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  • 本发明属于图像采集,图像处理领域,特别的涉及一种频域高斯核函数图像追踪方法。背景技术:随着追踪在视频监督,人机界面和计算机感知方面的应用,追踪在计算机视觉方面已经成为了一个基本难题。尽管目前的一些设备...

    本发明属于图像采集,图像处理领域,特别的涉及一种频域高斯核函数图像追踪方法。

    背景技术:

    随着追踪在视频监督,人机界面和计算机感知方面的应用,追踪在计算机视觉方面已经成为了一个基本难题。尽管目前的一些设备允许对目标有很强的假设,有少许先验条件下去跟踪一个物体结果是非常令人满意的。其中非常成功的追踪途径就是侦查探测,这种方法直接来源于在机器学习识别方法的快速发展以及在单机探测方面的应用。许多这方面的算法被应用到在线训练过程中,在每一个成功的在线训练过程中,探测都提供了非常多的关于目标的信息。所有目前可以使用的方法都有一个共同点,那就是稀疏取样法。在每一个画面中,许多样本在目标周围被采集,每个样本的特征和目标的尺寸是一样的。很明显,这会有很多多余,因为样本有很多是重叠的,这种重叠结构通常被忽视。进而大多数方法只简单的收集很少数目的样本,因为不这样做的话采样花费的时间就会过长,但这样做会使追踪的精确度降低。实际上,如果训练数据有如此多的多余样本就意味着不可能有效利用它的结构。这就造成了问题,如果采用稀疏取样法会造成追踪过程中精度不够,而如果采用密集取样的话由于样本数量的增加就会造成运算速度的下降。另一方面传统的跟踪运算是在时域上对两帧图像在时域上做卷积,而在时域上做卷积运算量很大,同样会降低运算速度。

    技术实现要素:

    本发明要解决的技术问题为克服现有技术中的不足之处,提供一种新的快速、准确的频域高斯核函数图像追踪方法。

    为解决本发明的技术问题,所采用的技术方案为:频域高斯核函数图像追踪方法,特别是主要步骤如下:

    步骤1,对包含目标的当前一帧图像进行目标输入,确定目标窗口,将追踪窗口通过Hann窗口进行预处理;

    步骤2,采集追踪窗口的某一特征,采用密集采样的方法进行样本采集,同时通过每一个样本的位置信息对样本进行贴标签,将采集的样本采用循环矩阵进行处理;

    步骤3采用高斯核函数作为追踪函数的核心,利用循环矩阵在频域中计算高斯核函数;

    步骤4,通过频域计算密集采样样本和新的一帧图像的追踪窗口最大相应值,确定新的一帧图像中目标窗口的中心位置,选取与步骤1同样大小的目标窗口重复步骤1,2,3,4,完成图像追踪。

    步骤1中所述追踪窗口与所述目标窗口具有相同的中心位置,所述追踪区域大小为所述目标窗口区域大小的1.5~10倍,步骤1中所述单一图像特征为图像灰度特征或HOG特征或SIFT特征;步骤2中所述图像密集采样中样本中心在目标中心的样本为正样本,在目标中心以外的样本为负样本,处理样本过程中处理所有采集的样本,所述的负样本由正样本x=[x0,x1,x2,...,xn-1]T循环移位得到xi=Pix其中P为使向量整体向下移动一个元素,最后的一个元素移动到第一个元素的位置的置换矩阵,步骤2中所述对图像进行的标签采用yi=exp(-(i-i′)2/s2)方式对每个样本进行概率分布标签,其中i为负样本中心位置,i′为正样本中心,s为带宽,步骤2中所述循环矩阵为由向量x循环移位得到;步骤3中高斯核函数的计算通过傅里叶变换在频域当中进行;步骤4中所述训练样本与目标图像的追踪窗口的响应值计算通过傅里叶变换在频域当中进行。

    相对于现有技术的有益效果是:

    其一,利用密集采样法对样本进行采集,增加了追踪过程中的精确性,这对图像追踪有极大的意义,同时密集采样的结果是循环矩阵。

    其二,循环矩阵的性质特别适合计算机运算操作,因为循环矩阵的和、积以及逆都是循环的,这些操作通常包括向量x的快速傅里叶变换,这样就不需要详细的计算和储存一个循环矩阵C(x),因为C(x)由x而决定,储存时只需要储存x降低所需储存的数据。

    其三,在密集采样过程中利用循环矩阵的性质,在数据处理过程中将数据处理由时域的向量卷积通过傅里叶变换转化到频域的点积上面去,减少运算的次数,增加处理器处理样本的速度,从而提高追踪效率。

    附图说明

    图1是整个具体实施案例的流程图

    具体实施方式

    下面结合附图对本发明的优选方式作进一步详细的描述。

    如图1所示,一种频域高斯核函数图像追踪方法,包括以下步骤:

    步骤1,对包含目标的当前一帧图像进行目标输入,确定目标窗口,将追踪窗口通过Hann窗口进行预处理;更具体地,读取视频文件第一帧图像,由鼠标、键盘、语音或者程序自动输入确定所要选取的目标区域的大小、位置,同时确定目标区域的中心位置;以此中心位置为中心取目标窗口区域大小1.5-10倍区域作为追踪窗口区域;对追踪窗口进行Hann窗口处理,降低边缘效应。

    步骤2,采集追踪窗口的某一特征,采用密集采样的方法进行样本采集,同时通过每一个样本的位置信息对样本进行贴标签,将采集的样本采用循环矩阵进行处理;更具体地,对目标进行密集采样:对追踪区域提取单一的图像特征,如灰度特征,HOG特征,SIFT特征,采集到的图像追踪区域特征向量为x,作为正样本,x=[x0,x1,x2,...,xn-1]T,定义向量xi,

    其中P为使向量整体向下移动一个元素的置换矩阵,最后的一个元素移动到第一个元素的位置得来,使用循环移位进行向量处理,每循环移位一次就等于训练时进行了一次采样,循环移位得到的向量xi为采集到的负样本;由追踪区域可以确定标签的参数y,其中y为n阶向量y=[y0,y1,y2,...,yn-1]T,其中的元素为yi,为了处理目标的区域的边界,不同于正常情况下的标签表为0或者1,给每一个标签y给予一定的值,yi=exp(-(i-i′)2/s2),和目标最近的地方为1,远离样本的地方为0;通过密集采样和循环矩阵将向量x与向量y的向量卷积转化为频域的点积,使卷积运算转化为频域点积运算:对于循环矩阵C(x),这个循环矩阵是由向量x=[x0,x1,x2,...,xn-1]T循环移位得到,

    整个C(x)矩阵的第一行就是向量x,第二行是向量x整体向右移动一个元素,最后一个元素移动到第一个元素的位置,依次类推,同样由于C(x)结构特性,C(x)的元素定义为Cij=u(j-i)mod n,如果矩阵的元素仅仅依赖于(j-i)mod n,mod是求余操作,矩阵是循环矩阵。向量x和向量y的向量卷积,可以转化为C(x)y。由于循环矩阵的性质,将C(x)y转化为频域计算C(x)y=F-1(F*(x)⊙F(y)),其中F与F-1分别是傅里叶变换与傅里叶逆变换,⊙向量的点积,*是复共轭。

    步骤3采用高斯核函数作为追踪函数的核心,利用循环矩阵在频域中计算高斯核函数;更具体的,采用高斯核函数κ,作为追踪方法的核心函数,κ是幺正的核函数,对于任意的幺正矩阵U来说,κ(x,x')=κ(Ux,Ux'),因为置换矩阵是幺正的,对于矩阵P,矩阵K其中的元素为Kij=κ(Pix,Pjx),Kij=κ(Pix,Pjx)=κ(P-iPix,P-iPjx)=κ(x,Pj-ix),由此可以看出,Kij仅依赖于(j-i)mod n,所以K是循环的;将矩阵K转化为循环矩阵模式:定义向量k,k=[k1,k2,k3,...,kn]T,向量k的元素ki

    核函数矩阵K可以变换为K=C(k),k是n×1阶矩阵,K是n×n阶矩阵。当被转化到频域中时,在C(k)模式的矩阵中运行,矩阵乘法和矩阵求逆,都可以在k向量基础上按元素进行,计算时只需要存储k向量;将对向量k的计算转化到频域当中,对于高斯核函数有

    由于||x||2是与P无关的常数,再由C(x)y=F-1(F*(x)⊙F(y)),可以得到

    步骤4,通过频域计算密集采样样本和新的一帧图像的追踪窗口最大相应值,确定新的一帧图像中目标窗口的中心位置,选取与步骤1同样大小的目标窗口重复步骤1,2,3,4,完成图像追踪;更具体的,通过核岭回归得出最小化判别函数封闭解α=(K+λI)-1y。对于最小化判别函数f(x)=,通过

    函数来判别,利用核岭回归来计算函数,L(y,f(x))=(y-f(x))2,并且将分类器应用到更高维度的特征空间中,其中投影空间利用高斯核函数K来进行投影由f(x)一般定义,f(x)=wTx=∑iαiκ(x,xi)带入到上述的最小化判别函数当中去,求导,可以得到判别函数的封闭解

    α=(K+λI)-1y

    只和输入有关,K是核函数矩阵,其中的元素为Kij=K(xi,xj),I是单位矩阵,向量α的元素是αi,求解出来最小决策函数的解α,就避免决策函数的最小化决策;将封闭解α的运算转换到傅里叶域当中进行。由于矩阵K以及任意一个单位矩阵I是循环的,I=C(δ),δ=[1,0,0,...,0]T,ki=κ(x,Pix),α=(K+λI)-1y,可以得到α=(C(k)+λC(δ))-1y=(C(k+λδ))-1y,在傅里叶域中,循环矩阵可以进行智能元素相乘,以及矩阵反演;由于这些性质以及是二进制反码的n×1阶向量,其中的除法是元素的智能相除,有C(x)y=F-1(F*(x)⊙F(y))可以得到,向量α包含了所有的系数αi,α的解仅仅使用快速傅里叶变换和按元素智能操作,同时α的解利用傅里叶变换将计算转化到频域当中进行,其中的k可以通过快速傅里叶变换计算出来;对新的一帧图像,在图像中取第一帧图像目标的中心位置相同位置取与第一帧图像追踪窗口同样大小的追踪窗口,将追踪窗口的输入记为z,z=[z0,z1,z2,...,zn-1]T,对于输入的响应y′=∑iαiκ(xi,z),这个公式是输入特性的一般表示由xi=Pix,zi=Piz得到,定义是一个向量其中的向量元素由矩阵概念可以得到由C(u)v=F-1(F*(u)⊙F(v))得到,由以上公式可知,以上运算都通过傅里叶变换转化到频域中进行,并且都具有循环结构,利用循环结构可以同时高效的计算所有响应,找出响应的最大值;通过找到循环移位的最大相应值,确定为第二帧图像中的目标中心位置,同时以第二帧图像中心取上一帧目标区域大小作为新的目标区域,在设备上输出图像;将第二帧图像作为新的第一帧图像,将选中的目标区域作为目标区域,依次对第二帧对以上参数进行更新,继续步骤1,2,3,4操作,完成整个视频图像追踪。

    显然,本领域的技术人员可以对本发明的频域高斯核函数追踪方法进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样,倘若对本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内,则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

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    • 前言:再学习数学推导之前,popcorn建议读者感性的先去理解一下傅里叶分析,可以参考我的文章
      天道好轮回,傅里叶分析
      既然是硬核文章,就不多BB了,直接进入正题.
      在这里插入图片描述

    1.三角函数系与正交性

    • 首先,我们要引入一下三角函数系和正交性的概念

    我们定义一个集合:

    {0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…}

    • 以上就是我所说的三角函数系列

    那什么是正交呢?

    • 在三角函数系中任意两个函数在-Π到Π之间的积分为0
      ππsinnxcosmxdx=0 \int_{-\pi}^{\pi}sin{nx}cosmxdx =0

    • 其中,m不等于n,若m=n

    • 那么

    ππsinnxcosmxdx=π \int_{-\pi}^{\pi}sin{nx}cosmxdx =\pi

    • 注意,第二个积分不一定是sin和cos,也可以是sin,cos的所有组合

    那么我们如何去理解正交性呢?
    正交应该说是一个几何,或者说向量空间中的概念.
    我们用向量来举例子:

    • 如果我们有两个向量A,B正交(可以理解为两个向量垂直)
    • A = (a1,a2,a3,…)
    • B = (b1,b2,b3,…)
    • 那么A` B = ai `bi 的求和 = 0
    • (这里我懒了,不想用LATEX了-_-)
      在通俗点说就是两个垂直的向量做点积等于=0.
      如果把AB两个向量换为函数,那么就等同于上面定义的正交了.

    2.周期(2pi)函数的傅里叶展开(三角形式)

    • 教科书中定义了,如果周期函数满足迪尼赫雷条件,那么即可展开为傅里叶级数.
    • 即若,T = 2pi , f(x) = f(x + 2pi), 有

    f(x)=n=0ancosnx+n=0bnsinnx f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_ncosnx+\sum_{n=0}^\infty b_nsinnx

    • 是不是跟书上的有一点不一样?,其实,只要我们令n= 1
      f(x)=a1+n=1(ancosnx+bnsinnx) f(x) = a_1+\sum_{n=1}^\infty (a_ncosnx+ b_nsinnx)

    3.找到周期函数傅里叶展开的系数

    接下来让我们来找一找an,bn吧!

    • 这里就用到了我们前面介绍的正交性
      我们让f(x)左右两边同乘cosmx并且取积分,则有
      ππf(x)cosmxdx=ππf(x)cosmxdx \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmx dx= \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmx dx
      +ππn=1ancosncosmxdx +\int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_ncosncosmx dx
      +ππn=1bnsinnxcosmxdx +\int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}b_nsinnxcosmx dx
      注意注意!!!
      等式右边的三个式子,由于正交性,我们只留下了第二项,也就是
      ππn=1ancosncosmxdx \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_ncosncosmx dx
      只有它的n=m的时候,取值不为0,等于
      anπ a_n\pi
      所以我们得出了
      an=1/πππf(x)cosnxdx an = 1 / \pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx
      同理,只需要对f(x)左右两边同×cosmx即可得出bn的结果为:
      bn=1/πππf(x)sinnxdx bn = 1 / \pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx

    结语

    如果我的文章对您有所启发,请点赞和评论,您的每一次鼓励都是我前进的动力!

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  • 帮助你理解线性代数与机器学习紧密结合的核心内容下文节选自北大出版社《机器...傅里叶级数:从向量的角度看函数本节将采用一种全新的视角去看待函数,把函数看作是无穷维向量空间中的一个向量。这样,我们就能引入...
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    帮助你理解线性代数与机器学习紧密结合的核心内容

    下文节选自北大出版社《机器学习线性代数基础》, [遇见]已获授权许可. 这本书不同于传统教材, 从新的角度来介绍线性代数的核心知识, 讲解也很棒, 又刚好参加参加了当当每满100-50的活动, 感兴趣的朋友可以关注下. 

    傅里叶级数:从向量的角度看函数

    本节将采用一种全新的视角去看待函数,把函数看作是无穷维向量空间中的一个向量。这样,我们就能引入  维向量空间  中的许多运算法则,其中一个重要的运算就是向量的内积。通过概念的类比,对两个函数的内积运算和正交性进行定义,并参照向量中标准正交基的相关概念,引入通过一组正交基函数对一个连续函数进行分解的方法。在这种思想方法的引领下,本节从向量的视角去介绍和讲解函数的傅里叶分析方法,介绍由正余弦函数组成的正交函数基,以及周期函数的傅里叶级数求解方法,本节可以看作是线性代数理论和工具向函数空间的拓展,仔细分析会发现向量与函数的一些思想方法的共通之处。

    1. 函数:无穷维向量

    空间是整个线性代数理论与实践的核心概念,下面先简要地回顾一下向量空间的有关概念。向量空间  由所有含有  个成分的列向量所构成。例如,  空间中就包含了所有含有  个成分的列向量 , 因此  空间也称为是  维空间,在这个向量空间  中,还定义了向量的加法、标量乘法以及内积等基本运算法则。在这里需要说明的是,我们一直所讨论的向量空间  是一个有限维的空间,即向量中的成分个数是有限的。而接下来,我们会把思路进一步的打开,将空间的概念从狭义引申到广义,去探讨一下函数和向量之间的关联。函数的概念相信读者并不会感到陌生,函数反映的是自变量和因变量之间的一种映射关系,如果给定自变量元素 ,对他施加映射规则 ,就得到了因变量元素 ,即我们所熟悉的表示方法: 。这种看待问题的角度来源于函数的基本定义,但是从中我们似乎找不到函数和向量有什么关联。这是因为从解析式的角度去看待函数,关注的是它的映射规则。如果从更直接的角度去看待呢?回顾一下绘制一条函数曲线的过程,我们会对应地在坐标系中对各个自变量的取值进行描点,然后将这些点连接成函数曲线。我们会发现:如果自变量的取值越密集,那么所描绘出来的曲线就越趋近于原始的函数曲线,当  的时候,通过描点法绘制出来的曲线就和真实的函数曲线无异了。此时,如果对函数曲线依照  的间隔进行均匀采样,如图 7.1 所示,就能得到一组采样值 ,特别地,当采样间隔  的时候,这一组采样值就能够完全地代表这个函数了。

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    图1. 对连续函数曲线按   的间隔均匀采样 此时,如果利用向量工具对这一组函数值进行表示,即表示为 ,它就和函数很自然的对应了起来,这是一种返璞归真的思路和方法。并且最为重要的一点是,由于自变量  和  之间的间距 ,因此采样的个数,即向量中的成分个数是无限的,由此又可以说:我们成功的把函数放到了一个无穷维的向量空间当中去了。建立起了这种对应关系后,就可以采用向量空间中介绍过的运算法则和相关概念,来进一步讨论构建在空间中的函数运算性质。

    2. 寻找一组正交的基函数

    一旦将函数看作是无穷维空间中的向量,那么自然而然的就可以将  维向量空间  中的内积定义进行迁移。向量的坐标基于基底的选取,向量空间  中的任何一个  维向量  都可以写成  个基向量  线性组合的形式,即:  ,并且这种表示方法是唯一的,我们在此基础上对向量进行进一步的变换和分析。如果从向量的角度去审视函数,我们能否将一个指定的函数  写成一组基函数的组合呢?答案是肯定的,并且正如同基向量的选取有很多种选择一样,基函数也有不同的多种选择,那么什么样的基函数才能称得上是好的基函数呢?关于这一点,我们同样去从向量空间中寻找答案。在向量空间中,标准正交向量满足彼此无关,且同时满足向量为单位长度的特性,一般使用一组标准正交向量作为基向量,它们性质优越、操作简便。我们以此类推,是否也应该选取类似性质的一组函数作为  在无穷维向量空间中的基函数呢?答案是肯定的,下面就让我们按照这个思路去寻找和讨论。验证两个向量是否满足正交,需要进行的是向量的内积运算,回顾一下两个  维向量  和  进行内积运算的运算法则:   如果要满足向量  和向量  之间彼此正交,则他们的内积运算结果必须为 0,即:。那么两个函数  和  的内积该如何进行表示呢?很显然,由于他们被表示成了向量,直观上看函数的内积表示形式同向量相比应该是一样的,但是在这里我们需要注意两个要点:一方面是参与内积运算的两个向量的维数都是无穷的;另一方面它们的采样间隔都是趋近于 0。因此很自然,离散量的加和运算演变成了连续量的积分运算,两个无穷维向量的内积运算本质上就是两个函数乘积的积分(这是微积分里的基本概念,相信读者不会感到陌生),因此,我们可以将函数  和  的内积表示成:  如果积分运算的结果为 0,则表示这两个函数满足彼此正交的关系,即有希望被我们选择作为基函数。下面来看一个实际的例子,计算一下我们熟悉的正弦函数  和余弦函数  的内积,由于他们都是周期为  函数,因此我们计算  范围内的积分结果:代码如下:
    from sympy import integrate, cos, sinfrom sympy.abc import ximport numpy as npe = integrate(sin(x)*cos(x), (x, 0, 2*np.pi))print(e.evalf())br
    运行结果:
    0
    从代码的运行结果中我们可以看到:积分运算的结果为 0,即两个函数的内积为 0,说明他们彼此之间是满足正交的,这个结果正如我们所期待。但是,仅仅由正弦函数  和余弦函数  作为基函数是远远不够的,因为从基向量的相关概念中我们知道, 维向量空间  中的任意一个向量都被表示为空间中  个基向量的线性组合形式,而我们将函数视作是无穷维的向量,因此通过类比可知,我们需要的不是两个基函数,而是一组满足彼此之间两两正交的无穷序列作为基函数。正弦函数和余弦函数的正交性不仅仅局限在  和  这两个函数,实质上,下面这个正余弦函数的无穷序列两两之间都满足正交性:   类似地,这种无穷序列正是我们想要的,他是针对函数这个无穷维向量的一组好基。和 满足正交性的推演过程并不难,也是通过验证二者的乘积在 取值范围内的积分是否为 0,具体的计算过程我们就不在这里展开了,几个实例演算代码请见书中所示。通过程序的运行结果,确实该序列中的函数两两之间满足正交的关系。当然了,满足彼此正交的基函数不仅仅只有这一种。

    3. 周期函数与傅里叶级数

    函数可以分为周期函数和非周期函数两个大类,首先从周期函数入手去展开讨论,首先我们从一个指定周期为  的函数  开始进行分析,这是最基本、最典型的一种情况。有了这组由正余弦函数无穷序列所构成的正交基函数,我们就可以按照之前的思路对函数  进行处理,在无穷维的空间中,在正余弦函数所构成的基上进行函数展开,将函数  写成他们的线性组合的形式: 接着把上面的式子写成展开式的形式: 这种级数的展开形式就是周期为  的函数  的傅里叶级数,这里有几点需要注意一下:第一:从展开式中我们可以看出,周期为  的函数  被表示成了正弦函数  和余弦函数  所构成的基函数的线性组合,并且在通常的情况下,基函数的个数是无穷多个。第二:我们确实是实现了我们制定的重大目标,这一组基函数是彼此正交的。第三:按照傅里叶级数对函数 进行展开的操作,其物理意义是非常重大的。如果我们把函数  的自变量  替换成 ,可能大家会更加豁然开朗。 ,我们利用这个等式建立起了时域和频域的桥梁,等式的左侧是关于时间 的函数,而右侧则是一系列不同频率谐波的叠加,且这些谐波的频率都是周期函数  频率的整数倍。通过傅里叶级数,很巧妙的拿到了周期函数用不同频率谐波叠加的表达方式,这样就可以非常直观的去除掉某个指定频率的成分,这在信号处理的领域中是最为重要也最为基础的概念。如果我们仅仅是去观察时域中的函数曲线 ,想要实现上述的滤波功能,看似是根本不可能的,而一旦通过傅里叶级数将时域函数  转换到频域当中,这个滤波的过程就变得相当简单了。关于傅里叶级数的应用我们也就点到为止,如果读者感兴趣,可以去查阅信号处理的相关资料。更一般地,如果时域中的函数  是任意周期 ,那么我们用于傅里叶级数展开的基频率就是 (在前面周期为  的例子中,基频率就是 ),傅里叶级数中所有正余弦函数的频率都是基频率的整数倍,依次为:。最终,对于周期为  的时域函数 ,对他的傅里叶级数进行一般化的描述,就记作为: 

    4. 傅里叶级数中的系数

    通过  这个重要的式子,我们架起了时域和频域之间的联通桥梁,从一个随着时间  不断变化的函数曲线中提取出了他的频谱。傅里叶级数中的  等称之为傅里叶系数,它反映了各个用来叠加的谐波幅度,体现了各个频率分量在总的信号中所占的分量。这种级数展开的形式其实在我们这本书的介绍中前前后后已经出现了好几次,并且都是非常重要的关键点,本质上都是将待处理的对象进行分解,将其转换到一组选定的正交基上,并且用一些指标来衡量各个正交基所代表成分的重要性程度。我们一起来回忆一下前面出现过的几种类似情况:(1)在主成分分析的过程中,我们选取的正交基是数据协方差矩阵  的  个标准正交特征向量,我们利用特征向量所对应的特征值来衡量他们的优先顺序;(2)在利用奇异值分解进行数据压缩的过程中,我们把待压缩的数据矩阵写成  的形式,其中展开式里每一个  相乘的结果都是一个等维的 形状的矩阵,并且它们彼此之间都满足相互正交的关系,前面的系数  则是各个对应矩阵的权重值。  的不等关系则依序代表了各个矩阵片段“重要性”的程度;我们把待分析的对象分解到了一组基上,这些基的具体形态各异,它们可以是向量,可以是矩阵,也可以是函数,而这些基因为相互正交而彼此无关,这些彼此无关的成分由于其拥有不同的权重,因此提供给了我们处理具体问题的量化依据。正因为如此,求取傅里叶级数的系数就显得非常重要,表面上看我们的已知信息并不多,而级数却又是无穷级数,那么这应该如何处理呢?实际上,只需要抓住各个基函数彼此之间满足正交的特性就可以很容易的进行处理了,傅里叶级数  中的各项除了与自身以外,与其他各项都保持正交,依据此项特性,对于任意系数  而言,我们有:  同理,对于系数 而言同样有:    这里的积分运算并不太难,我们就不具体推演了,最后我们直接给出傅里叶级数系数的表达式:   由此,我们就求得了傅里叶级数的各个系数。

    5. 非周期函数与傅里叶变换

    讨论完了周期函数,再来介绍非周期函数的情况。在周期函数的傅里叶级数中与函数周期  密切相关的量就是基频率 ,基函数中任意一个正余弦函数的频率都是他的整数倍,这个我们之前已经讲过,换句话说, 表示的就是从时域转换到频域之后,频谱中各相邻频率的间隔。而我们可以把非周期函数看做是周期  无穷大的周期函数,因此,频率间隔 ,谱线越来越密,最终由离散谱变成了连续谱。

    6. 思维拓展分析

    其实傅里叶分析的具体细节远远不止这些,想要更深入、更细致的掌握他还需要花些功夫,当然这些细节并不是我们本书的核心重点。本节主要目的是对我们的思维进行拓展,把线性代数的一些运算方法和处理思想从传统的向量空间拓展到无穷维的函数空间中去。通过把向量的内积、正交等运算概念进行类比引入,实现对正交的函数基的概念定义和方法运用,巧妙的连接起时域和频域,这非常有助于我们去体会向量与函数的共通之处。

    向上滑动阅览简介及目录 

    本书以机器学习涉及的线性代数核心知识为重点,进行新的尝试和突破:从坐标与变换、空间与映射、近似与拟合、相似与特征、降维与压缩这5个维度,环环相扣地展开线性代数与机器学习算法紧密结合的核心内容。 

    第1章 坐标与变换:高楼平地起
    1.1描述空间的工具:向量 2
    1.2基底构建一切,基底决定坐标 13
    1.3矩阵,让向量动起来 18
    1.4矩阵乘向量的新视角:变换基底 27
     第2章 空间与映射:矩阵的灵魂
    2.1矩阵:描述空间中的映射 34
    2.2追因溯源:逆矩阵和逆映射 42
    2.3向量空间和子空间 50
    2.4老树开新花,道破方程组的解 55
     第3章 近似与拟合:真相*近处
    3.1投影,寻找距离*近的向量 62
    3.2深入剖析*小二乘法的本质 69
    3.3施密特正交化:寻找**投影基 74
     第4章 相似与特征:**观察角
    4.1相似变换:不同的视角,同一个变换 80
    4.2对角化:寻找*简明的相似矩阵 85
    4.3关键要素:特征向量与特征值 89
     第5章 降维与压缩:抓住主成分
    5.1*重要的矩阵:对称矩阵 96
    5.2数据分布的度量 100
    5.3利用特征值分解(EVD)进行主成分分析(PCA) 103
    5.4更通用的利器:奇异值分解(SVD) 111
    5.5利用奇异值分解进行数据降维 116
     第6章 实践与应用:线代用起来
    6.1SVD在推荐系统中的应用 124
    6.2利用SVD进行彩色图片压缩 133
     第7章 函数与复数域:概念的延伸
    7.1傅里叶级数:从向量的角度看函数 145
    7.2复数域中的向量和矩阵 151

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  • lid=2156刷题:SVM核函数:线性核函数、多项式核函数、径向基核函数、傅里叶核函数、样条核函数、Sigmoid核函数CRF模型对于HMM和MEMM模型的优势:特征灵活、全局最优、可容纳较多上下文信息特征提取算法分为特征选择...

    http://hr.tencent.com/position_detail.php?id=22922&keywords=&tid=87&lid=2156

    刷题:

    SVM核函数:线性核函数、多项式核函数、径向基核函数、傅里叶核函数、样条核函数、Sigmoid核函数

    CRF模型对于HMM和MEMM模型的优势:特征灵活、全局最优、可容纳较多上下文信息

    特征提取算法分为特征选择(互信息、文档频率、信息增益、期望交叉熵、开方检验、卡方检验等)和特征抽取两类。

    SVM算法中使用高斯核/RBF核代替线性核容易引起过拟合

    序列模式挖掘算法:参看http://blog.csdn.net/rongyongfeikai2/article/details/40478335

    PMF(概率质量函数),PDF(概率密度函数),CDF(累积分布函数)

    L1正则化得到稀疏的权值,L2正则化得到平滑的权值

    线性回归:基本假设包括随机干扰项是均值为0的同方差正态分布;在违背基本假设时,普通最小二乘估计量不再是最佳线性无偏估计量;可以使用DW检验残差是否存在序列相关性

    在统计模式分类问题中,当先验概率未知时,可以使用最小最大损失准则和N-P判决

    =============================================

    happy数

    class Solution(object):

    def isHappy(self, n):

    """

    :type n: int

    :rtype: bool

    """

    m = 0

    while n:

    n1 = n % 10

    m += n1**2

    n = n / 10

    if m == 1:

    return True

    elif n == 0:

    if m == 4:

    return False

    else:

    n = m

    生成方法和判别方法 参考网址http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8195017

    假如你的任务是识别一个语音属于哪种语言。例如对面一个人走过来,和你说了一句话,你需要识别出她说的到底是汉语、英语还是法语等。那么你可以有两种方法达到这个目的:

    1)学习每一种语言

    2)不去学习每一种语言,你只学习这些语言模型之间的差别,然后再分类

    那么第一种方法就是生成方法,第二种方法是判别方法。

    最大概率分词

    数据挖掘工作岗位要求:

    熟悉常用机器学习和数据挖掘算法

    熟悉hadoop、spark等分布式框架者优先

    有用户行为分析,用户建模等相关经验者优先

    熟悉Linux开发环境

    有 1000 个一模一样的瓶子,其中有 999 瓶是普通的水,有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期之后死亡。现在,你只有 10 只小白鼠和一星期的时间,如何检验出哪个瓶子里有毒药?

    根据2^10=1024,所以10个老鼠可以确定1000个瓶子具体哪个瓶子有毒。具体实现跟3个老鼠确定8个瓶子原理一样。 000=0 001=1 010=2 011=3 100=4 101=5 110=6 111=7

    一位表示一个老鼠,0-7表示8个瓶子。也就是分别将1、3、5、7号瓶子的药混起来给老鼠1吃,2、3、6、7号瓶子的药混起来给老鼠2吃,4、5、6、7号瓶子的药混起来给老鼠3吃,哪个老鼠死了,相应的位标为1。如老鼠1死了、老鼠2没死、老鼠3死了,那么就是101=5号瓶子有毒。 同样道理10个老鼠可以确定1000个瓶子

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  • http://hr.tencent.com/position_detail.php?id=22922&keywords=&tid=87&lid=2156刷题:SVM核函数:线性核函数、多项式核函数、径向基核函数、傅里叶核函数、样条核函数、Sigmoid核函数CRF模型对于HMM和MEMM模型的...
  • 实习工作

    2016-02-19 20:32:00
    SVM核函数: 线性核函数、多项式核函数、径向基核函数、傅里叶核函数、样条核函数、Sigmoid核函数 CRF模型对于HMM和MEMM模型的优势:特征灵活、全局最优、可容纳较多上下文信息 特征提取算法...
  • 第九章:支持向量机

    2019-08-16 11:22:21
    9.1 基本原理 9.1.1 线性可分 9.1.2 线性 线性可分时:硬间隔超平面 近似线性可分:软间隔超平面 ...傅里叶核函数 9.1.4 C-支持向量分类机 9.2 Matlab命令 clc, clear a0=load('fenlei.txt'); a=a0'...
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  • 6.傅里叶变换

    2019-08-23 07:02:08
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  • 满足狄里赫利条件的周期为T的函数x(t),可有如下公式成立: 其中, ,非周期信号可做数学处理令T= 。 该公式是整个傅里叶变换的核心。这个定理如何来的,可参考傅里叶大神的原著,对于我们工程及实际使用意义...
  • 傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上;拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。...类比到Graph上并把傅里叶变换的定义带入,f与卷积h在Graph上的卷积可以由下面步骤得到: ...
  • 对图像求傅里叶变换

    2019-05-24 15:53:05
      基于Opencv以dft()函数为核心,展示如何计算以及显示离散傅里叶变换后的幅度图像。 源代码 //-----------------------------展示如何计算以及显示傅里叶变换后的幅度图像------------- #include <opencv2/...
  • 自然数学-傅里叶变换

    2020-11-20 14:38:07
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  • 图像处理 - 傅里叶变换的思想

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  • MATLAB 快速傅里叶变换(fft)结果为什么是复数?

    千次阅读 多人点赞 2020-07-11 00:45:18
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  • 存在的问题:使用opencv处理此数据,机器为i7 12处理器,32GB内存时,release版本程序耗时12000毫秒,opencv 自带的GPU版本速度更慢。 解决办法:自己写代码,实现图像数据的傅里叶变换。 首先,了解一下opencv ...
  • 函数函数空间引言在学习线性回归模型的时候就会遇到基函数,可能我们会遇到多项式基函数、高斯基函数、sigmoid基函数,当然在高等数学和信号系统中还经常会碰到傅里叶基。有时候,不禁要问,这些基函数为什么...
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傅里叶核函数