符号说明：




符号
说明




$\tilde{f}=F[f]$
$f$ 的傅里叶变换为 $\tilde{f}$


$f=F^{-1}[\tilde{f}]$
$\tilde{f}$ 的傅里叶逆变换为 $f$


定理：
$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 乘积的傅里叶变换等于 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的傅里叶变换的乘积的卷积乘 $\frac{1}{2\pi}$，即
$F[f_1·f_2]=\frac{1}{2\pi}F[f_1]*F[f_2]$
证明:
设 $F_{1}(\omega)=\mathcal{F}\left[f_{1}(t)\right], F_{2}(\omega)=\mathcal{F}\left[f_{2}(t)\right], \quad I \mathcal{F}$ 表示傅里叶逆变换, 则

$\begin{aligned}
F^{-1}\left[F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega)\right]&=F^{-1}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) F_{2}(\omega-\mu) \rm{d} \mu\right]\\
&=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) F_{2}(\omega-\mu) d \mu\right] e^{i \omega t} \rm{d} \omega\\
&=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) F_{2}(\omega-\mu) e^{i \mu t} e^{i(\omega-\mu) t} d \omega\right] \rm{d} \mu\\
&=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) e^{i \mu t}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{2}(\omega-\mu) e^{i(\omega-\mu) t} d(\omega-\mu)\right] \rm{d} \mu\\
&=f_{2}(t) \int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) e^{i \mu t} \rm{d} \mu\\
&=2 \pi f_{1}(t) f_{2}(t)
\end{aligned}$

文章目录
一、时域卷积定理
二、频域卷积定理（时域相乘）
2.1 应用：正弦幅度调制
三、计算系统冲激响应 h(t) 的方法
3.1 频率响应 H(jω) 与系统结构的关系

一、时域卷积定理
我们先给出定理：两个时域信号做卷积，就等价于它们的频谱做乘法。

即：若：$x(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω); \quad y(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space Y(jω)$；那么$x(t)*y(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω)Y(jω)$
这给我们计算一个系统的输出带来了极大的便利。我们可以先求出输入信号的频谱和系统的频率响应，两者一乘，最后做一下傅里叶逆变换就可以得出系统的输出（时域上的）。
【Proof】：我们下面证明一下，直接从定义出发：$\begin{aligned}
Y(jω) &= \int_{-∞}^{+∞}y(t)e^{-jωt}dt\\
&=\int_{-∞}^{+∞}[\int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t - τ)dτ]e^{-jωt}dt\\\\
\end{aligned}$

到这里，博主有话要说了：因为我们现在的被积函数是$x(τ)$ 和 $h(t - τ)$ 都是和 $τ$ 有关的表达式，因此我们不能简单粗暴地把它们拆开，一个是 $t$ 的积分，另一个是 $τ$ 的积分。这样是错误的！！但是我们又注意到：只有 $h(t - τ)$ 是和 $t$ 有关的，那么我们确实可以先让 $h(t - τ)$ 对 $t$ 积分，$dτ$ 放在最后面去做。
$\begin{aligned}
Y(jω) &=\int_{-∞}^{+∞}[\int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t - τ)dτ]e^{-jωt}dt\\
&=\int_{-∞}^{+∞}[x(τ)\int_{-∞}^{+∞}h(t - τ)e^{-jωt}dt]dτ
\end{aligned}$

这里我们需要用到傅里叶变换的延时特性：若 $x(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω)$，那么 $x(t-t_0) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω)e^{-jωt_0}$
换成数学表达式就是：$\int_{-∞}^{+∞}h(t - τ)e^{-jωt}dt = H(jω)e^{-jωτ}$

所以上式就变为：$\begin{aligned}
Y(jω) &=\int_{-∞}^{+∞}[x(τ)\int_{-∞}^{+∞}h(t - τ)e^{-jωt}dt]dτ\\
&=\int_{-∞}^{+∞}x(τ)e^{-jωτ}H(jω)dτ\\
&=H(jω)\int_{-∞}^{+∞}x(τ)e^{-jωτ}dτ\\
&=H(jω)X(jω)
\end{aligned}$
那么，问题来了：还记得我们在之前的 $Blog$ 里面说过的吗？任何一个系统都可以通过其单位冲激响应 $h(t)$ 来表征对吧，那么根据我们现在推导出的时域卷积定理：$Y(jω)=H(jω)X(jω)$，那么按理说任何一个系统应该也可以用它的频率响应 $H(jω)$ 来表征。但是，确实是这样吗？
我们知道，$H(jω)$ 是 $h(t)$ 的傅里叶变换，那么所以只有当 $h(t)$ 满足傅里叶变换的收敛条件其中之一：$\int_{-∞}^{+∞}|h(t)|^2dt < ∞\\
\space\\
\int_{-∞}^{+∞}|h(t)|dt < ∞$

那么，这个系统才会存在频率响应，也就是说，不是所有的系统都能够求出它的频率响应。那么也就不能说：任何系统都可以用它的频率响应 $H(jω)$ 来表征。但是在本文后面的部分将会给出 $h(t)$ 和 $H(jω)$（存在的情况）的计算方法。
二、频域卷积定理（时域相乘）
我们先给出定理：若 $x_1(t), x_2(t)$ 的傅里叶变换分别为：$X_1(jω), X_2(jω)$，那么有：$x_1(t)\sdot x_2(t) \space  \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space \frac{1}{2π} X_1(jω) * X_2(jω)$
2.1 应用：正弦幅度调制
我们知道如果要计算系统的输出，我们可以通过时域卷积的方法计算得到。那么，什么场合下我们会用到时域信号相乘呢？答案就是—— 正弦幅度调制（当然不仅仅是这种，未来的 $IQ$ 调制等等也都会用得上）
我们来看看正弦幅度调制的框图：


其中，$s(t)$ 是我们的时域信号，$p(t) = cos(ω_0t)$，那么得到的 $r(t)$ 就是 $s(t)\sdot p(t)$
下面，我们就从频域的角度去分析正弦幅度调制：

【1】第一步：计算 $p(t)$， $s(t)$ 的频谱。
对于 $cos(ω_0t)$ 的频谱我们应该是很熟悉了，即 $P(jω) = πδ(ω+ω_0) + πδ(ω-ω_0)$，如下图所示：



我们再假设信号 $s(t)$ 的频谱如下图所示：



根据：$x_1(t)\sdot x_2(t) \space  \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space \frac{1}{2π} X_1(jω) * X_2(jω)$，我们可以知道两个信号相乘之后的频谱如下图所示：



这里我们得出了一个结论：信号 $s(t)$ 在时域上与 $cos(ω_0t)$ 相乘，相当于在频谱上把 $s(t)$ 的频谱一分为二之后，分别向左右各搬移 $ω_0$！ （频谱搬移）
好的，到这里，我们已经了解了正弦幅度调制的细节。可以既然有调制，那么在接收端就必然需要解调。我们如何把这个调制的信号解调出来呢？？


我们看到，最左边的箭头的输入，就是我们刚刚那个调制的信号，在解调端，我们需要再给这个信号乘以原载波 $cos(ω_0t)$ ，然后经过一个低通滤波器（通带增益为2），就可以换原原本的信号了！
我们也是从频谱的角度来直观地看一下这个过程：

下图是输入信号 $r(t)$ 的频谱：



下图是 $p(t)$ 的频谱，$r(t)$ 需要再和载波进行相乘：


那么，二者相乘得到信号的频谱就是：



此时注意：中间频谱的幅度是 $\frac{1}{2}$
那么，经过一个通带增益为2的低通滤波器，就可以恢复原信号的频谱了！（下图为该低通滤波器的频响）


三、计算系统冲激响应 h(t) 的方法
我们常常使用线性常系数微分方程来表征一个系统，如下：



这时，我们可以直接对方程两边做傅里叶变换，根据傅里叶变换的微分性可以得出：$\sum_{k=0}^{N}a_k(jω)^kY(jω) = \sum_{k=0}^Nb_k(jω)^kX(jω)$

同时，又根据：$X(jω)H(jω) = Y(jω)$，所以我们可以得到系统的频率响应为：$H(jω) = \frac{Y(jω)}{X(jω)} = \frac{\sum_{k=0}^Nb_k(jω)^k}{\sum_{k=0}^{N}a_k(jω)^k}$
【我们举一个例子来感受这种方法的简便性，同时也给大家介绍一种解题技法】：

求以下面这个微分方程表征的系统的 $h(t)$：



两边做傅里叶变换，得：$(jω)^2Y(jω) + 6(jω)Y(jω) + 8Y(jω) = (jω)X(jω) + 3X(jω)\\
((jω)^2 + 6(jω) + 8)Y(jω) = ((jω) + 3)X(jω)$

因此，系统得频率响应可以表示为：$H(jω) = \frac{Y(jω)}{X(jω)} = \frac{(jω)+3}{(jω)^2 + 6(jω) + 8} = \frac{jω+3}{(jω+2)(jω+4)}$

我们乍一看这个表达式看不能立刻得出结论，还需要使用下面这个技巧来分解一下：$H(jω) = \frac{A_1}{jω+2} + \frac{A_2}{jω+4} = \frac{jω+3}{(jω+2)(jω+4)}$

下面就需要计算 $A_1, A_2$。下面是固定套路：

要求 $A_1$，我们就对上面的等式两边同乘 $jω+2$，再令 $jω+2 = 0$，就可以把 $A_1$ 解出来。$A_1 = \frac{1}{2}$
要求 $A_2$ ，我们就对上面的等式两边同乘以 $jω+4$，再令 $jω+4 = 0$，就可以把 $A_2$解出来。$A_2 = \frac{1}{2}$

即：$H(jω) = \frac{1}{2}\frac{1}{jω+2} + \frac{1}{2}\frac{1}{jω+4}$
还记得单边指数信号 $e^{-at}u(t)$ 的频谱嘛？—— $\frac{1}{a+jω}$

因此，我们看到这里：$\frac{1}{jω+2}$ 的原信号就是：$e^{-2t}u(t)$。所以 $h(t)$ 为：$h(t) = \frac{1}{2}e^{-2t}u(t) + \frac{1}{2}e^{-4t}u(t)$
3.1 频率响应 H(jω) 与系统结构的关系
【1】级联



还记得时域里面如果两个系统级联，那么它们的响应关系是：$h_1(t) * h_2(t)$

根据时域卷积定理，它们的频域关系就是：$H_1(jω)H_2(jω)$
【2】并联：并联里面时域和频域都一样，都是相加。



$H_1(jω) + H_2(jω)$

傅里叶变换频域积分性质和频域卷积性质证明
    最近在学习信号与系统这门课程，其中的一个知识点就是傅里叶变换的性质，为了更好地记忆和使用这些性质，最好是知道这些性质的证明过程，而有些性质如频域积分和频域卷积定理的证明在书中并未给出，所以在此对这两条性质进行证明。
1. 频域积分性质的证明
首先想要证明频域积分性质，就要先了解时域积分性质的证明，时域积分性质证明的过程如下：
$\mathcal{F}\{ \int_{ - \infty }^{ t } f(\tau)d_\tau\}=\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^t f(\tau) d_\tau\}e^{-jwt} d_t \\ =\int_{-\infty}^{\infty}\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\epsilon(t-\tau) d_\tau \}e^{-jwt} d_t$

经观察发现可以先将阶跃函数 $\epsilon(t-\tau)$进行傅里叶变化变成$[\pi \delta(w)+\frac{1}{jw}]e^{-jw\tau}$

$\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\{\int_{-\infty}^{\infty}\epsilon(t-\tau)e^{-jwt}d_t\}d_\tau\\=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\pi \delta (w)e^{-jw\tau}d_\tau+\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\cdot \frac{1}{jw}e^{-jw\tau}d_\tau\\=\pi F(0)\delta(w)+\frac{1}{jw}F(jw)$

综上时域积分性质可以表示为：若$f(t) \iff F(jw)$,则

$\int_{-\infty}^tf(\tau)d\tau \iff \pi F(0) \delta(w)+\frac{1}{jw}F(jw)$
从上述时域积分性质的证明中可以看出首先需要改变积分上限，然后变换积分次序，最后按照一般的傅里叶变换即可
这样的证明过程可以沿用到频域积分上，频域积分性质证明如下：

$\mathcal{F^{-1}}\{ \int_{ - \infty }^{ w } F(j\Omega)d_\Omega\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^w F(j\Omega) d_\Omega\}e^{jwt} d_w \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\{\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega) \epsilon(w-\Omega) d_\Omega \}e^{jwt} d_w\\=\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\epsilon(w-\Omega)e^{jwt}d_w\}d_\Omega\\=\frac{1}{2\pi}(\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)\pi \delta (t)e^{j\Omega t}d_\Omega+\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)\cdot \frac{j}{t}e^{j\Omega t}d_\Omega)\\=\pi f(0)\delta(t)+\frac{j}{t}f(t)$

综上频域积分性质可以表示为：若$F(jw) \iff f(t)$,则

$\int_{-\infty}^wF(j\Omega)d\Omega \iff \pi f(0) \delta(t)+\frac{j}{t}f(t)$

在以上证明过程中使用到了傅里叶变化的对称特性和移频特性

$\epsilon(t) \iff \pi \delta(w)+\frac{1}{jw}$

$对称特性：\epsilon(w) \iff \frac{1}{2\pi} (\pi \delta(-t)+\frac{1}{-jt})=\frac{1}{2\pi} (\pi \delta(t)+\frac{j}{t})$

$移频特性：\epsilon(w-\Omega) \iff \frac{1}{2\pi} (\pi \delta(t)+\frac{j}{t})e^{j\Omega t}$




2. 频域卷积性质的证明
首先还是先给出时域卷积性质的证明：

$\mathcal{F}\{f_1(t)*f_2(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau) d_\tau\}e^{-jwt} d_t$

变换积分次序

$\mathcal{F}\{f_1(t)*f_2(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)\{ \int_{-\infty}^{\infty}f_2(t-\tau) e^{-jwt}d_t\} d_\tau$

因为   $f_2(t-\tau) \iff F_2(w)e^{-jw\tau}$

$\mathcal{F}\{f_1(t)*f_2(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)F_2(jw)e^{-jw\tau}d_\tau = F_1(jw)F_2(jw)$

所以可得性质： $f_1(t)*f_2(t) \iff F_1(jw)F_2(jw)$




模仿时域卷积定理的证明过程可得频域卷积定理的证明过程：

$\mathcal{F^{-1}}\{ F_1(jw)*F_2(jw)\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^{\infty} F_1(j\Omega)\cdot F_2(j(w-\Omega)) d_\Omega\}e^{jwt} d_w \\ =\int_{-\infty}^{\infty}F_1(j\Omega)\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F_2(j(w-\Omega))e^{jwt} d_w  \}d_\Omega\\=\int_{-\infty}^{\infty}F_1(j\Omega)f_2(t)e^{j\Omega t}d_\Omega\\={2\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_1(j\Omega)e^{j\Omega t}f_2(t)d_\Omega)\\=2\pi f_1(t)f_2(t)$

所以可得频域卷积的性质： $\frac{1}{2\pi}f_1(t)f_2(t) \iff F_1(jw)F_2(jw)$


    傅里叶变换中频域积分和频域卷积的性质已经证明完毕，如果有错误的地方，还请指正。

拉普拉斯锐化的模板为

0
			
-1
			
0
		
-1
			
5
			
-1
		
0
			
-1
			
0
		
由傅里叶卷积定理我们可以知道,空域模板中有一个频域模板与之相对应,现在空域中

 



 

左右两边同时进行傅里叶变换可得:



原理为:



结果为:



(计算结果可能有错,错了麻烦指出~)