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  • 频域卷积定理的证明 乘积的傅里叶变换等于分别做傅里叶变换的卷积乘1/2pi
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    2021-05-11 09:30:15

    符号说明:

    符号说明
    f ~ = F [ f ] \tilde{f}=F[f] f~=F[f] f f f 的傅里叶变换为 f ~ \tilde{f} f~
    f = F − 1 [ f ~ ] f=F^{-1}[\tilde{f}] f=F1[f~] f ~ \tilde{f} f~ 的傅里叶逆变换为 f f f

    定理:

    f 1 ( x ) f_1(x) f1(x) f 2 ( x ) f_2(x) f2(x) 乘积的傅里叶变换等于 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x) f 2 ( x ) f_2(x) f2(x) 的傅里叶变换的乘积的卷积乘 1 2 π \frac{1}{2\pi} 2π1,即

    F [ f 1 ⋅ f 2 ] = 1 2 π F [ f 1 ] ∗ F [ f 2 ] F[f_1·f_2]=\frac{1}{2\pi}F[f_1]*F[f_2] F[f1f2]=2π1F[f1]F[f2]

    证明:

    F 1 ( ω ) = F [ f 1 ( t ) ] , F 2 ( ω ) = F [ f 2 ( t ) ] , I F F_{1}(\omega)=\mathcal{F}\left[f_{1}(t)\right], F_{2}(\omega)=\mathcal{F}\left[f_{2}(t)\right], \quad I \mathcal{F} F1(ω)=F[f1(t)],F2(ω)=F[f2(t)],IF 表示傅里叶逆变换, 则
    F − 1 [ F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω ) ] = F − 1 [ ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( μ ) F 2 ( ω − μ ) d μ ] = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( μ ) F 2 ( ω − μ ) d μ ] e i ω t d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( μ ) F 2 ( ω − μ ) e i μ t e i ( ω − μ ) t d ω ] d μ = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( μ ) e i μ t [ ∫ − ∞ + ∞ F 2 ( ω − μ ) e i ( ω − μ ) t d ( ω − μ ) ] d μ = f 2 ( t ) ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( μ ) e i μ t d μ = 2 π f 1 ( t ) f 2 ( t ) \begin{aligned} F^{-1}\left[F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega)\right]&=F^{-1}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) F_{2}(\omega-\mu) \rm{d} \mu\right]\\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) F_{2}(\omega-\mu) d \mu\right] e^{i \omega t} \rm{d} \omega\\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) F_{2}(\omega-\mu) e^{i \mu t} e^{i(\omega-\mu) t} d \omega\right] \rm{d} \mu\\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) e^{i \mu t}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{2}(\omega-\mu) e^{i(\omega-\mu) t} d(\omega-\mu)\right] \rm{d} \mu\\ &=f_{2}(t) \int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) e^{i \mu t} \rm{d} \mu\\ &=2 \pi f_{1}(t) f_{2}(t) \end{aligned} F1[F1(ω)F2(ω)]=F1[+F1(μ)F2(ωμ)dμ]=2π1+[+F1(μ)F2(ωμ)dμ]eiωtdω=2π1+[+F1(μ)F2(ωμ)eiμtei(ωμ)tdω]dμ=2π1+F1(μ)eiμt[+F2(ωμ)ei(ωμ)td(ωμ)]dμ=f2(t)+F1(μ)eiμtdμ=2πf1(t)f2(t)

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    一、时域卷积定理

    我们先给出定理:两个时域信号做卷积,就等价于它们的频谱做乘法。
    即:若: x ( t )   F ↔   X ( j ω ) ; y ( t )   F ↔   Y ( j ω ) x(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω); \quad y(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space Y(jω) x(t)  F X(jω);y(t)  F Y(jω);那么 x ( t ) ∗ y ( t )   F ↔   X ( j ω ) Y ( j ω ) x(t)*y(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω)Y(jω) x(t)y(t)  F X(jω)Y(jω)

    这给我们计算一个系统的输出带来了极大的便利。我们可以先求出输入信号的频谱和系统的频率响应,两者一乘,最后做一下傅里叶逆变换就可以得出系统的输出(时域上的)。

    【Proof】:我们下面证明一下,直接从定义出发: Y ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ y ( t ) e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ ] e − j ω t d t \begin{aligned} Y(jω) &= \int_{-∞}^{+∞}y(t)e^{-jωt}dt\\ &=\int_{-∞}^{+∞}[\int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t - τ)dτ]e^{-jωt}dt\\\\ \end{aligned} Y(jω)=+y(t)ejωtdt=+[+x(τ)h(tτ)dτ]ejωtdt
    到这里,博主有话要说了:因为我们现在的被积函数是 x ( τ ) x(τ) x(τ) h ( t − τ ) h(t - τ) h(tτ) 都是和 τ τ τ 有关的表达式,因此我们不能简单粗暴地把它们拆开,一个是 t t t 的积分,另一个是 τ τ τ 的积分。这样是错误的!!但是我们又注意到:只有 h ( t − τ ) h(t - τ) h(tτ) 是和 t t t 有关的,那么我们确实可以先让 h ( t − τ ) h(t - τ) h(tτ) t t t 积分, d τ dτ dτ 放在最后面去做。

    Y ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ ] e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ [ x ( τ ) ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) e − j ω t d t ] d τ \begin{aligned} Y(jω) &=\int_{-∞}^{+∞}[\int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t - τ)dτ]e^{-jωt}dt\\ &=\int_{-∞}^{+∞}[x(τ)\int_{-∞}^{+∞}h(t - τ)e^{-jωt}dt]dτ \end{aligned} Y(jω)=+[+x(τ)h(tτ)dτ]ejωtdt=+[x(τ)+h(tτ)ejωtdt]dτ
    这里我们需要用到傅里叶变换的延时特性:若 x ( t )   F ↔   X ( j ω ) x(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω) x(t)  F X(jω),那么 x ( t − t 0 )   F ↔   X ( j ω ) e − j ω t 0 x(t-t_0) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω)e^{-jωt_0} x(tt0)  F X(jω)ejωt0

    换成数学表达式就是: ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) e − j ω t d t = H ( j ω ) e − j ω τ \int_{-∞}^{+∞}h(t - τ)e^{-jωt}dt = H(jω)e^{-jωτ} +h(tτ)ejωtdt=H(jω)ejωτ
    所以上式就变为: Y ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ [ x ( τ ) ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) e − j ω t d t ] d τ = ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) e − j ω τ H ( j ω ) d τ = H ( j ω ) ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) e − j ω τ d τ = H ( j ω ) X ( j ω ) \begin{aligned} Y(jω) &=\int_{-∞}^{+∞}[x(τ)\int_{-∞}^{+∞}h(t - τ)e^{-jωt}dt]dτ\\ &=\int_{-∞}^{+∞}x(τ)e^{-jωτ}H(jω)dτ\\ &=H(jω)\int_{-∞}^{+∞}x(τ)e^{-jωτ}dτ\\ &=H(jω)X(jω) \end{aligned} Y(jω)=+[x(τ)+h(tτ)ejωtdt]dτ=+x(τ)ejωτH(jω)dτ=H(jω)+x(τ)ejωτdτ=H(jω)X(jω)

    那么,问题来了:还记得我们在之前的 B l o g Blog Blog 里面说过的吗?任何一个系统都可以通过其单位冲激响应 h ( t ) h(t) h(t) 来表征对吧,那么根据我们现在推导出的时域卷积定理: Y ( j ω ) = H ( j ω ) X ( j ω ) Y(jω)=H(jω)X(jω) Y(jω)=H(jω)X(jω),那么按理说任何一个系统应该也可以用它的频率响应 H ( j ω ) H(jω) H(jω) 来表征。但是,确实是这样吗?

    我们知道, H ( j ω ) H(jω) H(jω) h ( t ) h(t) h(t) 的傅里叶变换,那么所以只有当 h ( t ) h(t) h(t) 满足傅里叶变换的收敛条件其中之一: ∫ − ∞ + ∞ ∣ h ( t ) ∣ 2 d t < ∞   ∫ − ∞ + ∞ ∣ h ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-∞}^{+∞}|h(t)|^2dt < ∞\\ \space\\ \int_{-∞}^{+∞}|h(t)|dt < ∞ +h(t)2dt< +h(t)dt<
    那么,这个系统才会存在频率响应,也就是说,不是所有的系统都能够求出它的频率响应。那么也就不能说:任何系统都可以用它的频率响应 H ( j ω ) H(jω) H(jω) 来表征。但是在本文后面的部分将会给出 h ( t ) h(t) h(t) H ( j ω ) H(jω) H(jω)(存在的情况)的计算方法。

    二、频域卷积定理(时域相乘)

    我们先给出定理:若 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) x_1(t), x_2(t) x1(t),x2(t) 的傅里叶变换分别为: X 1 ( j ω ) , X 2 ( j ω ) X_1(jω), X_2(jω) X1(jω),X2(jω),那么有: x 1 ( t ) ⋅ x 2 ( t )   F ↔   1 2 π X 1 ( j ω ) ∗ X 2 ( j ω ) x_1(t)\sdot x_2(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space \frac{1}{2π} X_1(jω) * X_2(jω) x1(t)x2(t)  F 2π1X1(jω)X2(jω)

    2.1 应用:正弦幅度调制

    我们知道如果要计算系统的输出,我们可以通过时域卷积的方法计算得到。那么,什么场合下我们会用到时域信号相乘呢?答案就是—— 正弦幅度调制(当然不仅仅是这种,未来的 I Q IQ IQ 调制等等也都会用得上)

    我们来看看正弦幅度调制的框图:
    在这里插入图片描述

    其中, s ( t ) s(t) s(t) 是我们的时域信号, p ( t ) = c o s ( ω 0 t ) p(t) = cos(ω_0t) p(t)=cos(ω0t),那么得到的 r ( t ) r(t) r(t) 就是 s ( t ) ⋅ p ( t ) s(t)\sdot p(t) s(t)p(t)

    下面,我们就从频域的角度去分析正弦幅度调制:
    【1】第一步:计算 p ( t ) p(t) p(t) s ( t ) s(t) s(t) 的频谱。

    对于 c o s ( ω 0 t ) cos(ω_0t) cos(ω0t) 的频谱我们应该是很熟悉了,即 P ( j ω ) = π δ ( ω + ω 0 ) + π δ ( ω − ω 0 ) P(jω) = πδ(ω+ω_0) + πδ(ω-ω_0) P(jω)=πδ(ω+ω0)+πδ(ωω0),如下图所示:
    在这里插入图片描述
    我们再假设信号 s ( t ) s(t) s(t) 的频谱如下图所示:
    在这里插入图片描述
    根据: x 1 ( t ) ⋅ x 2 ( t )   F ↔   1 2 π X 1 ( j ω ) ∗ X 2 ( j ω ) x_1(t)\sdot x_2(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space \frac{1}{2π} X_1(jω) * X_2(jω) x1(t)x2(t)  F 2π1X1(jω)X2(jω),我们可以知道两个信号相乘之后的频谱如下图所示:
    在这里插入图片描述
    这里我们得出了一个结论:信号 s ( t ) s(t) s(t) 在时域上与 c o s ( ω 0 t ) cos(ω_0t) cos(ω0t) 相乘,相当于在频谱上把 s ( t ) s(t) s(t) 的频谱一分为二之后,分别向左右各搬移 ω 0 ω_0 ω0 (频谱搬移)

    好的,到这里,我们已经了解了正弦幅度调制的细节。可以既然有调制,那么在接收端就必然需要解调。我们如何把这个调制的信号解调出来呢??

    在这里插入图片描述
    我们看到,最左边的箭头的输入,就是我们刚刚那个调制的信号,在解调端,我们需要再给这个信号乘以原载波 c o s ( ω 0 t ) cos(ω_0t) cos(ω0t) ,然后经过一个低通滤波器(通带增益为2),就可以换原原本的信号了!

    我们也是从频谱的角度来直观地看一下这个过程:
    下图是输入信号 r ( t ) r(t) r(t) 的频谱:
    在这里插入图片描述
    下图是 p ( t ) p(t) p(t) 的频谱, r ( t ) r(t) r(t) 需要再和载波进行相乘:
    在这里插入图片描述

    那么,二者相乘得到信号的频谱就是:
    在这里插入图片描述
    此时注意:中间频谱的幅度是 1 2 \frac{1}{2} 21

    那么,经过一个通带增益为2的低通滤波器,就可以恢复原信号的频谱了!(下图为该低通滤波器的频响)
    在这里插入图片描述

    三、计算系统冲激响应 h(t) 的方法

    我们常常使用线性常系数微分方程来表征一个系统,如下:
    在这里插入图片描述
    这时,我们可以直接对方程两边做傅里叶变换,根据傅里叶变换的微分性可以得出: ∑ k = 0 N a k ( j ω ) k Y ( j ω ) = ∑ k = 0 N b k ( j ω ) k X ( j ω ) \sum_{k=0}^{N}a_k(jω)^kY(jω) = \sum_{k=0}^Nb_k(jω)^kX(jω) k=0Nak(jω)kY(jω)=k=0Nbk(jω)kX(jω)
    同时,又根据: X ( j ω ) H ( j ω ) = Y ( j ω ) X(jω)H(jω) = Y(jω) X(jω)H(jω)=Y(jω),所以我们可以得到系统的频率响应为: H ( j ω ) = Y ( j ω ) X ( j ω ) = ∑ k = 0 N b k ( j ω ) k ∑ k = 0 N a k ( j ω ) k H(jω) = \frac{Y(jω)}{X(jω)} = \frac{\sum_{k=0}^Nb_k(jω)^k}{\sum_{k=0}^{N}a_k(jω)^k} H(jω)=X(jω)Y(jω)=k=0Nak(jω)kk=0Nbk(jω)k

    【我们举一个例子来感受这种方法的简便性,同时也给大家介绍一种解题技法】:
    求以下面这个微分方程表征的系统的 h ( t ) h(t) h(t)
    在这里插入图片描述
    两边做傅里叶变换,得: ( j ω ) 2 Y ( j ω ) + 6 ( j ω ) Y ( j ω ) + 8 Y ( j ω ) = ( j ω ) X ( j ω ) + 3 X ( j ω ) ( ( j ω ) 2 + 6 ( j ω ) + 8 ) Y ( j ω ) = ( ( j ω ) + 3 ) X ( j ω ) (jω)^2Y(jω) + 6(jω)Y(jω) + 8Y(jω) = (jω)X(jω) + 3X(jω)\\ ((jω)^2 + 6(jω) + 8)Y(jω) = ((jω) + 3)X(jω) (jω)2Y(jω)+6(jω)Y(jω)+8Y(jω)=(jω)X(jω)+3X(jω)((jω)2+6(jω)+8)Y(jω)=((jω)+3)X(jω)
    因此,系统得频率响应可以表示为: H ( j ω ) = Y ( j ω ) X ( j ω ) = ( j ω ) + 3 ( j ω ) 2 + 6 ( j ω ) + 8 = j ω + 3 ( j ω + 2 ) ( j ω + 4 ) H(jω) = \frac{Y(jω)}{X(jω)} = \frac{(jω)+3}{(jω)^2 + 6(jω) + 8} = \frac{jω+3}{(jω+2)(jω+4)} H(jω)=X(jω)Y(jω)=(jω)2+6(jω)+8(jω)+3=(jω+2)(jω+4)jω+3
    我们乍一看这个表达式看不能立刻得出结论,还需要使用下面这个技巧来分解一下: H ( j ω ) = A 1 j ω + 2 + A 2 j ω + 4 = j ω + 3 ( j ω + 2 ) ( j ω + 4 ) H(jω) = \frac{A_1}{jω+2} + \frac{A_2}{jω+4} = \frac{jω+3}{(jω+2)(jω+4)} H(jω)=jω+2A1+jω+4A2=(jω+2)(jω+4)jω+3
    下面就需要计算 A 1 , A 2 A_1, A_2 A1,A2。下面是固定套路:

    1. 要求 A 1 A_1 A1,我们就对上面的等式两边同乘 j ω + 2 jω+2 jω+2,再令 j ω + 2 = 0 jω+2 = 0 jω+2=0,就可以把 A 1 A_1 A1 解出来。 A 1 = 1 2 A_1 = \frac{1}{2} A1=21
    2. 要求 A 2 A_2 A2 ,我们就对上面的等式两边同乘以 j ω + 4 jω+4 jω+4,再令 j ω + 4 = 0 jω+4 = 0 jω+4=0,就可以把 A 2 A_2 A2解出来。 A 2 = 1 2 A_2 = \frac{1}{2} A2=21

    即: H ( j ω ) = 1 2 1 j ω + 2 + 1 2 1 j ω + 4 H(jω) = \frac{1}{2}\frac{1}{jω+2} + \frac{1}{2}\frac{1}{jω+4} H(jω)=21jω+21+21jω+41

    还记得单边指数信号 e − a t u ( t ) e^{-at}u(t) eatu(t) 的频谱嘛?—— 1 a + j ω \frac{1}{a+jω} a+jω1
    因此,我们看到这里: 1 j ω + 2 \frac{1}{jω+2} jω+21 的原信号就是: e − 2 t u ( t ) e^{-2t}u(t) e2tu(t)。所以 h ( t ) h(t) h(t) 为: h ( t ) = 1 2 e − 2 t u ( t ) + 1 2 e − 4 t u ( t ) h(t) = \frac{1}{2}e^{-2t}u(t) + \frac{1}{2}e^{-4t}u(t) h(t)=21e2tu(t)+21e4tu(t)

    3.1 频率响应 H(jω) 与系统结构的关系

    【1】级联
    在这里插入图片描述
    还记得时域里面如果两个系统级联,那么它们的响应关系是: h 1 ( t ) ∗ h 2 ( t ) h_1(t) * h_2(t) h1(t)h2(t)
    根据时域卷积定理,它们的频域关系就是: H 1 ( j ω ) H 2 ( j ω ) H_1(jω)H_2(jω) H1(jω)H2(jω)

    【2】并联:并联里面时域和频域都一样,都是相加。
    在这里插入图片描述
    H 1 ( j ω ) + H 2 ( j ω ) H_1(jω) + H_2(jω) H1(jω)+H2(jω)

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  • 最近在学习信号与系统这门课程,其中的一个知识点就是傅里叶变换的性质,为了更好地记忆和使用这些性质,就需要知道这些性质的证明过程,而有些性质如频域积分和频域卷积定理的证明在书中并未给出,所以在就个人理解...

    傅里叶变换频域积分性质和频域卷积性质证明

        最近在学习信号与系统这门课程,其中的一个知识点就是傅里叶变换的性质,为了更好地记忆和使用这些性质,最好是知道这些性质的证明过程,而有些性质如频域积分和频域卷积定理的证明在书中并未给出,所以在此对这两条性质进行证明。

    1. 频域积分性质的证明

    首先想要证明频域积分性质,就要先了解时域积分性质的证明,时域积分性质证明的过程如下:

    F { ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ } = ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ } e − j w t d t = ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) ϵ ( t − τ ) d τ } e − j w t d t \mathcal{F}\{ \int_{ - \infty }^{ t } f(\tau)d_\tau\}=\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^t f(\tau) d_\tau\}e^{-jwt} d_t \\ =\int_{-\infty}^{\infty}\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\epsilon(t-\tau) d_\tau \}e^{-jwt} d_t F{tf(τ)dτ}={tf(τ)dτ}ejwtdt={f(τ)ϵ(tτ)dτ}ejwtdt
    经观察发现可以先将阶跃函数 ϵ ( t − τ ) \epsilon(t-\tau) ϵ(tτ)进行傅里叶变化变成 [ π δ ( w ) + 1 j w ] e − j w τ [\pi \delta(w)+\frac{1}{jw}]e^{-jw\tau} [πδ(w)+jw1]ejwτ
    ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) { ∫ − ∞ ∞ ϵ ( t − τ ) e − j w t d t } d τ = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) π δ ( w ) e − j w τ d τ + ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) ⋅ 1 j w e − j w τ d τ = π F ( 0 ) δ ( w ) + 1 j w F ( j w ) \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\{\int_{-\infty}^{\infty}\epsilon(t-\tau)e^{-jwt}d_t\}d_\tau\\=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\pi \delta (w)e^{-jw\tau}d_\tau+\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\cdot \frac{1}{jw}e^{-jw\tau}d_\tau\\=\pi F(0)\delta(w)+\frac{1}{jw}F(jw) f(τ){ϵ(tτ)ejwtdt}dτ=f(τ)πδ(w)ejwτdτ+f(τ)jw1ejwτdτ=πF(0)δ(w)+jw1F(jw)
    综上时域积分性质可以表示为:若 f ( t )    ⟺    F ( j w ) f(t) \iff F(jw) f(t)F(jw),则
    ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ    ⟺    π F ( 0 ) δ ( w ) + 1 j w F ( j w ) \int_{-\infty}^tf(\tau)d\tau \iff \pi F(0) \delta(w)+\frac{1}{jw}F(jw) tf(τ)dτπF(0)δ(w)+jw1F(jw)

    从上述时域积分性质的证明中可以看出首先需要改变积分上限,然后变换积分次序,最后按照一般的傅里叶变换即可

    这样的证明过程可以沿用到频域积分上,频域积分性质证明如下:
    F − 1 { ∫ − ∞ w F ( j Ω ) d Ω } = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ w F ( j Ω ) d Ω } e j w t d w = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ ∞ F ( j Ω ) ϵ ( w − Ω ) d Ω } e j w t d w = ∫ − ∞ ∞ F ( j Ω ) { 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ϵ ( w − Ω ) e j w t d w } d Ω = 1 2 π ( ∫ − ∞ ∞ F ( j Ω ) π δ ( t ) e j Ω t d Ω + ∫ − ∞ ∞ F ( j Ω ) ⋅ j t e j Ω t d Ω ) = π f ( 0 ) δ ( t ) + j t f ( t ) \mathcal{F^{-1}}\{ \int_{ - \infty }^{ w } F(j\Omega)d_\Omega\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^w F(j\Omega) d_\Omega\}e^{jwt} d_w \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\{\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega) \epsilon(w-\Omega) d_\Omega \}e^{jwt} d_w\\=\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\epsilon(w-\Omega)e^{jwt}d_w\}d_\Omega\\=\frac{1}{2\pi}(\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)\pi \delta (t)e^{j\Omega t}d_\Omega+\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)\cdot \frac{j}{t}e^{j\Omega t}d_\Omega)\\=\pi f(0)\delta(t)+\frac{j}{t}f(t) F1{wF(jΩ)dΩ}=2π1{wF(jΩ)dΩ}ejwtdw=2π1{F(jΩ)ϵ(wΩ)dΩ}ejwtdw=F(jΩ){2π1ϵ(wΩ)ejwtdw}dΩ=2π1(F(jΩ)πδ(t)ejΩtdΩ+F(jΩ)tjejΩtdΩ)=πf(0)δ(t)+tjf(t)
    综上频域积分性质可以表示为:若 F ( j w )    ⟺    f ( t ) F(jw) \iff f(t) F(jw)f(t),则
    ∫ − ∞ w F ( j Ω ) d Ω    ⟺    π f ( 0 ) δ ( t ) + j t f ( t ) \int_{-\infty}^wF(j\Omega)d\Omega \iff \pi f(0) \delta(t)+\frac{j}{t}f(t) wF(jΩ)dΩπf(0)δ(t)+tjf(t)
    在以上证明过程中使用到了傅里叶变化的对称特性和移频特性
    ϵ ( t )    ⟺    π δ ( w ) + 1 j w \epsilon(t) \iff \pi \delta(w)+\frac{1}{jw} ϵ(t)πδ(w)+jw1
    对 称 特 性 : ϵ ( w )    ⟺    1 2 π ( π δ ( − t ) + 1 − j t ) = 1 2 π ( π δ ( t ) + j t ) 对称特性:\epsilon(w) \iff \frac{1}{2\pi} (\pi \delta(-t)+\frac{1}{-jt})=\frac{1}{2\pi} (\pi \delta(t)+\frac{j}{t}) ϵ(w)2π1(πδ(t)+jt1)=2π1(πδ(t)+tj)
    移 频 特 性 : ϵ ( w − Ω )    ⟺    1 2 π ( π δ ( t ) + j t ) e j Ω t 移频特性:\epsilon(w-\Omega) \iff \frac{1}{2\pi} (\pi \delta(t)+\frac{j}{t})e^{j\Omega t} ϵ(wΩ)2π1(πδ(t)+tj)ejΩt



    2. 频域卷积性质的证明

    首先还是先给出时域卷积性质的证明:
    F { f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ } e − j w t d t \mathcal{F}\{f_1(t)*f_2(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau) d_\tau\}e^{-jwt} d_t F{f1(t)f2(t)}={f1(τ)f2(tτ)dτ}ejwtdt
    变换积分次序
    F { f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) { ∫ − ∞ ∞ f 2 ( t − τ ) e − j w t d t } d τ \mathcal{F}\{f_1(t)*f_2(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)\{ \int_{-\infty}^{\infty}f_2(t-\tau) e^{-jwt}d_t\} d_\tau F{f1(t)f2(t)}=f1(τ){f2(tτ)ejwtdt}dτ
    因为   f 2 ( t − τ )    ⟺    F 2 ( w ) e − j w τ f_2(t-\tau) \iff F_2(w)e^{-jw\tau} f2(tτ)F2(w)ejwτ
    F { f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) F 2 ( j w ) e − j w τ d τ = F 1 ( j w ) F 2 ( j w ) \mathcal{F}\{f_1(t)*f_2(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)F_2(jw)e^{-jw\tau}d_\tau = F_1(jw)F_2(jw) F{f1(t)f2(t)}=f1(τ)F2(jw)ejwτdτ=F1(jw)F2(jw)
    所以可得性质: f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t )    ⟺    F 1 ( j w ) F 2 ( j w ) f_1(t)*f_2(t) \iff F_1(jw)F_2(jw) f1(t)f2(t)F1(jw)F2(jw)


    模仿时域卷积定理的证明过程可得频域卷积定理的证明过程:
    F − 1 { F 1 ( j w ) ∗ F 2 ( j w ) } = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ ∞ F 1 ( j Ω ) ⋅ F 2 ( j ( w − Ω ) ) d Ω } e j w t d w = ∫ − ∞ ∞ F 1 ( j Ω ) { 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F 2 ( j ( w − Ω ) ) e j w t d w } d Ω = ∫ − ∞ ∞ F 1 ( j Ω ) f 2 ( t ) e j Ω t d Ω = 2 π ( 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F 1 ( j Ω ) e j Ω t f 2 ( t ) d Ω ) = 2 π f 1 ( t ) f 2 ( t ) \mathcal{F^{-1}}\{ F_1(jw)*F_2(jw)\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^{\infty} F_1(j\Omega)\cdot F_2(j(w-\Omega)) d_\Omega\}e^{jwt} d_w \\ =\int_{-\infty}^{\infty}F_1(j\Omega)\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F_2(j(w-\Omega))e^{jwt} d_w \}d_\Omega\\=\int_{-\infty}^{\infty}F_1(j\Omega)f_2(t)e^{j\Omega t}d_\Omega\\={2\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_1(j\Omega)e^{j\Omega t}f_2(t)d_\Omega)\\=2\pi f_1(t)f_2(t) F1{F1(jw)F2(jw)}=2π1{F1(jΩ)F2(j(wΩ))dΩ}ejwtdw=F1(jΩ){2π1F2(j(wΩ))ejwtdw}dΩ=F1(jΩ)f2(t)ejΩtdΩ=2π(2π1F1(jΩ)ejΩtf2(t)dΩ)=2πf1(t)f2(t)
    所以可得频域卷积的性质: 1 2 π f 1 ( t ) f 2 ( t )    ⟺    F 1 ( j w ) F 2 ( j w ) \frac{1}{2\pi}f_1(t)f_2(t) \iff F_1(jw)F_2(jw) 2π1f1(t)f2(t)F1(jw)F2(jw)


        傅里叶变换中频域积分和频域卷积的性质已经证明完毕,如果有错误的地方,还请指正。
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    设抄

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    aa64ac913175d7fd4739a940a939e978.png

    IF表示傅立叶逆变换,则

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    因此有袭

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    故频域卷积定2113理5261得证。4102

    扩展资料

    频域卷积定理

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    频域卷积定理表明两信号1653在时域的乘积对应于这两个信号傅立叶变换的卷积除以2π。

    卷积定理揭示了时间域与频率域的对应关系。

    这一定理对Laplace变换、Z变换、Mellin变换等各种傅立叶变换的变体同样成立。需要注意的是,以上写法只对特定形式的变换正确,因为变换可能由其它方式正规化,从而使得上面的关系式中出现其它的常数因子。

    傅里叶变换属于谐波分析。

    傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;

    正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

    卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

    离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。

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空空如也

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傅里叶变换的频域卷积定理

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