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  • 图像傅里叶变换频谱分析

    千次阅读 2019-09-29 09:44:19
    图像的傅里叶频谱特性分析 图像傅里叶频谱关于(/,/)的对称性 图像傅里叶频谱特性及其频谱图 傅里叶变换在图像处理中的应用

     图像的傅里叶频谱特性分析

    图像傅里叶频谱关于(/,/)的对称性

    图像傅里叶频谱特性及其频谱图

    傅里叶变换在图像处理中的应用

     

     

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  • 图像的二维傅里叶变换频谱图特点研究,以及基于halcon得到的一些图谱分析
  • 关于傅立叶频谱分析,权威,对于深度了解傅立叶变换有重要意义
  • 傅里叶变换的物理意义:图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像...

    此前因为英语不好,看不下去help,进而懒得看demo,这才发现,原来Demo里面有如此多而有用的信息。学会了。

    傅里叶变换的物理意义:

    图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。

    傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。

    从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

    Y = fft(X)利用快速傅里叶变换返回向量X的离散傅里叶变化。如果X是个矩阵,则返回矩阵每一列的傅里叶变化。

    Y = fft(X,n)

    返回n维傅里叶变换。如果X的长度不足,则已0填充,如果X长度长于N,则对X进行截顶操作。

    傅里叶变换最常用的是对一个加噪的时域信号进行频域分析。

    语法:

    datf = fft(data)

    datf = fft(data,N)

    datf = fft(data,N,'complex')

    如果data在时域范围内,值为实数且按连续的时间间隔ts取样,则datf为频域范围内的数值,频率范围从0到尼奎斯特频率。尼奎斯特频率不取决于信号的长度(无论基数或者偶数)。经傅里叶变换后的每个值通过除以信号长度的平方根进行归一化。这是为了保护信号的能量和噪声的特性。

    在默认情况下,进行变换的长度由信号长度决定。第二个参数N是强迫将傅里叶变换限制在范围N内,根据实际情况进行填充或者截顶。这样实际信号的频率值再N/2或者(N+1)/2范围内。

    对于实数信号,默认datf只包括非负频率,对于复数信号来说,也包括负数频率。因此加参数complex.

    fft(x)是伽罗瓦向量X的离散傅里叶变换。如果X在伽罗瓦区域为0-2^m,则X的长度为2^m-1。

    m = 4;

    n = 2^m-1;

    x = gf(randint(n,1,2^m),m); % Random vector

    y = fft(x); % Transform of x

    z = ifft(y); % Inverse transform of y

    一维情况下:

    clear all

    clc

    clear

    f=[30.5 31.2 33.7 34.5 35.1 30.3 34.7

    33.1 30.5 31.5 31.2 33.7

    34.5 35.1 30.3 34.7 33.1 30.5

    32.2  31.8  32.6

    33.6  34.8

    30.5 32.5 32.8 31.9 30.9

    32.3 34.6 32.6

    33.8 32.7 30.5 31.1 33.5 32.7

    33.4 34.5 32.3 30.8 31.6 33.5 35.6 32.2 34.5

    34.5  33.8

    31.9  32.5

    30.1];

    g=randn(size(f));

    y=fft(g+f);

    figure,plot(fftshift(abs(y))),title('fft with

    noise');

    xlabel('Frequency (Hz)');

    ylabel('fft');

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    经傅里叶变换后y的平方显示为能量。能量对频率的图叫做周期图。

    n=51; %n=lengh(X)

    power = abs(y(1:floor(n))).^2; %floor计算n中每个元素离它最近的整数。

    nyquist = 10;

    freq = (1:n)/(n)*nyquist;

    figure,plot(freq,power);

    xlabel('frequency');

    title('Periodogram');

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    下面利用能量周期对画出周期图

    period=1./freq;

    figure,plot(period,power);

    axis([0 6 0 3e+6]);

    ylabel('Power');

    xlabel('Period');

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    通过画一个强调符号,我们可以更加精确的找到他的周期。

    hold on;

    index=find(power==max(power));

    mainPeriodStr=num2str(period(index));

    figure,plot(period(index),power(index),'r.',

    'MarkerSize',25);

    text(period(index)+2,power(index),['Period =

    ',mainPeriodStr]);

    hold off;

    plot函数:

    plot(Y),当Y是实数时,直接在坐标中画出对应的值,当Y是复数时,对应画出实数部分及虚数部分。

    plot(X1,Y1,...,Xn,Yn)画出每个Xn,Yn对。如果其中一个是个矩阵另外一个是个向量,画出向量对矩阵的每一行或者矩阵的列对向量相应的维。如果Xn是个标量而Yn是个向量,画出离散的Yn垂直对应Xn。

    plot(X1,Y1,LineSpec,'PropertyName',PropertyValue)。

    好好学习。

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  • 实现图像的二维傅里叶变换频谱图 图像的频谱分析有助于我们理解图像的二维傅里叶变换(离散非周期),并且以直观的方式来展现图像的低通或高通滤波,然而如何获得图像的频谱呢?在matlab中只要短短的几行代码,就...

    实现图像的二维傅里叶变换的频谱图

    图像的频谱分析有助于我们理解图像的二维傅里叶变换(离散非周期),并且以直观的方式来展现图像的低通或高通滤波,然而如何获得图像的频谱呢?在matlab中只要短短的几行代码,就可以利用库中的函数轻松地做到。

    可是,在此过程中都发生了哪些数学变换,以及得到的频谱图的含义,以及二维傅里叶变换的执行过程…都被蒙在了暗盒里。此篇文章将以应用的角度来加深对二维傅里叶变换执行过程的理解。不过,谈不上实际应用,因为普通的二维傅里叶变换实在是…太!慢!了!

    由于我只熟悉java,所以用java来写。如果你熟悉的语言不是java并不会影响你对本文的理解,我会一步步解释,保证你用C/C++也能实现它。

    1. 图像矩阵f(x,y)装入二维数组

    这个简单,在双重循环里获取图像(i,j)坐标处的像素值(这里为了减少运算量,只获取了一个颜色通道),存到二维数组中待下一步操作

    for (int i = 0;i<width;i++) {
        for(int j=0;j<height;j++){
           pixel[i][j]=image.getRGB(i,j)<<24>>24&0xff;
        }
    }
    

    2.编写二维傅里叶变换类

    F(k,l)=x=0width1y=0height1f(x,y)ei2π(kxwidth+lyheight) F(k,l)=\sum_{x=0}^{width-1}\sum_{y=0}^{height-1} f(x,y) e^{-i2\pi(\frac{kx}{width}+\frac{ly}{height})}
    由欧拉公式:
    eix=cos(x)isin(x) e^{-ix}=cos(x)-isin(x)
    得:
    F(k,l)=x=0width1y=0height1f(x,y)[cos(2π(kxwidth+lyheight))isin(2π(kxwidth+lyheight))] F(k,l)=\sum_{x=0}^{width-1}\sum_{y=0}^{height-1} f(x,y)[cos(2\pi(\frac{kx}{width}+\frac{ly}{height}))-isin(2\pi(\frac{kx}{width}+\frac{ly}{height}))]
    即最终变换出的结果应该是复数的形式(re指实部,im指虚部)
    F(k,l)=re+iim F(k,l)=re+i*im
    所以在类中定义一个求实部re的方法和求虚部im的方法

    static double doDFTre(int pixel[][],int width,int height,int u,int v){
            double sum=0;
            for(int i=0;i<width;i++){
                for(int j=0;j<height;j++){
                    sum=sum+(pixel[i][j]*pow(-1,i+j)*cos(2*PI*u*i/width+2*PI*v*j/height));
                }
            }
            return sum;
        }//Real part
        static double doDFTim(int pixel[][],int width,int height,int u,int v){
            double sum=0;
            for(int i=0;i<width;i++){
                for(int j=0;j<height;j++){
                    sum=sum+(pixel[i][j]*pow(-1,i+j)*sin(2*PI*u*i/width+2*PI*v*j/height));
                }
            }
            return sum;
        }//Imaginary part
    

    图像的频谱图中每个像素点的值表示的是以幅值的对数来刻画的(可类比地震级、亮度级)
    求幅值Am
    Am=re2+im2 Am=\sqrt{re^2+im^2}
    进行对数变换
    lg(1+Am)2 方法的返回值是lg(1+Am)^2

        static int doDFTam(int pixel[][],int width,int height,int i,int j){
            Thread thread1=new Thread(()->{
                re=doDFTre(pixel,width,height,i,j);
            });
            Thread thread2=new Thread(()->{
                im=doDFTim(pixel,width,height,i,j);
            });
            thread1.start();
            thread2.start();
            Am=sqrt(pow(re,2)+pow(im,2));
            return (int)pow(log(1+Am),2.3)
    

    在多核处理器上,为了计算更快,可以分多个线程并发计算
    这里设了两个线程,一个求实部,一个求虚部

    3.将低频部分移动到频谱图中心

    以上得出的频谱图低频部分分散在四周,高频部分在中央,为了集中低频于中央,可在步骤1中对原图f(i,j)作如下变换得到u(i,j)再对u(i,j)作二维傅里叶变换(这部分我也不理解,只是套公式)
    u(i,j)=f(ij)(1)i+j u(i,j)=f(i,j)(-1)^{i+j}

    4.运行

    可以再写一个守护线程用来计时

    5.完整的代码

    import javax.imageio.ImageIO;
    import java.awt.image.BufferedImage;
    import java.io.File;
    import java.io.IOException;
    import static java.lang.Math.*;
    
    public class Fourier2D {
        static int logam=0;
        public static void main(String[] args) {
            Thread timethread=new Thread(()->{
                int i=0;
                while(true){
                    System.out.println("Time Consumption  "+i+"  sec");
                    i=i+1;
                    try {
                        Thread.sleep(1000);
                    } catch (InterruptedException e) {
                        e.printStackTrace();
                    }
                }
            });//计时器
            timethread.setDaemon(true);
            timethread.setPriority(1);
            timethread.start();
            
            try {
                BufferedImage image= ImageIO.read(new File("C:\\Users\\Unicode718A\\Desktop\\学习笔记\\IO\\in.png"));
                int width=image.getWidth();
                int height=image.getHeight();
    
                BufferedImage outimage=new BufferedImage(width,height,2);
                int pixel[][]=new int[width][height];
    
    
                for (int i = 0;i<width;i++) {
                    for(int j=0;j<height;j++){
                        pixel[i][j]=image.getRGB(i,j)<<24>>24&0xff;
                    }
                }
                for(int i=0;i<width;i++){
                    for(int j=0;j<width;j++){
                        logam=DFT.doDFTam(pixel,width,height,i,j);
                        if(logam>255){
                            logam=255;
                        }//8-bit png图片亮度等级最大只有255
                        if(logam<0){
                            logam=0;
                        }
                        outimage.setRGB(i,j,255<<24|logam<<16|logam<<8|logam);
                    }
                }
                ImageIO.write(outimage,"png",new File("C:\\Users\\Unicode718A\\Desktop\\学习笔记\\IO\\out.png"));
            } catch (IOException e) {
                e.printStackTrace();
            }
        }
    }
    
    class DFT{
        static double re;
        static double im;
        static double Am;
    
        static double doDFTre(int pixel[][],int width,int height,int u,int v){
            double sum=0;
            for(int i=0;i<width;i++){
                for(int j=0;j<height;j++){
                    sum=sum+(pixel[i][j]*pow(-1,i+j)*cos(2*PI*u*i/width+2*PI*v*j/height));
                }
            }
            return sum;
        }//Real part
        static double doDFTim(int pixel[][],int width,int height,int u,int v){
            double sum=0;
            for(int i=0;i<width;i++){
                for(int j=0;j<height;j++){
                    sum=sum+(pixel[i][j]*pow(-1,i+j)*sin(2*PI*u*i/width+2*PI*v*j/height));
                }
            }
            return sum;
        }//Imaginary part
        static int doDFTam(int pixel[][],int width,int height,int i,int j){
            Thread thread1=new Thread(()->{
                re=doDFTre(pixel,width,height,i,j);
            });//线程1
            Thread thread2=new Thread(()->{
                im=doDFTim(pixel,width,height,i,j);
            });//线程2
            thread1.start();
            thread2.start();
            try {
                thread1.join();
                thread2.join();
            } catch (InterruptedException e) {
                e.printStackTrace();
            }
            Am=sqrt(pow(re,2)+pow(im,2));
            return (int)pow(log(1+Am),2.3);//Log Transformation of Amplitude
        }
    }
    

    6.结果展示

    100 x 100像素原图

    对应频谱图
    在这里插入图片描述
    256 x 256像素的原图

    对应频谱图

    7.普通二维傅里叶变换运算量巨大

    在这里插入图片描述
    256 x 256 像素转换的运算时间竟然达到了10分钟,而且还是双线程并发的
    而100 x 100像素转换的时间”只要”19秒

    为什么会相差…这么巨大?

    算算处理器执行循环的总次数就大略明白了:
    100 x 100的情况:共2x100 x100 x100 x100=2 x 10^8次
    256 x 256的情况:共2x256 x256 x256 x256=8.6 x10^9此
    工作量增加了43倍,运算时间也会增加相应的倍数
    要是图像再大点,耗时更是无法想象,所以实际应用中的傅里叶变换依赖更高效的算法

    以上仅为我个人的理解,如有错误之处,还望大佬们指正。

    参考:
    1. http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/Image_processing/node6.html
    2. https://plus.maths.org/content/fourier-transforms-images
    3. 数字图像处理 冈萨雷斯 4th Edition

    展开全文
  • 傅里叶变换计算类,快速FFT运算,附带频谱图显示部分示例代码。
  • 理解图像傅里叶变换频谱图

    千次阅读 2020-02-11 16:29:10
    很多人都不了解图像(二维)频谱中的每一点究竟...相比于时域分析图像的艰难,在频域分析图像就变得无比轻松,但是由于频域比较抽象,理解起来比较吃力,所以很多人并不能一下子就明白其原理。 在此选用了著名的C...

    很多人都不了解图像(二维)频谱中的每一点究竟代表了什么,有什么意义?


    一句话解释为: 二维频谱中的每一个点都是一个与之一 一对应的二维正弦/余弦波。

    视觉的优势永远大于其他器官对人的作用,所以对标眼睛的图像处理起到了非常重要的作用。

    相比于时域分析图像的艰难,在频域分析图像就变得无比轻松,但是由于频域比较抽象,理解起来比较吃力,所以很多人并不能一下子就明白其原理。

    在此选用了著名的Cameraman的图像,这幅照片向我们表达的信息是显而易见的,一位优秀的摄影师,黑色的风衣,潇洒的发型,很有质感的皮手套,灰色的裤子,一台照相机,一个三脚架,草坪,蓝天,背景是MIT。而他的频谱图则并没有像一维的频谱图那样,有助于我们理解图像自身以外的或者是隐藏在图像背后的信息。比如说,中间的那条白线是什么,如果你没看我之前写的那篇文章你可能都不知道它究竟代表了什么。这也就是我为什么说,图像的傅里叶变换有些多此一举,反而把一个简单的问题弄得很复杂,弄巧成拙了。

    言归正传,说了这么多,搞图像的哪有不和二维傅里叶变换打交道的呢。现在我就尽力说明一下图像二维傅里叶变换的一些属性(这里主讲二维频谱的特性,一维里面的共有特性就不细讲了)。

    1、周期性
    DFT的周期性:时时刻刻都要记住,对于DFT而言,他的空域和频域始终都是沿着X和Y方向无限周期拓展的。


    如果只取其中的一个周期,则我们会得到如下的结果(即,频谱未中心化)。

    为了便于频域的滤波和频谱的分析,常常在变换之前进行频谱的中心化。

    频谱的中心化
    从数学上说是在变换之前用指数项乘以原始函数,又因为e^jπ = 1,所以往往我们在写程序的时候实际上是把原始矩阵乘以(-1)^(x+y)达到频谱居中的目的。如下图所示:1<----->3 对调,2<----->4 对调,matlab中的fftshit命令就是这么干的。

    变换后对调频谱的四个象限(swap quadrant)

    经过中心化后的频谱

    截取了其中的一个周期,作为图像的频谱

    2、高低频率的分布
    除了周期性之外,还应该知道的就是哪里是高频哪里是低频。在经过频谱居中后的频谱中,中间最亮的点是最低频率,属于直流分量(DC分量)。越往边外走,频率越高。所以,频谱图中的四个角和X,Y轴的尽头都是高频。

    没有经过频谱居中处理的频谱图则正好相反,中间区域是高频,而四个角则是DC低频分量。

    这里我再用一个正弦波的例子来展示频谱图的高低频的分布,见下图。

    频谱中心化以后,正弦波的频点靠中心越近,频率越低,离中心越远,频率越高。

    3、频谱图的能量分布
    这里我顺便提一下频谱中的能级分布,则如下图所示。明显,DC分量所占能量最大最多,不论是二维还是一维都应该是这样。频率越高的部分,能量越少。如下图所示,图示画的不好,勉强能够理解就好。中间最小的那个圆圈内包含了大约85%的能量,中间那个圈包含了大约93%的能量,而最外面那个圈则包含了几乎99%的能量。

    4、纵横“交错”性
    在二维傅里叶变换中,空间域中横向的周期变化会反应在频谱图中的Y轴上,而空间域中纵向的周期变化会反应在频谱图中的X轴上。空间域中东南方向的周期变化会反应在频谱图中的东北方向,反之亦然。说明见下图。

     

    最后再附加一个例子。

    5、方向性(direction)
    在二维频谱图中的任意“一对亮点”(注意:频谱的对称性),都在相应的空间域有一个与之相对应的二维正弦波。亮点在二维频谱中的位置决定了与之对应的正弦波的频率和方向。

    在空域图中的任意一条正弦线上,作该正弦线的法线。同时,把频谱图中的一对白色频点和坐标原点(DC中点)用一条直线连接起来。则,空域图中的法线正好和频谱图中的连线是完全平行的,一致的。

    上图是一个45度倾斜的正弦波图像。

    注意空间域中的任意一条法线和频谱图中频点和频谱图原点(DC)连线都是平行的,同时,空间域中的任意一条正弦线和频谱图中的连线是刚好正交的/垂直的。

    上图为相同方向,较低频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域(左图)的法线和频谱图中(右图)一对频点和DC的连线延长线,是平行的。

    上图为相同方向,较高频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域(左图)的法线和频谱图中(右图)一对频点和DC的连线延长线,是平行的。

    下面我们来验证一下其他角度的情况,这一法则是否适用。

    上面所有的例子中的频谱图都是频谱中心化的,那么针对没有经过频谱中心化的图呢?

    这些实验还说明了一个非常重要的问题,那就是:频谱图中的任意一对对称的两点,或者说是频点,经过傅里叶反变换之后,就是空间域中的一个与之对应的正弦波(即,相应的频率和方向)。如下图所示。

    6、平移和旋转
    图像的平移并不会影响图像的频谱,同时,图像的相位会随着图像的旋转而旋转。

    Part I 平移和旋转对频谱的影响
    下面我用矩形的频谱图来说明图像中矩形的平移并不会对频谱有丝毫的影响。

    再比如

    再来看看频谱随着矩形的旋转而旋转相同的角度。

    Part II 平移和旋转对相位的影响
    先用一个简单的例子来说明图像相位的作用(所用图像为cameraman),在图像的频域分析和滤波中,相位是常常被忽略的。虽然相位分量的贡献很不直观,但是它恰恰很重要。相位是频谱中各正弦分量关于原点的位移的度量。

    上面的小实验充分说明了,看似无用的,且常常被忽略的相位,在DFT的频域中起到了多么重要的作用(注意区分实部和虚部(直角坐标系)VS 频谱和相位(极坐标系)!)。

    接下来我们再来看看图像在空间域中的移位和旋转对相位有什么影响。下图中,左边一列是图像,中间一列是频谱,右边一列是相位图。你必须意识到,通过肉眼,你很难从相位图中得到什么有用的信息。

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