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  • (1)抛物线解析式为y=-x2-3x+4.C(1,0).(2)P(-2,6),8;(3)点D的坐标为(-,0).【解析】试题分析:(1)把A(-4,0),B(0,4)代入抛物线y=-x2+bx+c,可得出抛物线解析式,当y=0时即可得出点C的坐标.(2)设y=x+b与抛物...

    (1)抛物线解析式为y=-x2-3x+4.C(1,0).(2)P(-2,6),8;(3)点D的坐标为(-

    ,0).

    【解析】

    试题分析:(1)把A(-4,0),B(0,4)代入抛物线y=-x2+bx+c,可得出抛物线解析式,当y=0时即可得出点C的坐标.

    (2)设y=x+b与抛物线y=-x2-3x+4只有一个交点时,△PAB的面积最大,利用判别式求出b的值,再联立可得出点P的坐标,过点B作BM⊥PN交PN于点M,利用三角函数求出BM,再利用△PAB的面积公式即可求出答案.

    (3)连接BP,作点B关于原点O的对称点B′,连接B′P,交x轴于点D,这时△PDB的周长最小.先求出点B′的坐标,再利用坐标求出PB′所在的直线,即可求出与x轴的交点D的坐标.

    试题解析:(1)∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,

    ∴A(-4,0),B(0,4)抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,可得

    解得

    ∴抛物线解析式为y=-x2-3x+4.

    令y=0,得-x2-3x+4=0,

    解得x1=-4,x2=1,

    ∴C(1,0).

    (2)如图1,

    设y=x+b与抛物线y=-x2-3x+4只有一个交点时,△PAB的面积最大,

    ∵由x+b=-x2-3x+4化简x2+4x+b-4只有一个解,得△=16-4×(b-4)=32-4b=0,解得b=8.

    ∴y=x+8,

    ∴联立得方程组得

    解得

    ∴P(-2,6)

    过点B作BM⊥PN交PN于点M,

    ∵BN=ON-OB=8-4=4,sin∠MNB=

    ∴BM=4×

    =2

    △PAB的面积=

    ABBM=

    ×4

    ×2

    =8.

    (3)存在.

    如图2,

    连接BP,作点B关于原点O的对称点B′,连接B′P,交x轴于点D,这时△PDB的周长最小.

    ∵点B(0,4),

    ∴点B′(0,-4),

    ∵P(-2,6)

    ∴设PB′所在的直线为y=kx+b得

    解得

    ∴PB′所在的直线为y=-5x-4,

    点D的坐标为(-

    ,0).

    考点:二次函数综合题.

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  • M1 购买来已经2个月了,经过2个月的规划和设计,改造M1 基本上是大手术。现在发布第一个CAD加工图X轴与Y轴连接部分的加工工件:平面图(单位:mm)3D图CAD水平有限,不过慢慢会进步的。...

    M1 购买来已经2个月了,经过2个月的规划和设计,改造M1 基本上是大手术。现在发布第一个CAD加工图

    X轴与Y轴连接部分的加工工件:
    平面图(单位:mm)
    %7BE07A8AB9-89A7-4EC0-8956-C7AB7DE3BD80%7D0.jpg

    3D图
    %7BDC68D564-9987-47AB-9FE0-0AB3DA5B49C2%7D0.jpg

    CAD水平有限,不过慢慢会进步的。

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  • 有趣的复平面变换

    2020-11-26 08:50:39
     在复平面的变换图形,下图展示的是一组平行于坐标的线段,经过f(z)变换后的图形,是不是很漂亮? 可以代数推导一下: 对于 所以,坐标轴x=0映射为负半轴,y=0映射为正半轴,原点仍在原点。 坐标网格分别...

    Geogebra画了几个复平面上的变换图形,感觉特别有意思,对非线性空间的变换又有了更加几何化的理解,先来看第一个:

    1.

     f(z)=\frac{z^2}{2} 在复平面的变换图形,下图展示的是一组平行于坐标轴的线段,经过f(z)变换后的图形,是不是很漂亮?

    可以代数推导一下:

    对于

    z=x+yi

    f(z)=\frac{x^2-y^2}{2}+xyi

    所以,坐标轴x=0映射为负半轴,y=0映射为正半轴,原点仍在原点。

    坐标网格分别映射为左右复平面上的弯曲抛物线,以x=a为例:

    z=a+mi

    则 

    f(z)=\frac{a^2-m^2}{2}+ami

    (\frac{a^2-m^2}{2},am)在复平面上的轨迹是:

    x=\frac{a^4-y^2}{2a^2}

    确实是一条抛物线。

    用极坐标的方式可能更容易理解:

    z=r\angle \theta

    则:

    f(z)=\frac{z^2}{2}=\frac{r^2}{2}\angle 2\theta

    可以想象一下变换模变为\frac{r^2}{2},幅角扩大2倍的样子.

    后续会不断更新新的复平面变换图形。

    2.f(z)=e^z

    平行于x轴的直线虚部不变,也就是幅角不变,映射为原点开始,幅角一定的射线。

    平行于y轴的直线实部不变,虚部可变,映射为以e^{real(z)}为半径的圆周。

    虚部只对旋转有贡献,实部在决定点距离原点的位置!

    上面是复平面到复平面的变换,下面图示的是f(z)=e^z的模曲面方程,和上图有同样的信息,你能看出来吗?

    有意思的是,上面所说的两个变换前后,互相垂直的线再变换后仍然是互相垂直的,这种变换也叫"保角变换",再复变函数里面,保角变换的特性是很强的特性,几乎等价于函数可微.

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  • 椭圆的一般式为:\[A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\] 椭圆的参数为:长半轴 $a$ 短半轴 $b$ 椭圆中心 $(x_{0},y_{0})$ 倾角为 $\theta$ (定义逆时针为...椭圆 $C[3*3]$ ,中心在原点,长轴与x轴重合,经过...

     

    椭圆的一般式为:\[A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\]

    椭圆的参数为:长半轴 $a$  短半轴 $b$  椭圆中心 $(x_{0},y_{0})$  倾角为 $\theta$ (定义逆时针为正,长轴与x正方向的夹角)

     1.由椭圆参数转化为一般式:

     

    推导过程: 

    椭圆 $C[3*3]$ ,中心在原点,长轴与x轴重合,经过旋转矩阵  ${R} =f({\theta})$ , 平移矩阵 ${T}$$ =$$g$$(x_{0},y_{0})$ ,

    后得到

    $C^{'}=T^{T}*R^{T}*C*R*T$

     

    ps:关于旋转矩阵R和平移矩阵T的定义看上篇博文 直角坐标系下点/曲线平移与旋转的矩阵计算

     

    $H({\theta},x_{0},y_{0},a,b)=A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F $

    对应相等可以得到:

     

    ①  $A = \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{a^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{{b^2}}}$

     

    ② $B = 2 \cdot \sin \theta  \cdot \cos \theta  \cdot (\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}})$

     

    ③ $C = \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{b^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{{a^2}}}$

     

    ④ $D =  - 2 \cdot [{x_0} \cdot (\frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{a^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{{b^2}}}) + {y_0} \cdot \sin \theta  \cdot \cos \theta  \cdot (\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}})]$

     

    ⑤ $E =  - 2 \cdot [{x_0} \cdot \sin \theta  \cdot \cos \theta  \cdot (\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}}) + {y_0} \cdot (\frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{b^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{{a^2}}})]$

     

    $F = \frac{{{{({x_0} \cdot \cos \theta  + {y_0} \cdot \sin \theta )}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{({x_0} \cdot \sin \theta  - {y_0} \cdot \cos \theta )}^2}}}{{{b^2}}} - 1$

    matlab推导过程

    +验证

     

    clc
    syms a b theta x0 y0
    % 公式推导
    C  = [1/a.^2  0       0;
            0       1/b.^2 0;
            0   	0       -1;];
    Rot = [cos(theta) sin(theta) 0;
            -sin(theta) cos(theta) 0;
            0       0       1;];
    T = [1 0 -x0;
         0 1 -y0;
         0 0 1;];
    C1 =  T'*Rot'*C*Rot*T;
    
    %公式验证
    as = a*a;
    bs = b*b;
    coss = cos(theta).^2;
    sins = sin(theta).^2;
    cs = sin(theta)*cos(theta);
    
    A =coss/as+sins/bs;
    B =2*cs*(1/as-1/bs);
    C = coss/bs +sins/as;
    D = -(2*A*x0 +B*y0);
    E = -(B*x0 +2*A*y0);
    F = (x0*cos(theta)+y0*sin(theta)).^2/as+(x0*sin(theta)-y0*cos(theta)).^2/bs-1
    
    a = 3;
    b = 2;
    x0 = 1;
    y0 = 0.5;
    theta = 0.1;
    A = eval(A)
    B = eval(B)
    C = eval(C)
    D = eval(D)
    E = eval(E)
    F = eval(F)
    
    syms x y
    f1 = ezplot( A*x^2+ C*y^2 +F + B*x*y + D*x +E*y,[-2,6],[-2,6]);
    set(f1,'Color','r','LineWidth',1.5)
    xlim([-2,6])
    ylim([-2,6])
    axis equal
    grid on
    

     

     

     

     

     

     

     

     

    2.由一般式得到椭圆参数式:

    椭圆的一般式为:\[A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\]

    由①②③式可以得到:

     长半轴: $a^{2}=\frac{2}{A+C-\sqrt{B^{2}+(A-C)^{2}}}$

     短半轴: $b^{2}=\frac{2}{A+C+\sqrt{B^{2}+(A-C)^{2}}}$

     倾角:  ${\theta} = arcsin({ sign(-B) \sqrt{\frac{(Aa^{2}-Cb^{2})a^{2}b^{2}}{a^{4}-b^{4}}}})$

     偏移:alpha = cos(theta).^2/a^2+sin(theta).^2/b^2;
        beta = sin(theta)*cos(theta)*(1/a^2-1/b^2);
        gama = cos(theta).^2/b^2+sin(theta).^2/a^2;
        y0 = (E/2 - beta*D/(2*alpha))/(beta^2/alpha - gama)
        x0 = (-D/2 - beta*y0)/alpha

     

    %接上面程序运行
    aa = 2/(A+C-sqrt(B^2+(A-C).^2))
    bb = 2/(A+C+sqrt(B^2+(A-C).^2))
    if(bb > aa)
        temp = aa;
        aa = bb;
        bb = temp;
    end
    theta
    theta2 = asin(sign(-B)*sqrt((A*aa-C*bb)*aa*bb/(aa*aa-bb*bb)))
    a = sqrt(aa)
    b = sqrt(bb)
    alpha = cos(theta).^2/a^2+sin(theta).^2/b^2;
    beta = sin(theta)*cos(theta)*(1/a^2-1/b^2);
    gama = cos(theta).^2/b^2+sin(theta).^2/a^2;
    y0 = (E/2 - beta*D/(2*alpha))/(beta^2/alpha - gama)
    x0 = (-D/2 - beta*y0)/alpha
    

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/LoveBuzz/p/9919843.html

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