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  • 平面直角坐标系中的旋转公式_初中数学《平面直角坐标系》说课稿
    2020-11-11 18:00:04

    尊敬的各位考官大家好,我是今天的X号考生,今天我说课的题目是《平面直角坐标系》。

    新课标指出:数学课程要面向全体学生,适应学生个性发展的需要,使得人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上都能得到不同的发展。今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。

    一、说教材

    首先谈谈我对教材的理解,《平面直角坐标系》是人教版初中数学七年级下册第七章7.1.2的内容,本节课的内容是平面直角坐标系及相关概念。有序数对在上一节已经进行了讲解,并且之前也学习了数轴的概念,对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容为后面研究函数的图像提供了有力的基础。

    二、说学情

    接下来谈谈学生的实际情况。新课标指出学生是教学的主体,所以要成为符合新课标要求的教师,深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生已经具备了一定的分析能力,也能做出简单的逻辑推理,而且在生活中也为本节课积累了很多经验。所以,学生对本节课的学习是相对比较容易的。

    三、说教学目标

    根据以上对教材的分析以及对学情的把握,我制定了如下三维教学目标:

    (一)知识与技能

    掌握什么是平面直角坐标系,会通过点的坐标找到位置以及通过位置写出点的坐标。

    (二)过程与方法

    在探索平面直角坐标系以及点的坐标与位置关系时,提升逻辑推理能力以及几何直观。

    (三)情感态度价值观

    在自主探索中感受到的喜悦,激发学习数学的兴趣。

    四、说教学重难点

    我认为一节好的数学课,从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是:平面直角坐标系及相关概念。这种方法学生首次见到,难以理解,所以本节课的教学难点是:理解建立平面直角坐标系的必要性,体会平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系。

    五、说教法和学法

    现代教学理论认为,在教学过程中,学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者,教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念,结合本节课的内容特点和学生的年龄特征,本节课我采用讲授法、练习法、小组合作等教学方法。

    六、说教学过程

    下面我将重点谈谈我对教学过程的设计。

    (一)新课导入

    首先是导入环节,那么我先提问:上节课学习的内容是什么?能否举一个例子。

    根据学生回答追问:有序数对所表示的位置如何直观表示?从而引出本节课的课题《平面直角坐标系》

    利用有序数对而不用数轴进行导入,是因为有序数对是上节课学习的内容,而数轴是上学期学习的内容,距离学生相对比较远。这样利用学生刚刚学过的知识进行导入,更好的从学生的角度出发,学生更容易接受。

    (二)新知探索

    接下来是教学中最重要的新知探索环节,我主要采用讲解法、小组合作、启发法等。

    学生对于该问题能够根据之前的知识经验考虑使用数轴,我便和学生一起回顾数轴的三要素。接下来进一步引导:对于有序数对有两个数应该如何表示,进而转到用两个数轴。

    继续追问:用两个什么样的数轴?

    为了更好的解决这个问题,通过画一个不垂直的数轴让学生进行感受。学生通过直观的感受以及电影院座位的例子,得出结论:用相互垂直的两条数轴。还可以让学生利用数轴的三要素,类比找到y轴的三要素。

    给出总结:由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系,水平的数轴称为x轴或横轴,取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

    利用数轴的三要素进行讲解,既考察了学生对之前知识的掌握情况,还能够利用相类似的知识提高学生的类比、迁移的能力。

    接下来我会在平面直角坐标系中给出A、B、C、D四个点的位置,然后讲解如何用有序数对确定一点的坐标。例如A点,过点A分别向x轴、y轴做垂线,垂足所对的坐标分别为横坐标和纵坐标。记为A(2,1)。接下来让学生以同桌为单位找出B、C、D点的坐标。

    通过对A、B、C、D观察,发现在平面直角坐标系的不同位置,从而给出象限的概念。

    利用导入中学生给出的有序数对,以及新给出的(2,0)和(3,0)让学生在平面直角坐标系中找到对应坐标的位置。

    从而引出x轴、y轴上的坐标有什么特点。

    最后是一个难点,提问学生数轴上的点与坐标是什么关系?想一想平面上的点与坐标又是什么关系?

    学生能够用类比的方法得到平面上的点与坐标是一一对应的。

    至此本节课的主要教学内容已经完成,做到了突出重点,突破难点。

    在选点的过程中我选择不同象限的点让学生标出坐标,这样为讲解不同的象限奠定基础。

    (三)课堂练习

    接下来是巩固提高环节。

    给出几个点的坐标,让学生在平面直角坐标系中描出各点。

    这样的问题的设置,让学生对知识进一步巩固,让学生逐渐熟练掌握。

    (四)小结作业

    在课程的最后我会提问:今天有什么收获?

    引导学生回顾:什么是平面直角坐标系,如何根据坐标找点,如何根据点找坐标;平面直角坐标系内点与坐标之间有什么关系?

    本节课的课后作业我设计为:

    思考平面直角坐标系中不同位置的点的坐标有何特点?

    这样的设计能让学生理解本节课的核心,感受数形结合思想。

    七、说板书设计

    我的板书设计遵循简介明了突出重点部分,以下是我的板书设计:

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    1、空间直角坐标系
    空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心,Z轴指向参考椭球的北极,X轴指向起始子午面与赤道的交点,Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角,某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。空间直角坐标系可用如下图所示:
    在这里插入图片描述
    2、大地坐标系
    大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角;经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角;大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
    在这里插入图片描述
    3、高斯-克吕格尔平面直角坐标系
    平面直角坐标:如坐标原点o是任意假定的,则为独立的平面直角坐标系。

    大地坐标(B,L)转换为平面直角坐标(X,Y)的一般数学表示法为:X=F1(B,L), Y=F2(B,L), 式中F1、F2为投影函数。高斯-克吕格尔投影的投影函数是根据以下两个条件确定的:第一,投影是正形的,即椭球面上无穷小的图形和它在平面上的表象相似,故又称保角投影或保形投影;投影面上任一点的长度比(该点在椭球面上的微分距离与其在平面上相应的微分距离之比)同方位无关。第二,椭球面上某一子午线在投影平面上的表象是一直线,而且长度保持不变,即长度比等于1。该子午线称为中央子午线,或称轴子午线。这两个条件体现了高斯-克吕格尔投影的特性。 大地坐标系是大地测量的基本坐标系。
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    (建议阅读原文) 预备知识 空间旋转矩阵,圆周运动的速度
       直角坐标系中,某点

    以单位矢量
    为轴按右手定则转动
    角的得到的点
    可用矩阵乘法计算

    其中
    绕轴旋转矩阵

    其中

    事实上, 数学上更规范的做法是用四元数表示该矩阵.

    推导
       推导的思路是用

    ,
    三个已知量经过数乘,内积和叉乘三种运算,表示出旋转后的矢量
    ,再拆成三个分量,即可得到线性变换,进而写出矩阵. 注意该思路与推导平面旋转矩阵 的思路不一样.

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    图 1:绕轴旋转矩阵的推导

       如图,

    绕单位矢量
    旋转后得到
    方向的分量为

    在与
    垂直方向的分量为

    为了构成一组正交基底,令

    相当于
    旋转 90°. 现在有了正交的
    ,
    就可以表示出
    旋转
    角后的结果


    将式 4 式 5 式 6 代入式 8 , 即可求出
    关于
    ,
    的矢量表达式. 把结果写成分量的形式,化简可得到
    关于
    的线性变换与系数矩阵.

    由旋转矩阵推导出匀速圆周运动的线速度
       我们可以用旋转矩阵得到

    (式 5 ), 这也验证了旋转矩阵的正确性.

       在无穷小的时间
    内,点
    绕轴转过
    角,则
    , 此时有
    . 旋转矩阵变为

    下面
    乘以某点的列矢量,得到变换后的坐标,再减掉变换前的坐标,得位移矢量

    两边除以
    ,得
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    一、复习目标

    1.理解并掌握旋转的性质.

    2. 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形,欣赏旋转在现实生活中的应用.

    3. 理解中心对称的有关概念及其基本性质,了解中心对称与旋转的关系. 理解中心对称图形的概念及其基本性质,了解平行四边形、圆是中心对称图形.

    4. 会判断一个图形是否是中心对称图形,能找出中心对称图形的对称中心.

    5. 理解两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y).能画出已知图形关于原点对称的图形.

    重点:旋转的性质、中心对称性质的应用

    难点:旋转性质的应用.

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    二、新课导入

    专题一、旋转的性质

    例1(2020•大连)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′,使点C的对应点C′恰好落在边AB上,则∠CAA′的度数是(  )

    A.50°        B.70°   C.110°           D.120°

    180bdf85cfcb7d5f412be0acf4f752e7.png

    例2 (2020•眉山)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置,点B1恰好落在边BC的中点处,则CC1的长为    

    68fcb7f5c19fa2b5fa62166734efe7f5.png

    专题二、中心对称图形

    例3.下面四个标志是中心对称图形的是( )

    b098026b702c6d4ea13cb72e5d165ee0.png

     例4 如图,下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )

    1da0fb47ff5405bba2a4984b11106a36.png

    专题三 关于原点对称

    例5 已知点A(x,y-4)与点B(1-y,2x)关于原点对称,求xy的值;

    专题四、旋转与点的坐标

    例6 将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,将三角板绕原点O顺时针旋转75°,若OA=4,则点A的对应点A′的坐标为____________.

    63c8da2b70a7f09e45e19eeaa72b35ab.png

    专题五、添辅助线解决与旋转有关的问题

    例7.等边三角形内有一点O,已知OA=4,OB=3,OC=5,求∠AOB的度数.

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    二、回顾与反思

    通过以上内容,你还觉得自己在哪些方面存在疑惑,你掌握了哪些内容?

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    三、课堂检测(每小题20分共100分,时间5-8分钟)

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    四、每日一题(提高题)

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