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平面三点的法向量_向量代数与空间解析几何-空间平面与直线
2021-02-06 06:31:00本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布平面方程假设平面的法向量. 一般式:. 点法式:. 截距式:. 三点式:直线方程设直线的方向向量为 一般式: 点向式:. 参数式: 两点式:公式证明(1).平面方程 设是平面上一点,为该点的...本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布
平面方程
假设平面的法向量
.
一般式:.
点法式:.
截距式:.
三点式:直线方程
设直线的方向向量为
一般式:
点向式:.
参数式:
两点式:公式证明
(1).平面方程
设是平面上一点,
为该点的位置向量.
是一个非零向量.
为平面上任意一点,位置向量为
.那么平面方程即为
.将向量计算展开即为点法式方程.将括号去掉用D代表常数即为一般方程.方程同时除以-D即为截距式方程.
现在推导三点式方程.设三点不共线.
为平面上任意一点,位置向量为
.那么
四点共面
三向量共面
. 平面的参数方程:
设为平面上一点,
为平面上任意一点.
为平面上两个不共线的向量.那么存在
,使得该式成立:
.
即:(2).直线方程
在空间直角坐标系中,直线是由平面定义的,其几何意义为两平面的交线.
一般式:
一般情况下直线有空间中一个确定的点和方向向量就可以确定.假设直线方向向量为
直线同时垂直于两平面的法向量,因此得到方向向量.
再令两平面方程其中一个坐标为一个常数(比如令),解二元一次方程得到两平面的一个公共点
.
由此得出直线的参数方程:
把参数方程中的t隐去,就得到了点向式方程:. 如果已知两点
,那么向量
就可以作为方向向量,由此推出两点式方程:
(3).位置关系
1.点到平面的距离
点到平面
的距离d.
平面的法向量,取平面上一点
,满足
.
2.直线间的关系
设直线的方向向量分别为
1).
2)..
3.平面间的关系
设平面的法向量为
1).
2).
4.平面与直线的关系
设直线的方向向量为
,平面
的法向量为
.
1).
2)..
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平面方程
在空间坐标系内,平面的方程均可用是xyz的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0是x,y,x的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。
直线方程
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