一、时域卷积定理

我们先给出定理：两个时域信号做卷积，就等价于它们的频谱做乘法。
即：若：$x(t)\underleftrightarrow{\mathcal{F}}X(j\omega );y(t)\underleftrightarrow{\mathcal{F}}Y(j\omega )$；那么$x(t)\ast y(t)\underleftrightarrow{\mathcal{F}}X(j\omega )Y(j\omega )$

这给我们计算一个系统的输出带来了极大的便利。我们可以先求出输入信号的频谱和系统的频率响应，两者一乘，最后做一下傅里叶逆变换就可以得出系统的输出（时域上的）。

【Proof】：我们下面证明一下，直接从定义出发：$$\begin{array}{rl}Y(j\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }y(t)e^{-j\omega t}dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau ]e^{-j\omega t}dt\\ & \end{array}$$
到这里，博主有话要说了：因为我们现在的被积函数是$x(\tau )$ 和 $h(t-\tau )$ 都是和 $\tau$ 有关的表达式，因此我们不能简单粗暴地把它们拆开，一个是 $t$ 的积分，另一个是 $\tau$ 的积分。这样是错误的！！但是我们又注意到：只有 $h(t-\tau )$ 是和 $t$ 有关的，那么我们确实可以先让 $h(t-\tau )$ 对 $t$ 积分，$d\tau$ 放在最后面去做。

$$\begin{array}{rl}Y(j\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau ]e^{-j\omega t}dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }[x(\tau ){\int }_{-\infty }^{+\infty }h(t-\tau )e^{-j\omega t}dt]d\tau \end{array}$$
这里我们需要用到傅里叶变换的延时特性：若 $x(t)\underleftrightarrow{\mathcal{F}}X(j\omega )$，那么 $x(t-t_0)\underleftrightarrow{\mathcal{F}}X(j\omega )e^{-j\omega t_0}$

换成数学表达式就是：$${\int }_{-\infty }^{+\infty }h(t-\tau )e^{-j\omega t}dt=H(j\omega )e^{-j\omega \tau }$$
所以上式就变为：$$\begin{array}{rl}Y(j\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }[x(\tau ){\int }_{-\infty }^{+\infty }h(t-\tau )e^{-j\omega t}dt]d\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )e^{-j\omega \tau }H(j\omega )d\tau \\ & =H(j\omega ){\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\ & =H(j\omega )X(j\omega )\end{array}$$

那么，问题来了：还记得我们在之前的 $Blog$ 里面说过的吗？任何一个系统都可以通过其单位冲激响应 $h(t)$ 来表征对吧，那么根据我们现在推导出的时域卷积定理：$Y(j\omega )=H(j\omega )X(j\omega )$，那么按理说任何一个系统应该也可以用它的频率响应 $H(j\omega )$ 来表征。但是，确实是这样吗？

我们知道，$H(j\omega )$ 是 $h(t)$ 的傅里叶变换，那么所以只有当 $h(t)$ 满足傅里叶变换的收敛条件其中之一：$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }|h(t){|}^{2}dt<\infty \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }|h(t)|dt<\infty \end{gathered}$$
那么，这个系统才会存在频率响应，也就是说，不是所有的系统都能够求出它的频率响应。那么也就不能说：任何系统都可以用它的频率响应 $H(j\omega )$ 来表征。但是在本文后面的部分将会给出 $h(t)$ 和 $H(j\omega )$（存在的情况）的计算方法。

二、频域卷积定理（时域相乘）

我们先给出定理：若 $x_1(t),x_2(t)$ 的傅里叶变换分别为：$X_1(j\omega ),X_2(j\omega )$，那么有：$$x_1(t)\cdot x_2(t)\underleftrightarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{2\pi }{X}_1(j\omega )\ast X_2(j\omega )$$

2.1 应用：正弦幅度调制

我们知道如果要计算系统的输出，我们可以通过时域卷积的方法计算得到。那么，什么场合下我们会用到时域信号相乘呢？答案就是—— 正弦幅度调制（当然不仅仅是这种，未来的 $IQ$ 调制等等也都会用得上）

我们来看看正弦幅度调制的框图：

其中，$s(t)$ 是我们的时域信号，$p(t)=cos({\omega }_{0}t)$，那么得到的 $r(t)$ 就是 $s(t)\cdot p(t)$

下面，我们就从频域的角度去分析正弦幅度调制：
【1】第一步：计算 $p(t)$， $s(t)$ 的频谱。

对于 $cos({\omega }_{0}t)$ 的频谱我们应该是很熟悉了，即 $P(j\omega )=\pi \delta (\omega +{\omega }_0)+\pi \delta (\omega -{\omega }_0)$，如下图所示：

我们再假设信号 $s(t)$ 的频谱如下图所示：

根据：$x_1(t)\cdot x_2(t)\underleftrightarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{2\pi }{X}_1(j\omega )\ast X_2(j\omega )$，我们可以知道两个信号相乘之后的频谱如下图所示：

这里我们得出了一个结论：信号 $s(t)$ 在时域上与 $cos({\omega }_{0}t)$ 相乘，相当于在频谱上把 $s(t)$ 的频谱一分为二之后，分别向左右各搬移 ${\omega }_0$！ （频谱搬移）

好的，到这里，我们已经了解了正弦幅度调制的细节。可以既然有调制，那么在接收端就必然需要解调。我们如何把这个调制的信号解调出来呢？？

我们看到，最左边的箭头的输入，就是我们刚刚那个调制的信号，在解调端，我们需要再给这个信号乘以原载波 $cos({\omega }_{0}t)$ ，然后经过一个低通滤波器（通带增益为2），就可以换原原本的信号了！

我们也是从频谱的角度来直观地看一下这个过程：
下图是输入信号 $r(t)$ 的频谱：

下图是 $p(t)$ 的频谱，$r(t)$ 需要再和载波进行相乘：

那么，二者相乘得到信号的频谱就是：

此时注意：中间频谱的幅度是 $\frac{1}{2}$

那么，经过一个通带增益为2的低通滤波器，就可以恢复原信号的频谱了！（下图为该低通滤波器的频响）

三、计算系统冲激响应 h(t) 的方法

我们常常使用线性常系数微分方程来表征一个系统，如下：

这时，我们可以直接对方程两边做傅里叶变换，根据傅里叶变换的微分性可以得出：$$\sum _{k=0}^N{a}_k(j\omega {)}^{k}Y(j\omega )=\sum _{k=0}^N{b}_k(j\omega {)}^{k}X(j\omega )$$
同时，又根据：$X(j\omega )H(j\omega )=Y(j\omega )$，所以我们可以得到系统的频率响应为：$$H(j\omega )=\frac{Y(j\omega )}{X(j\omega )}=\frac{{\sum }_{k=0}^N{b}_k(j\omega {)}^k}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k(j\omega {)}^k}$$

【我们举一个例子来感受这种方法的简便性，同时也给大家介绍一种解题技法】：
求以下面这个微分方程表征的系统的 $h(t)$：

两边做傅里叶变换，得：$$\begin{gathered} (j\omega {)}^{2}Y(j\omega )+6(j\omega )Y(j\omega )+8Y(j\omega )=(j\omega )X(j\omega )+3X(j\omega ) \\ ((j\omega {)}^2+6(j\omega )+8)Y(j\omega )=((j\omega )+3)X(j\omega ) \end{gathered}$$
因此，系统得频率响应可以表示为：$$H(j\omega )=\frac{Y(j\omega )}{X(j\omega )}=\frac{(j\omega )+3}{(j\omega {)}^2+6(j\omega )+8}=\frac{j\omega +3}{(j\omega +2)(j\omega +4)}$$
我们乍一看这个表达式看不能立刻得出结论，还需要使用下面这个技巧来分解一下：$$H(j\omega )=\frac{A_1}{j\omega +2}+\frac{A_2}{j\omega +4}=\frac{j\omega +3}{(j\omega +2)(j\omega +4)}$$
下面就需要计算 $A_1,A_2$。下面是固定套路：

1. 要求 $A_1$，我们就对上面的等式两边同乘 $j\omega +2$，再令 $j\omega +2=0$，就可以把 $A_1$ 解出来。$A_1=\frac{1}{2}$
2. 要求 $A_2$ ，我们就对上面的等式两边同乘以 $j\omega +4$，再令 $j\omega +4=0$，就可以把 $A_2$解出来。$A_2=\frac{1}{2}$

即：$$H(j\omega )=\frac{1}{2}\frac{1}{j\omega +2}+\frac{1}{2}\frac{1}{j\omega +4}$$

还记得单边指数信号 $e^{-at}u(t)$ 的频谱嘛？—— $\frac{1}{a+j\omega }$
因此，我们看到这里：$\frac{1}{j\omega +2}$ 的原信号就是：$e^{-2t}u(t)$。所以 $h(t)$ 为：$$h(t)=\frac{1}{2}{e}^{-2t}u(t)+\frac{1}{2}{e}^{-4t}u(t)$$

3.1 频率响应 H(jω) 与系统结构的关系

【1】级联

还记得时域里面如果两个系统级联，那么它们的响应关系是：$h_1(t)\ast h_2(t)$
根据时域卷积定理，它们的频域关系就是：$H_1(j\omega )H_2(j\omega )$

【2】并联：并联里面时域和频域都一样，都是相加。

$H_1(j\omega )+H_2(j\omega )$

傅里叶变换频域积分性质和频域卷积性质证明

    最近在学习信号与系统这门课程，其中的一个知识点就是傅里叶变换的性质，为了更好地记忆和使用这些性质，最好是知道这些性质的证明过程，而有些性质如频域积分和频域卷积定理的证明在书中并未给出，所以在此对这两条性质进行证明。

1. 频域积分性质的证明

首先想要证明频域积分性质，就要先了解时域积分性质的证明，时域积分性质证明的过程如下：

F { ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ } = ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ } e − j w t d t = ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) ϵ ( t − τ ) d τ } e − j w t d t \mathcal{F}\{ \int_{ - \infty }^{ t } f(\tau)d_\tau\}=\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^t f(\tau) d_\tau\}e^{-jwt} d_t \\ =\int_{-\infty}^{\infty}\{\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\epsilon(t-\tau) d_\tau \}e^{-jwt} d_t F{∫−∞t​f(τ)dτ​}=∫−∞∞​{∫−∞t​f(τ)dτ​}e−jwtdt​=∫−∞∞​{∫−∞∞​f(τ)ϵ(t−τ)dτ​}e−jwtdt​
经观察发现可以先将阶跃函数 $ϵ(t-\tau )$进行傅里叶变化变成$[\pi \delta (w)+\frac{1}{jw}]e^{-jw\tau }$
∫ − ∞ ∞ f ( τ ) { ∫ − ∞ ∞ ϵ ( t − τ ) e − j w t d t } d τ = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) π δ ( w ) e − j w τ d τ + ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) ⋅ 1 j w e − j w τ d τ = π F ( 0 ) δ ( w ) + 1 j w F ( j w ) \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\{\int_{-\infty}^{\infty}\epsilon(t-\tau)e^{-jwt}d_t\}d_\tau\\=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\pi \delta (w)e^{-jw\tau}d_\tau+\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\cdot \frac{1}{jw}e^{-jw\tau}d_\tau\\=\pi F(0)\delta(w)+\frac{1}{jw}F(jw) ∫−∞∞​f(τ){∫−∞∞​ϵ(t−τ)e−jwtdt​}dτ​=∫−∞∞​f(τ)πδ(w)e−jwτdτ​+∫−∞∞​f(τ)⋅jw1​e−jwτdτ​=πF(0)δ(w)+jw1​F(jw)
综上时域积分性质可以表示为：若$f(t)⟺F(jw)$,则
$${\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ⟺\pi F(0)\delta (w)+\frac{1}{jw}F(jw)$$

从上述时域积分性质的证明中可以看出首先需要改变积分上限，然后变换积分次序，最后按照一般的傅里叶变换即可

这样的证明过程可以沿用到频域积分上，频域积分性质证明如下：
F − 1 { ∫ − ∞ w F ( j Ω ) d Ω } = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ w F ( j Ω ) d Ω } e j w t d w = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ ∞ F ( j Ω ) ϵ ( w − Ω ) d Ω } e j w t d w = ∫ − ∞ ∞ F ( j Ω ) { 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ϵ ( w − Ω ) e j w t d w } d Ω = 1 2 π ( ∫ − ∞ ∞ F ( j Ω ) π δ ( t ) e j Ω t d Ω + ∫ − ∞ ∞ F ( j Ω ) ⋅ j t e j Ω t d Ω ) = π f ( 0 ) δ ( t ) + j t f ( t ) \mathcal{F^{-1}}\{ \int_{ - \infty }^{ w } F(j\Omega)d_\Omega\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^w F(j\Omega) d_\Omega\}e^{jwt} d_w \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\{\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega) \epsilon(w-\Omega) d_\Omega \}e^{jwt} d_w\\=\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\epsilon(w-\Omega)e^{jwt}d_w\}d_\Omega\\=\frac{1}{2\pi}(\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)\pi \delta (t)e^{j\Omega t}d_\Omega+\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)\cdot \frac{j}{t}e^{j\Omega t}d_\Omega)\\=\pi f(0)\delta(t)+\frac{j}{t}f(t) F−1{∫−∞w​F(jΩ)dΩ​}=2π1​∫−∞∞​{∫−∞w​F(jΩ)dΩ​}ejwtdw​=2π1​∫−∞∞​{∫−∞∞​F(jΩ)ϵ(w−Ω)dΩ​}ejwtdw​=∫−∞∞​F(jΩ){2π1​∫−∞∞​ϵ(w−Ω)ejwtdw​}dΩ​=2π1​(∫−∞∞​F(jΩ)πδ(t)ejΩtdΩ​+∫−∞∞​F(jΩ)⋅tj​ejΩtdΩ​)=πf(0)δ(t)+tj​f(t)
综上频域积分性质可以表示为：若$F(jw)⟺f(t)$,则
$${\int }_{-\infty }^{w}F(j\Omega )d\Omega ⟺\pi f(0)\delta (t)+\frac{j}{t}f(t)$$
在以上证明过程中使用到了傅里叶变化的对称特性和移频特性
$$ϵ(t)⟺\pi \delta (w)+\frac{1}{jw}$$
$$对称特性：ϵ(w)⟺\frac{1}{2\pi }(\pi \delta (-t)+\frac{1}{-jt})=\frac{1}{2\pi }(\pi \delta (t)+\frac{j}{t})$$
$$移频特性：ϵ(w-\Omega )⟺\frac{1}{2\pi }(\pi \delta (t)+\frac{j}{t})e^{j\Omega t}$$

2. 频域卷积性质的证明

首先还是先给出时域卷积性质的证明：
F { f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ } e − j w t d t \mathcal{F}\{f_1(t)*f_2(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau) d_\tau\}e^{-jwt} d_t F{f1​(t)∗f2​(t)}=∫−∞∞​{∫−∞∞​f1​(τ)f2​(t−τ)dτ​}e−jwtdt​
变换积分次序
F { f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) { ∫ − ∞ ∞ f 2 ( t − τ ) e − j w t d t } d τ \mathcal{F}\{f_1(t)*f_2(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)\{ \int_{-\infty}^{\infty}f_2(t-\tau) e^{-jwt}d_t\} d_\tau F{f1​(t)∗f2​(t)}=∫−∞∞​f1​(τ){∫−∞∞​f2​(t−τ)e−jwtdt​}dτ​
因为   $f_2(t-\tau )⟺F_2(w)e^{-jw\tau }$
F { f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) F 2 ( j w ) e − j w τ d τ = F 1 ( j w ) F 2 ( j w ) \mathcal{F}\{f_1(t)*f_2(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)F_2(jw)e^{-jw\tau}d_\tau = F_1(jw)F_2(jw) F{f1​(t)∗f2​(t)}=∫−∞∞​f1​(τ)F2​(jw)e−jwτdτ​=F1​(jw)F2​(jw)
所以可得性质： $f_1(t)\ast f_2(t)⟺F_1(jw)F_2(jw)$


模仿时域卷积定理的证明过程可得频域卷积定理的证明过程：
F − 1 { F 1 ( j w ) ∗ F 2 ( j w ) } = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ ∞ F 1 ( j Ω ) ⋅ F 2 ( j ( w − Ω ) ) d Ω } e j w t d w = ∫ − ∞ ∞ F 1 ( j Ω ) { 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F 2 ( j ( w − Ω ) ) e j w t d w } d Ω = ∫ − ∞ ∞ F 1 ( j Ω ) f 2 ( t ) e j Ω t d Ω = 2 π ( 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F 1 ( j Ω ) e j Ω t f 2 ( t ) d Ω ) = 2 π f 1 ( t ) f 2 ( t ) \mathcal{F^{-1}}\{ F_1(jw)*F_2(jw)\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\{ \int_{-\infty}^{\infty} F_1(j\Omega)\cdot F_2(j(w-\Omega)) d_\Omega\}e^{jwt} d_w \\ =\int_{-\infty}^{\infty}F_1(j\Omega)\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F_2(j(w-\Omega))e^{jwt} d_w \}d_\Omega\\=\int_{-\infty}^{\infty}F_1(j\Omega)f_2(t)e^{j\Omega t}d_\Omega\\={2\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_1(j\Omega)e^{j\Omega t}f_2(t)d_\Omega)\\=2\pi f_1(t)f_2(t) F−1{F1​(jw)∗F2​(jw)}=2π1​∫−∞∞​{∫−∞∞​F1​(jΩ)⋅F2​(j(w−Ω))dΩ​}ejwtdw​=∫−∞∞​F1​(jΩ){2π1​∫−∞∞​F2​(j(w−Ω))ejwtdw​}dΩ​=∫−∞∞​F1​(jΩ)f2​(t)ejΩtdΩ​=2π(2π1​∫−∞∞​F1​(jΩ)ejΩtf2​(t)dΩ​)=2πf1​(t)f2​(t)
所以可得频域卷积的性质： $\frac{1}{2\pi }{f}_1(t)f_2(t)⟺F_1(jw)F_2(jw)$