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  • 平面直角坐标系中的旋转公式_中考难点,旋转+动点的最值问题的构建
    2020-11-20 14:16:31

    数学的生命在于不断变换,凭借变换群充分发掘数学各部分的内在联系并获得应用实效.变换不但是解答难题的锐利武器,而且在现代数学理论中也发挥着巨大作用.

    某些平面几何问题,由于图形中的几何性质比较隐晦,条件分散,题设与结论间的某些元素的相互关系在所给的图形中不易发现,使之难以思考而感到束手无策.如果我们能对图形作各种恰当的变换,把原图形或原图形中的一部分从原来的位置变换到另一个位置,或作某种变化,往往能使图形的几何性质明白显现,分散的条件得到汇聚,就能使题设和结论中的元素由分散变为集中,相互间的关系变得清楚明了,从而能将求解问题灵活转化,变难为易.我们把这种恰当地进行图形变换来求解平面几何问题的方法称为几何变换法.

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    将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.平面几何中的几何变换主要有合同变换、相似变换、等积变换以及反演变换.

    在一个几何变换下,如果任意两点之间的距离等于变化后的两点之间的距离,则称之为合同变换.合同变换只改变图形的相对位置,不改变其形状和大小.合同变换有三种基本类型:平移变换,轴反射变换,旋转变换.而尤为突出的是围绕着旋转变换产生的最值问题,是考试考查的重难点.不少同学对于此类问题,很畏惧感觉束手无策,没有有效的解题思路和方法.

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    典型考题

    1.平面直角坐标系中,C(0,4),K(2,0),A为x轴上一动点,连接AC,将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB,当点A在x轴上运动,BK取最小值时,点B的坐标为______.

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    先来具体分析条件,并产生“合理想象”:

    ①旋转可得等腰三角形,旋转90°可得等腰直角三角形,本题如果从B引X轴的垂线,就可以得到“一线三等角”全等;

    ②关注题中的数据,有很多直角三角形,计算考虑使用勾股定理;

    ③几何最值,常常需要考虑“垂线段最短”等几何依据;

    ④如果数量关系是一元二次形式,考虑配方法求最值;

    ⑤几何最值,几何处理常常要有“轨迹”意识,哪些点是“主动点”哪些是“从动点”,进一步升格到“种瓜得瓜种豆得豆”的“因果处理”……

    方法1:设A(a,0),BD⊥x轴,“一线三等角”染色三角形全等,AD=OC=4,继而可以表示AK=2-a;而KD=AD-AK=2+a.在直角三角形△BDK中,勾股定理表示出BK=BD+DK,配方法可以得到当a=-1时,BK取最小值。再作出a=-1时的图形,求出B点坐标即可。

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    方法2:处理几何最值问题,大多是动点涉及轨迹,就是一定要有“轨迹思维”!明白图形“因何而动”,“谁主动”“谁被动”!

    ①显然本题,由于A点在X轴动来动去,从而带动AC动,AC旋转得AB从而引发AB“被动”,

    ②继而最终引发BK的“动”,且BK有最小值。

    ③而K是不动死点,所以最终我们要关注B点是怎样“动”的。

    ④而这一切都源于始作俑者A点的“动”,所以A点和B点是“父子关系”——种瓜得瓜种豆得豆!

    ⑤A点在X轴动,A点的轨迹是“直线”,所以“父子影随关系”可知B点轨迹也应该是“直线”!这就是“瓜豆原理”,“轨迹遗传”!

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    ⑥根据上述分析,结合上图,可以确定B点的轨迹是直线。需要明确,如何求出这条直线的解析式呢?我们知道“两点确定一条直线”,只需要算出两个“特殊点”的坐标即可:

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    ⑦万事俱备,利用“垂线段最短”,当KB⊥轨迹线时候,KB最短。

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    ⑧由此,B点“定位”处理到位了,剩下的就是“定量”计算求B点坐标了,根据轨迹直线y=x-4,它的“斜率为1”与轴夹角45°,很容易计算B点坐标为(3,-1).

    详细规范解法如下:

    【解】:如图,作BH⊥x轴于H.

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    ∵C(0,4),K(2,0),∴OC=4,OK=2,

    ∵AC=AB,∵AOC=∠CAB=∠AHB=90°,

    ∴∠CAO+∠OCA=90°,∠BAH+∠CAO=90°,∴∠ACO=∠BAH,

    ∴△ACO≌△BAH(AAS),∴BH=OA=m,AH=OC=4,

    ∴B(m+4,m),令x=m+4,y=m,∴y=x﹣4,

    ∴点B在直线y=x﹣4上运动,设直线y=x﹣4交x轴于E,交y轴于F,

    作KM⊥EF于M,则直线KM的解析式为y=﹣x+2,

    由y=-x+2, y=x-4,联立方程组解得x=3,y=-1.,∴M(3,﹣1),

    根据垂线段最短可知,当点B与点M重合时,BK的值最小,此时B(3,﹣1),故答案为:(3,﹣1)

    方法点睛:通过构造旋转型全等,实现了"从哪儿来,回哪儿去"的目的,使问题得到转化,思路变得清晰。

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    变式.(2019春•江都区校级月考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B为x轴上一动点,以AB为边在AB的右侧作等腰Rt△ABD,∠ABD=90°,连接OD,则OD+AD的最小值是_____.

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    【解析】如图,作DH⊥x于H,利用全等三角形的判定与性质证明点D在直线y=x﹣3上运动,O关于直线y=x﹣3的对称点E′,连接AE′,求出AE′的长即可解决问题.

    ∵∠AOB=∠ABD=∠BHD=90°,∴∠ABO+∠BAO=90°,∠ABO+∠DBH=90°,∴∠BAO=∠DBH,

    ∵AB=DB,∴△ABO≌△BDH(AAS),∴OA=BH=3,OB=DH,

    ∴HD=OH﹣3,∴点D在直线y=x﹣3上运动,

    作O关于直线y=x﹣3的对称点E′,连接AE′交直线y=x﹣3于D′,此时OD+AD最小,最小值为AE′,

    ∵O(0,0),O关于直线y=x﹣3的对称点为E′,∴E′(3,﹣3),

    ∵A(0,3),∴AE′=3√5,∴OD+AD的最小值是3√5,故答案为:3√5.

    2.(2019秋•潜江期末)如图,边长为24的等边三角形ABC中,M是高CH所在直线上的一个动点,连结MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连结HN.则在点M运动过程中,线段HN长度的最小值是(  )

    A.12 B.6 C.3 D.1

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    【解析】取CB的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得BH=BG,再求出∠HBN=∠MBG,根据旋转的性质可得MB=NB,然后利用"边角边"证明△MBG≌△NBH,再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG,然后根据垂线段最短,当MG⊥CH时,MG最短,即HN最短,此时∠BCH=1/2×60°=30°,CG=1/2AB=1/2×24=12,∴MG=1/2CG=1/2×12=6,

    ∴HN=6,故选:B.

    3.(2019秋•乐清市期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM,若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是_______.

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    【解析】如图连接PC.在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=2,

    ∴AB=4,根据旋转不变性可知,A′B′=AB=4,

    ∴A′P=PB′,∴PC=1/2A′B′=2,

    ∵CM=BM=1,又∵PM≤PC+CM,即PM≤3,

    ∴PM的最大值为3(此时P、C、M共线).故答案为:3.

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    4.(2019秋•崇川区校级期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=4,∠C=60°,M是线段BC的中点,将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD')与AB交于点E,MC(即MC′)同时与AD交于点F时,点E、F和点A构成△AEF.在此过程中,△AEF的周长的最小值________. 

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    【解析】过点D作DP⊥BC于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,得到CP=BQ=1/2AB,CP+BQ=1/2AB=2,得出BC=2CD,由点M是BC的中点,推出CM=CD,由∠C=60°,根据等边三角形的判定即可得到答案;△AEF的周长存在最小值,理由是连接AM,由ABMD是菱形,得出△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,推出∠BME=∠AMF,证出△BME≌△AMF(ASA),得出BE=AF,ME=MF,推出△EMF是等边三角形,根据MF的最小值为点M到AD的距离2√3,即EF的最小值是2√3,即可求出△AEF的周长.

    △AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,△AEF的周长的最小值为4+2√3,

    故答案为:4+2√3.

    5.(2019秋•汉阳区期中)如图,等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE,AC=BC,CD=DE,AC=2CD=12,DH⊥AE,垂足为H,直线HD交BE于点O.将△CDE绕点C顺时针旋转,则OA的长的最大值是________.

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    【解析】:如图,延长ED到N,使得DN=DE,连接CN,BN,延长BN交AE于M.取BC的中点F,连接AF,OF.

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    ∵CD⊥EN,DN=DE,∴CN=CE,

    ∵DC=DE,∠CDE=90°,∴∠DCE=∠DCN=45°,

    ∴∠ACB=∠NCE=90°,∴∠BCN=∠ACE,

    ∵CB=CA,CN=CE,∴△BCN≌△ACE(SAS),∴∠BNC=∠AEC,

    ∵∠BNC+∠CNM=180°,∴∠CNM+∠AEC=180°,

    ∴∠ECN+∠NME=180°,

    ∵∠ECN=90°,∴∠NME=90°,

    ∵DH⊥AE,∴∠NME=∠DHE=90°,∴OD∥BN,

    ∵DN=DE,∴OB=OE,

    ∵BF=CF,∴OF=1/2EC,

    ∵CD=DE=6,∠CDE=90°,∴EC=6√2,∴OF=3√2,

    在Rt△ACF中,∵AC=12,CF=6,

    ∴由勾股定理可求得AF=6√5,

    ∵OA≤AF+OF,∴OA≤6√5+3√2,

    ∴OA的最大值为6√5+3√2.故答案为6√5+3√2.

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    6.(2019秋•郾城区期中)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D为AC中点,E为AB上的动点,将ED绕点D逆时针旋转90°得到FD,连CF,则线段CF的最小值为______.

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    【解析】:如图所示,过F作FH⊥AC于H,则∠A=∠DHF=90°,

    ∵AC=8,D为AC中点,∴AD=4,

    由旋转可得,DE=DF,∠EDF=90°,

    ∴∠ADE+∠FDH=90°,∠FDH+∠DFH=90°,

    ∴∠ADE=∠DFH,且DE=DF,∠A=∠DHF=90°,

    ∴△ADE≌△HFD(AAS),

    ∴HF=AD=4,∴当点H与点C重合,

    此时CF=HF=4,∴线段CF的最小值为4,故答案为:4.

    7.(2019秋•青山区期中)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=6,D为边AB上一动点(不与B点重合),连接CD,将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE,连接BE,则S△BDE的最大值为________.

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    【解析】:作CM⊥AB于M,EN⊥AB于N,∴∠EDN+∠DEN=90°,

    ∵∠EDC=90°,∴∠EDN+∠CDM=90°,∴∠DEN=∠CDM,

    在△EDN和△DCM中,∠DEN=∠CDM,∠END=∠DMC=90°,ED=DC.

    ∴△EDN≌△DCM(AAS),∴EN=DM,

    ∵∠BAC=120°,∴∠MAC=60°,∴∠ACM=30°,

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    方法总结

    动点问题要求考生运用函数、数形结合、方程、转化、分类等数学思想方法,通过观察、猜想、推理、计算等过程,寻求解题思路.动态思想对这类问题的处理至关重要,对学生最核心的要求是结合动态中的静止状态进行分类处理,通过对动态的掌握,寻找不同变量彼此间的内在联系,在静态条件下对这些内在联系进行分析.

    反思:旋转型全等的前提是,同一顶点发出四条线段,有两组相等线段且相等线段的夹角相等,此类问题一般给出的是一个等边或等腰直角三角形,也就是顶点处只有一组相等线段,所以只需要将顶点处的另一条线段按照同样的方式旋转。构造出一对旋转型全等,利用全等的性质,将已知和待求的线段进行转换,是问题得以解决。

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    a6e326075aa60ac5f3f030bde2b5aded.gif a7790032391cd529f167f851f40107d7.png 在高考数学里,空间直线与平面的平行有关的知识内容和题型,一直是近几年高考命题的热点,成为立体几何重要的基础考点。如何巧妙快速的判定空间直线与平面平行位置关系,如何在平面内寻找一条直线,探索该直线与平面平行等,这些问题一直是常见的热点问题。 重点考查考生的空间想象能力、计算能力、推理论证能力,以及转化思想的应用。 跟着包Sir一起来看看动态教辅里是如何来帮助大家学习这一部分知识的吧~ 小编乱入 1 互动启思 f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png 31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png 题型1 直线的倾斜角与斜率、直线方程 引言 掌握基础知识,养成画图的习惯,培养平面几何的想象能力是解题的关键. 例题1  经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(  ) A.x+y-2=0 B.x+y-1=0 C.x=1或y=1 D.x+y-2=0或x-y=0 互动启思 638f2767328307d66ff26f057115987d.gif 一点呈析 答案: D 解析: 当直线过原点时,满足题意,此时直线方程为 04f5c6aaa219c92794cce7ce2a406e1f.png ,即xy=0;当直线不过原点时,设直线方程为 7b245b47816c501da4113711f7c14d82.png ,代入M(1,1),解得a=2,所以直线的方程为+=1,即xy-2=0.综上所述,所求直线的方程为xy-2=0或xy=0.故选 例题2  已知直线l平分圆C:x2+y2-6x+6y+2=0的周长,且直线l不经过第三象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围为(  ) 37167f57e442caffa6567395402b2159.png 互动启思 0f45e5040f8d34d5393a46e6bdd8f039.gif 一点呈析 答案: A 解析: Cx2y2-6x+6y+2=0的标准方程为(x-3)2+(y+3)2=16,故直线l过圆C的圆心(3,-3).因为直线l不经过第三象限,所以 4c545056a2790aadead5a02640b2c150.png ,故选A. f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png 31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png 题型2 两条直线的位置关系 引言 经常会涉及到直线的平行和垂直问题,所以要注意直线平行、垂直的时候,直线的解析式所满足的条件,并且要特别注意不要多解. 例题1 “m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的   (  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 互动启思 b8d59703a7a05057a66f6bb3bb8928fc.gif 一点呈析 答案:A 解析:pm=-1;q:直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3xmy+3=0垂直.将m=-1代入两直线方程,它们的斜率之积为-1,故两直线垂直,从而由p可以推出q;但当m=0时,两直线也垂直,故由q不一定能推出p.因而pq的充分不必要条件.故选A. 例题2  已知直线l: d556fe2fab1d8a515ca4871d4de35e0f.png ,M是l上一动点,过M作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,B,则在A,B连线上,且满足 85f7ed1ad86fb3abbbc3b3413e401907.png 的点P的轨迹方程是             . 互动启思 6210863d3f678a40e12c11ce662a92f4.gif 一点呈析 答案:3x+2y-4=0 解析:设P(x,y)为轨迹上任一点,A(a,0),B(0,b). ∵ 57f0b013db9e41aa34418c35cceb3b22.png ,∴ 659e56d12127ecc04a96f307d9930a77.png ∵点M在直线l上,∴ f735f5124383e110817146e74ba44b6b.png , 整理得3x+2y-4=0, 即3x+2y-4=0为点P的轨迹方程. 2 知识助攻 f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png 31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png 1.直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按 逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角 α称为直线的倾斜角.规定:直线与x轴平行或重合时,直线的倾斜角为 0°  ②范围:倾斜角α的范围是  0°≤α<180°.  (2)直线的斜率 ①定义: 当直线的倾斜角α≠90°时,直线的倾斜角α 正切值 叫做这条直线的斜率,常记作k= tanα ; 当直线的倾斜角α=90°时,直线的斜率 不存在 ②过两点的直线的斜率公式: 过两点P1(x1y1),P2(x2y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k3010cf8c2ed4f87e611581414f79c3af.png . 若x1x2,则直线P1P2的倾斜角为90°,斜率不存在。 ③范围: 直线的斜率的范围为                                           . 敲黑板 (1)不要忽视“直线的斜率不存在”这一情况.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数k=tanα的单调性,如图所示. 29fe175dc3eb60548260fe2da6ec2291.png (2)由直线的斜率k求倾斜角α的取值范围时,要对应正切函数的图像来确定,并注意图像的不连续性和函数的定义域.如:由-1≤k≤1,得d48c90211851f4cd680bd10e49077de5.png. f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png 31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png 2. 直线的方程 (1) 直线的五种形式 55c78057464e933fe7ff6732d53f88ab.png (2) 求直线方程常用的方法 ①根据已知条件,设出适当的直线方程; ②把已知条件构造成含待定系数的方程(组); ③求解待定系数; ④将求得的系数代入设出的直线方程. 敲黑板 若使用斜截式或点斜式设直线方程时,应先讨论斜率k是否存在.同理,在使用截距式前要讨论截距是否存在,是否为0. f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png 31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png 3.两条直线的位置关系 (1)两条直线的位置关系 直线l1yk1xb1l2yk2xb2, 直线l3A1xB1yC1=0与l4A2xB2yC2=0的位置关系如下表: 015b85abb353e1a079cf67cdcba75594.png (2)两条直线的交点坐标 当两条直线相交时,两直线的方程联立的方程组的解即为交点坐标. (3)距离公式 ①两点间的距离: 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式为|P1P2|=3c5cf09fd7b84b8abd546a752f22c66f.png ②点到直线的距离: 平面上的点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式为d=320f20fe9071bf264883d32296b6dadb.png ③两条平行直线间的距离: 直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离公式为d= 718f1ee2ee23df20c5e23181dbcbdedc.png f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png 31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png 4.两条直线平行与垂直的判定及应用 (1)两条直线平行或垂直的判定方法 <1>已知两直线的斜率一定存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在相应坐标轴上的截距不相等; ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为-1. <2>两直线的斜率可能不存在 若两直线斜率不存在,当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行;否则,两直线重合. 若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则两直线互相垂直. <3>已知两直线的一般方程 直接应用有关结论判定;也可利用直线方程求出斜率(或判定出斜率不存在),转化为<1><2>中的情形进行判定. (2)两条直线平行与垂直的应用
    • 根据直线的位置关系求参数值

    当直线方程中的系数含有参数时,参数的不同取值决定了直线的不同位置,因此应对参数的取值进行分类讨论,一般分为斜率存在和斜率不存在两种情况,再根据不同情况下应满足的关系,列式求解.或直接应用“知识划重点”中l3,l4所满足的条件列式求解. 敲黑板 根据位置关系转化为等量关系(不等关系)时,要注意等价性.如两直线平行⇔k1=k2且b1≠b2(或A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0),此时不要只得出k1=k2(或A1B2-A2B1=0).另外,求出参数值时注意代回检验,避免产生增根.
    • 根据直线的位置关系求解直线方程

    解答这类题通常有两种方法: ①根据l1∥l2⇒k1=k2,l1⊥l2⇒k1·k2=-1确定待求直线的斜率,再由点斜式得到直线的方程. ②由两直线平行(垂直)的方程特征设出方程,再由待定系数法求解. f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png 31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png 5.两条直线的交点与距离 (1)求两直线的交点坐标 设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则方程组 3bbcd6d86448f0b3bb9de535d9fafcfb.png 的解就是两条直线的交点坐标. ①若方程组有唯一解,则两条直线 相交 ,此解就是交点的坐标; ②若方程组无解,则两条直线 无公共点 ,此时两条直线 平行 ,反之亦成立. (2)距离公式的应用
    • 求距离

    应用距离公式求解即可. 敲黑板 ①求点到直线的距离时,必须把直线方程化为一般式Ax+By+C=0. ②求两条平行直线间的距离时,一定要把直线方程中x,y的系数化成一致的.
    • 已知距离求有关方程或有关量

    借助距离公式首先建立方程(组)得出参数的值或满足的关系式,然后结合题中其他条件确定方程、点的坐标等. 敲黑板 若已知点到直线的距离求直线方程,用一般式可避免讨论.否则,应讨论斜率是否存在. f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png 31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png 6.对称问题 (1) 点关于点对称 若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)关于点C(a,b)对称,则由中点坐标公式得 05b8c29fde6363c24675466bd799c6de.png 从而可解. (2)直线关于点对称 方法1:根据两对称直线平行,求出已知直线上任一点的对称点,由点斜式可求对称直线的方程; 方法2:在已知直线上任取两点,分别求出两个对称点,由两点式可求得对称直线的方程. (3)点关于直线对称 若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则满足方程组 7344f640de1636aa0b7923bcde76764b.png 进而求解 (4)直线关于直线对称 (1)若l1∥l2,l1与l2关于直线l对称,则可利用平行线间距离公式求解; (2)若l1∩l2=A,l1与l2关于直线l对称,且点A在直线l上,求出直线l1上任一点关于直线l的对称点B,由 两点式 可求得对称直线的方程. 敲黑板 点关于点的对称是基本问题,也是各种对称问题可转化的最终问题.抓住两点:一是“垂直”,两对称点连线与对称轴垂直;二是“平分”,两对称点连线段的中点在对称轴上. 声明:以上内容摘自包学习APP_动态教辅《 数学丨动态题型包 》,欢迎来包学习和更多小伙伴一起学习更多知识吧。 c79161691cef18b290ffba06024dbe90.png 点击
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  • 写在前面:本文适合初三学生;本文所讲的方法,可供...平面几何是初中数学学习的核心内容之一,也是最大的学习难点之一,尤其是面对圆或平行四边形的压轴题时,不少优等生也会望而却步,因为采用传统平面几何解题的...

    写在前面:

    1. 本文适合初三学生;
    2. 本文所讲的方法,可供平时的学习开拓思维,考试时也许可以帮你得分,但请慎用!
    3. 创作不易,喜欢的话不要只收藏呀,双击屏幕有惊喜哦~

    2019.6.2 更新了一道例题&知识补充

    2019.6.3 修正部分错误


    一、什么是解析几何?

    平面几何是初中数学学习的核心内容之一,也是最大的学习难点之一,尤其是面对圆或平行四边形的压轴题时,不少优等生也会望而却步,因为采用传统平面几何解题的思维难度太大了。在历史上,就连数学家们的想法也是类似的:

    传统的数学工具对某些运动问题已经无能为力,这就迫切地需要一种新的数学工具,从而导致了变量数学即近代数学的诞生. 变量数学的第一个标志就是解析几何的发明,解析几何学的诞生改变了整个数学的面貌,是数学发展史上重要的里程碑。(出自人教版高中数学《选修3-1:数学史选讲》)

    于是,聪明的数学家们想出了一种新的研究几何问题的方法——解析几何

    解析是利用解析式来研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支,亦叫坐标几何。(百度百科)

    解析几何的这一段定义、甚至是这个名字本身听起来就很高大上。但其实,我们已经接触过解析几何中最关键的一部分了——解析式。一次函数、二次函数的解析式,这是大家再熟悉不过的。

    有了解析式,我们就可以把平面几何问题,转化为求解方程的问题了。例如,求平面上两条直线的交点,我们可以联立两条直线的解析式得到方程组进而解出交点。

    说了这么多,还没有一点实际的,那就放一个例子:

    例1 (2019·某高中月考题改编,有删节)如图,在

    中,
    . 求
    的长.

    100622173a0138401150b817e600bf58.png

    这道题思路其实不难,但是计算量并不小。用传统的平面几何方法要写这么多:

    解:如图,作
    于点
    .

    ∵在
    中,







    那么
    .


    由勾股定理,
    .

    5bf3de606f25b83e73e5eb2132423fd7.png

    好,做完题目了,我们来反思一下有没有可以改进的地方。

    这道题目的核心,其实就是利用勾股定理计算线段长度。进一步说,最为关键的,就是要找到

    点与
    点水平距离以及竖直距离

    数学敏感的同学已经发现了:放在平面直角坐标系里,两个点的横坐标之差就是它们水平方向上的距离,纵坐标之差就是它们竖直方向上的距离

    可是题目里没有直角坐标系啊?

    没关系,我们自己建系

    0a28b452b6cfa81f45aa34db0896532b.png

    如图,以

    为原点建立平面直角坐标系
    .

    根据题目的条件,我们很容易观察出图中几个点的坐标:

    想一想,C点的坐标是怎么求出来的?想不到的话,可以看评论区

    有些老师可能已经教过平面直角坐标系里两点之间距离的公式了,但如果没有,也别担心:

    是平面直角坐标系中的任意两点,那么
    之间的距离(常记作
    )为
    .

    这个公式不难推导,请你尝试用勾股定理完成对它的证明。

    由于

    两点坐标已知,直接套用公式,就可以求出
    了,答案和常规方法完全一样。

    看到这里,你可能还没觉得解析几何(通俗了说就是建系法)有多好用。没关系,精彩在后面呢。

    二、解析几何中必备的一些基础知识

    1. 两点间距离公式(上文已经给出,此处略去)。
    2. 平面中直线的表示:
    我们已经知道,任意一次函数的解析式
    都能代表直线。但有两种直线是不能这样表示的:平行于
    轴和平行于
    轴的直线。因此,我们用
    来表示任意一条平行于
    轴的直线,这条直线上任意一点的纵坐标都为
    ;用
    来表示任意一条平行于
    轴的直线,这条直线上任意一点的横坐标都为

    这样,平面中任意一条直线的方程都可以用一个方程表示出来,我们把这些表示直线的方程称为 直线方程

    3. 斜率:

    对任意一条直线
    ,其
    斜率即为
    ,表示直线的倾斜程度。
    的绝对值越大,直线越陡峭。特别地,对于
    型的直线方程,我们称其
    斜率不存在

    4. 两条直线平行或垂直的判定:

    已知直线
    则:
    当且仅当
    时,两条直线平行;
    时,两条直线垂直。很重要!)

    ※5. 圆的方程

    重点来了。圆的标准方程
    中,有三个参数
    ,即圆心坐标为
    ,半径为
    ;只要求出
    ,这时圆的方程就被确定,因此确定圆方程,须三个独立条件,其中圆心坐标是圆的定位条件,半径是圆的定形条件。
    理解:直线方程是
    ,代表一条直线,这条直线上的任意一点
    都满足这个方程;圆的标准方程是
    ,代表圆上的任意一点
    也都满足这个方程。

    推导过程:根据圆的定义:圆上任意一点到圆心的距离等于半径以及两点间距离公式得出。

    6. 求任意直线与直线、圆与直线、圆与圆的交点

    有了上面的知识储备,这就很简单了。我们只要把两个代表直线或曲线的方程联立,解出所得到的二元方程组,就能求出交点坐标了。

    7. 三角函数进阶

    上文中提到了斜率
    ,那么这个东西有什么实际用途呢?

    有的!除了平行于
    轴的直线,任意一条直线都一定会与
    轴有且只有一个交点。并且,这条直线与
    轴正半轴的夹角(称之为倾斜角)的正切值,就是这条直线的斜率。

    例如,直线
    的斜率是
    ,那么这条直线与
    轴的夹角就是
    .

    可是问题来了,如果一条直线的倾斜角是钝角,斜率,也就是钝角的正切值如何计算呢?
    这就需要一些三角函数的进阶知识——
    · 初中学习了锐角三角函数,但其实,对于任意的角,无论是正是负,都有它的三角函数值,这个值 可正可负
    · 对于 任意的的角
    来说,我们有公式(高中称
    诱导公式):
    ——利用这些公式,可以把非锐角转化为锐角从而计算三角函数值。
    · 同角三角函数有以下两个关系:
    表示角
    的正弦值的平方)

    (对于任意一个角,已知其正弦或余弦或正切,都可以用这些关系算出另外两个三角函数值,即“知一得二”)
    · 三角函数的和角公式(差角公式只要把正号变成负号,负号变成正号):

    三、实战讲解

    看到这里,你可能还觉得上面的知识点看起来云里雾里。没关系,用一道中考压轴题来为你拨开迷障(是的,建系法可以秒压轴题!):

    例2 (2018·广东中考·24)如图,四边形

    中,
    ,以
    为直径的经过点
    ,连接
    交于点
    .

    (1)证明:

    (2)若

    ,证明:
    相切;

    (3)在(2)条件下,连接

    于点
    ,连接
    ,若
    ,求
    的长.

    9cf4a217cb1c0768175ad8975fcbe844.png

    第(1)(2)问难度不大,只讲第(3)问.

    这题的标准解法是做辅助线构造相似三角形,但我们完全可以用上面讲的建系方法来做。

    建系时,可以把任何点作为坐标原点,但原点所在的直线最好有较多直线与之平行、垂直,以方便求出其他点的坐标。

    在这道题中,以

    点为原点显然是一个很好的选择,因为
    垂直,与
    平行,且已知
    的中点,可以快速求出点
    的坐标。

    建系之后得到这样一个图:

    14b9a573fcb315163bf1ad87edad7515.png

    768b52deb4ba9e3d9c904e9bc134239c.png
    原创图片讲解

    ca91ea093c9a761e5d8dc95128cd9b43.png

    这道题如果用平面几何方法做,至少要几十分钟;建系的话,五分钟之内就可以搞定。

    就是这么简单粗暴。

    2019.6.2更新 感谢 @用手指戳他鼻孔 提供的题目~

    例3 (2015·湖北荆门)已知,如图,

    的直径,点
    上一点,
    于点
    ,交
    于点
    交于点
    ,点
    的延长线上一点,且
    .

    4021838b3e7341ba3ff4d034af28649a.png

    (1)求证:

    的切线;

    (2)求证:

    (3)若

    的半径为
    ,求
    的长.

    第(1)(2)问比较简单,适合用平几方法做,这里讲如何用建系法解第(3)问。

    很显然,我们以

    点为原点建立平面直角坐标系是最方便的:

    254108886c6b1098f7d87c5c2b84dd81.png

    连接

    ,易知

    的正弦值已知,结合同角三角函数的关系与和角公式,

    ,

    .

    就是直线
    的斜率,又由于
    过原点,故
    的直线方程为:
    .

    因为

    ,所以两直线斜率之积为-1,又易知
    ,可求出
    .

    联立

    与圆
    的方程
    ,解得交点坐标

    又因为

    点坐标为
    ,所以
    .

    联立

    的方程,解得交点坐标为
    .

    所以

    .
    展开全文
  • 数学是高考最能拉开差距的科目,...40、抛物线的焦半径公式 41、平方差标准差的计算 42、回归直线方程 43、独立性检验 44、复数 45、参数方程、极坐标化为直角坐标 长按二维码关注我们 清清楚楚报志愿 明明白白上大学

    数学是高考最能拉开差距的科目,如何学好数学也成了每个高中学子首当其冲的要务。其实学好数学的第一步是“记住并深刻理解公式”,这样在做题时才会有货。

    1 、函数的单调性  

    5dc5cfd68b9152a3a0019bbe0723d54b.png

    2 、函数的奇偶性  

    1669f4ae359584529b6c430e845315fd.png

    3、 函数在某处的导数的几何意义  

    68316e6b7e303f02fb4dec192551e776.png

    4、几种常见函数的导数  

    9f4d290c4689c36313b24f0c36846400.png

    5、导数的运算法则  

    8f10b85f12bd43c98f0f0b4f91827663.png

    6、求函数的极值  

    ebfd07665392ed092f48a09081244079.png

    7、分数指数幂  

    a143263ddd105dd8abdcfb7e452f894c.png

    8、根式的性质  

    e57272f78e5e96599181ec6126a55d7e.png

    9、有理数指数幂的运算性质  

    cdb5f4dc277f0244cf329880f811a73a.png

    10、对数公式  

    d94f7c835df1208b8075b2b8a87cc905.png

    11、常见的函数图像  

    b58bf2cb28ff54a7d0235f9cc2dec24d.png

    12、同角三角函数的基本关系式  

    3090e55bc501dd89c0e67879dd1fb84b.png

    13、正弦、余弦的诱导公式  

    420bdbc9d4897634b36d393cfd4b9efb.png

    14、和角与差角公式  

    a4872d1e55390f1c47bad232af8ed320.png

    15、二倍角公式  

    0763c9f7c0733104822708e2945eaffc.png

    16、三角函数的周期  

    5456f5049c30dcf00bbf40c4646a8c1a.png

    17、正弦定理  

    b08e0e78fab6d50c59abf7f238f56e0d.png

    18、余弦定理  

    69ce817caa6aec2146d0c2ae117116d1.png

    19、面积定理

    fe76478bd57fe3f1d2f68165fbd56090.png

    20、三角形内角和定理

    dd8e7693b2a65c9a29775a2e506a01be.png

    21、a与b的数量积

    15485bf0ea972b439923c6eb2cac46bb.png

    22、平面向量的坐标运算

    7f4c89a59a56be2e6eda46f2f6f5e19b.png

    23、两向量的夹角公式

    11553150ad475b0eb1012b3b08df38ad.png

    24、平面两点间距离公式

    96e83f9ca5ab4ea367eff536664f23ae.png

    25、向量的平行与垂直

    f99207cb24380ee4339f727a82967bba.png

    26、数列通项公式与前n项和的关系

    769e35f2f5bb311cb73bad7ba081229d.png

    27、等差数列通项公事与前n项和公式

    9c20b145bfa7588e0f131b1b04af3929.png

    28、等差数列的性质

    6bc37f7b2ec8c4a46ed448f5be8ac1ee.png

    29、等比数列的通项公式与前n项和公式

    fa0079446581e01c3b6da8385e7e0bf8.png

    30、等比数列的性质

    1e4223929b2465a78386010a50e37fbe.png

    31、常用不等式

    0bf2b2b4ebea9abef065faa4056ff222.png

    32、直线的三角方程

    d5884382f7103b4a4cb945754013bfe6.png

    33、两条直线的垂直和平行

    85794f544be7e27a073d7ba211a2e42a.png

    34、点到直线的距离

    42efd218be518293dad2366b46f54b0a.png

    35、圆的两种方程

    3763f9815605340fb4ee76fd03f2aafd.png

    36、点与圆的位置关系

    04b7d341973bdf9fb33e996c7578ab86.png

    37、直线与圆的位置关系

    635096996e7d478459f9acea305d9d94.png

    38、椭圆、双曲线、抛物线的性质

    eb6581e9590e9c6b19b80a3e865c9b66.png

    39、双曲线方程与渐近线方程的关系

    57eb0ba997aa44f1f544578ca1d0f009.png

    40、抛物线的焦半径公式

    d75df64bad465fbbf570d602b3288728.png

    41、平方差标准差的计算

    f0e0587251759e8f58f533bfe3ec2fda.png

    42、回归直线方程

    90ab03a76f415442d0bc858bcbf3f9ba.png

    43、独立性检验

    4c222f09d45ce024d49949972678fe2a.png

    44、复数

    7c3573f30651255dda9c1270f55cb2ca.png

    45、参数方程、极坐标化为直角坐标

    56ba76e238dfc38bbe2ba4a17c3643e4.png

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    万次阅读 2019-04-01 13:21:49
    但是,该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式:,平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行考查. 二、基本概念 ①平面直线方程的种常用表示: 直线的点斜式方程:;...
  • 展开全部空间向量,如果一条直线与一平面平行,那么直线的方向向量与平62616964757a686964616fe78988e69d8331333431353934面的法向量关系:直线方向向量s与平面法向量n的数量积为0。即:s•n=0。直线平面平行时,...
  • 笛卡尔坐标系

    万次阅读 多人点赞 2019-04-10 20:01:41
    二维的直角坐标系是由条相互垂直、相交于原点的数线构成的。在平面内,任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。 直线标准式 ax+by+c=0ax + by + c = 0ax+by+c=0、斜截式 y=mx+ky = mx + ky=mx+k。一个圆...
  • -----------------------------------------一、向量1、简单的高中那些就不说了....2、左右手系:右手系:将右手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为...
  • 直角坐标系的平移和旋转

    千次阅读 2012-04-12 13:51:21
    平面上的坐标系 地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面,也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上,...平面直角坐标系的建立 在平面上选一点O为直角坐标原点,过该点O作相互垂直的轴X’OX和Y’
  • ANSYS 有限元分析 坐标系/工作平面

    千次阅读 2020-05-23 21:02:08
    目 录一、前沿二、总体及局部坐标系2.1 激活坐标系 CSYS2.2 新建坐标系2.2.1 LOCAL2.2.2 CLOCAL2.2.3 坐标系类命令三、结点坐标系 NROTAT四、单元坐标系五、结果坐标系 RSYS六、工作平面 WPCSYS七、尾声八、参考文献...
  • 导航的几种常用坐标系 地心惯性坐标系(ECI) 地心地固坐标系(ECEF) 当地水平坐标系(LLF)、东北天坐标系ENU 地平坐标系 载体/机体坐标系 原创不易,路过的各位大佬请点个赞 一、 地心惯性坐标系(ECI) &...
  • 它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次用A1,A2,A3,A4,…表示,则顶点A55的坐标是( ) 如图,已知平面直角坐标系中的点,、为线段上动点,过点作轴的平行线交轴于点,过点作轴的平行线交轴于点,交直线于...
  • 背景背景知识和坐标系有关。什么是地理坐标系,什么是投影坐标系?参考此文:原文1、首先理解地理坐标系(Geographic coordinate system),Geographic coordinate system直译为地理坐标系统,是以经纬度为地图的存储...
  • 学习GIS开发,坐标系是绕不过去的,此乃基本概念,一定要搞清楚。某从事WEB GIS开发差不多2年,一直对这个坐标系感到模糊。这天因为求解一个问题,方始有点认知。 GIS世界里,坐标系有很多,而且描述得十分抽象,...
  • 自动驾驶坐标系

    千次阅读 2022-04-27 10:14:47
    自动驾驶坐标系0.引言1.相机传感器坐标系2.激光雷达坐标系3.车体坐标系4.世界坐标系4.1.地理坐标系4.2.投影坐标系4.2.1.投影方式4.2.2.通用横轴墨卡托UTM投影5.自动驾驶的坐标定位 0.引言 总结于网络。重点在...
  • 原标题:详解|六轴机器人,SCARA机器人,直角坐标机器人和 Delta机器人一、六轴工业机器人 六轴工业机器人的最大的工作空间类似一个球体,它可以将机械手臂末端工具以几乎任意角度放置在接近无限数量的平面上,它的...
  • 直线的交点坐标与距离公式

    千次阅读 2020-12-24 15:25:45
    直线的交点坐标与距离公式一:条直线的交点坐标:1、设条直线分别为1l:1110AxByC,2l...若方程组无解,则条直线无公共点,此时直线平行;若方程组有无穷多解,则直线重合例1、求经过直线2330x...
  • 点间的距离》教案授课题目点间的距离公式授课类型新授课学习目标知识与技能掌握直角坐标系两点间的距离,用坐标证明简单的几何问题。过程与方法通过点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。;。...
  • 本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。...需要用其他坐标可以修改参数$_a, f,_f,f​,zoneWide,longitude0北京54坐标6度分带参数是:longitude0 北京54坐标6度分带参数是:longitude0北京54...
  • 空间直线平面的交点

    千次阅读 2019-02-22 10:51:59
    空间直线平面的交点
  • 齐次坐标系(homogeneous coordinates)

    千次阅读 2019-11-10 22:30:38
    问题:平行直线能够相交 在欧式几何空间平行直线是不能相交的,然而,在投影空间,是...例如在笛卡尔坐标系中,一个2维点可以表示为(x,y)(x,y)(x,y)。如果这个点事无穷远,该怎么表示呢?无穷远的...

空空如也

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平面直角坐标系中两直线平行