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    我在opencv中看到几个文档对此进行了解释,但是我的目标是使用numpy&卑鄙的

    我想我必须用某种圆形来遮盖频谱的外部区域,因为我用60×60矩形遮盖了频谱的中心以进行低频滤波.但我不知道如何.

    我想学习在使用numpy数组进行傅立叶逆变换之前,如何从幅度谱中去除高频分量.

    我提供了傅里叶变换和傅里叶逆变换(用于去除低频分量)的代码.我的目标是做类似的事情,但是这次我想删除高频分量,以便能够观察重构图像的变化-就像我在删除低频后对逆FT所做的一样.

    import numpy as np

    import scipy

    import scipy.misc

    import matplotlib.pyplot as plt

    from scipy import ndimage

    from PIL import Image

    img = Image.open('gorkem.png').convert('L')

    img.save('output_file.jpg')

    f = np.fft.fft2(img)

    fshift = np.fft.fftshift(f) ## shift for centering 0.0 (x,y)

    magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))

    plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')

    plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

    plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')

    plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

    plt.show()

    ## removing low frequency contents by applying a 60x60 rectangle window (for masking)

    rows = np.size(img, 0) #taking the size of the image

    cols = np.size(img, 1)

    crow, ccol = rows/2, cols/2

    fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

    f_ishift= np.fft.ifftshift(fshift)

    img_back = np.fft.ifft2(f_ishift) ## shift for centering 0.0 (x,y)

    img_back = np.abs(img_back)

    plt.subplot(131),plt.imshow(img, cmap = 'gray')

    plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

    plt.subplot(132),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')

    plt.title('Image after removing low freq'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

    08a64ca8c13fa3b39c9dc67dacab0ffe.png

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  • 二维图像的傅立叶变换

    万次阅读 多人点赞 2018-05-11 11:57:50
    二维图像的傅立叶变换,与一维傅立叶相比,在理解上要抽象很多。我在网上找了几篇相对较好的文章,并用matlab自己做了几个实验图像,希望能对大家理解二维图像的傅立叶变换有所帮助。

    摘要:二维图像的傅立叶变换,与一维傅立叶相比,在理解上要抽象很多。我在网上找了几篇相对较好的文章,并用matlab自己做了几个实验图像,希望能对大家理解二维图像的傅立叶变换有所帮助。

    关键字:二维傅立叶变换,图像处理

    本文是我旧博客中的博文,在CSDN图片显示不正常,请移步旧博客查看:https://imlogm.github.io/%E5%9B%BE%E5%83%8F%E5%A4%84%E7%90%86/image-fft/

    1. 一维傅立叶变换

    如果是理工科的话,一维傅立叶变换应该在大学里都学过。如果有所遗忘的话,可以看这篇比较易懂又不失数学性的文章"如何理解傅里叶变换公式?-马同学的回答"

    一维傅立叶变换的公式为:
    F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i ω t d t F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt F(ω)=+f(t)eiωtdt

    2. 二维傅立叶变换

    二维傅立叶变换的公式为:
    F ( u , v ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e − i ( u x + v y ) d x d y F(u,v)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)e^{-i(ux+vy)}dxdy F(u,v)=++f(x,y)ei(ux+vy)dxdy
    由一维傅立叶的公式,能比较容易类比得到二维傅立叶变换公式。但注意,二维傅立叶不是x方向与y方向正弦余弦的简单叠加,而是乘积的叠加。

    比如:一维傅立叶变换的三角函数系是 s i n ( n x ) sin(nx) sin(nx) c o s ( n x ) cos(nx) cos(nx)以及常数1,二维傅立叶变换的三角函数系是 s i n ( u x + v y ) sin(ux+vy) sin(ux+vy) c o s ( u x + v y ) cos(ux+vy) cos(ux+vy)和常数1.而 s i n ( u x + v y ) sin(ux+vy) sin(ux+vy) c o s ( u x + v y ) cos(ux+vy) cos(ux+vy)可以继续分解为 s i n ( u x ) s i n ( v y ) ,    s i n ( u x ) c o s ( v y ) ,    c o s ( u x ) s i n ( v y ) ,    c o s ( u x ) c o s ( v y ) sin(ux)sin(vy),\:\:sin(ux)cos(vy),\:\:cos(ux)sin(vy),\:\:cos(ux)cos(vy) sin(ux)sin(vy),sin(ux)cos(vy),cos(ux)sin(vy),cos(ux)cos(vy)这四个乘积的形式。

    如果对上面一段话的内容有兴趣的话,可以参看这篇文章"二维傅里叶变换是怎么进行的?-CharlyGordon的回答"。看不懂也没关系,只需要知道二维傅立叶不是x方向与y方向正弦余弦的简单叠加。

    注意1:二维傅立叶变换后生成的图像与原图上的像素点不存在一一对应关系。原图中的像素值是x,y坐标轴下的(即空间域),而傅立叶变换后的像素值是u,v坐标轴下的(即频域)。

    注意2:图像的像素点是离散且有限的,故实际进行图像傅立叶变换时,使用的是离散傅立叶变换(DFT),需要把上述公式中的积分号 ∫ − ∞ + ∞ \int_{-\infty}^{+\infty} +换成求和号 ∑ \sum

    3. 二维傅立叶变换的直观理解

    原始图像经过二维傅立叶变换后得到的是u,v坐标系下的二维矩阵,由 ( u 1 , v 1 ) (u_1,v_1) (u1,v1) ( u 1 , v 2 ) (u_1,v_2) (u1,v2) ( u 2 , v 1 ) (u_2,v_1) (u2,v1)等一系列点组成。每个位置 ( u n , v n ) (u_n,v_n) (un,vn)都有其对应的值 F ( u n , v n ) F(u_n,v_n) F(un,vn)。如果把这个二维矩阵归一化成傅立叶后的图像来显示,那么傅立叶后图像上像素点位置和像素点亮度就表征二维矩阵相应的点和该点的值。

    如图1所示,有左中右三幅小图,我们先不管右小图,左小图是原始图像,中小图是傅立叶变换后的。可以看到傅立叶变换后的图片的两个斜对角出现了两个白点,这两点处的亮度值最大,其余点处亮度值为0。这表示原始图像可以由这两点所对应的三角波组成,三角波的幅值为其对应点的亮度。

    图1

    那么这些三角波长什么样子呢?图2是我从网上找到的一幅图,原始出处未知。原来这张图是频移后的三角波,由于频移是下面才讲到的知识点,我感觉这样会对理解造成一定影响,所以我处理成频移前的,便于大家理解。相信对比图1和图2,你们能很快理解其中的关系。

    图2

    在图2的右小图中,我用红框标出了其中的一个三角波,这个三角波的外形与图1的原始图像最相似。结果也和我们预料的一样,傅立叶变换后,这个三角波的幅值是最大的,所以我们看到了图1中小图左上角的白点。

    注意:图2的三角波对应于图1中小图的左上角的区域,所以我们得到了左上角的白点。至于图1中小图的右上、左下、右下区域的三角波长什么样子,请看下面一段话。

    看到这里可能大家还有个疑问:左上角的白点明白了,但是右下角的白点怎么来的?如果你自己动手做实验的话,会发现这两个白点是对称的(换而言之,右下角区域的三角波和左上角区域的三角波对称)。这其实是由两个原因共同作用造成的:其一,傅立叶双边频谱关于原点对称;其二,上面提到过,二维图像傅立叶变换是离散傅立叶变换,离散傅里叶变换本质是周期信号求傅里叶级数,所以其实会有周期延拓

    因为这两个性质涉及一些更深的知识,我不详细展开了。有兴趣的同学可以找信号处理方面的书来看,学过的同学应该能马上理解。

    解决了图1中左小图、中小图的问题,那么图1的右小图是什么呢?右小图其实是中小图经过频移后的。为什么要频移,因为我们把傅立叶变换得到的二维矩阵用图像的方式显示时,默认的坐标原点(0, 0)位于图像的左上角。频移要做的就是把坐标原点移动到图像的中心。

    可以想到,图1右小图的中间偏右下的点是由图1左小图左上角的点经过移动后得到的,而图1右小图的中间偏左上的点是由之前提到的“傅立叶双边频谱关于原点对称”这条性质得到的。

    4. Matlab小实验

    看了上面的内容,相信大家都已经对二维傅立叶有了一定的直观印象。我又用matlab写了个小程序,生成了几幅图片,帮助大家理解。

    图3
    图4
    图5
    图6
    图7
    图8

    5. Matlab代码

    最后附上我的matlab代码,便于大家自己做实验。

    如果对傅立叶变换的代码有什么疑问的话,可以看这篇文章"使用matlab对图像进行傅里叶变换-三山音"

    % 用sin(x+y)的图像来帮助理解二维图像的傅立叶变换
    
    img_size = 100;     % 图片尺寸
    x_step = 1;     
    y_step = 1;
    image = zeros(img_size, img_size);
    for x = x_step:x_step:x_step*img_size
        for y=y_step:y_step:y_step*img_size
            image(x/x_step, y/y_step)=sin(4*pi*x/img_size + 4*pi*y/img_size);
        end
    end
    
    
    subplot(1,3,1)
    imshow(image)       % 原图
    title('原图')
    
    subplot(1,3,2)
    image = im2double(image);
    F_unshift = fft2(image); 
    F_unshift_abs = abs(F_unshift);
    T = log(F_unshift_abs+1);
    imshow(T);   % 傅立叶变换后,未频移前
    title('傅立叶变换后,未频移')
    
    subplot(1,3,3)
    F = fftshift(F_unshift);
    F_abs = abs(F);
    T = log(F_abs+1);
    imshow(T)           % 傅立叶变换后,频移后
    title('傅立叶变换后,频移后')
    
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  • 手把手教系列之快速傅立叶算法

    千次阅读 2020-06-18 07:30:28
    傅立叶变换则是完全的频域分析,傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析,傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式,也可以看作是对周期现象进行数学上的分析,同时也适用于非周期性现象的分析。傅里叶级数...

    [导读] 今天来聊聊如何实现快速傅立叶变换FFT及其应用,希望大家喜欢。直接谈FFT,可能没这方面基础的同学,不太能明白,先看看它的相近较容易理解的几个概念吧。

    啥是傅立叶级数?

    在数学中,傅里叶级数(Fourier series)是把类似波的函数表示成简单正弦波的方式。更正式地说法是,它能将任何周期性函数或周期信号分解成一个(可能由无穷个元素组成的)简单振荡函数的集合,即正弦函数和余弦函数(或者,等价地使用复指数),从数学的定义来看,是这样地:

    设x(t)是一周期信号,其周期为T。若x(t)在一个周期的能量是有限的,有即

     

    则,可以将x(t)展开为傅立叶级数。怎么展开呢?计算如下:

    公式中的k表示第k次谐波,这是个什么概念呢?不容易理解,看下对于一个方波的前4次谐波合成动图就比较好理解了。这里的合成的概念是时域上的叠加的概念,图片来源wikipedia

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  • 傅立叶变换推导

    2015-11-10 15:13:55
    傅立叶变换详细推导的介绍,很不错,值得一看
  • F = ezft(x,f,xi)返回在xi频率处评估的f(x)的傅立叶变换。
  • 图像的傅里叶变换,代码通俗易懂,变换效果显著
  • python图片傅立叶频谱分析

    千次阅读 2019-10-25 09:32:59
    在数字图像处理中,经常需要进行傅立叶变换,分析数字图像的频谱,用python简单方便,如下: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import cv2 import sys img = cv2.imread('%s.png' % sys.argv[1...

    在数字图像处理中,经常需要进行傅立叶变换,分析数字图像的频谱,用python简单方便,如下:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt 
    import cv2 
    import sys 
     
    img = cv2.imread('%s.png' % sys.argv[1],0)
     
    dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
    dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
     
    magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))
     
    plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
    plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')
    plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.show()
     

     

    展开全文
  • 本人非信号专业大佬,写这篇文章只是为了能有更多的“门外汉”入门看似难以亲近的傅立叶变换。因为通俗原则,本文将不进行任何计算与证明,尽量少出现复杂的专业术语,就算出现也会进行讲解。 强调:本文多数观点...
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空空如也

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傅里叶图