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  • 如何理解三维直角坐标系中的旋度表达式原创: 善欢喜王 唯心识学 2019-02-25上一篇说到,三维直角坐标系下的旋度定义简单、直接、粗暴、摄人心魄,拥有一种异样的美。这里就要给大家讲讲为什么它简单、直接、粗暴?...

    如何理解三维直角坐标系中的旋度表达式

    原创: 善欢喜王 唯心识学 2019-02-25

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    上一篇说到,三维直角坐标系下的旋度定义简单、直接、粗暴、摄人心魄,拥有一种异样的美。这里就要给大家讲讲为什么它简单、直接、粗暴?以及它摄人心魄的美究竟体现在哪里?

    我们先看三维直角坐标系的样子,大家记住三个坐标轴 x、y、z 所指的方位,它们的方位顺序不能乱。

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    在三维直角坐标系中,三个坐标轴的顺序是这样的:

    当我们用对待二维坐标系的方式去看 xy 平面时,z 轴的方向是从坐标原点指向我们自己的方向。(约定 x 轴的正方向朝右,y 轴的正方向朝上)

    明确了三维直角坐标系的三个坐标轴的方位顺序之后,我们还要约定三个单位矢量。

    设 i、j、k 是三个单位矢量,其中:

    1、i 的方向是 x 轴的正方向

    2、j 的方向是 y 轴的正方向

    3、k 的方向是 z 轴的正方向

    再为数学水平较差的读者扫除一些障碍:

    1、矢量场 F 沿 x 轴、y 轴、z 轴方向可以通过矢量分解划分出三个分量,将这三个分量分别记做:Fx、Fy、Fz 。有些书上将这三个分量记做O、P、Q ,意思都是一样的。

    2、偏微分符号 ∂

    符号 ∂ 表示被描述对象的变化是在三维空间中的微小变化,比如 ∂F 就是 F 在三维空间中的一个微小改变量。它本身并不包含任何特殊的数学算法。在明确了方位之后,∂ 的含义与 Δ 的含义大致一样(∂ 有表示对象本身是无穷小量的意思,Δ 若不特殊说明,就表示一个改变量,并不涉及无穷小),只不过 Δ 是中学时就能接触到的表示变化的符号,而 ∂ 是学微积分时被引入的微分符号。若实在不喜欢 ∂ ,那就当它是 Δ 好了,反正只要明确了方向、规定了无穷小之后,它们的含义是完全一样的。

    三维对象的旋转可以有三个自由度,即绕 x 轴的旋转自由度、绕 y 轴的旋转自由度、绕 z 轴的旋转自由度,任何三维对象的旋转都可以是其自身三个自由度的旋转叠加之后的结果。

    既然一个三维对象的旋转是三自由度的,那么从另一个角度去想,无论这个三维对象在展现何种难以描述的旋转造型,我们都可以将其分解为绕 x 轴的旋转、绕 y 轴的旋转、绕 z 轴的旋转三个分量。

    因为任何三维对象的旋转都可以分为绕 x 轴的旋转、绕 y 轴的旋转、绕 z 轴的旋转三个分量,所以对于旋转对象 F ,我们可以通过分别描述 Fx 、Fy、Fz 三个方向的分量各自旋转状况的方式进而描述 F 整体的旋转状况。

    我们先看绕 x 轴旋转的状况。

    既然是绕 x 轴旋转,x 轴方向的变化就暂时不用考虑,可以设想自己的视角正沿着 x 轴去看 yz 平面。

    当 y 轴方向产生一个微小的变化 Δy 时,若 F 沿 z 轴方向的分量 Fz 也产生了一个微小的变化,记做 ΔFz ,那么从 x 轴向 yz 平面看去,对象 F 就会表现出一个从 y 轴方向朝 z 轴方向偏转的趋势,这个趋势就是 ΔFz/Δy 。

    当 z 轴方向产生一个微小的变化 Δz 时,若 F 沿 y 轴方向的分量 Fy 也产生了一个微小的变化,记做 ΔFy ,那么从 x 轴向 yz 平面看去,对象 F 就会表现出一个从 z 轴方向朝 y 轴方向偏转的趋势,这个趋势就是 ΔFy/Δz 。

    因为这两个趋势方向恰好是相反的,所以只要让 y 轴偏向 z 轴的旋转趋势与 z 轴偏向 y 轴的旋转趋势相减,就能得到绕 x 轴的总旋转趋势。

    比如我们可以这样,让

    ΔFz/Δy - ΔFy/Δz

    减号左右两边内容的顺序不能乱,这样才能正确反映右手定则。

    可以这样约定:

    当我们沿 x 轴的负方向去看坐标原点的时候,将 y 轴与 z 轴整体转向,使得一个坐标轴的正方向朝右,另一个坐标轴的正方向朝上(在这种情况下只能是 y 轴朝右,z 轴朝上)。

    从右向上的旋转趋势放在减号左边(逆时针)

    从上向右的旋转趋势放在减号右边(顺时针)

    当选择 y 轴或 z 轴指向我们自己时,因为三维直角坐标系的坐标轴方向是确定的,所以我们可以参照 x 轴以此类推。

    于是绕 x 轴的总的旋转趋势就是

    ΔFz/Δy - ΔFy/Δz

    即 y 轴向 z 轴的旋转趋势减去 z 轴向 y 轴的旋转趋势。

    那么绕 x 轴涡旋的旋度方向应该是哪个方向呢?当然应该是通过右手定则决定的方向。

    怎样用数学符号确立绕 x 轴涡旋的旋度呢?

    因为 x 方向的单位矢量是 i ,所以进行如下操作就可以了:

    (ΔFz/Δy - ΔFy/Δz)i

    为了照顾一下数学家们的习惯(其实那是一个非常好的习惯,叫做严谨),我们还是用偏微分符号 ∂ 替换掉符号 Δ 吧。于是得到

    (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i

    大家看,这不就是三维直角坐标系中旋度定义式的第一项吗?

    大家现在能够想象出(∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i 的几何图像了吗?

    很简单对吧?它就是将 x 轴视为旋转轴时,yz 平面顺时针方向的旋转趋势与逆时针方向的旋转趋势在打架,谁打赢了就朝谁的方向转,最后告诉赢家,你的旋度矢量方向必须满足右手定则,这是比赛规则。

    现在让大家再看一个三维直角坐标系中旋度定义式的马甲,大家看还认得不?

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    它是不是很简单呢?

    其实就是将任意一个涡旋都拆分为绕 x、y、z 轴的三个自由度的涡旋,让所有的旋转趋势分为三个小组去打架,小组比赛胜出的那个获得一个右手定则奖杯,最后将三个小组的旋转趋势冠军进行矢量合成,这就是旋度的几何图像。

    这种以斗殴的方式获得的旋度是不是既直接又粗暴呢?在数学形式上它也足够优美吧?

    当我们看到单位矢量 i 的时候,想象眼前展现出一个 yz 平面,其中逆时针偏转的趋势与顺时针偏转的趋势在搏斗,附在自转轴上的单位矢量 i 作为裁判在主持比赛。右手定则规定,若逆时针趋势赢了,这个旋度分量的方向就是 i 的正方向;若顺时针趋势赢了,这个旋度分量的方向就是 i 的负方向;若它们打了个平手,这个旋度分量就是零。j 方向与 k 方向也是如此处理,这样,旋度的数学意义就鲜活了起来。

    反倒是那个写成行列式的助记符号,它对理解旋度的数学含义真的有用吗?为什么我怎么看都觉得它有些鸡肋呢?

    ===============

    昨天的文章发出后,一些网友给我发消息说了自己的看法。

    本来想在这里回应,但是今天的正文内容写着写着几个小时就过去了。太晚了,只好明天再说了。

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    361dacc08bbeb8a8293c3712893e4c6c.gif

    7.3正切函数的诱导公式

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  • 关于高斯克吕格平面直角坐标系

    万次阅读 2012-06-01 16:43:56
    高斯克吕格平面直角坐标系是投影坐标系的一种,根据我国的地理情况,为建立地形图的测量控制和城市、矿山等区域性的测量控制,早在1952年决定,采用高斯克吕格平面直角坐标系。 投影面的形成: 椭球面是不可展...

    高斯克吕格平面直角坐标系是投影坐标系的一种,根据我国的地理情况,为建立地形图的测量控制和城市、矿山等区域性的测量控制,早在1952年决定,采用高斯克吕格平面直角坐标系。



    投影面的形成:


    椭球面是不可展曲面,无论如何选择投影函数,椭球面上的元素,投影到平面上,都会产生变形(角度、长度、面积)。高斯投影是一种等角投影(正形投影),又称为横轴椭圆柱等角投影。想象用一个椭球柱面横套在椭球外面,并与某一条子午线相切,椭球的柱的中心轴通过椭球中心,然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上,再将此柱展开即成为投影面。




    坐标系的定义:


    在投影面上,中央经线和赤道的投影都是直线,并且以中央经线和赤道的交点作为坐标原点,以中央经线的投影为纵坐标,以赤道的投影为横坐标,这就形成了高斯平面直角坐标系。




    分带投影:


    高斯投影对投影函数的选择条件:

      1)椭球面上的任意角度投影到平面后保持不变;

      2)作为平面坐标轴的中央经线,投影后是一条直线,并且是投影点的对称轴;

      3)中央子午线投影到平面后,其长度不变。




    为了限制长度变形,就需要将投影区限定在中央经线两旁的狭窄范围内。


    通常按经线每隔6°进行分带投影。由0°经线起每隔经差6°自西向东分带,依次编号1、2、3……。6°带的带号N和中央经线L的关系为:L=6N-3。


    为了进一步限制变形,可以采用3°投影分带。3°带和6°带的中央经线重合,6°带的中央经线和分带经线均是3°带的中央经线。3°带的带号n和中央经线L的关系为:L=3n。


    我国3°带的范围 24~45,6°带的范围 13~23。






    x值无论在哪一带都是由赤道起算的自然值。


    而由于中央经线以东取正号,以西取负号。实际工作中,为了避免横坐标y出现负值,规定在y值上500km(false easting)。同时,为了区别各带坐标不同,又规定在y值前冠以带号。

    例如:6°带第20带中,y=-200.25m,成果表中应写为20499799.75m。


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  • 想了很久,觉得可以利用平面直角坐标系绘制,于是就自己试了试。 源代码: #include<stdio.h> #include<math.h> struct xy { double x; double y; };/*定义一个结构体,其意义是一个点的坐标。x...

       最近学习了C语言,做了一个用星号绘制矩形菜单的题,突然就想到如果要绘制圆应该怎么办。

    想了很久,觉得可以利用平面直角坐标系绘制,于是就自己试了试。

    源代码:

    #include<stdio.h>
    #include<math.h>


    struct xy
    {
        double x;
        double y;
    };/*定义一个结构体,其意义是一个点的坐标。x表示横坐标,y表示纵坐标*/ 

    #define cr 1/*定义一个圆的半径*/ 

    double dt(struct xy * f1,struct xy * f2);//返回两点间距离,需要两个点坐标地址 

    int main()
    {
        struct xy leftup;/*左上坐标*/ 
        struct xy rightdown;/*右下坐标*/
        struct xy cen;/*圆心坐标*/ 

        leftup.x=0;
        leftup.y=0;/*将左上坐标设置为(0,0)即位于坐标系圆点*/ 

        rightdown.x=2;
        rightdown.y=-2;/*将右下坐标设置为(2,-2),其为第四象限一点*/

        cen.x=1;
        cen.y=-1;/*将圆心坐标设置为(1,-1),位于第四象限*/ 
     
        for(leftup.y=0;leftup.y>=rightdown.y;leftup.y-=0.2) 
            {
                for(leftup.x=0;leftup.x<=rightdown.x;leftup.x+=0.1)
                    {
                        if(dt(&leftup,&cen)<=cr)
                            printf("*");
                        else
                            printf(" ");
                    }
                printf("\n");
            }
        
        getchar();
        return 0; 

    double dt(struct xy * f1,struct xy * f2) 
    {
        return (sqrt((f1->x-f2->x)*(f1->x-f2->x)+(f1->y-f2->y)*(f1->y-f2->y)));
    }

    这里定义一个名为xy的结构体来表示坐标(x,y)这样的结构。用名为cr的常量定义这个圆的半径。

    dt函数接受两个xy结构的地址,其数学意义是接受两个点的坐标。返回值是这两点坐标的距离,原理是两点坐标公式(根号下(x1-x2)方+(y1-y2)方)。

    定义三组坐标,左上(liftup)、右下(rightdown)、圆心(cen),并设置它们的x与y。

    为什么要定义左上和右下的坐标:

     上面的程序圆的半径为1,圆心坐标为(1,-1),我们需要从原点“拉”一个矩形能恰好包住这个圆,如图

    根据这个图,就可以更好的理解接下来的两个for循环。

    两个for循环覆盖的地方是矩形,在第二个for中, 将圆心与左上的坐标传递给dt函数,返回这两点间的距离。用if判断这一距离是否小于等于半径(圆内和圆上的所有点与圆心的连线长度小于等于半斤)。如果是则输出星号,不是输出空格。这样,一个处于矩形中的圆形就绘制好了。

    改变两个for中每次递增(递减)的值的大小可以改变圆的“饱满度”。

    为什么其中一个for递减0.2,一个递增0.1:

            递增还是递减取决与想在哪个象限画圆,我使用的是第四象限,所以横坐标递增变化,纵坐标递减变化(但使用哪个象限没有区别,使用第四象限只是因为命令行的光标从左上到右下,用第四象限更好理解)。

            当纵坐标的变化值是横坐标一半时才是一个圆,这是因为win7命令行中一般情况下显示的字符宽是长的两倍(一个方字被左右压扁了?) 

    最后,再试试其他大小的圆

    将递增(递减)的值减半,更“饱和”的圆:

    半径为1,圆心(3,-1)的圆,递增递减值与第一个圆一样 

    注意:这里圆心坐标发生变化,因为要矩形要包住圆,所以rightdown的值也需变化 

    显而易见,rightdown.x=4;

                      righrdown.y=-2;

    就可以了。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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