离散时间傅里叶变换,离散傅里叶变换,序列的傅里叶变换,各自的定义,区别,联系。 3 快速傅里叶变换的实质,常用的算法之间的区别和联系,各自的优势。 4 fft的应用 讨论: 1、...
    1 变换的目的,意义,应用。
    


    2 傅里叶级数与傅里叶变换的区别和联系


    3 连续傅里叶变换,离散时间傅里叶变换,离散傅里叶变换,序列的傅里叶变换,各自的定义,区别,联系。


    3 快速傅里叶变换的实质,常用的算法之间的区别和联系,各自的优势。


    4 fft的应用
    讨论:
    1、变换是时间变量函数变成相应变换域的某种变量函数,这样使运算简单,处理方便。变换域变换有FT(以频域特性为主要研究对象)、LT与ZT(注重研究极点及零点分析)、DTFT、DFT、FFT、DTWT等。
    2、傅立叶变换是非周期信号作为周期信号的傅立叶级数(FST)一种极限。
      傅立叶级数—周期信号,傅立叶变换—非周期信号
    3、非周期连续—— FT ——连续非周期
             连续周期—— FST ——非周期离散
             非周期离散——DTFT ——连续周期
             离散周期——DFT ——周期离散
             离散傅里叶变换(DFT)与序列傅里叶变换(DTFT)都跟Z变换有关,DTFT是单位圆上的Z变换,DFT是Z变换在单位圆的均匀抽样。
    4、快速傅里叶变换(FFT)的实质是“分而治之”,利用对称性、周期性和可约性将某些项合并,将DFT序列分解为短序列,降低运算次数,提高运算速度。
    5、快速傅里叶变换的应用十分广泛,凡是可以利用傅里叶变换来进行分析、综合、变换的地方,都可以利用FFT算法及运用数字计算技术来加以实现。FFT在数字通信、语音分析、图像处理、匹配滤波等方面有广泛的应用。
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    时域上看不清,在频域上也许会简单,由于T与F的倒数关系,T上的采样会在F上无限,反之也是如此。
    宏观与微观之间的关系吧。


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    从滤波关点看,复立叶变换相当于等宽带的Q值不等的滤波器组对信号进行滤波,采用常数Q的滤波器组则是小波分析
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    傅里叶变换(FT)是一种将信号从时域变换到频域的变换形式。它在声学、电信、电力系统、信号处理等领域有广泛的应用。我们希望能在计算机上实现信号的频谱分析或其它工作。计算机对信号的要求是:在时域和频域都应该是离散的,而且都应该是有限长的。而傅里叶变换(FT)仅能处理连续信号,DFT就是应这种需要而诞生的。它是傅里叶变换在离散域的表示形式。但是一般来说,DFT的运算量是非常大的。在1965年首次提出快速傅里叶变换算法FFT之前,其应用领域一直难以拓展,是FFT的提出使DFT的实现变得接近实时。DFT的应用领域也得以迅速拓展。除了一些速度要求非常高的场合之外,FFT算法基本上可以满足工业应用的要求。由于数字信号处理的其它运算都可以由DFT来实现,因此FFT算法是数字信号处理的重要基石。


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    对傅立叶变换的理解
    傅立叶变化是对信号的正交分解,e^jwt经过现行时不变系统后输出信号的形式不变,这无论在理论上还是实践上都有很大的意义。在数字信号出现后,DFT的快速形式FFT实现了计算机处理信号,提高了它的实用价值。
    傅立叶级数是傅立叶变换的特殊形式,其所处理的信号是周期的。如果取出周期信号的一个周期作为时域有限信号,对它的变换进行可以得到级数形式。在郑君里的《信号与系统》讲得很透彻。
    离散傅立叶变换和序列的傅立叶变换是相同的,
    连续傅立叶变换(FT)时域和频域都是连续的(周期信号的变换频域离散),离散时间傅立叶变换(DTFT)时域离散,频域连续且周期,离散傅里叶变换(DFT)是对铁矾土的抽样。
    个人这么觉得
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    傅立叶级数一般可以理解为:信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数
         傅里叶变换就是对模拟信号进行数字化傅里叶处理,以便信号在处理后运算更方便。


    从物理方面来讨论
    傅立叶变换是一个密度函数的概念,是一个连续谱,包含了从零到无限高,     频的所有频率分量, 各频率分量的频率不成谐波 关系
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    还有一种说法,是我从别处看来的
    1:(时域)周期信号的频谱是离散的;离散的时间信号即(时间)序列的频谱是周期的。2:傅里叶变换主要是针对连续时间信号,离散时间信号也可以应用;数字信号(离散时间信号)主要使用离散FT,因为便于数字运算。3:离散FT等效于FT在在频域采样,变换后在频域也是离散序列。这样更利于数字运算。4:有限长序列可以看成周期序列的一个周期,所以有限长序列与周期序列没有本质区别(实际上就是一样的)。这样不论在时域还是频域,都可以表示(有限长)。同时还可以FFT。


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    从数学上看,离散傅立叶变换是一个特殊范德尔矩阵的变换,因为这种矩阵可以分解,才存在快速算法。
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    1.傅立叶分析的思想最早来自傅立叶对周期函数的研究,通过傅立叶级数可以把周期函数展开成无穷级数的形式.
    之后一百多年随着电力,电子,计算机技术的逐渐发展,傅立叶分析也得到越来越广泛的应用.
    对于变换的思想我觉得根本来说是为了从不同的角度来认识信号,而对于不同的应用,也有不同的变换方法.
    而与变换紧密相关的另一个就是卷积的概念.


    2.傅立叶级数是以三角函数或指数函数为基对周期信号的无穷级数展开.
    如果把周期函数的周期取作无穷大,对傅立叶级数取极限即得到傅立叶变换.
    除了针对的信号不同,对于傅立叶级数,得到的是信号的频谱(来源于物理学中谱的概念),而傅立叶变换得到的是信号的频谱密度.
    当然,在引入冲击函数后,傅立叶级数是可以统一于傅立叶变换的.


    3.傅立叶级数(FS)     对应时域连续周期信号
         傅立叶变换(FT)     对应时域连续非周期信号
         离散傅立叶级数(DFS)              对应时域离散周期信号
         离散时间傅立叶变换(DTFT)     对应时域离散非周期信号


         离散傅立叶变换(DFT)     更确切的说是把一个离散非周期信号(N点长的序列)周期延拓成周期信号后,取傅立叶级数的主值区间得到的,所以是一种近似的变换,但是这种方法却方便计算机计算,随后也就有了快速算法即快速傅立叶变换(FFT)


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    DFT/FFT是将线性卷积转为循环卷积的有用工具,将卷积关系转为乘积关系,是绝大多数快速信号处理的出发点,几乎长盛不衰
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    最近毕设中用了下FFT的应用。
    在信号分析中,通过傅立叶换可以在频率中很容易的找出杂乱信号中各频率分量的幅度谱和相位谱。幅度谱可表示对应频率的能量,而相位谱可表示对应频率的相位特征。这在生理电信号分析,雷达信号中都有应用。
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    FT就是在另外一个DOMAIN来表示信号


    确定F 空间的每一个点不仅要观察T 空间的一个点,而且要观察T 空间的所有的点以确定在该F 空间震动的强度(也就是频谱的数值)
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    TD-SCDMA
    midamble码信道估计利用了时域圆周卷积等效于频域点乘特性,用到FFT
    uppch检测匹配滤波,循环相关,用到FFT
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    对于连续时间周期信号而言,其Fourier级数就是他的一个周期的截取后的非周期信号的的傅立叶变换采样,连续时间信号采样后所得到的离散信号的DTFT可看成原来连续时间傅立叶变换在横轴做一下模拟——数字频率变换后进行周期延拓而成。离散傅里叶变换可以看成DTFT在主值区间(0到2*pi)的等间隔采样
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    今天才注意到这个帖子,谈谈我对连续信号的看法:
    对于时域上无限,频域上无限的连续信号,也就是最一般信号,
    用傅里叶变换分析它(当然需要满足傅里叶变换存在的条件)。


    对于时域上有限的连续信号,同样可以用傅里叶变换分析它,
    但是用傅里叶级数的表示要简洁得多,傅里叶级数分解可以理解为信号在
    频域上的采样。即时域傅里叶级数分解对应于频域采样。


    对于频域上有限的连续信号,同样可以用傅里叶变换分析它,
    但是用时域采样样本内插的表示要简洁得多,这其实就是在频域上
    对信号进行傅里叶级数分解。即时域采样对应于频域傅里叶级数分解。
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    1.对于傅里叶级数,无论是连续信号或是离散信号,均是使用一组正交函数(正交集),对其进行加权求和,来逼近原始周期信号,通常来说,连续时间傅里叶级数的正交集中有无穷多个函数,而由于离散时间正交函数都是周期的,若周期为N,则离散时间傅里叶级数的正交集中只有N个函数。
          在加权求和过程中所使用的加权系数就构成了周期信号的系数谱,对于连续周期信号,其系数谱是非周期的;而对于离散周期信号,其系数谱则是以N为周期的。


    2.傅里叶变换体现了信号的时域与频域之间的一种变换关系,我们可以由傅里叶级数的表达式不是十分严格的推导出来,连续时间信号的频谱是非周期的,而离散时间信号的频谱则是以2*pi为周期延拓的。并且,我们可以看到,傅里叶级数的系数是对应主值区间的非周期信号频谱的采样值;换句话说,一个非周期其信号的频谱是这个信号周期延拓所得信号傅里叶级数系数的包络,两者在采样点上的值是相等的。
          值得注意的是,一个周期信号的傅里叶变换是在其基波频率整数倍上的一串冲击,加权系数恰好是信号傅里叶级数的系数。


    3.DTFT与DFT的关系
         我们知道,一个N点离散时间序列的傅里叶变换(DTFT)所的频谱是以(2*pi)为周期进行延拓的连续函数,由采样定理我们知道,时域进行采样,则频域周期延拓;同理,如果在频域进行采样,则时域也会周期延拓。离散傅里叶变换(DFT)就是基于这个理论,在频域进行采样,一个周期内采N个点(与序列点数相同) ,从而将信号的频谱离散化,得到一的重要的对应关系:一个N点的离散时间信号可以用频域内一个N点序列来唯一确定,这就是DFT表达式所揭示的内容。
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    我认为傅立叶的变换是对非周期信号的而言的 变换得到的是连续的谱密度函数 nw->W
    在B P.lathi 的 线性系统与信号 (刘树樘译)中有详细的讲述
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    付立叶变换是从付立叶级数推演而来的,付立叶级数是所有周期函数(信号)都可以分解成一系列的正交的三角函数,这样,周期函数对应的付立叶级数即是它的频谱函数,也就是分离的谱线。而为了分析非周期函数,引入了谱密度的概念,即非周期信号的谱函数无穷小,但是谱密度有值。这样,将非周期信号看成是周期无限长的周期信号,并引入F(t)/T,即为非周期函数的谱密度函数。为了概念上的统一,引入了冲激函数的概念,这样,周期信号也可以有付立叶变换,其谱密度函数为冲激。


    付立叶变换对于连续时间信号的分析具有重要作用,用于分析信号的频率分量,或将信号在频域上进行处理。引用频域概念后,通信与数学的结合就更加紧密了。通信的发展其实就是数学的发展。


    至于离散付立叶变换,其实也是对数字信号变换到频域进行分析处理,它对数字信号处理的作用相当大。数字信号处理脱离了模拟时期对信号进行处理完全依赖于器件的境况,可以直接通过计算来进行信号处理。如数字滤波器,只是用系统的系数对进入的数字信号进行一定的计算,信号出系统后即得到处理后的数据在时域上的表达。


    离散付立叶变换在理解上与连续信号的付立叶变换不太相同,主要是离散信号的付立叶变换汲及到周期延拓,以及圆周卷积等。


    快速离散付叶变换其实是一种对付立叶变换的算法,它的出现解决了离散付立叶变换的计算量极大、不实用的问题,使付立叶变换的计算量降低了一个或几个数量级,从而使离散付立叶变换得到了广泛应用。另外,FFT的出现也解决了相当多的计算问题,使得其它计算也可以通过FFT来解决。
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    意义 傅里叶变换具有惟一性.傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系.讨论傅里叶变换的性质,目的在于
    了解特性的内在联系; 用性质求F(ω); 了解在通信系统领域中的应用.
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    傅氏级数与傅氏变换
    目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式,比如正弦信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化;另一方面,对于正弦信号,如果知道其振幅、频率和相位,则正弦信号的波形也惟一确定。根据这个原理和傅里叶级数理论,满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组合,从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频率-相位来表示周期信号的描述方式就称为周期信号的频谱表示,随着对信号研究的深入,我们将周期信号的频谱表示又推广到非周期信号的频谱表示,即通常的傅里叶变换。
    对于周期信号,其频谱一般用傅里叶级数表示,而傅里叶级数的系数就称为信号的频谱.
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    快速傅里叶变换 


    fast Fourier trans formation 


      进行有限离散傅里叶变换(DFT)的快速算法。简称FFT。一个复杂的波形可以分解为一系列谐波。针对这一物理现象,在数学上建立并发展了一套有效的研究方法,这就是傅里叶分析。利用电子计算机进行傅里叶分析,主要处理离散函数的傅里叶展开,也就是三角函数的插值问题 。一维DFT所作的工作主要是把一个N元数组A(i)(i=0,1,…,N-1)通过一种线性变换变成另一个N元数组X(i)(i=0 ,…N ,-1 ) 。如果直接计算全部数组元素大约需要进行 N2次的乘法和加法运算,当N很大时其计算量是很惊人的 。1965年美国人库利和图基提出一种能大幅度减少运算次数的快速算法,即FFT算法 ,它的基本原 理是将一个变换分解为两个变换的乘积,并利用三角函数的周期性质,将原先的变换公式重新组合为新的公式 ,从而把运算次数减少到 Nlog2N 的量级 。这就是说,FFT算法比DFT算法提高工效 N/log2N倍 ,例如N=220时,约提高5万倍速度,可见当N很大时,这是一个了不起的提高。FFT技术在谱分析、数字滤波、结构分析 、系统分析、图像与信号处理,以及物探、天线、雷达、卫星 、医疗等众多技术领域已获得成功的应用。
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    1.这些变换的实质都一样,都是将一个复杂信号在一正交系中进行分解,不同在于选择的基不同.付氏变换选择的是复指数与三角基,小波变换选择了其它的基.
    2.信号在时域与频域具有对偶性.一个域的周期性与连续性对应于另一个域的与非周期,比如对于周期性信号连续信号,具绝对可积条件时,在可以进行级数展开,得到了离散的非周期频谱.
    3.DFT,DTFT,DFS,FFT的联系与区别
    DFT与FFT是一个本质,FFT是DFT的一种算法.
    DFS是discrete fourier seriers,对离散周期信号进行级数展开.DFT是将DFS取主值,DFS是DFT的周期延拓.
    DTFT是对Discrete time fourier transformation,是对序列的FT,得到连续的周期谱,而DFT,FFT得到是有限长的非周期离散谱,不是一个.
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    傅立叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式,也就是正交的级数,它不同频率的波形的叠加。
    而傅立叶变换就是完全的频域分析。
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    展开全文
  • 傅里叶变换

    千次阅读 2016-04-18 15:43:32
    傅里叶变换 典型非周期信号的傅里叶变换 1单边指数信号 2双边指数信号 3矩形脉冲信号 4升余弦脉冲信号 5直流信号 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 冲激函数的傅里叶变换 阶跃函数的傅里叶变换 傅里叶变换基本性质 ...

    引言

    由时域分析转入变换域分析,傅里叶变换时在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的
    发展出快速傅里叶变换(FFT)



    三角函数形式

    f(t)T1,w1=2πT1,f1=1T1
    展开表达式: f(t)=a0+n=1[ancos(nw1t)+bnsin(nw1t)]


    直流分量: a0=1T1t0+T1t0f(t)dt
    余弦分量幅度: an=2T1t0+T1t0f(t)cos(nw1t)dt
    正弦分量幅度: an=2T1t0+T1t0f(t)sin(nw1t)dt


    满足条件——狄利克雷(Dirichlet)条件
    1)一个周期内,间断点有限
    2)一个周期内,极大值和极小值数目有限
    3)一个周期内,信号绝对可积,即 t0+T1t0|f(t)|dt 是有限值


    另外一种形式
    f(t)=c0+n=1cncos(nw1t+φn)
    f(t)=d0+n=1dncos(nw1t+θn)
    a0=c0=d0
    cn=dn=a2n+b2n
    …..



    指数形式

    根据欧拉公式:
    cos(nw1t)=12(ejnw1t+ejnw1t)
    sin(nw1t)=12j(ejnw1tejnw1t)
    于是: f(t)=+F(nw1)ejnw!t
    F(nw1)Fn:Fn=1T1t0+T1t0f(t)ejnw1tdt



    平均功率
    P=f2(t)¯¯¯¯¯¯¯¯=1T1t0+T1t0f2(t)dt
    =a20+12n(a2n+b2n)=c20+12n=1c2n
    =n=|Fn|2



    傅里叶有限级数与最小方均误差

    实际应用中,经常采用有限项级数来代替无限项级数。
    所选项级数愈逼近原函数,方均误差愈小。
    傅里叶级数:
    f(t)=a0+n=1[ancos(nw1t)+bnsin(nw1t)]
    有限项傅里叶级数(前2N+1项)
    SN(t)=a0+Nn=1[ancos(nw1t)+bnsin(nw1t)]
    误差函数:
    εN(t)=f(t)=SN(t)
    方均误差:
    EN=ε2N(t)¯¯¯¯¯¯¯¯=1T1t0+T1t0ε2N(t)dt
    =f2(t)¯¯¯¯¯¯¯[a20+12Nn=1(a2n+b2n)]
    这里写图片描述


    吉布斯现象
    当选取傅里叶有限级数的项数愈多时,所合成的波形 SN 中出现的的峰愈靠近 f(t) 的不连续点
    下例矩形波和*锯齿波*
    这里写图片描述




    傅里叶变换

    周期 T1 无限增大,周期信号就转化为非周期的单脉冲信号。
    T1线w1(=2πT1)线



    f(t)=n=F(nw1)ejnw!t


    其频谱 F(nw1)=1T1T12T12f(t)ejnw1tdt
    最后得到 F(w)=limw102πF(nw1)w1=limT1F(nw1)T1


    F(nw1)w1 表示单位频带的频谱值——即频谱密度
    F(w)f(t) 频谱函数


    傅里叶正变换:
    F(w)=[f(t)]=+f(t)ejwtdt
    傅里叶逆变换:
    f(t)=1[F(w)]=12π+F(w)ejwtdw



    典型非周期信号的傅里叶变换


    1)单边指数信号

    f(t)=eat(t0)
    F(w)=1a+jw


    2)双边指数信号

    f(t)=ea|t|(t+)
    F(w)=2aa2+w2


    3)矩形脉冲信号

    f(t)=u(t+τ2)u(tτ2)
    F(w)=Sa(wτ2)


    4)升余弦脉冲信号

    f(t)=E2[1+cos(πtτ)](0|t|τ)
    F(w)=EτSa(wτ)1(wτπ)2


    5)直流信号

    f(t)=E
    F(w)=2πEδ(w)


    6)符号函数

    f(t)=sgn(t)=+1(t0);=0(t=0);1(t0)
    这种信号显然不满足绝对可积条件,但是它却存在傅里叶变换
    可以借助符号函数与双边指数衰减函数相乘,先求乘积信号的频谱,再取极限
    最后得到 F(w)=2jw


    冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

    冲激函数的傅里叶变换

    f(t)=δ(t)
    F(w)=[δ(t)]=1


    阶跃函数的傅里叶变换

    f(t)=u(t)=12+12sgn(t)
    F(w)=πδ(w)+1jw



    傅里叶变换基本性质

    对称性

    F(w)=[f(t)]
    则: [F(w)]=2πf(w)


    线性(叠加性)

    [fi(t)]=Fi(w)
    则: [ni=1aifi(t)]=bi=1aiFi(w)


    奇偶虚实性


    尺度变换特性

    [f(t)]=F(w)
    则: [f(at)]=1|a|F(wa)


    时移特性

    [f(t)]=F(w)
    则: [f(tt0)]=F(w)ejwt0


    频移特性

    [f(t)]=F(w)
    则: [f(t)ejw0t]=F(ww0)
    频载信号
    cos(w0t)=12(ejw0t+ejw0t)
    sin(w0t)=12j(ejw0tejw0t)
    矩阵调幅信号:
    f(t)=G(t)cos(w0t)
    可得频谱:
    F(w)=Eτ2Sa[(ww0)τ2]+Eτ2Sa[(w+w0)τ2]
    运用至调制解调器上,可将低频信号转化为高频信号,方便无线电波和激光等模拟信号携带信息传输


    余弦信号的频谱:

    [cos(w0t)]=π[δ(w+w0)+δ(ww0)]


    微分和积分特性

    [f(t)]=F(w)
    [df(t)dt]=jwF(w)


    [f(t)]=F(w)
    [tf(τdτ)]=F(w)jw+πF(0)δ(w)




    卷积特性

    第一卷积定理

    给定2个时间函数 f1(t),f2(t),
    [f1(t)]=F1(w)
    [f2(t)]=F2(w)
    则: [f1(t)f2(t)]=F1(w)F2(w)


    第二卷积定理

    给定2个时间函数 f1(t),f2(t),
    [f1(t)]=F1(w)
    [f2(t)]=F2(w)
    则: [f1(t)f2(t)]=12πF1(w)F2(w)



    周期信号的傅里叶变换

    提炼出周期函数的特性,构造出一般化针对周期函数的傅里叶变换快速算法


    f(t)T1,w1(=2πf1=2πT1)f(t):
    f(t)=n=Fnejnw1t

    算法
    1)两边取傅里叶变换
    [f(t)]=n=Fn[ejnw1t]
    得到:
    [f(t)]=2πn=Fnδ(wnw1)
    2)其中 Fn f(t) 的傅里叶级数的系数,已知它等于:
    Fn=1T1T12T12f(t)ejnw1tdt
    3) F0(w)
    F0(w)=T12T12f(t)ejwtdt
    4) Fn=1T1F0(w)w=nw1


    例子
    1:
    δT(t)=n=δ(tnT1)
    Fn=1T1T12T12δT(t)ejnw1tdt=1T1T12T12δ(t)ejnw1tdt=1T1
    [f(t)]=2πn=Fnδ(wnw1) 直接得到:
    F(w)=[δT(t)]=2πn=1T1δ(wnw1)=[δT(t)]=w1n=δ(wnw1)



    2:
    E,τ,T1,w1
    一眼看去,截取一个周期的信号:
    f0(t)=EGτ(t)
    傅里叶变换 F0(w) :
    F0(w)=EτSa(wτ2)
    由此求出傅里叶系数 Fn :
    Fn=1T1F0(w)w=nw1=EτT1Sa(nw1τ2)
    直接得到傅里叶级数和傅里叶变换:
    f(t)=EτT1n=Sa(nw1τ2)ejnw1t
    F(w)=2πn=Fnδ(wnw1)=Eτw1n=Sa(nw1τ2)δ(wnw1)

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空空如也

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傅里叶变换的微分定理