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  • 1、等距变换 ** 等距变换也叫做刚体变换,主要由一个旋转矩阵与一个平移矩阵构成,具有六自由度。 而对于二维平面: 当 ε=1是保向的, ε=−1是逆向的,其分块形式为: R 是旋转矩阵。t是平移矢量,有3个自由度...

    对图像变换的分类进行一个简单的梳理:
    **

    1、等距变换

    **
    等距变换也叫做刚体变换,主要由一个旋转矩阵与一个平移矩阵构成,具有六自由度。
    而对于二维平面:
    在这里插入图片描述
    当 ε=1是保向的, ε=−1是逆向的,其分块形式为:
    在这里插入图片描述
    R 是旋转矩阵。t是平移矢量,有3个自由度(1旋转角 θ+两个平移 tx,ty),需要2组点4个方程求解,等距变换的不变量是:长度,角度,面积。

    在等距变换下,欧几里得距离(旋转矩阵是正交的)不变(行列式的值为1或-1)的齐次坐标变换。

    **

    2、相似变换

    **
    相似变换其实是等距变换与均匀缩放的复合,在旋转矩阵上加入一个缩放因子,自由度为7(6+1)。
    图像中的点用齐次坐标表示时,二维平面下:
    在这里插入图片描述
    当 s=1是保向的, s=−1是逆向的,其分块形式为:
    在这里插入图片描述
    其中 R是旋转矩阵,t是平移矢量, s是缩放尺度,有4个自由度(1旋转角θ+2个平移 tx,ty+1个缩放尺度),需要2组点4个方程求解,相似变换的 不变量是:角度,长度的比例,面积的比例。

    **

    3、仿射变换

    **
    仿射变换是一个平移变换(t)和一个非均匀变换(A)的复合,A是可逆矩阵,并不要求是正交矩阵。
    仿射变换的不变量是:平行线,平行线的长度的比例,面积的比例。自由度为12(9+3)。
    二维平面下:
    在这里插入图片描述

    其中 A是仿射矩阵。t是平移矢量, s是缩放尺度,有6个自由度(4个仿射矩阵的元素+2个平移tx,ty),需要3组点6个方程求解。仿射变换的 A矩阵是可以做SVD分解的,即:
    在这里插入图片描述
    D=diag(λ1,λ2) 仿射变换 A可以看作是一个旋转ϕ+ x,y方向按照比例因子 λ1,λ2的缩放+回转 −ϕ+旋转 θ的复合变换,
    仿射变换的 不变量是:平行线,平行线的长度的比例,面积的比例。

    **

    4、 射影变换

    **
    射影变换(projection transform)当图像中的点的齐次坐标的一般非奇异线性变换,射影变换就是把理想点(平行直线在无穷远处相交)变换到图像上,射影变换的不变量是:重合关系、长度的交比。自由度为15(16-1)

    当图像中的点的齐次坐标的一般非奇异线性变换。有些文献中把射影变换矩阵称为单应性矩阵变换矩阵如下所示:
    在这里插入图片描述
    其中 A是旋转矩阵。t是平移矢量, s是缩放尺度,有8个自由度(矩阵中的8个h),需要4组点8个方程求解。同样的,射影变换的A矩阵是可以做分解的,QR分解,SVD分解都有各自不同的含义。我们常说的矩阵内外参数矩阵就是QR分解中的一种(QR分解不唯一),即把单应性矩阵分解成=内参矩阵 ×外参矩阵 。给定世界坐标系中的二维平面,用相机对二维平面拍照,通过对应点求拍摄照片的单应性矩阵(射影矩阵)的过程就称为 相机标定,直接用代数的方法求解参数会有一定的误差,在张正友的标定方法中,讲的就是如何通过迭代使得误差最小。具体可以见我写的第一篇文章 张正友相机标定法。对一般的两张照片也可以求单应性矩阵,具体的应用就是把其中的一张变换到另一张上,进一步可以做图像融合。
    射影变换的 不变量是:长度的交比。

    展开全文
  • source url: http://blog.csdn.net/u014096352/article/details/53526747图像的等距变换,相似变换,仿射... 好了,废话不多说,今天,我们学习一下图像(2维平面)到图像(2维平面)的四种变换,等距变换,相似变换,


    source url: http://blog.csdn.net/u014096352/article/details/53526747


    图像的等距变换,相似变换,仿射变换,射影变换及其matlab实现

      第二次写CSDN文档,上一篇的排版实在太烂了,于是决定认真学习一下markdown的语法。

      好了,废话不多说,今天,我们学习一下图像(2维平面)到图像(2维平面)的四种变换,等距变换,相似变换,仿射变换,投影变换 首先介绍它的原理,最后介绍matlab的实现

    1.数学基础

    射影变换矩阵H属于射影群PL(n)中的一个,仿射群是由PL(3)中最后一行为(0,0,1)的矩阵组成的子群,包括仿射群欧式群,其中欧式群是仿射群的子群,其左上角的矩阵是正交的,当它的行列式为1是称为定向欧式群,距离是欧式群的不变量,但不是相似群的不变量,而夹角是这两个群的不变量。

    听了这么多群,不变量的数学概念,可能有点晕,下面我用最直观的语言解释。线性空间中的线性变换可以用矩阵来描述,因此我们用矩阵来刻画这四种变换。我们以数学系的经典代数入门教材北大版的《高等代数》为例,研究这些变换是如何进行的

    这里写图片描述

    2. 等距变换

    等距变换(isometric transform),保持欧式距离不变,当图像中的点用齐次坐标表示时,变换矩阵如下所示:

    xy1=εcos(θ)εsin(θ)0εsin(θ)εcos(θ)0txty1xy1

    ε=1是保向的,ε=1是逆向的,等距变换可以更简单的写成
    x=HEx=(R0t1)x

    其中R是旋转矩阵。t是平移矢量,有3个自由度(1旋转角θ+两个平移tx,ty),需要2组点4个方程求解,等距变换的不变量是:长度,角度,面积。用matlab实现等距变换如下:
    clear;close all;clc
    I=imread('book1.jpg');
    figure,imshow(I);
    [w,h]=size(I);
    theta=pi/4;
    t=[100,100];
    s=0.5;
    % test Eucludian transform
    H_e=projective2d([cos(theta) -sin(theta) t(1);
                  sin(theta)  cos(theta) t(2);
                      0           0       1]');
    newimg=imwarp(I,H_e);
    figure,imshow(newimg);
    
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    可以看出,等距变换就是对图像的旋转+平移

    3. 相似变换

    相似变换(similarity transform):等距变换+均匀缩放,当图像中的点用齐次坐标表示时,变换矩阵如下所示:

    xy1=scos(θ)ssin(θ)0ssin(θ)scos(θ)0txty1xy1

    s=1是保向的,s=1是逆向的,相似变换可以更简单的写成
    x=HSx=(sR0t1)x

    其中R是旋转矩阵。t是平移矢量,s是缩放尺度,有4个自由度(1旋转角θ+2个平移tx,ty+1个缩放尺度),需要2组点4个方程求解,相似变换的不变量是:角度,长度的比例,面积的比例。用matlab实现相似变换如下:
    clear;close all;clc
    I=imread('book1.jpg');
    figure,imshow(I);
    [w,h]=size(I);
    theta=pi/4;
    t=[100,100];
    s=0.5;
    %% test similar transform
    H_s=projective2d([s*cos(theta) -s*sin(theta) t(1);
                      s*sin(theta)  s*cos(theta) t(2);
                         0           0       1]');
    newimg=imwarp(I,H_s);
    figure,imshow(newimg);
    
    
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    可以看出,等距变换就是对图像的旋转+平移+缩放,这个图相对原图是变小了一些。

    4. 仿射变换

    仿射变换(affine transform):非奇异变换+均匀缩放,当图像中的点用齐次坐标表示时,变换矩阵如下所示:

    xy1=a11a210a12a220txty1xy1

    仿射变换可以更简单的写成
    x=HAX=(A0t1)x

    其中A是仿射矩阵。t是平移矢量,s是缩放尺度,有6个自由度(4个仿射矩阵的元素+2个平移tx,ty),需要3组点6个方程求解。这里多说一句,仿射变换的A矩阵是可以做SVD分解的,即:
    A=R(θ)R(ϕ)DR(ϕ)

    D=diag(λ1,λ2)仿射变换A可以看作是一个旋转ϕ+x,y方向按照比例因子λ1,λ2的缩放+回转ϕ+旋转θ的复合变换,
    仿射变换的不变量是:平行线,平行线的长度的比例,面积的比例。用matlab实现仿射变换如下:
    clear;close all;clc
    I=imread('book1.jpg');
    figure,imshow(I);
    [w,h]=size(I);
    theta=pi/4;
    t=[100,100];
    s=0.5;
    %% test affine transform
    H_a=projective2d([1 0.5 t(1);
                     0 0.5 t(2);
                     0 0  1]');
    newimg=imwarp(I,H_a);
    figure,imshow(newimg);
    
    
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    可以看出,仿射变换就是对图像的旋转+平移+缩放+切变(shear),相比前两种变换图像的形状发生了改变,但是原图中的平行线仍然保持平行。

    5. 射影变换

    射影变换(projection transform):当图像中的点的齐次坐标的一般非奇异线性变换。有些文献中把射影变换矩阵称为单应性矩阵变换矩阵如下所示:

    xy1=h11h21h31h12h22h32h13h231xy1

    仿射变换可以更简单的写成
    x=HAX=(AvTtv)x

    其中A是旋转矩阵。t是平移矢量,s是缩放尺度,有8个自由度(矩阵中的8个h),需要4组点8个方程求解。同样的,射影变换的A矩阵是可以做分解的,QR分解,SVD分解都有各自不同的含义。我们常说的矩阵内外参数矩阵就是QR分解中的一种(QR分解不唯一),即把单应性矩阵分解成=内参矩阵×外参矩阵 。给定世界坐标系中的二维平面,用相机对二维平面拍照,通过对应点求拍摄照片的单应性矩阵(射影矩阵)的过程就称为相机标定,直接用代数的方法求解参数会有一定的误差,在张正友的标定方法中,讲的就是如何通过迭代使得误差最小。具体可以见我写的第一篇文章张正友相机标定法。对一般的两张照片也可以求单应性矩阵,具体的应用就是把其中的一张变换到另一张上,进一步可以做图像融合。
    射影变换的不变量是:长度的交比。用matlab实现射影变换如下:
    clear;close all;clc
    I=imread('book1.jpg');
    figure,imshow(I);
    [w,h]=size(I);
    theta=pi/4;
    t=[100,100];
    s=0.5;
    %% test projective transform
    H_P=projective2d([0.765,-0.122,-0.0002;
                     -0.174,0.916,9.050e-05;
                      105.018,123.780,1]);
    newimg=imwarp(I,H_P);
    figure,imshow(newimg);
    
    
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    可以看出,射影变换就是对图像的旋转+平移+缩放+切变+射影,相比前三种变换图像的形变更为自由,原图中的平行线经过变换之后已经不在平行,而可能相交于一点,射影变换就是把理想点(平行直线在无穷远处相交)变换到图像上。

    6 应用

    说了这么多,下边举一个简单的小应用,就是把通过求两幅对应点的单应性矩阵(射影矩阵),把一种图片变换成另一张的形状。如图:
    选择两幅图像对应的四个点
    第一幅

    第一幅

    第二幅

    这里写图片描述

    变换的结果

    这里写图片描述
    这样就成功把第二幅图片变成第一副图片的角度
    下面附上代码
    %% Initial
    clear;
    clc;
    img_num=2;  %the number of image
    compress_scale=0.4;  %define image compress scale
    points_p=[0 0;1 0;2 1;2 0]; %define cordinate of 2D plain in 3D space 
    
    
    %% define a cell that load image
    
    Image=cell(1,img_num);
    
    %% read the image
    Image{1,1}=imread('book1.jpg');
    Image{1,2}=imread('book2.jpg');
    
    %% image compression, transform rgb to gray, and select feature points   
    feature=[];
    for i=1:img_num
        Image{1,i}=imresize(Image{1,i},compress_scale);
        I{:,:,i}=Image{1,i};
        Image{1,i}=rgb2gray(Image{1,i});
        imshow(Image{1,i});
        hold on;
        for j=1:4
            [x,y]= ginput(1);        %select the corner
            x=round(x);
            y=round(y);
            plot(x,y,'ro');
            feature(j,2*i-1)=x;     %feature is a matrix containing corner cordination 
            feature(j,2*i)=y;
        end
        close all;
    end       
    
    %% calculate homegraphy matrix for each matrix
    featurep1=feature(:,1:2);
    featurep2=feature(:,3:4);
    h = calc_homography(featurep2, featurep1);
    Im=I{:,:,2};
    
    [a,b]=size(I);
    tform=projective2d(h);
    J=imwarp(Im,tform);    % matlab自带的处理图像变换的函数
    figure,imshow(I{:,:,1});
    figure,imshow(I{:,:,2});
    figure,imshow(J)
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    函数calc_homegraphy的代码如下:

    function T = calc_homography(points1, points2)
    
        xaxb = points2(:,1) .* points1(:,1);
        xayb = points2(:,1) .* points1(:,2);
        yaxb = points2(:,2) .* points1(:,1);
        yayb = points2(:,2) .* points1(:,2);
    
        A = zeros(size(points1, 1)*2, 9);
        A(1:2:end,3) = 1;
        A(2:2:end,6) = 1;
        A(1:2:end,1:2) = points1;
        A(2:2:end,4:5) = points1;
        A(1:2:end,7) = -xaxb;
        A(1:2:end,8) = -xayb;
        A(2:2:end,7) = -yaxb;
        A(2:2:end,8) = -yayb;
        A(1:2:end,9) = -points2(:,1);
        A(2:2:end,9) = -points2(:,2);
    
        [~,~,V] = svd(A);
        h = V(:,9) ./ V(9,9);
        T= reshape(h,3,3);
    end

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  • 等距变换是,2维欧式空间变换 ,ε=1,等距变换是保向的,此时是欧氏变换(平移和旋转的复合)。ε=−1,等距变换是逆向的。 简单表示 R是正交矩阵。 自由度:3(该变换可以由两组2D点确定,一组提供两个自由度) ...

    2维空间变换:维数(3*3)

    1,等距变换

    等距变换是IR^{2},2维欧式空间变换 ,ε=1,等距变换是保向的,此时是欧氏变换(平移和旋转的复合)。ε=−1,等距变换是逆向的。 简单表示

    R是正交矩阵

    自由度:3(该变换可以由两组2D点确定,一组提供两个自由度)

    不变量 长度(两点的距离),角度(两线的夹角)和面职

    2,相似变换

    相似变换是一个等距变换与一个均匀缩放的复合。简单表示

    自由度: 4(多了一个缩放自由度,也可由两组3D点确定)

    不变量: 直线的夹角,两长度的比率和面积的比率。 

    3,仿射变换

     仿射变换是非齐次坐标下的一个非奇异线性变换与一个平移变换的复合,(即第三行是0,0,1)简单表示

    A是一个非奇异,可逆矩阵 。A可以看做是旋转和非均匀缩放的复合。

    自由度:6(由3对2D点确定)

    不变量: 平行线,平行线段的长度比和面积比。

    4,射影变换

    它是齐次坐标的一般非奇异线性变换 。射影变换可以分解为相似变换,仿射变换,射影变换的复合

    H=H_{S}H_{A}H_{P }

    自由度:8(9个参数,但是齐次坐标系下,只有比率是有意义的,所以自由度为8,由4对2D点得到,但是3点不能共线)

    不变量:  最基本的射影不变量是四共线点的交比

     

    3维空间变换:(4*4)

    自由度和2维空间的不同。 

    参考:https://blog.csdn.net/Hu_weichen/article/details/80245003

    展开全文
  • 多视图几何总结——等距变换、相似变换、仿射变换和射影变换多视图几何总结——等距变换、相似变换、仿射变换和射影变换等距变换相似变化仿射变换射影变换 多视图几何总结——等距变换、相似变换、仿射变换和射影...

    多视图几何总结——等距变换、相似变换、仿射变换和射影变换

    多视图几何再2.4节中介绍好几种变换,有时候容易绕懵,这里花点时间简单总结下
    首先只管感受下这几种变换
    在这里插入图片描述
    其中图a是相似变换,其效果是圆仍然是圆,正方形仍然是正方形;图b是仿射变换,其效果是圆变成椭圆,垂线不再垂直;图c是射影变换,其效果是平行线变成汇聚线,下面分别从数学层面介绍这几种变换。

    等距变换

    在这里插入图片描述
    等距变换也就是我们在机器人中所学的刚体变换,其分块形式为
    在这里插入图片描述
    其中RR为旋转矩阵(为正交阵),tt为平移矢量,在平面等距变换中矩阵一共有三个自由度,旋转一个,平移两个

    其变换不变量是:长度、角度和面积


    相似变化

    在这里插入图片描述
    相似变换是等距变换与均匀缩放的复合,其分块形式为:
    在这里插入图片描述
    观察矩阵形式,其实就是在旋转矩阵上加了一个缩放因子s,其一共有四个自由度,因为比等距变换多了一个自由度

    其不变量为:长度的比率、角度和面积的比率


    仿射变换

    在这里插入图片描述
    其分块形式为
    在这里插入图片描述
    其中A是一个2×22×2的非奇异矩阵,因此仿射变换一共六个自由度,其中比较有意思的是对矩阵AA的理解,可以对AA进行SVD分解A=UDVT=(UVT)(VDVT)=R(θ)(R(ϕ)DR(ϕ))A=UDV^T=(UV^T)(VDV^T)=R(\theta)(R(-\phi)DR(\phi))因此仿射矩阵可以看成一个旋转(ϕ)(\phi),加上在已旋转的xxyy方向分别进行比例因子λ1\lambda_1λ2\lambda_2(分解出来的特征值或者说矩阵DD的对角线元素)分别进行按比例缩放,再加上一个回转(ϕ)(-\phi)和最后一个旋转的符合类型(θ)(\theta),这在我学矩阵论是遇到SVD分解时就思考过的问题,这里解释得很好,可以参考下图理解
    在这里插入图片描述
    其不变量为:平行线段的长度比,平行线和面积比(所有面积都缩放λ1λ2\lambda_1 \lambda_2倍)

    补充:
    仿射变换是保持无穷远线不变形的最一般的线性变换,这句话的意思就是说,例如射影变换是会将无穷远点变成有限点,因此原本平行的直线不再平行,而仿射变换之后平行直线仍然平行,因为其不改变无穷远点的性质


    射影变换

    在这里插入图片描述
    其分块形式为
    在这里插入图片描述
    仿射变换是非齐次坐标的一般非奇异线性变换和一个平移的符合,其一共具有八个自由度

    其不变量为:共点,共线,接触的阶还有长度的比率的比率


    总结

    这里可以注意下仿射变换和射影变换的区别如下:
    仿射变换
    在这里插入图片描述
    射影变换
    在这里插入图片描述
    其中(x1,x2.0)T(x_1,x_2.0)^T是无穷远点(无穷远点的表示方法就是其次坐标最后一位为0),可以发现通过仿射变换无穷远点还是无穷远点,但是通过射影变换可以将无穷远点变换为有限点,正因为如此,射影变换可以完成消除透视失真操作:
    在这里插入图片描述
    最后铺上一张多视图几何中关于几种变换的总结表:
    在这里插入图片描述
    有问题欢迎交流指正~

    展开全文
  • 等距变换前后长度,面积,线段之间的夹角都不变。 相似变换 相似变换相当于是等距变换和均匀缩放的一个复合 ,用S表示变换矩阵,即为 左上角2×2矩阵为旋转部分,tx和ty为平移因子,它有4个自由度,即...
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  • 对正交补空间的定义和应用(正投影和最小二乘解)进行了说明;同时还讲述了等距变换的定义和判定方法。
  • 距变换和仿射变换

    千次阅读 2012-12-17 20:43:22
    §1 平面的仿射变换与保距变换 1.1 ――对应与可逆变换  集合X到集合Y的一个映射f:X→Y是把X中的点对应到Y中的点的一个法则,即x∈X,都决定Y中的一个元素f(x),称为点x在f下的像。对X的一个子集A,记 f(A)={f...
  • 变换群,等距变换,相似性变换,仿射变换,投影变换。
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  • Elements的主页提供了一系列创意产品( 字体 , 图标 , 图形模板),它们以整洁的等距网格布局一起显示。 元素首页 我们将使用CSS 3D变换来重新创建该轴测图。 轴测投影 “轴测投影”是一种用于以明显...
  • 图像变换

    2019-07-24 15:06:24
    一.单应变换:平面平面的变换。可以用一个三阶矩阵表示这种变换关系。...等距变换:包括旋转和平移。 三.仿射变换:小孔成像模型。如图所示。 图3 仿射变换四.射影变换 五.透视变换 六.投影变换 七.相似变换 ...
  • 投影变换组成了一个群,这个群称之为投影变换群,n*n可逆实矩阵称之为一般线性群GL(n),当把相差非零纯量因子的矩阵都视为同时,便得到了投影变换群,记为PL(n),在平民啊投影变换时记为PL(3),假定矩阵H为 ...
  • 向量就是包含大小(长度)和方向的一个量。向量有2维的,也有3维甚至4维的。...我们可以它来表示方向以及顶点在3D世界中的位置。如果你要对那些向量进行一些运算的话,使用D3DVECTOR就很不方便了,因为在
  • 要求 在上一篇博客”名称编码”的基础上实现 1、名字的左斜变换 2、名字的耸肩变换 3、名字的比例变换 4、名字的旋转变换 5、名字的对称变换 6、名字的平移变换 变换原理
  • 一般将一个3D图像显示在2D的平面上需要三个步骤的变换,我们称之为MVP,即模型(Model), 观察(View)以及投影(Projection)。 - 模型:将要显示的3D物体从模型坐标系变成世界坐标系。 - 观察:将3D物体从世界...
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  • 仿射变换

    万次阅读 2012-10-24 15:04:25
     §1 平面的仿射变换与保距变换 1.1 ――对应与可逆变换 集合X到集合Y的一个映射f:X→Y是把X中的点对应到Y中的点的一个法则,即x∈X,都决定Y中的一个元素f(x),称为点x在f下的像。对X的一个子集A,记 f(A)={f...
  • 现在的人脸图像识别流程中有一个步骤叫人脸对齐,现在的一般方法是采用人脸上的关键点坐标,进行相似变换来实现人脸校正。多次在人脸识别的论文中看到 similarity transform,由于在线代和矩阵分析的课上一直划水。...
  • 图像单应性变换理解

    万次阅读 2017-03-28 23:13:14
    什么是单应性?图像中的2D点(x,y)(x,y)可以被表示成3D向量的形式(x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3),其中x=x1/x3x=x_1/x_3,y...这种变换包括等距变换、投影变换和平面投影变换等。单应变换矩阵是一个3*3的矩阵H。这个变换可以被
  • 书中的2D变换总结: 书中的3D变换总结: 变换层级 欧式->相似->仿射->射影,变换的层级提高,失真越来越严重,不变性质越来越少,变换矩阵的自由度越来越高。后面的变换都兼容前面的变换。 (以下自由度...
  • 坐标变换

    千次阅读 2017-12-22 20:21:22
    注1:本节所有坐标系均为右手坐标系(如笛卡尔平面直角坐标系),不注明的情况下转角默认为逆时针,如果坐标系为左手坐标系(如高斯平面直角坐标系),需将顺逆时针颠倒。 注2:计算机上的坐标有的用行向量的形式,...
  • 傅里叶变换

    2014-12-16 16:53:00
    傅里叶变换 Z转换 傅里叶级数 傅里叶变换 离散傅里叶级数 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 快速...

空空如也

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平面等距变换