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  • 本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布平面方程假设平面的向量. 一般:. 点法式:. 截距:. 三点式:直线方程设直线的方向向量为 一般: 点向:. 参数式: 两点:公式证明(1).平面方程 设是平面上一点,为该点的...

    本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布

    平面方程

    假设平面的法向量

    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn%7D%3D%28A%2CB%2CC%29.

    一般式:
    equation?tex=Ax%2BBy%2BCz%2BD%3D0.

    点法式:
    equation?tex=A%28x-x_0%29%2BB%28y-y_0%29%2BC%28z-z_0%29%3D0.

    截距式:
    equation?tex=%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%2B%5Cfrac%7By%7D%7Bb%7D%2B%5Cfrac%7Bz%7D%7Bc%7D%3D1.

    三点式:
    equation?tex=%5Cleft+%7C%5Cbegin%7Baligned%7D%26x-x_1%5Cquad+y-y_1%5Cquad+z-z_1%5C%5C+%26x-x_2%5Cquad+y-y_2%5Cquad+z-z_2%5C%5C%26x-x_3%5Cquad+y-y_3+%5Cquad+z-z_3%5Cend%7Baligned%7D%5Cright%7C%3D0

    直线方程

    设直线的方向向量为

    equation?tex=%5Cboldsymbol%7B%5Ctau%7D%3D%28l%2Cm%2Cn%29

    一般式:
    equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+A_1x%2BB_1y%2BC_1z%2BD_1%3D0%2Cn_1%3D%28A_1%2CB_1%2CC_1%29%5C%5CA_2x%2BB_2y%2BC_2z%2BD_2%3D0%2Cn_2%3D%28A_2%2CB_2%2CC_2%29%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.

    点向式:
    equation?tex=%7Bx-x_0%5Cover+l%7D%3D%7By-y_0%5Cover+m%7D%3D%7Bz-z_0%5Cover+n%7D.

    参数式:
    equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%3Dx_0%2Btl%5C%5C%26y%3Dy_0%2Btm%5Cquad%28t%E4%B8%BA%E5%8F%82%E6%95%B0%29+%5C%5C%26z%3Dz_0%2Btn%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.

    两点式:
    equation?tex=%7Bx-x_1%5Cover+x_1-x_2%7D%3D%7By-y_1%5Cover+y_1-y_2%7D%3D%7Bz-z_1%5Cover+z_1-z_2%7D

    公式证明

    (1).平面方程

    equation?tex=P_0%28x_0%2Cy_0%2Cz_0%29是平面上一点,
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Br_0%7D为该点的位置向量.
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn%7D%3D%28a%2Cb%2Cc%29是一个非零向量.
    equation?tex=P为平面上任意一点,位置向量为
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Br%7D.那么平面方程即为
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn%5Ccdot%28r-r_0%29%3D0%7D.将向量计算展开即为点法式方程.将括号去掉用D代表常数即为一般方程.方程同时除以-D即为截距式方程.

    现在推导三点式方程.设
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7BA%7D%3D%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2C%5Cboldsymbol%7BB%7D%3D%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29%2C%5Cboldsymbol%7BC%7D%3D%28x_3%2Cy_3%2Cz_3%29三点不共线.
    equation?tex=P为平面上任意一点,位置向量为
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Br%7D%3D%28x%2Cy%2Cz%29.那么
    equation?tex=%5Cvec%7BPA%7D%3D%28x-x_1%2Cy-y_1%2Cz-z_1%29%2C%5Cvec%7BPB%7D%3D%28x-x_2%2Cy-y_2%2Cz-z_2%29%2C%5Cvec%7BPC%7D%3D%28x-x_3%2Cy-y_3%2Cz-z_3%29 四点共面
    equation?tex=%5CRightarrow三向量共面
    equation?tex=%5CRightarrow
    equation?tex=%5Cvec%7BPA%7D%5Ctimes%5Cvec%7BPB%7D%5Ccdot%5Cvec%7BPB%7D%3D%5Cvec%7B0%7D%5CRightarrow
    equation?tex=%5Cleft+%7C%5Cbegin%7Baligned%7D%26x-x_1%5Cquad+y-y_1%5Cquad+z-z_1%5C%5C+%26x-x_2%5Cquad+y-y_2%5Cquad+z-z_2%5C%5C%26x-x_3%5Cquad+y-y_3+%5Cquad+z-z_3%5Cend%7Baligned%7D%5Cright%7C%3D0. 平面的参数方程:

    equation?tex=M_0%28x_0%2Cy_0%2Cz_0%29为平面上一点,
    equation?tex=M%28x%2Cy%2Cz%29为平面上任意一点.
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bu_1%7D%3D%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2C%5Cboldsymbol%7Bu_2%7D%3D%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29为平面上两个不共线的向量.那么存在
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bs%2Ct%7D,使得该式成立:
    equation?tex=%5Cvec%7BM_0M%7D%3D%5Cboldsymbol%7Bsu_1%2Btu_2%7D.

    即:
    equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+x-x_0%3Dsx_1%2Btx_2%5C%5Cy-y_0%3Dsy_1%2Bty_2%5C%5Cz-z_0%3Dsz_1%2Btz_2%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5CRightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%3Dx_0%2Bsx_1%2Btx_2%5C%5C%26y%3Dy_0%2Bsy_1%2Bty_2%5Cquad%28s%2Ct%E4%B8%BA%E5%8F%82%E6%95%B0%29+%5C%5C%26z%3Dz_0%2Bsz_1%2Btz_2%5Cend%7Baligned%7D%5Cright. (2).直线方程

    在空间直角坐标系中,直线是由平面定义的,其几何意义为两平面的交线.
    一般式:
    equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+A_1x%2BB_1y%2BC_1z%2BD_1%3D0%2Cn_1%3D%28A_1%2CB_1%2CC_1%29%5C%5CA_2x%2BB_2y%2BC_2z%2BD_2%3D0%2Cn_2%3D%28A_2%2CB_2%2CC_2%29%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.

    一般情况下直线有空间中一个确定的点和方向向量就可以确定.假设直线方向向量为
    equation?tex=%5Ctau%3D%28l%2Cm%2Cn%29

    直线同时垂直于两平面的法向量,因此
    equation?tex=%5Ctau%3Dn_1%5Ctimes+n_2得到方向向量.

    再令两平面方程其中一个坐标为一个常数(比如令
    equation?tex=z%3Dz_0),解二元一次方程得到两平面的一个公共点
    equation?tex=M_0%28x_0%2Cy_0%2Cz_0%29.

    由此得出直线的参数方程:
    equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%3Dx_0%2Btl%5C%5C%26y%3Dy_0%2Btm%5Cquad%28t%E4%B8%BA%E5%8F%82%E6%95%B0%29+%5C%5C%26z%3Dz_0%2Btn%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.

    把参数方程中的t隐去,就得到了点向式方程:
    equation?tex=%7Bx-x_0%5Cover+l%7D%3D%7By-y_0%5Cover+m%7D%3D%7Bz-z_0%5Cover+n%7D. 如果已知两点
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7BA%7D%3D%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2C%5Cboldsymbol%7BB%7D%3D%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29,那么向量
    equation?tex=%5Cvec%7BAB%7D%3D%28x_2-x_1%2Cy_2-y_1%2Cz_2-z_1%29就可以作为方向向量,由此推出两点式方程:
    equation?tex=%7Bx-x_1%5Cover+x_1-x_2%7D%3D%7By-y_1%5Cover+y_1-y_2%7D%3D%7Bz-z_1%5Cover+z_1-z_2%7D

    (3).位置关系
    1.点到平面的距离
    equation?tex=P_0%28x_0%2Cy_0%2Cz_0%29到平面
    equation?tex=Ax%2BBy%2BCz%2BD%3D0的距离d.

    平面的法向量
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn%7D%3D%28A%2CB%2CC%29,取平面上一点
    equation?tex=P_1%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29,满足
    equation?tex=Ax_1%2BBy_1%2BCz_1%2BD%3D0.
    equation?tex=d%3D%7C%7B%5Cvec%7BP_1P_0%7D%5Ccdot%5Cboldsymbol%7Bn%7D%5Cover%7C%5Cboldsymbol%7Bn%7D%7C%7D%7C%3D%7B%7CA%28x_0-x_1%29%2BB%28y_0-y_1%29%2BC%28z_0-z_1%29%7C%5Cover%5Csqrt%7BA%5E2%2BB%5E2%2BC%5E2%7D%7D%3D%7B%7CAx_0%2BBy_0%2BCz_0%7C%5Cover%5Csqrt%7BA%5E2%2BB%5E2%2BC%5E2%7D%7D

    2.直线间的关系
    设直线
    equation?tex=L_1%2CL_2的方向向量分别为
    equation?tex=%5Ctau_1%3D%28l_1%2Cm_1%2Cn_1%29%2C%5Ctau_2%3D%28l_2%2Cm_2%2Cn_2%29

    1).
    equation?tex=L_1%5Cperp+L_2%5CLeftrightarrow%5Ctau_1%5Cperp+%5Ctau_2%5CLeftrightarrow+l_1l_2%2Bm_1m_2%2Bn_1n_2%3D0

    2).
    equation?tex=L_1%5Cparallel+L_2%5CLeftrightarrow+%5Ctau_1%5Cparallel%5Ctau_2%5CLeftrightarrow%7Bl_1%5Cover+l_2%7D%3D%7Bm_1%5Cover+m_2%7D%3D%7Bn_1%5Cover+n_2%7D.

    3.平面间的关系
    设平面
    equation?tex=%5Cpi_1%2C%5Cpi_2的法向量为
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn_1%7D%3D%28A_1%2CB_1%2CC_1%29%2C%5Cboldsymbol%7Bn_2%7D%3D%28A_2%2CB_2%2CC_2%29

    1).
    equation?tex=%5Cpi_1%5Cparallel%5Cpi_2%5CLeftrightarrow%5Cboldsymbol%7Bn_1%5Cparallel+n_2%7D%5CLeftrightarrow%7BA_1%5Cover+A_2%7D%3D%7BB_1%5Cover+B_2%7D%3D%7BC_1%5Cover+C_2%7D

    2).
    equation?tex=%5Cpi_1%5Cperp%5Cpi_2%5CLeftrightarrow%5Cboldsymbol%7Bn_1%5Cperp+n_2%7D%5CLeftrightarrow+A_1A_2%2BB_1B_2%2BC_1C_2%3D0

    4.平面与直线的关系
    设直线
    equation?tex=L的方向向量为
    equation?tex=%5Ctau%3D%28l%2Cm%2Cn%29,平面
    equation?tex=%5Cpi的法向量为
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn%7D%3D%28A%2CB%2CC%29.

    1).
    equation?tex=L%5Cperp%5Cpi%5CLeftrightarrow%5Ctau%5Cparallel%5Cboldsymbol%7Bn%7D%5CLeftrightarrow%7Bl%5Cover+A%7D%3D%7Bm%5Cover+B%7D%3D%7Bn%5Cover+C%7D

    2).
    equation?tex=L%5Cparallel%5Cpi%5CLeftrightarrow%5Ctau%5Cperp%5Cboldsymbol%7Bn%7D%5CLeftrightarrow+lA%2BmB%2BnC%3D0.
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  • “平面方程”是指空间中所有处于同一平面的点所对应的方程,其一般形如Ax+By+Cz+D=0。...由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0是x,y,x的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定...

    “平面方程”是指空间中所有处于同一平面的点所对应的方程,其一般式形如Ax+By+Cz+D=0。直线方程是两个相交平面联立的方程,或由此衍生出的对称式、参数式方程。

    平面方程

    在空间坐标系内,平面的方程均可用是xyz的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0是x,y,x的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。

    直线方程

    从平面解析几何的角度来看,平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点,只需把这两个二元一次方程联立求解,当这个联立方程组无解时,两直线平行;有无穷多解时,两直线重合;只有一解时,两直线相交于一点。常用直线向上方向与X轴正向的夹角(叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直,也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标,称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置,由它的斜率和一个截距完全确定。在空间,两个平面相交时,交线为一条直线。因此,在空间直角坐标系中,用两个表示平面的三元一次方程联立,作为它们相交所得直线的方程。

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    问题的引入

    在这里插入图片描述
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    平面的点法式方程

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    例1

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    例2

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    第一种思路向量AB,与向量AC的向量积(叉积)得到垂直于AB与AC平面的法线,再用点法式方程。
    第二种,三向量共面的思路

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    平面的截距式方程

    特别的三点分别在三个坐标轴上

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    平面的一般方程

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    特殊情形的性质

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    例3

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    例4

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    平面的参数方程

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    平面片的描绘

    如果u和v取一部分就可以把平面片描述出来。
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    点到平面的距离

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    例6 平面截距与一点到平面的距离D的关系

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    3. 平面的三点式方程

     

    4. 平面的截距式方程

     

    5. 平面的一般方程

     

    6. 平面的参数方程

     

    7. 点到平面的距离公式

     

     

     

     

     

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平面的向量式参数方程