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  • 图像的二维傅里叶变换频谱图特点研究 一、先放一些相关的结论: 1、傅里叶变换的幅值称为傅里叶谱或频谱。 2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反比。 3、卷积定理:空间域两个函数的卷积的傅里叶变换等于...

    图像的二维傅里叶变换频谱图特点研究

    https://www.cnblogs.com/xh6300/p/5956503.html
    一、先放一些相关的结论:

    1、傅里叶变换的幅值称为傅里叶谱或频谱。

    2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反比。

    3、卷积定理:空间域两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域中的乘积。f(t)*h(t) <=> H(u)F(u)

    4、采样定理:如果以超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本,连续的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。

    5、严重的混淆甚至会产生完全的误解效果。

    6、变化最慢的频率分量(u=v=0)与图像的平均灰度成正比。直流项决定图像的平均灰度。

    7、零平均表示存在负灰度,此时图像不是原图像的真实描述,因为所有负灰度为显示目的的都被修剪过。

    8、对高通滤波器加一个小常数不会影响尖锐性,但是它的确能防止直流项的消除,并保留色调。

    9、在频谱图中,中心部分(uv坐标系中点(0,0)附近)表示原图像中的低频部分。

    10、如果原始图像具有十分明显的规律,例如将一个简单图样有规律的平移并填满整个图形,那么其频谱一般表现为坐标原点周围的一圈亮点。

    11、将一张灰度图像反相,其频谱的“样式”不变。(个人理解:反相只是将黑白颠倒,但并不改变灰度变化处的对比度)

    12、如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小);反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。

    13、高频分量解释信号的突变部分,而低频分量决定信号的整体形象。

    所用的傅里叶变换的分析工具是Halcon,代码如下:

    read_image (Image, ‘C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg’)
    fft_image (Image, ImageFFT)

    二、不同图像的频谱图分析

    左边是原图,右边是经傅里叶变换之后的频谱图。

    1、全黑图——频谱图也全黑(图像的分辨率是240*240)

    2、灰色图——频谱图中央有个单像素的白色的小正方形,坐标是(120,120),值是(30480,0)

    3、全白图——频谱图中央有个单像素的白色的小正方形,坐标是(120,120),值是(61200,0)

    4、在图中画一个圆——频谱图呈同心圆状,最中央(坐标120,120)的值为(3852.64,0),其他地方的值有正有负,趋势是越靠近中央值的绝对值越大。

    5、在图中画一个正方形——最中央的值为(5143.03,0),其他地方的值有正有负,趋势是越靠近中央值的绝对值越大。

    6、将上图中正方形旋转45度——最中央的值为(5140.22,0),可认为5140.22≈5143.03;其他地方的值有正有负,趋势是越靠近中央值的绝对值越大。

    7、画两个圆——最中央的值为(7704.13,0)

    8、画一个白圆、一个灰圆——最中央的值为(5772.82,0)

    9、画四个圆——最中央的值为(15402.8,0)

    10、画2个正方形——最中央的值为(10061.8,0)

    11、画四个均旋转45度的正方形——最中央的值为(20114.3,0)

    12、画一条直线——最中央的值为(766,0)

    13、画一条倾斜15°的线——最中央的值为(876.571,0)

    14、画一对交叉线——最中央的值为(1194.55,0)

    15、画一个渐变的圆——虽然也是同心圆,不过没有之前明显了;最中央的值为(1849.6,0)

    16、将整张图用渐变填充——最中央的值为(30470,0),可以认为这个值跟灰色图的值(30480)相等。

    17、画一个倾斜15°的渐变条——最中央的值为(12051.9,0)

    18、找来一张图做了不同处理,然后分别观察它们的 频谱图,分别是:

    原图、反相图、轻度高斯模糊、重度高斯模糊、平均灰度图、反相平均灰度图。

    处理的代码如下:

    复制代码
    read_image (Image1, ‘C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg’)
    read_image (Image2, ‘C:/Users/xiahui/Desktop/2.jpg’)
    read_image (Image3, ‘C:/Users/xiahui/Desktop/3.jpg’)
    read_image (Image4, ‘C:/Users/xiahui/Desktop/4.jpg’)
    read_image (Image5, ‘C:/Users/xiahui/Desktop/5.jpg’)
    read_image (Image6, ‘C:/Users/xiahui/Desktop/6.jpg’)
    fft_image (Image1, ImageFFT1)
    fft_image (Image2, ImageFFT2)
    fft_image (Image3, ImageFFT3)
    fft_image (Image4, ImageFFT4)
    fft_image (Image5, ImageFFT5)
    fft_image (Image6, ImageFFT6)
    复制代码

    由上面可以看出,反相以后,图像的频谱图的“样式”是没有变化的。但其实值是有变化的,这6幅图中央点(120,120)的值分别为:

    (47235,0)、(13965,0)、(47169.5,0)、(47130.4,0)、(47280,0)、(13920,0)

    根据上面的例子,我们还能得出2个结论:

    1、如果图像中有条状的细线,那么沿着此条状细线的走向方向,没有灰度值的变化或变化很小,这样其频谱图就有一条垂直于该条状细线的亮线。这是因为数字图像频谱图的得出和图像的灰度变化(梯度)有关。

    2、图像中央点(120,120)的值应该和图像的平均灰度有关,在例3(全白图)中,没有灰度的变化,也就没有频率的变化,所有的能量都集中在频谱图中央的那个单个白色像素块中,其值为61200(图像的分辨率越高,这个极限值越大),在例18中,平均灰度图频谱中央点的值为47280,反相平均灰度图频谱为13920,而47280 + 13920 = 61200。平均灰度图的灰度为198,反相平均灰度图的灰度为57。

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  • 1、傅里叶变换的幅值称为傅里叶谱或频谱。 2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反比。 3、卷积定理:空间域两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域中的乘积。f(t)*h(t) <=> H(u)F...

    一、先放一些相关的结论:

    1、傅里叶变换的幅值称为傅里叶谱或频谱。

    2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反比。

    3、卷积定理:空间域两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域中的乘积。f(t)*h(t) <=> H(u)F(u)

    4、采样定理:如果以超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本,连续的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。

    5、严重的混淆甚至会产生完全的误解效果。

    6、变化最慢的频率分量(u=v=0)与图像的平均灰度成正比。直流项决定图像的平均灰度。

    7、零平均表示存在负灰度,此时图像不是原图像的真实描述,因为所有负灰度为显示目的的都被修剪过。

    8、对高通滤波器加一个小常数不会影响尖锐性,但是它的确能防止直流项的消除,并保留色调。

    9、在频谱图中,中心部分(uv坐标系中点(0,0)附近)表示原图像中的低频部分。

    10、如果原始图像具有十分明显的规律,例如将一个简单图样有规律的平移并填满整个图形,那么其频谱一般表现为坐标原点周围的一圈亮点。

    11、将一张灰度图像反相,其频谱的“样式”不变。(个人理解:反相只是将黑白颠倒,但并不改变灰度变化处的对比度)

    12、如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小);反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。

    13、高频分量解释信号的突变部分,而低频分量决定信号的整体形象。

    所用的傅里叶变换的分析工具是Halcon,代码如下:

    read_image (Image, ‘C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg’)
    fft_image (Image, ImageFFT)
    二、不同图像的频谱图分析

    左边是原图,右边是经傅里叶变换之后的频谱图。

    1、全黑图——频谱图也全黑(图像的分辨率是240*240)
    在这里插入图片描述
    2、灰色图——频谱图中央有个单像素的白色的小正方形,坐标是(120,120),值是(30480,0)
    在这里插入图片描述
    3、全白图——频谱图中央有个单像素的白色的小正方形,坐标是(120,120),值是(61200,0)
    在这里插入图片描述
    4、在图中画一个圆——频谱图呈同心圆状,最中央(坐标120,120)的值为(3852.64,0),其他地方的值有正有负,趋势是越靠近中央值的绝对值越大。
    在这里插入图片描述
    5、在图中画一个正方形——最中央的值为(5143.03,0),其他地方的值有正有负,趋势是越靠近中央值的绝对值越大。
    在这里插入图片描述
    6、将上图中正方形旋转45度——最中央的值为(5140.22,0),可认为5140.22≈5143.03;其他地方的值有正有负,趋势是越靠近中央值的绝对值越大。
    在这里插入图片描述
    7、画两个圆——最中央的值为(7704.13,0)
    在这里插入图片描述
    8、画一个白圆、一个灰圆——最中央的值为(5772.82,0)
    在这里插入图片描述
    9、画四个圆——最中央的值为(15402.8,0)
    在这里插入图片描述
    10、画2个正方形——最中央的值为(10061.8,0)
    在这里插入图片描述
    11、画四个均旋转45度的正方形——最中央的值为(20114.3,0)
    在这里插入图片描述
    12、画一条直线——最中央的值为(766,0)
    在这里插入图片描述
    13、画一条倾斜15°的线——最中央的值为(876.571,0)
    在这里插入图片描述
    14、画一对交叉线——最中央的值为(1194.55,0)
    在这里插入图片描述
    15、画一个渐变的圆——虽然也是同心圆,不过没有之前明显了;最中央的值为(1849.6,0)
    在这里插入图片描述
    16、将整张图用渐变填充——最中央的值为(30470,0),可以认为这个值跟灰色图的值(30480)相等。
    在这里插入图片描述
    17、画一个倾斜15°的渐变条——最中央的值为(12051.9,0)
    在这里插入图片描述
    18、找来一张图做了不同处理,然后分别观察它们的 频谱图,分别是:

    原图、反相图、轻度高斯模糊、重度高斯模糊、平均灰度图、反相平均灰度图。

    处理的代码如下:

    read_image (Image1, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg')
    read_image (Image2, 'C:/Users/xiahui/Desktop/2.jpg')
    read_image (Image3, 'C:/Users/xiahui/Desktop/3.jpg')
    read_image (Image4, 'C:/Users/xiahui/Desktop/4.jpg')
    read_image (Image5, 'C:/Users/xiahui/Desktop/5.jpg')
    read_image (Image6, 'C:/Users/xiahui/Desktop/6.jpg')
    fft_image (Image1, ImageFFT1)
    fft_image (Image2, ImageFFT2)
    fft_image (Image3, ImageFFT3)
    fft_image (Image4, ImageFFT4)
    fft_image (Image5, ImageFFT5)
    fft_image (Image6, ImageFFT6)
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    由上面可以看出,反相以后,图像的频谱图的“样式”是没有变化的。但其实值是有变化的,这6幅图中央点(120,120)的值分别为:

    (47235,0)、(13965,0)、(47169.5,0)、(47130.4,0)、(47280,0)、(13920,0)

    根据上面的例子,我们还能得出2个结论:

    1、如果图像中有条状的细线,那么沿着此条状细线的走向方向,没有灰度值的变化或变化很小,这样其频谱图就有一条垂直于该条状细线的亮线。这是因为数字图像频谱图的得出和图像的灰度变化(梯度)有关。

    2、图像中央点(120,120)的值应该和图像的平均灰度有关,在例3(全白图)中,没有灰度的变化,也就没有频率的变化,所有的能量都集中在频谱图中央的那个单个白色像素块中,其值为61200(图像的分辨率越高,这个极限值越大),在例18中,平均灰度图频谱中央点的值为47280,反相平均灰度图频谱为13920,而47280 + 13920 = 61200。平均灰度图的灰度为198,反相平均灰度图的灰度为57。

    出处:http://www.cnblogs.com/xh6300/
    转载于:https://www.cnblogs.com/xh6300/p/5956503.html

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  • 数字和射频设计人员都发现,在与时域视图结合...此外,越来越多面向射频的设计采用大于 510 MHz 或 1 GHz 的频谱宽度,超出了实时信号分析仪分析带宽能力的极限。设计人员发现,为了实现这种更大的分析带宽,数字化...

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    数字和射频设计人员都发现,在与时域视图结合使用对原型机进行验证和调试时,示波器中的快速傅立叶变换 FFT 功能非常有用。例如,电源上噪声的 快速傅立叶变换 ( FFT )视图可以快速隔离和识别不需要的耦合信号,以便确定耦合的来源。

    此外,越来越多面向射频的设计采用大于 510 MHz 或 1 GHz 的频谱宽度,超出了实时信号分析仪分析带宽能力的极限。设计人员发现,为了实现这种更大的分析带宽,数字化示波器已经成为这些应用的一款重要工具。实质上,示波器变成了宽带射频接收机。

    本文概要叙述了如何使用 Infiniium S 系列、V 系列和 Z 系列示波器进行各种快速傅里叶变换 (FFT ) 和宽带射频测量,以加速产品面市。

    高级工具选择注意事项

    在为应用选择适合带宽的示波器时,信号载波频率和调制频率频谱宽度是关键考虑因素。

    图 1 所示为与 89600 矢量信号分析(VSA)软件配合使用的 S 系列 8 GHz 带宽示波器,它可用于带宽在 8 GHz 以内载波加调制的各种应用。示波器由 M8190A 任意波形发生器控制。图 2 所示为 V 系列 33 GHz 示波器,它可以捕获宽带线性调频调制的 15 GHz 载波射频脉冲,并使用 VSA 软件处理捕获的信号。V 系列适用于在 33 GHz 带宽内载波加调制的宽带宽信号应用。

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    图 1. 由 M8190A 任意波形发生器控制的 S 系列 8 GHz 示波器,显示界面为使用 89600 矢量信号分析(VSA)软件处理的捕获信号。

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    图 2. V 系列 33 GHz 示波器接收采用宽带线性调频调制的 15 GHz 载波脉冲射频信号,并使用在示波器内嵌系统上运行的 89600 VSA 软件进行处理分析。

    图 3 所示为根据输入通道数和分析带宽进行工具选择的关联对应表。PXA 和 UXA 信号分析仪分别具有 510 MHz 和 1 GHz 的实时信号分析带宽,可以实施单通道测量。这些产品可以将信号下变频为中频,然后对基带信号执行重新采样和分析,以此实现对高载波频率信号的分析。

    PXA 或 UXA 信号分析仪还可以用作 Keysight 示波器之前的下变频器,实现高达 1.2 GHz 的分析带宽。由于 PXA 或 UXA 仅用作下变频器,因此这样的配置会丢失一部分实时信号分析仪的功能(如频域触发),这些功能可以通过单独使用矢量信号分析仪来提供。

    示波器也可以单独用于射频测量,并且受示波器的额定带宽限制。例如,S 系列 8 GHz 带宽 Infiniium 示波器可以处理载波加载波频率调制不超过 8 GHz 的信号。具有 7 GHz 载波和 1 GHz 宽调制的信号将适合该示波器的带宽。

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    图 3. 各种解决方案的通道数和分析带宽。

    选择查看工具的另一种方式是绘制感兴趣信号的载波频率与该信号频谱宽度的图形对比,然后就展示出哪些工具适用于这样的载波 / 频谱宽度组合。

    超宽分析带宽解决方案适用范围

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    图 4 中就显示了这样的一个视图。

    PXA 信号分析仪可以测量载波频率高达 50 GHz 的信号,并在一个输入通道上提供高达 510 MHz 的分析带宽。UXA 信号分析仪可以输入高达 50 GHz 的载波频率,具有高达 1 GHz 的分析带宽。多个 PXA 或 UXA 信号分析仪可以组合在一起以获得更高的通道数。

    S 系列示波器本身可提供两个 8 GHz 带宽的通道或四个 4 GHz 带宽的通道。示波器可以处理频谱宽度接近示波器带宽的信号。但是载波加调制必须用足以捕获二者的带宽进行采样。例如,S 系列示波器的 8 GHz 带宽适用于具有 6 GHz 载波和 2 GHz 宽调制的信号,可以对其进行测试。

    V 系列示波器提供两个 33 GHz 带宽的通道或四个 16.6 GHz 带宽的通道。Z 系列示波器提供两个 63 GHz 带宽的通道或四个 32 GHz 带宽的通道。

    Z9070B 宽带信号分析工具包将 PXA信号分析仪 作为下变频器放置在 S 系列示波器之前,用于处理 3 至 50 GHz 的载波频率,并具有高达 1.2 GHz 的分析带宽。如果信号具有 20 GHz 载波和 1 GHz 宽调制,那么 Z9070B 工具包可以对其进行测量。测量此信号的另一种方案是单独使用 V 系列示波器,这种方法更精确但成本也更高,因为 V 系列具有高达 33 GHz 的带宽。如果这个 20 GHz 载波信号具有 2 GHz 宽调制,那么就需要使用 V 系列示波器而不是 Z9070B 工具包,因为工具包的分析带宽最大只有 1.1 GHz。

    如果某个应用具有 55 GHz 载波和 2 GHz 宽调制,那么可以将 Virginia Diode Inc.(VDI)公司的混频器放置在 S 系列示波器前进行测量。VDI 混频器可用于处理高达 110 GHz 的载波,分析带宽最高可达 3 至 4 GHz。

    另一个名为 Z9071B 的工具包将 M1971E 波导谐波混频器(智能混频器)作为下变频器与 S 系列示波器结合在一起,可以在 57 至 90 GHz 的载波上进行 2 GHz 宽的测量。

    因此,根据不同的应用,我们可以提供多种解决方案来进行所需的测量。

    Infiniium S 系列、V 系列和 Z 系列示波器的射频特性

    在单独使用示波器或使用示波器和 89600 VSA 软件组合进行 FFT 或宽带射频测量之前,评测示波器的射频特性很有帮助,因为这个射频特性会对测量的结果产生重大影响。

    Infiniium 示波器结合了幅度和相位校正功能,在整个示波器频率范围内具有出色的绝对幅度精度和低线性相位偏差,因而有助于执行高质量的射频测量。考虑到这些示波器所具备的宽带宽能力,它们还能提供优异的噪声密度(接近 -160 dBm/Hz)以及高动态范围和信噪比。这使得设计人员能够查看与大信号相邻的非常小的宽带信号,或者能够提高示波器的灵敏度来测量隔离的低功率信号。这些示波器中的时基电路也能很好地降低接近相位噪声,从而确保深存储器捕获时只有很少的抖动。

    表 1 所示为Infiniium 示波器的三个主要系列 ― S 系列、V 系列和 Z 系列及其典型的射频特性。测量条件的详细信息见附录中的表 3 至表 5。各种示波器的典型频率幅度响应图见附录中的图 1 至图 5。

    表 1. S 系列、V 系列和 Z 系列典型射频特性比较(请注意附录表 3 至表 5 中各示波器表内所列的测量条件)。

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    快速傅立叶变换 FFT 基础测量示例

    在第一个示例中,V 系列 33 GHz 示波器在频域中使用 快速傅立叶变换 FFT 捕获了一个基本正弦波信号并对其进行了分析。E8267D PSG 矢量信号发生器用于创建一个 10 GHz、功率为 0 dBm(1 mW 端接 50 Ω)的高纯度正弦波。测量设置如图 5 所示(图中也显示了 M8190A 任意波形发生器,但在此测量中没有使用)。

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    图 5. 使用 V 系列示波器捕获 10 GHz 纯正弦波信号。

    快速傅立叶变换 FFT 测量作为波形数学函数提供,用于创建输入信号的频域视图,如图 6 所示。该测量选择了16 个波形平均作为时域捕获结果,并且选择了200 kHz 的FFT分辨率带宽(ResBW, RBW)。

    利用这种分辨率,我们可以分别在 -35 dBm 和 -40 dBm 处看到二次谐波和三次谐波。这些是示波器采样过程的假像,在评测 10 GHz 输入正弦信号时可以注意到。E8267D PSG 矢量信号发生器所具有的二次谐波和三次谐波失真位于载波下方低于 80 dB 处,因此在这个特定的信号示例中可以用来确定示波器的二次和三次谐波失真。

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    图 6. 增加 FFT 幅度数学函数以查看二次和三次谐波(-35 dBm,-40 dBm)。

    当使用 4 GHz 输入正弦波进行类似的测量时,我们看到二次和三次谐波分别位于 -45 dBm 和 -49 dBm 处,这一点仅供参考。

    很多时候,我们需要以更窄的频率跨度来放大感兴趣的频率。借助示波器 FFT,即使在选定的中心频率周围选择较窄的跨度,测量的分析带宽仍然为“直流到所选示波器带宽”。以上一次测量为例,分析带宽为 33 GHz 宽。随后,我们将对 89600 矢量信号分析(VSA)软件包的使用进行探讨,其中所选的 VSA FFT 跨度变为测量的分析带宽,这又会降低测量中的噪声电平。

    通过将快速傅立叶变换 FFT 频率“中心”设置为 10 GHz,将“跨度”设置为 1 GHz,将采样速率降低至 40 Gsa/ 秒,并进一步缩小分辨率带宽,我们可以看到一个更清晰的 10 GHz 尖峰视图,如图 7 所示。

    使用这些设置时,需要在分辨率和吞吐量之间做出权衡。更新每隔几秒钟就发生一次,因为在 40 Gsa/ 秒时需要 6 MSa 的存储深度,才能在主时间记录上放置 150 微秒的时间来支持 10kHz 的分辨率带宽(使用 Hanning FFT 窗口,其中所需的时间等于 1.5/ 分辨率带宽 = 1.5/10E04 = 150 微秒)。

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    图 7. 频率中心设置为 10 GHz,跨度为 100 MHz,分辨率带宽为 10 kHz,需要一些吞吐量权衡。

    请注意,每当分辨率带宽变得更窄时,噪声电平随之降低。这是因为相同数量的宽带噪声现在散布在较小的频率段上。

    在具有高达 8 GHz 带宽的 S 系列 Infiniium 示波器上可以进行类似的测量。图 8 所示为一个具有 0dBm、1 GHz 干净正弦波输入的捕获和 FFT 示例,其中二次和三次谐波分别在 -65 dBm 和 -48 dBm 处,在 1 MHz 分辨率带宽下忽略二次和三次谐波的无杂散动态范围约为 -68 dBm。

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    图 8. S 系列 8 GHz 带宽示波器捕获具有 1 MHz 分辨率带宽的 1 GHz 干净正弦输入并进行 FFT。

    包络、频率和相位线性调频的宽带脉冲射频时域测量

    接下来要考虑的是使用 Infiniium 示波器对宽带脉冲射频信号进行时域测量和分析。选择 S、V 还是 Z 系列取决于载波加调制的最大频率分量。被测信号应具有 1 微秒宽的脉冲,脉冲重复间隔为 100 微秒,射频载波频率为 15 GHz,线性调频为 2 GHz 宽。

    该信号采用 M8190A 任意波形发生器生成,M8190A 运行 IQTools 信号生成软件,并驱动 E8267D PSG 矢量信号发生器上的宽带 I/Q 输入。

    图 9 为对单个射频脉冲进行各种测量的视图,包括包络参数和整个脉冲上的频率线性调频。将触发“释抑”(Holdoff) 设置为比射频脉冲宽度稍长的值,可以实现对该脉冲的稳定触发。

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    图 9. 使用 V 系列示波器在 15 GHz 载波、2 GHz 宽线性调频射频脉冲上进行的时域测量。

    为了进行这些测量,我们采用了“包络”数学函数,然后将脉冲测量下拉到可见的射频脉冲包络上。此外,频率变化测量下拉到射频脉冲上(不在包络上),并且利用频率测量的数据结果作为“测量趋势”函数的源,再利用测量趋势的数据结果来定义平滑数学函数,生成的线性调频调制的线性斜坡显示如图 9 所示。感兴趣的频率跨度上的示波器幅度线性度直接关系到被测器件的幅度线性品质。S、V 和 Z 系列 Infiniium 示波器的典型射频性能的幅度与频率关系图如附录(IV 至 VI)所示。

    宽带脉冲射频选通 FFT 频谱测量

    另一组重要的测量包括宽带 FFT 和时间选通 FFT。通过使用“矩形”窗口定义“FFT 幅度”数学函数,可以创建宽带 FFT。

    如图 10 所示,出现了一个新的波形窗口,显示捕获的射频脉冲的宽带 FFT。

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    图 10. 使用 V 系列示波器在 15 GHz 载波、2 GHz 宽线性调频射频脉冲上进行宽带 FFT 测量。

    通过将 FFT 显示的中心频率改为 15 GHz 并将频率跨度改为 5 GHz,可以得到更清晰的频谱视图。结果如图 11 所示。显然,射频脉冲具有 14 GHz 至 16 GHz 的线性调频,在 2 GHz 调制带宽上具有均匀的功率。

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    图 11. FFT 设置为 15 GHz 中心频率和 5 GHz 频率跨度。

    使用“时间选通”数学函数也可以进行时间选通 FFT。首先,定义时间选通数学函数,其结果请见图 12 上方的波形窗口,其中以橙色清楚标示的为持续增长的射频脉冲。

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    图 12. 时间选通波形视图。

    然后,第二个 FFT 数学函数可以定义为该时间选通窗口内选取的信号的 FFT(也称为“时间选通 FFT”)。在这个示例中,时间选通 FFT是数学函数 6,并且在数学函数 5 上进行操作,如图 13 所示。我们选择“Hanning”窗口用于 FFT,因为脉冲射频信号的薄时间片基本上是正弦波,对于这种信号而言,Hanning 窗口是合适的选择。

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    图 13. 时间选通窗口中选取的信号的 FFT 幅度数学函数定义。

    稍微加宽时间选通后可以在屏幕上显示更多周期,将中心频率调整到 15 GHz 并将跨度调整到 5 GHz 以匹配非选通 FFT,如此得出的时间选通 FFT 结果如图 14 所示。“Mark Peaks”(标记峰值)也要选中,放置的阈值刚好低于峰值水平,以便在射频脉冲开始时获得线性调频脉冲的频率读数。

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    图 14. 时间选通 FFT 视图以及射频脉冲开始处的时间选通显示。

    通过将时间选通窗口拖放至射频脉冲上的各个点,可以在时间选通 FFT 显示中观察到这些时间点的射频脉冲频率。图 15 所示为放置在脉冲结束处的选通的结果。

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    图 15. 时间选通 FFT 视图以及射频脉冲结束处的时间选通结果显示。

    使用 8 GHz 带宽 S 系列 Infiniium 示波器进行类似测量,采用类似的信号,但载波频率为 2 GHz。测量结果如图 16 所示。

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    图 16. 使用 S 系列示波器在 4 GHz 载波,2 GHz 宽线性调频射频脉冲上进行时域测量和 FFT。

    示波器分段存储功能在脉冲射频应用中实现长目标时间捕获的作用

    到目前为止,我们已经对脉冲串上的单个射频脉冲进行了测量。通过增加捕获的存储深度,我们可以捕获多个脉冲并对其进行分析。使用完整的 80 Gsa/秒采样率和完整的 2 Gsa 存储深度,对应的捕获时间为 25 毫秒:

    (2 Gsa) / (80 Gsa/秒) = 25 毫秒

    假设该脉冲串的脉冲重复间隔为 100 微秒(脉冲重复率 [PRI] 为 10 kHz),这意味着一次捕获将包括大约 250 个脉冲:

    (25 毫秒) / (100 微秒/脉冲) = 250 脉冲

    通过使用示波器的分段存储功能,可以显著增加捕获的脉冲数量。使用分段存储模式,2 Gsa 的存储深度可以分成更小的段,其中每个段在满足触发条件之后用捕获的波形进行填充。在这种情况下,触发事件仍然是射频脉冲的开始,分段可以定义为稍长于捕获的最长脉冲。1.2 微秒宽的段可用于捕获 1 微秒宽的脉冲。

    分段存储捕获可以采用 1.2 微秒宽的段进行设置,其中存储深度选择为 96000 点,图 17 所示为 32,768 个段。

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    图 17. 分段存储模式设置选择 1.2 微秒宽的段来捕获 1 微秒宽的脉冲。

    如果已知采样速率为 80 Gsa/ 秒,并且需要 1.2 微秒长的段,所需的分段存储深度计算起来非常简单:

    (80 Gsa/ 秒 ) x (1.2 微秒 ) = 96,000 样本

    使用此选项,最多可以选择 32000 个分段。现在,按下“单次”捕获按钮,可以捕获 32000 个脉冲并带入 32000 个分段,对应 3.3 秒的目标活动时间。这不是无间隙捕获,而是着重于捕获射频脉冲,并且忽略了无信号存在的时间。相比之下实时采样模式可在 25 毫秒内无间隙捕获 250 个射频脉冲。

    图 18 所示为分段捕获。请注意,“播放”按钮可用于回放 32000 个分段。还请注意,统计数据是根据捕获的 32000 个脉冲计算的。

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    图 18. V 系列分段存储功能捕获 32000 个脉冲进入 32000 个分段,每个分段 1.2 微秒。

    S 系列示波器可以进行类似的测量,采用高达 8 GHz 的带宽,20 Gsa/ 秒的采样速率(最多两个通道,带宽为 4 GHz、采样速率为 10 Gsa/ 秒时为 4 个通道),“单次”捕获的 800 MSa 存储深度可以分布到多个存储器分段上。

    Z 系列 Infiniium 示波器在 4 个通道上具有高达 63 GHz 的带宽,在 4 个通道上具有 160 Gsa/ 秒的采样速率,每个通道具有 2 Gsa 的存储深度。

    使用示波器搭配 89600 VSA 软件进行宽带脉冲射频时域和频域测量

    使用 89600 矢量信号分析(VSA)软件可以进一步增强采用 Infiniium 示波器进行的射频和 FFT 测量。使用 VSA 软件具有以下优势:

    • 软件主体内置射频参数测量
    • 能够在 FFT 计算之前对示波器输入样点进行带通滤波和抽取,以减少噪声、加快FFT 计算
    • 多种数字和模拟解调选件

    Keysight Connection Manager 用于在示波器和 89600 VSA 软件之间建立连接,以便 VSA 控制示波器进行测量。

    89600 VSA 软件中有一些设置要求,包括将中心频率设置为输入信号的 4 GHz 载波,以及将频率跨度设置为略宽于信号调制的跨度。触发也需要进行设置,使其能对具有正确电压阈值电平的输入信号起作用,并且触发释抑时间要略宽于输入信号的脉冲宽度,如图 19 所示。

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    图 19. 将触发源设置为“通道 1”,触发释抑时间设置为 1.2 微秒。

    反映示波器测量范围的灵敏度(伏 / 格)设置也必须进行调整,以使得输入信号略小于示波器的满刻度量程。选择矩形 FFT 窗口是因为我们的目标是在屏幕上获得单个射频脉冲,而矩形窗口可以完全容纳这个脉冲,不会通过滤波添加任何失真。VSA 软件允许选择多个窗口,2x2 窗口格式便于显示,如图 20 所示。

    – FFT 频谱视图

    – 脉冲的时域基带视图

    – 脉冲的频移

    – 脉冲的相移

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    图 20. VSA FFT、脉冲、频率线性调频和脉冲上的相位变化。

    对于左上窗口中的 FFT 频谱视图,选择“Ch1 Spectrum”(通 道 1 频谱),缩放“Ch1 Main Time”(通道 1 主时基)和“Real”(实际)以查看左下窗口中的脉冲。为了查看脉冲上的频率变化,再次选择“Ch1 Main Time”(通道 1 主时基),但垂直单位设置从 LogMag(对数幅度)改为“Group Delay”(群延时),如右上窗口所示。这是一种通常采用时间的导数来进行计算的技巧,在这种情况下,采用的是相位的导数,即频率。实际上,它执行的是调频解调,以便查看整个脉冲上的频率线性调频。VSA 调频解调器也可以用于观察脉冲上的频率变化。为了观察脉冲的相移,我们选择“Unwrapped Phase”(展开相位)作为垂直刻度,如右下窗口所示。

    标记可以放置在波形上以进行各种测量,例如线性频率的频率增量,或从射频脉冲开始处到中心的相位增量。

    通过限制 89600 VSA 软件的分析带宽增加脉冲射频捕获动态范围

    示波器与 89600 VSA 软件结合使用的另一个优势是可以扩展测量信噪比。VSA 软件具有对采集的示波器数据进行带通滤波的能力,并能以较低的采样速率对数据进行重采样,从而得到更低的噪声、更高的动态范围以及更宽的信噪比。在以下示例中,S 系列示波器捕获一个脉冲串,其中一个大脉冲后紧跟着一个小脉冲,小脉冲位于第一个脉冲下方 50 dB 处,相当于功率仅为其十万分之一,电压仅为其 1/316(100,000 的平方根)。两个脉冲序列之后重复。

    大脉冲具有 + 6 dBm 的功率电平(~1.4 mW),使得端接 50 Ω 的峰值电压约为 633 mV。这可以表示为 -4 dBVpk 电平(20log 0.633)。它也与端接 50 Ω 的 1266 mV 峰峰值信号对应。

    相比之下,小脉冲的电压仅为其 1/316,峰峰值仅为 4 mV(-44 dBm,-54 dBVpk)。

    VSA 量程设置为 +6 dBm(633 mV 峰值),对应示波器的垂直量程为 1266 mV。共有 8 个垂直分格,因此对应的设置为 ~160 mV/ 格。

    在这个 ~160 mV/ 格设置的完整 8 GHz 带宽下,S 系列的宽带均方根噪声约为 5 mV,由噪声图内插入数据表中,如表 2 所示。5 mV 的噪声大致可转换成相当于均方根噪声(假设为高斯噪声)3 倍的峰峰值噪声。因此,峰峰值噪声约为 15 mV。

    表 2. 不同 V/格设置下的 S 系列示波器均方根噪声电平。

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    因此,小脉冲(4 mV 峰峰值)被测量中的噪声(15 mV 峰峰值)掩盖,在线性刻度且无平均采集模式下不能在示波器的完整 8 GHz 测量中予以很好地识别,,如图 21 所示。

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    图 21. S 系列捕获紧邻 50 dB 下脉冲的 +6 dBm 脉冲(第二个脉冲不可见)。

    如果将示波器捕获的数据导入到 89600 矢量信号分析(VSA)软件,它可以数字下变频为 I 和 Q 基带数据,并进行带通滤波和重新采样。这个过程可以大大减少测量中的噪声量。基本上,这是一个“调谐”到信号中心频率,并且“放大”信号对调制进行分析的过程,也称为“处理增益”(Processing Gain)。

    在这个例子中,具有相关噪声的原始 8 GHz 宽测量缩减为以 3.7 GHz 载波为中心的 500 MHz 宽的测量,其瞬时测量带宽稍宽于信号调制的宽度。这带来 10log *(示波器带宽/频率跨度) = 10log *(8E + 09 / 500E + 6) = 12 dB 的信噪比改善。

    信噪比的改善为 10log*(示波器带宽/跨度)

    利用这种处理增益的优势,结合 89600 VSA 软件具有对数幅度刻度的能力,并使用平均功能,现在可以看到 50 dB 下脉冲,如图 22 所示。

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    图 22. 使用 89600 VSA 软件“中心频率”和“频率跨度”设置,能够看到的 50 dB 下脉冲

    图 23 以图形方式描述了通过缩小频率跨度实现的信噪比改善。

    这是示波器 0 dBm 灵敏度范围的允许信噪比示例图。

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    图 23 以图形方式描述了通过缩小频率跨度实现的信噪比改善。

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    图 24. 矢量信号分析仪软件中 FFT 动态范围与分辨率带宽设置的关系图

    在 FFT 视图中测量窄带信号时的动态范围改进可描述为:

    10log*(示波器带宽/分辨率带宽)

    这并未对示波器响应的无杂散动态范围(SFDR)或谐波失真特性进行描述,但它给出了 FFT 测量中本底噪声的位置。随着分辨率带宽变得越加精细,并且存在的噪声被划分为更小的时间段,本底噪声会下降。

    此图不考虑由于各种杂散引起的限制,因此无杂散动态范围(SFDR)仍限制在 50 dB 左右。

    使用示波器分段存储器与 89600 VSA 软件脉冲选件 BHQ 进行长目标时间捕获和统计脉冲分析

    使用示波器对宽带射频信号进行采样时,它必须以足够快的速率采样才能精确地捕获载波加调制。这意味着通常会需要非常快的采样速率,也意味着在正常实时采样模式下,示波器存储器不会允许非常长的捕获周期。

    例如,为了捕获具有 20 GHz 载波和 2 GHz 宽调制的信号,需要示波器仍然具有超出 21 GHz 的平坦响应。25 GHz 或 33 GHz 型号的 V 系列 Infiniium 示波器具有高达 80 Gsa/秒的采样速率,能提供所需的性能。我们的经验是,示波器的采样速率应当至少是被测信号中最高频率含量的 2.5 倍。这在本示例中对应大约 50 GHz 的采样率(2.5 * 21 GHz)。

    在使用 33 GHz,80 Gsa/ 秒的 V 系列型号进行测量时,即使采用完整的 2 Gsa 存储深度,也只能得到 25 毫秒的目标捕获时间:

    目标捕获时间 = 2 Gsa *(1/80 Gsa/ 秒 ) = 1/40 秒 = 25 毫秒

    当存在低占空比信号(如公共脉冲射频雷达信号)时,有一种方法可以大大增加目标捕获时间,即使用示波器的分段存储功能。示波器存储器被划分为具有固定时间宽度的小段。每小段的宽度应比最宽的射频脉冲略宽。示波器触发一个事件(如射频脉冲的开始),然后将一个射频脉冲放置在存储器分段中。示波器随后停止捕获数据,重新设置触发,并等待下一个射频脉冲发生。将第二个射频脉冲放入存储器的第二个分段。继续此过程,直到示波器存储器的所有分段全部用完。

    89600 VSA 软件的脉冲分析选件 BHQ 允许用户利用示波器分段存储功能。它可以对分段进行定义,并且具有针对脉冲射频信号的许多内置脉冲测量功能。图 25 所示为使用示波器中的分段存储器并结合 BHQ 选件中内置的脉冲参数测量功能捕获多个射频脉冲。

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    图 25. 89600 VSA 的脉冲分析选件 BHQ 和基于示波器分段存储功能的脉冲参数测量。

    请注意屏幕左上方的 2 GHz 宽频谱,屏幕顶部每个示波器分段存储中的脉冲 dB 伏峰值视图,以及屏幕中间具有线性电压刻度的脉冲视图,将预期值(红色迹线)与实际值(绿色)和增量(黄色)比较,最后在屏幕底部有一条迹线,显示每个示波器存储器分段中的线性调频,预期值(蓝色)与测得值(红色)和增量(黄色)。可以看出,线性调频非常接近预期的线性斜波。

    如图 26 所示,单击“通道 1 脉冲累积统计”选项卡并展开测量窗口,可获得全套统计数据。

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    图 26. 在 89600 VSA 软件中使用脉冲选件 BHQ 进行统计分析

    使用Infiniium 示波器89600 VSA 软件进行宽带通信测量

    在调制带宽和/或并入诸如 MIMO 的多通道体系结构时,通信信号频带也变得更宽。这反过来促进了使用示波器或宽带数字化仪作为前端接收机,结合 89600 VSA 软件软件进行调制分析。

    以图 27 所示的 64QAM 通信信号为例,该信号具有 11 GHz 载波中频和 2 GHz 宽调制带宽,采用 V 系列 33 GHz 示波器测量。载波加调制通过 80 Gsa/秒的示波器前端和数模转换器捕获并采样,然后 89600 VSA 应用软件导入样本,并执行数字下变频到基带 I 和 Q。这包括通过数字低通滤波得到所需的频率跨度,然后进行数字下采样以显著减少用于 FFT 处理的数据量。

    然后,89600 VSA 软件可以执行分析,例如绘制基带 I/Q 信号的星座图并计算误差矢量幅度(EVM)。

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    图 27. 宽带 V 系列示波器加上VSA软件进行5G 中频 2 GHz 宽64QAM 数字通信信号的测量。

    总结

    调制带宽大于目前在矢量信号分析仪中可用的 1 GHz 瞬时测量带宽的设计数量日益增多。这促使设计人员使用能提供足够带宽和采样率的数字化仪和示波器,以便直接对载波加调制进行采样。包络、测量趋势和 FFT 等数学函数都已经证实非常有助于理解目标系统的运行和存在的问题。将示波器89600 VSA 软件软件结合,可形成一个功能强大的射频测量套件,用于执行各种各样的测量,包括解调、扩展的信噪比时域视图和统计射频脉冲分析。尽管在动态范围/信噪比和可用的瞬时带宽之间存在折衷,但是许多有用的宽带测量能帮助工程师对原型机或量产产品进行评测。

    示波器 | Keysight (安捷伦)www.keysight.com
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    M8190A 12 GSa/s 任意波形发生器www.keysight.com
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    X 系列信号分析仪 | Keysight (安捷伦)www.keysight.com
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  • 首先回顾一下在信号与系统(10)-周期性信号的频谱中提及的方波脉冲信号,如果脉冲宽度τ\tauτ进行无线增大,则信号变为非周期信号,并且幅度频谱由离散谱变为连续频谱,如下所示: 周期性方波脉冲,即: f(t)={A,&...

    首先回顾一下在信号与系统(10)-周期性信号的频谱中提及的方波脉冲信号,如果脉冲宽度τ\tau进行无线增大,则信号变为非周期信号,并且幅度频谱由离散谱变为连续频谱,如下所示:

    周期性方波脉冲,即:
    f(t)={A,   τ2+kTtτ2+kT0,    f(t)=\left\{ \begin{aligned} A,\space \space \space & -\frac{\tau}{2}+kT \leq t\leq\frac{\tau}{2}+kT \\0, \space \space \space &其他 \end{aligned} \right.
    其图像如下所示:

    其中τ\tau是脉冲的宽度,T是周期,幅值是A。

    经过傅里叶级数展开后,其系数为:
    Cn=AτTSa(nΩτ2) C_n=\frac{A\tau}{T}Sa(\frac{n\Omega \tau}{2})

    其中Sa(x)=sinxxSa(x)=\frac{sinx}{x},是抽样函数。

    通过上式画出周期方波脉冲信号的频谱如下:

    改变周期方波信号的周期T,保持脉冲宽度,其频谱变化如下

    从上述频谱中可以观察出3点:

    • 谱线密度随着周期T的增加而增加,即随着T的增大,相邻谱线之间的间距越小。这是因为频率f=1Tf=\frac{1}{T},且Ω=2πT\Omega = \frac{2\pi}{T}的原因。很显然当T增加时,nΩn\Omega将变小,因此谱线之间的间距变小。
    • 谱线的幅值逐渐降低。观察Cn=AτTSa(nΩτ2)C_n=\frac{A\tau}{T}Sa(\frac{n\Omega \tau}{2})可知,当T增大时,其幅值AτT\frac{A\tau}{T}将减小。
    • 不论T增大还是减小,谱线的包络线形状上保持不变,因为Sa函数除幅值外没有变化。

    因此:非周期信号可以看成是周期信号的周期趋向无穷大时的极限

    下面将解释如何进行这种极限和积分运算。

    1. 由傅里叶级数的系数到傅里叶变换

    首先回顾在信号与系统(8)- 复指数形式的傅里叶级数傅里叶级数的系数求法,如下所示:

    信号f(t)f(t)通过复指数正交函数集展开为:
    f(t)=n=+[Cnej(nΩt)] f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}]
    上式中系数CnC_n为:
    Cn=t1t2f(t)(ejnΩt)t1t2(ejnΩt)(ejnΩt)=1Tt1t2f(t)ejnΩtdt C_n=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot (e^{j{n\Omega t}})^*}{\int_{t_1}^{t_2}(e^{j{n\Omega t}})(e^{j{n\Omega t}})^*} = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt
    其中Ω=2πT\Omega = \frac{2\pi}{T},且f(t)f(t)是周期为T的函数,以上便是周期函数的傅里叶级数展开。

    在周期信号的傅里叶级数展开中,由系数CnC_n关于nn或频率构成的图谱,称为幅度频谱,反应了构成信号f(t)f(t)的各个频率分量及各个频率分量的幅度。

    那对于连续非周期函数呢?什么样的幅度频谱可以反应一个非周期信号的频率组成成分呢?

    为了回答这个问题,首先要对信号f(t)f(t)系数CnC_n做如下变化:

    1. 将周期信号的周期T进行趋近无穷大,即TT\rightarrow \infty,使之变为一个非周期信号;由之前提到的方波周期信号可知,若TT\rightarrow \infty,频谱间隔将趋近无穷小,信号在各个频率点上都有信号分量,频率的取值变为连续取值。
    2. 由于TT\rightarrow \infty时,系数Cn0C_n\rightarrow 0,即在每一个频率点上的频率分量大小将趋近于零。为了解决这个问题,人为的将系数CnC_n乘以T,即

    CnT(2πCnΩ)=Tt1t2f(t)(ejnΩt)t1t2(ejnΩt)(ejnΩt)=t1t2f(t)ejnΩtdt C_n\cdot T(2\pi \frac{C_n}{\Omega})=T\cdot \frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot (e^{j{n\Omega t}})^*}{\int_{t_1}^{t_2}(e^{j{n\Omega t}})(e^{j{n\Omega t}})^*} = \int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt

    由于当TT\rightarrow \infty时,Ω0\Omega \rightarrow 0,且nΩn\Omega将变为一个连续变量,用ω\omega表示,并且将TCnT\cdot C_nF(jω)F(j\omega)表示,而由于周期T趋近于无穷,因此积分限便从T=t2t1T=t_2-t_1变为了[,+][-\infty,+\infty],则上式变为:
    F(jω)=+f(t)ejωtdt F(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt
    上式便是著名的傅里叶变换

    问题:如何理解傅里叶变换的物理意义?

    傅里叶变换F(jω)F(j\omega)本质上本应该代表着信号中各个频率分量的幅度,但是由于系数CnC_n除以了周期T,因此在量纲上不符合幅度的量纲,而观察经过处理之后的系数,即CnTC_n\cdot T,如果将T=2πTT=\frac{2\pi}{T}带入,则CnTC_n\cdot T变为2πCnΩ2\pi \frac{C_n}{\Omega}。其CnT\frac{C_n}{T}可以理解为“单位频带内的信号分量的幅度",而2π2\pi是一个常数,所以F(jω)F(j\omega)可以被理解为频谱密度函数,它表示信号在该频率点上的分量相对大小。而绝对大小,由于周期趋于无穷,为0.

    除此之外,傅里叶变换于傅里叶级数同宗同源,因次也具备傅里叶级数的一部分性质。如果f(t)f(t)为实数函数,则F(jω)F(j\omega)的幅度是关于ω\omega的偶函数,而F(jω)F(j\omega)的相位是关于ω\omega的奇函数。

    2. 由周期性信号的傅里叶级数展开到傅里叶反变换

    上一部分对傅里叶级数系数进行了变化而得到了傅里叶变换,加下来的问题是,如何通过傅里叶变换,得到原函数呢?

    为解答这个问题,同样回顾傅里叶级数展开,如下所示:

    信号f(t)f(t)通过复指数正交函数集展开为:
    f(t)=n=+[Cnej(nΩt)] f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}]
    为得到非周期信号f(t)f(t),将上式做如下变化:

    1. Cn=F(nΩt)TC_n=\frac{F(n\Omega t)}{T},这是因为在之前求解非周期信号的频率分量幅值时,为了避免幅值趋于无穷小,将系数乘以了周期,进而得到F(nΩt)F(n\Omega t)
    2. 由于这里研究的信号是非周期信号,所以需要将周期进行趋向无穷大,即:TT\rightarrow \infty
    3. TT\rightarrow \infty时,Ω0\Omega \rightarrow0,且离散的nΩn\Omega变为连续的ω\omega,求和\sum变为了积分\int

    通过上述变换,原函数f(t)f(t)变为了:
    f(t)=limTn=+[F(nΩt)Tej(nΩt)]=limΩ0n=+12πΩF(jnΩ)ej(nΩt)=12π+F(jω)ejωtdω \begin{aligned} f(t)&=\lim_{T\rightarrow \infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[\frac{F(n\Omega t)}{T}\cdot e^{j(n\Omega t)}] \\&=\lim_{\Omega \rightarrow 0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi}\Omega F(jn\Omega)\cdot e^{j(n\Omega t)} \\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)\cdot e^{j\omega t}d\omega \end{aligned}
    上式
    f(t)=12π+F(jω)ejωtdω \begin{aligned} f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)\cdot e^{j\omega t}d\omega \end{aligned}
    便是傅里叶反变换

    问题:如何理解傅里叶反变换的物理意义?

    傅里叶的反变换其实本质上就是将信号分解为一系列复数的三角函数的积分,而积分也是求和的一种。因此,傅里叶反变换就是针对非周期信号的”傅里叶级数展开“,只不过求和变为了积分,频率由离散变为了连续,由于将周期信号的周期进行趋向无穷大,因此多了系数12π\frac{1}{2\pi}

    由于傅里叶反变换同傅里叶级数展开同宗同源,因此同样,这样的变换存在的条件仍然是Direchlet条件。

    3. 傅里叶变换的总结

    1. 傅里叶变换和傅里叶级数的对比
    相关对比项 傅里叶级数 傅里叶变换
    对原信号f(t)f(t)的分解 f(t)=n=+[Cnej(nΩt)]f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}] f(t)=12π+F(jω)ejωtdωf(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)\cdot e^{j\omega t}d\omega(傅里叶反变换)
    F(jω)F(j\omega)CnC_n F(jω)=+f(t)ejωtdtF(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt F(jω)=limT(TCn)=t1t2f(t)ejωtdtF(j\omega) =lim_{T\rightarrow \infty}(T\cdot C_n)= \int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-j\omega t}dt(傅里叶变换)
    频谱连续性 离散频谱 连续频谱
    收敛性 收敛 收敛
    谐波性 存在,仅出现在基波频率的整数倍的点上 不存在,频谱变成了连续频谱,且每一点频率都有对应的幅值
    适用条件 Direchlet条件 Direchlet条件

    4. 常见信号的傅里叶变换及其反变换

    函数名称 傅里叶变换 傅里叶反变换
    冲激函数 δ(t)\delta(t) 11
    单边指数信号 eαtu(t)e^{-\alpha t}u(t) 1α+jω\frac{1}{\alpha+j\omega}
    双边指数信号 eαte^{-\alpha \vert t\vert} 2αα2+ω2\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}
    门函数 GτG_{\tau} τSa(ωτ2)\tau\cdot Sa(\frac{\omega \tau}{2})
    阶跃信号 u(t)u(t) πδ(ω)+1jω\pi \cdot\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}
    直流信号 11 2πδ(ω)2\pi \cdot\delta(\omega)
    复正弦信号 ejωcte^{j\omega_c t} 2πδ(ωωc)2\pi \cdot\delta(\omega-\omega_c)

    其中阶跃信号和直流信号虽然不满足绝对可积条件,但是通过引入冲激函数,也可以计算出傅里叶变换。这里推荐记忆上述常见傅里叶变换的结果。

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