打开任意图像，进行傅里叶变换，画出频谱图、相位谱图以及实现位移后的频谱图和相位谱图。
 I=imread(‘D:\picture.jpg’);
 I=rgb2gray(I);
 subplot(3,2,1);
 imshow(I);
 title(‘原始图像’);
 F=fft2(I);
 S=abs(F);
 subplot(3,2,2);
 imshow(S,[]);
 title(‘频谱图’);
 Fc=fftshift(F);
 subplot(3,2,3);
 imshow(abs(Fc),[]);
 title(‘移频后’);
 s2=log(1+abs(Fc));
 subplot(3,2,4);
 imshow(s2,[]);
 title(‘log增强后的频谱图’);
 r=real(F);
 i=imag(F);
 s1=log(1+abs(F));
 phase=angle(F)*180/pi;
 subplot(3,2,5); I=imread(‘D:\picture.jpg’);
 I=rgb2gray(I);
 subplot(3,2,1);
 imshow(I);
 title(‘原始图像’);
 F=fft2(I);
 S=abs(F);
 subplot(3,2,2);
 imshow(S,[]);
 title(‘频谱图’);
 Fc=fftshift(F);
 subplot(3,2,3);
 imshow(abs(Fc),[]);
 title(‘移频后’);
 s2=log(1+abs(Fc));
 subplot(3,2,4);
 imshow(s2,[]);
 title(‘log增强后的频谱图’);
 r=real(F);
 i=imag(F);
 s1=log(1+abs(F));
 phase=angle(F)*180/pi;
 subplot(3,2,5);
 imshow(phase,[]);
 title(‘相位谱图’);
 r1=real(Fc);
 i1=imag(Fc);
 phase2=angle(Fc)*180/pi;
 subplot(3,2,6);
 imshow(phase2);
 title(‘位移后相位谱图’);
 imshow(phase,[]);
 title(‘相位谱图’);
 r1=real(Fc);
 i1=imag(Fc);
 phase2=angle(Fc)*180/pi;
 subplot(3,2,6);
 imshow(phase2);
 title(‘位移后相位谱图’);
 
 
欢迎使用Markdown编辑器
 
你好！ 这是你第一次使用 Markdown编辑器 所展示的欢迎页。如果你想学习如何使用Markdown编辑器, 可以仔细阅读这篇文章，了解一下Markdown的基本语法知识。
 
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增加了 图片拖拽 功能，你可以将本地的图片直接拖拽到编辑区域直接展示；
全新的 KaTeX数学公式 语法；
增加了支持甘特图的mermaid语法 功能；
增加了 多屏幕编辑 Markdown文章功能；
增加了 焦点写作模式、预览模式、简洁写作模式、左右区域同步滚轮设置 等功能，功能按钮位于编辑区域与预览区域中间；
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合理的创建标题，有助于目录的生成
 
直接输入1次#，并按下space后，将生成1级标题。
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 以此类推，我们支持6级标题。有助于使用TOC语法后生成一个完美的目录。
 
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强调文本 强调文本
 
加粗文本 加粗文本
 
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H2O is是液体。
 
210 运算结果是 1024.
 
插入链接与图片
 
链接: link.
 
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当然，我们为了让用户更加便捷，我们增加了图片拖拽功能。
 
如何插入一段漂亮的代码片
 
去博客设置页面，选择一款你喜欢的代码片高亮样式，下面展示同样高亮的 代码片.
 
// An highlighted block
var foo = 'bar';
 
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项目 
  
项目 
    
项目
 
 
 
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项目2
项目3
 
 计划任务
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一个简单的表格是这么创建的：
 
项目
Value
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$1600
手机
$12
导管
$1
设定内容居中、居左、居右
 
使用:---------:居中
 使用:----------居左
 使用----------:居右
 
第一列
第二列
第三列
第一列文本居中
第二列文本居右
第三列文本居左
SmartyPants
 
SmartyPants将ASCII标点字符转换为“智能”印刷标点HTML实体。例如：
 
TYPE
ASCII
HTML
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‘Isn’t this fun?’
Quotes
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“Isn’t this fun?”
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-- is en-dash, --- is em-dash
– is en-dash, — is em-dash
创建一个自定义列表
 
 
 
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如何创建一个注脚
 
一个具有注脚的文本。
 
注释也是必不可少的
 
Markdown将文本转换为 HTML。
 
KaTeX数学公式
 
您可以使用渲染LaTeX数学表达式 KaTeX:
 
Gamma公式展示 $\Gamma (n)=(n-1)!\forall n\in \mathbb{N}$ 是通过欧拉积分
 
$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt.$$
 
 
 
你可以找到更多关于的信息 LaTeX 数学表达式here.
 
 
新的甘特图功能，丰富你的文章
 

 
 
关于 甘特图 语法，参考 这儿,
 
UML 图表
 
可以使用UML图表进行渲染。 Mermaid. 例如下面产生的一个序列图：:
 

 
 
这将产生一个流程图。:
 

 
 
关于 Mermaid 语法，参考 这儿,
 
FLowchart流程图
 
我们依旧会支持flowchart的流程图：
 

 
 
关于 Flowchart流程图 语法，参考 这儿.
 
导出与导入
 
导出
 
如果你想尝试使用此编辑器, 你可以在此篇文章任意编辑。当你完成了一篇文章的写作, 在上方工具栏找到 文章导出 ，生成一个.md文件或者.html文件进行本地保存。
 
导入
 
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mermaid语法说明 ↩︎
 
注脚的解释 ↩︎
 
 

一、引子
 
  我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……
 
　　这篇文章的核心思想就是：
 
　　要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
 
　　傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
 
　　————以上是定场诗————
 
　　下面进入正题：
 
　　抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
 
二、什么叫频域
 
　　从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
 
　　先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
 
　　在你的理解中，一段音乐是什么呢？
 
          
 
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
 
      
 
好的！下课，同学们再见。
 
　　是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
 
　　现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
 
　　将以上两图简化：
 
　    　时域：                              频域： 
 
                      
 
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
 
　　所（前方高能！~~~~~~~~~~~非战斗人员退散~~~~~~~）
 
　　以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能预警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）
 
　　你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。（众人：鸡汤滚出知乎！）
 
　　抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
 
　　而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换（Fourier Transformation），我们从简单的开始谈起。
 
三、傅里叶级数（Fourier Series）
 
　　还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
 
　　如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
 
     
 
   第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）
 
　　第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos（x）+ A*cos（3x）
 
　　第三幅图是4个发春的正弦波的叠加
 
　　第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加
 
　　随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
 
    （只要努力，弯的都能掰直！）
 
　　随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）
 
　　不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
 
　　还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
 
         
 
   在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
 
　　这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
 
　　好了，关键的地方来了！！
 
　　如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
 
　　对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
 
　　（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗？）
 
　　时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。
 
　　有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
 
　　接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
 
           
 
 
 
  正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆：
 
            
 
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
 
       
 
这是什么奇怪的东西？
 
　　这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——
 
         
 
再清楚一点：
 
       
 
  可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。
 
　 老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
 
　　但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
 
　　我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……
 
　　抱歉，还是没写完。但是我想坚持看到这里的人已经很不容易了。我们都休息一下，下一讲再继续……
 
https://blog.csdn.net/zhouqt/article/details/52892584

很多人都不了解图像（二维）频谱中的每一点究竟代表了什么，有什么意义?
 

 一句话解释为： 二维频谱中的每一个点都是一个与之一 一对应的二维正弦/余弦波。
 
视觉的优势永远大于其他器官对人的作用，所以对标眼睛的图像处理起到了非常重要的作用。
 
相比于时域分析图像的艰难，在频域分析图像就变得无比轻松，但是由于频域比较抽象，理解起来比较吃力，所以很多人并不能一下子就明白其原理。
 
 
在此选用了著名的Cameraman的图像，这幅照片向我们表达的信息是显而易见的，一位优秀的摄影师，黑色的风衣，潇洒的发型，很有质感的皮手套，灰色的裤子，一台照相机，一个三脚架，草坪，蓝天，背景是MIT。而他的频谱图则并没有像一维的频谱图那样，有助于我们理解图像自身以外的或者是隐藏在图像背后的信息。比如说，中间的那条白线是什么，如果你没看我之前写的那篇文章你可能都不知道它究竟代表了什么。这也就是我为什么说，图像的傅里叶变换有些多此一举，反而把一个简单的问题弄得很复杂，弄巧成拙了。
 
言归正传，说了这么多，搞图像的哪有不和二维傅里叶变换打交道的呢。现在我就尽力说明一下图像二维傅里叶变换的一些属性（这里主讲二维频谱的特性，一维里面的共有特性就不细讲了）。
 
1、周期性
 DFT的周期性：时时刻刻都要记住，对于DFT而言，他的空域和频域始终都是沿着X和Y方向无限周期拓展的。
 

 如果只取其中的一个周期，则我们会得到如下的结果（即，频谱未中心化）。
 
 
为了便于频域的滤波和频谱的分析，常常在变换之前进行频谱的中心化。
 
频谱的中心化
 从数学上说是在变换之前用指数项乘以原始函数，又因为e^jπ = 1，所以往往我们在写程序的时候实际上是把原始矩阵乘以（-1）^(x+y)达到频谱居中的目的。如下图所示：1<----->3 对调，2<----->4 对调，matlab中的fftshit命令就是这么干的。
 
 
变换后对调频谱的四个象限（swap quadrant）
 
 
经过中心化后的频谱
 
 
截取了其中的一个周期，作为图像的频谱
 
 
2、高低频率的分布
 除了周期性之外，还应该知道的就是哪里是高频哪里是低频。在经过频谱居中后的频谱中，中间最亮的点是最低频率，属于直流分量（DC分量）。越往边外走，频率越高。所以，频谱图中的四个角和X,Y轴的尽头都是高频。
 
 
没有经过频谱居中处理的频谱图则正好相反，中间区域是高频，而四个角则是DC低频分量。
 
 
这里我再用一个正弦波的例子来展示频谱图的高低频的分布，见下图。
 
 
频谱中心化以后，正弦波的频点靠中心越近，频率越低，离中心越远，频率越高。
 
3、频谱图的能量分布
 这里我顺便提一下频谱中的能级分布，则如下图所示。明显，DC分量所占能量最大最多，不论是二维还是一维都应该是这样。频率越高的部分，能量越少。如下图所示，图示画的不好，勉强能够理解就好。中间最小的那个圆圈内包含了大约85%的能量，中间那个圈包含了大约93%的能量，而最外面那个圈则包含了几乎99%的能量。
 
 
4、纵横“交错”性
 在二维傅里叶变换中，空间域中横向的周期变化会反应在频谱图中的Y轴上，而空间域中纵向的周期变化会反应在频谱图中的X轴上。空间域中东南方向的周期变化会反应在频谱图中的东北方向，反之亦然。说明见下图。
 
 
 
 
 
 
 
最后再附加一个例子。
 
 
5、方向性（direction）
 在二维频谱图中的任意“一对亮点”（注意：频谱的对称性），都在相应的空间域有一个与之相对应的二维正弦波。亮点在二维频谱中的位置决定了与之对应的正弦波的频率和方向。
 
在空域图中的任意一条正弦线上，作该正弦线的法线。同时，把频谱图中的一对白色频点和坐标原点（DC中点）用一条直线连接起来。则，空域图中的法线正好和频谱图中的连线是完全平行的，一致的。
 
 
上图是一个45度倾斜的正弦波图像。
 
注意空间域中的任意一条法线和频谱图中频点和频谱图原点（DC）连线都是平行的，同时，空间域中的任意一条正弦线和频谱图中的连线是刚好正交的/垂直的。
 
 
上图为相同方向，较低频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域（左图）的法线和频谱图中（右图）一对频点和DC的连线延长线，是平行的。
 
 
上图为相同方向，较高频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域（左图）的法线和频谱图中（右图）一对频点和DC的连线延长线，是平行的。
 
下面我们来验证一下其他角度的情况，这一法则是否适用。
 
 
 
上面所有的例子中的频谱图都是频谱中心化的，那么针对没有经过频谱中心化的图呢？
 
 
这些实验还说明了一个非常重要的问题，那就是：频谱图中的任意一对对称的两点，或者说是频点，经过傅里叶反变换之后，就是空间域中的一个与之对应的正弦波（即，相应的频率和方向）。如下图所示。
 
 
6、平移和旋转
 图像的平移并不会影响图像的频谱，同时，图像的相位会随着图像的旋转而旋转。
 
 
Part I 平移和旋转对频谱的影响
 下面我用矩形的频谱图来说明图像中矩形的平移并不会对频谱有丝毫的影响。
 
 
再比如
 
 
再来看看频谱随着矩形的旋转而旋转相同的角度。
 
 
Part II 平移和旋转对相位的影响
 先用一个简单的例子来说明图像相位的作用（所用图像为cameraman），在图像的频域分析和滤波中，相位是常常被忽略的。虽然相位分量的贡献很不直观，但是它恰恰很重要。相位是频谱中各正弦分量关于原点的位移的度量。
 
上面的小实验充分说明了，看似无用的，且常常被忽略的相位，在DFT的频域中起到了多么重要的作用（注意区分实部和虚部（直角坐标系）VS 频谱和相位（极坐标系）！）。
 
接下来我们再来看看图像在空间域中的移位和旋转对相位有什么影响。下图中，左边一列是图像，中间一列是频谱，右边一列是相位图。你必须意识到，通过肉眼，你很难从相位图中得到什么有用的信息。
 
 

信号表示为三角傅里叶级数时：
 
 
 

 以上为进行三角分解后的初步结果，要进行信号的频谱分析还需要将括号内的三角函数合并为余弦的形式。
 
 
 
 

 此处An和相位角的求法如下：
 
 
 
而对于指数形式的傅里叶变换结果该如何呢？
 
 
 

 固然，直接用傅里叶变换积分来求是一种办法：
 
 
 
但是若此时已经求出三角形式的变换结果了，要转化为指数形式该如何做呢？
 
 
 
可以根据欧拉公式分解：
 
 例如：
 
 此式要转化成指数形式，则：
 
 问题来了，你怎么知道那个ψn是咋求的啊？这时就不能按照那个前面三角变换中的公式求了，要和复变函数的解法统一起来（用到的知识是求解复数辐角主值的方法）：