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  • 高斯核函数
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    2021-01-13 09:11:23

    在计算机视觉中,有时也简称为高斯函数。高斯函数具有五个重要的性质,这些性质使得它在早期图像处理中特别有用.这些性质表明,高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器,且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用.高斯函数具有五个十分重要的性质,它们是:

    (1)二维高斯函数具有旋转对称性,即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的.一般来说,一幅图像的边缘方向是事先不知道的,因此,在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑.旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向.

    (2)高斯函数是单值函数.这表明,高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值,而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的.这一性质是很重要的,因为边缘是一种图像局部特征,如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用,则平滑运算会使图像失真.

    (3)高斯函数的傅立叶变换频谱是单瓣的.这一性质是高斯函数傅立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论.图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理).而所希望的图像特征(如边缘),既含有低频分量,又含有高频分量.高斯函数傅里叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染,同时保留了大部分所需信号.

    (4)高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的,而且σ和平滑程度的关系是非常简单的.σ越大,高斯滤波器的频带就越宽,平滑程度就越好.通过调节平滑程度参数σ,可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折中.

    (5)由于高斯函数的可分离性,大高斯滤波器可以得以有效地实现.二维高斯函数卷积可以分两步来进行,首先将图像与一维高斯函数进行卷积,然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积.因此,二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长.

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    支持向量机是建立在统计学习理论基础之上的新一代机器学习算法,支持向量机的优势主要体现在解决线性不可分问题,它通过引入核函数,巧妙地解决了在高维空间中的内积运算,从而很好地解决了非线性分类问题。...

    支持向量机是建立在统计学习理论基础之上的新一代机器学习算法,支持向量机的优势主要体现在解决线性不可分问题,它通过引入核函数,巧妙地解决了在高维空间中的内积运算,从而很好地解决了非线性分类问题。

    构造出一个具有良好性能的SVM,核函数的选择是关键.核函数的选择包括两部分工作:一是核函数类型的选择,二是确定核函数类型后相关参数的选择.因此如何根据具体的数据选择恰当的核函数是SVM应用领域遇到的一个重大难题,也成为科研工作者所关注的焦点,即便如此,却依然没有得到具体的理论或方法来指导核函数的选取.

    1、经常使用的核函数

    核函数的定义并不困难,根据泛函的有关理论,只要一种函数 K ( x i , x j ) 满足Mercer条件,它就对应某一变换空间的内积.对于判断哪些函数是核函数到目前为止也取得了重要的突破,得到Mercer定理和以下常用的核函数类型:

    (1)线性核函数

    K ( x , x i ) = x ⋅ x i

    (2)多项式核

    K ( x , x i ) = ( ( x ⋅ x i ) + a )^ d

    (3)径向基核(RBF)

    K ( x , x i ) = exp ( − ∥ x − x i ∥/( 2 σ^ 2) )

    Gauss径向基函数则是局部性强的核函数,其外推能力随着参数 σ 的增大而减弱。多项式形式的核函数具有良好的全局性质。局部性较差。

    (4)傅里叶核

    K ( x , x i ) = 1 − q 2 2 ( 1 − 2 q cos ( x − x i ) + q 2 )

    (5)样条核

    K ( x , x i ) = B 2 n + 1 ( x − x i )

    (6)Sigmoid核函数

    K ( x , x i ) = tanh ( κ ( x , x i ) − δ )

    采用Sigmoid函数作为核函数时,支持向量机实现的就是一种多层感知器神经网络,应用SVM方法,隐含层节点数目(它确定神经网络的结构)、隐含层节点对输入节点的权值都是在设计(训练)的过程中自动确定的。而且支持向量机的理论基础决定了它最终求得的是全局最优值而不是局部最小值,也保证了它对于未知样本的良好泛化能力而不会出现过学习现象。

    2、核函数的选择

    在选取核函数解决实际问题时,通常采用的方法有:

    一是利用专家的先验知识预先选定核函数;

    二是采用Cross-Validation方法,即在进行核函数选取时,分别试用不同的核函数,归纳误差最小的核函数就是最好的核函数.如针对傅立叶核、RBF核,结合信号处理问题中的函数回归问题,通过仿真实验,对比分析了在相同数据条件下,采用傅立叶核的SVM要比采用RBF核的SVM误差小很多.

    三是采用由Smits等人提出的混合核函数方法,该方法较之前两者是目前选取核函数的主流方法,也是关于如何构造核函数的又一开创性的工作.将不同的核函数结合起来后会有更好的特性,这是混合核函数方法的基本思想.

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  • 而如果我们又知道输入信号的傅立叶系数,那么自己通过乘法就可以求出输出信号所对应的傅立叶级数,而不需要先在时间域上做卷积运算,再做傅立叶级数展开这么麻烦,根据复指数信号是线性时不变系统的特征函数这一点让...

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    距离上一次发稿已经过去了快三个月,创作欲有些旺盛,虽然最近很忙,但还是想写点东西,因为近来重新仔细研读了奥本海姆的那本圣经级别的绿皮书《信号与系统》,深有感触,我在之前学习中的更多困惑也得到了解决,因此想分享给读者,同时也强烈推荐此书及MIT的奥本海姆相关公开课程给EE相关专业的朋友,不管是初学信号与系统还是已经学过这门课的同学,都非常值得细细品味

    在我大一还是大二(具体不记得了)学习这门课时,有一个很大的疑惑困扰着我,我们为什么要对一个信号做傅立叶展开呢?诚然,书上的很多例题告诉我们傅立叶变换让解题或者实际问题变得简单,但是并没有哪本书清楚的说明傅立叶展开的意义所在,而我仔细审视这个困惑的根源,可以分为两个部分,首先,为什么要对信号进行展开?其次,为什么一定是用复指数正交基展开?这个问题问扰了我很长一段时间,因为这两年做的最多还是数字信号处理相关的工程和项目,所以这个可以算是一个核心症结,而我接下来文章会对这两个困惑逐一进行解释,至少它现在已经能够让我非常安心和舒服的使用傅立叶变换了,希望也能给和我有同样困惑的朋友一点启发。(由于想保证我自己的连贯的创作体验,在接下来的论述中我不会加入任何公式和图形帮助理解,纯粹的语言文字描述,这可能对我是友好的,但对读者并不友好,但我想如果可以通篇读下来的读者一定会两眼发光,心旷神怡)

    整个信号与系统的框架建立中,我们大多数时间研究的系统默认都是线性时不变的(而在现实生活中常常还是因果的),为什么这么默认?因为物理过程大多具有线性和时不变性,同时,线性时不变系统的数学描述上具有共性,比如不同的系统可用同一微分方程或者差分方程来表示,因此我们易于建立一套方法论去分析这类系统,同时也更容易让学生来学习,这里就像我们研究回归问题时,通常学的都是线性拟合,比如最小二乘法,为什么,不是它在任何情况下都好,也不是非线性比不上线性,而是非线性相对于线性而言太复杂了,没有这么好解释,也不易建立方法论,就像现在的deep-learning,每一层输出都会经过一个激活函数,来对结果进行非线性变换,这在经过多层之后,整个模型就变成了一个黑匣子,只有机器知道自己在做些什么,而人类却很难去解释,对于这样的问题和系统,人类想去研究起来就格外的费劲

    而线性时不变系统又具有非常多很好的特性,比如说叠加性质,这里就要说到信号展开的问题了,为什么要展开?如果将线性时不变系统的输入用一组基本信号的线性组合来表示,可由系统对这些基本信号的响应,利用叠加性质得到整个系统的输出。因此,照这个思路继续下去,我们可以找到一种求系统输出的更简单的方法,而不需要每次都对于不同的x(t)去解微分方程的y(t)

    首先以离散时间信号为例,我们可以将一个时间序列表示成一串移位单位脉冲序列的线性组成,而系统对每一个移位脉冲都有一个输出,也就是响应,各个移位脉冲序列的区别仅在于在一个脉冲中加入了不同的时移,因此这里如果把系统变成时不变系统,根据时不变性,那么其对应的输出也就是某一脉冲序列的响应加入一与之对应的时移,因此我们可以确定一个单位冲激响应,而其他脉冲序列的响应仅是在其上添加一个时移,这样我们可以巧妙而简洁的将一个线性时不变系统的输出表示成输入序列与其单位冲激响应的卷积和的形式,故这里可以说是因为线性时不变系统特有的叠加性质和时不变性,才导致了卷积这么一个经典而又简洁的表达形式,同时,换句话说,当已知一个线性时不变系统的单位冲激响应时,你也就知道了这个系统的全部特性

    这里略作小结,我们已经看到了线性时不变系统的好,它让我们之前繁琐的求输出的过程变成了在已知单位冲激响应时求卷积的过程,而且因为卷积的形式就是一个循环移位求和,这个过程完全可以交给计算机去做,丝毫不需要花费太大的力气,而这里可以有人要问了,单位冲激响应怎么得到,把一个狄拉克函数丢到系统里作为输入,看系统的输出不就知道了吗?而以上过程的推导都是基于我们先将一个时间序列表示成一串移位单位脉冲序列的线性组成才得到的,所以这里我们也可以粗略感受到展开的妙处了,接下来我们来看看傅立叶同学做的事情(当然并不完全是他干的,或者说他只是提供最初思想的那个人)

    现在,我们不用移位脉冲信号,我们想要将信号表示成另一组基本信号的线性组合,而这里我们要遵循几个原则来让我们之后的分析变得简单,首先,这组基本信号要能够构成一类相当广泛的有用信号,也许不能表示所有信号,但至少在大多数情况下得够用,然后呢,在线性时不变系统中,对每一个基本信号的响应最好也要十分的简单

    我们知道在傅立叶分析中选用的基是复指数信号(对于傅立叶级数展开数学上大多数情况下会表示成三角函数的形式,但本质都是相同的,因为学过复变函数的都知道正弦波其实就是一个圆周运动在一条直线上的投影,故之后论述中以复指数信号为基)所谓的基,也就是在线代里我们学过的,在某个线性空间中如果可以找到了一些线性无关的向量,这些向量可以通过线性组合构成无数其他该空间的向量,那么这组线性无关的向量就称为该空间的一组基,虽然我们在线代里的基是以向量形式表示,而这里的基是一组函数,但思想上是一致的,如果这组函数两两之间的内积为零,而自己与自己的内积为1,那么这组基就被称为正交函数基,所谓内积,也就是求其在某个规定区间内的积分,很显然,傅立叶基是一组无限正交基

    接下来先从傅立叶级数说起,任意周期信号(功率有限)都可以表示成一组复指数信号(傅立叶基)的线性组合,这里用到的复指数信号可能是无限个,也可能是有限个,对于离散的情况而言,因为离散复指数信号的周期性,必然是有限的,而在满足狄利克雷条件时,信号的傅立叶级数展开是收敛的,而对于每组基前面的系数也非常好求,根据正交性,只需要将原始信号与基做内积即可求得,这原本应该是数学里级数那一块的内容,不做深究,但现在的问题来了,为什么我们要选择复指数信号作为基(傅立叶基),而不是其他的信号,其实在不同情况下,我们也是有依据其他的基所做的变换的,比如哈达玛变换,小波变换,这些基是不是比不上傅立叶基,或者说,为什么傅立叶基我们用的最多,这确实是一个值得思考的问题。

    这里回过头来看我们之前提到的寻找基的两个准则,首先,这组基本信号要能够构成一类相当广泛的有用信号(一会说到傅立叶变换时,就会知道傅立叶变换的使用条件是针对能量有限信号,只有这类信号才能做傅立叶变换),然后呢,在线性时不变系统中,对每一个基本信号的响应最好也要十分的简单,这里,就要说到复指数信号一个非常神奇的性质了,复指数信号是线性时不变系统的特征函数,所谓特征函数,又可以和线性代数里的特征向量做类比,如果某个矩阵乘以一个向量后所得向量与该向量平行,那么就称该向量为该矩阵的特征向量,而特征函数也就是说,一个复指数信号通过线性时不变系统后仍旧是一个复指数信号,其频率未发生变换,只是指数全面的幅度发生了变化,而这个幅度也是可以用一个通式表示的,那就是该线性时不变系统的单位冲激响应的傅立叶正变换,这件事情非常的神奇,神奇到我们就有了频谱这个东西(虽然准确来说我们在能量信号的傅立叶变换中才去说频谱,傅立叶级数中通常叫傅立叶系数谱)

    总之,这里通过线性时不变系统后,复指数信号的频率没变,系数是一个关于频率w的函数,我们将其称为频率响应,对于原始的输入信号在做傅立叶展开时(即一组复指数信号的线性组合),每个不同频率的复指数信号前都会有一个系数,这个称之为傅立叶系数而线性时不变系统也就可以看作是通过乘以相应频率点上的频率响应值来逐个改变输入信号的傅立叶系数,于是我们整理一下就会发现,如果我们知道一个线性时不变系统的单位冲激响应,通过傅立叶正变换可以求出其频率响应,而如果我们又知道输入信号的傅立叶系数,那么自己通过乘法就可以求出输出信号所对应的傅立叶级数,而不需要先在时间域上做卷积运算,再做傅立叶级数展开这么麻烦,根据复指数信号是线性时不变系统的特征函数这一点让原本的卷积运算变为了更加简单的逐频率系数相乘,确实是一件让人激动的事情

    虽然我们还只讲了傅立叶级数,没有说傅立叶变换,但观者应该已经可以体会到傅立叶分析的奇妙所在,而我们之前说的一个信号的傅立叶级数展开的条件是它首先是一个周期信号,并且功率有限,但如果这么限定下来,对于非周期信号岂不是很不友好,因此我们要把傅立叶级数再往前推一步,让其对于非周期信号也同样适用,而这就是我们通常所说的大名鼎鼎的无处不在的傅立叶变换(这篇我们讨论的是连续傅立叶变换以及离散时间傅立叶变换,对于其演进的版本,比如快速算法的DFT,FFT这些不做探讨)

    先给出傅立叶变换的使用条件,仅限于能量有限信号,对于非能量有限信号拉普拉斯在向你招手,而更傅立叶级数一样,还是那句话,一个能量有限信号可以由一组复指数信号的线性组合来表示,但是这里,每个复指数信号前面的系数都是无穷小,很多人可能对这个表述有疑惑,明明傅立叶正反变化都是以积分的形式给出(连续时),怎么又是线性组合,这里就要来源于傅立叶变换的推导,对于每一个能量有限的非周期信号都可以看作是周期无穷大的周期信号,而我们依然将其按照傅立叶级数的方式展开,就会得到一个黎曼和的形式,这和我们在高数中学的定积分的推到过程非常类似,一组极限和的结果变成了在某个区间内的积分,所以虽然傅立叶变换(连续)是以积分形式给出,但其本质还是可以看作一组复指数信号的线性组合,但我之前也说了,每个复指数信号前面的系数都是无穷小,因为会乘上一个积分式里最后的那个无穷小量,因此我们就不能在用傅立叶系数(傅立叶级数的系数)来表示,而需要找一个非无穷小量,并且去之前的傅立叶系数成正比,因此我们这里要做归一化,把每个傅立叶系数成以信号的周期T(无穷大量),得到的就是一个有限值,而这也就是我们通常所说的傅立叶正变换,或者说频谱公式(注意,这还是一个关于w的函数,可能是实数也可能是偶数),我们将其画出来应该是一个三维的图像,一个w,一个实轴,一个复轴,而如果对其取模的话,对于任意频率都会得到一个实数,就是我们通常所说的幅度谱,当然把它的相位提取出来就是相位谱,只是这个我们通常考试考的不多(但实际上同样非常重要)

    至此,不管是周期信号还是能量有限信号,我们都可以通过傅立叶级数展开或者傅立叶变换来得到其傅立叶系数谱或者频率谱,这件事情的好处有很多,比如对于原本的线性时不变系统而言,我们不在需要去直接求单位冲激响应,只需要通过输出信号的傅立叶变换除以输入信号的傅立叶变换,得到其频率响应,然后再做一次傅立叶反变换即可,当然其中傅立叶变换的公式是一定的,你可以将其看成是时域向频域做的一次映射,而输入,输出,单位冲激响应,这三者是知二推一的关系,显然在频域里做乘法运算比在时域做卷积运算要方便很多,但如果仅仅是减少运算量这件事情似乎很难说服大多数人接受傅立叶变换,它的优势觉不仅于此,这里知乎上有很多的讲解傅立叶变换通俗易懂的文章,读起来肯定比我这一篇要舒服很多,其中很多的道理也讲的很清楚,我这里不再过多展开,仅补充几点

    通常大家说自己学完傅立叶变换后最大的感受就是看问题的角度变多了,以前我们总在时域上看问题,最多不过是四维空间,而现在我们多了一个研究和分析问题的角度就是频域,时域上很多复杂的问题放到频域里面去看就会简单很多,比如一组不同频率的正弦波的叠加在时域上可能是一个比较复杂的模型,但在频域上则是对应于不同频率处的冲激响应,一目了然,从实际问题中体会傅立叶变换的妙处和哲学是一个理解它的不错的方法,但是在我看来,由于这本身还是一个数学方法,所以最好的还是要从数学的角度来看其实傅立叶变换,或者是小波变换,或者是离散余弦变换,这些变换本质都是一种基变换,对于不同的系统,不同的研究对象,我们可以选取不同的基来让研究和分析变得更加简单,比如因为复指数信号是线性时不变系统的特征函数,因此我们在研究线性时不变系统及其特性时通常采用傅立叶变换,选取了一组好的基,可以让问题变得简单,比如我们的现在机器学习里很多的降维算法,像PCA,K-L变换也是基变换,对于一些基可能会出现很多很小的系数,或者是零系数,这要用这组基去表示这一信号或者向量时也就更加的简洁,而越是简洁就越于分析

    总之,傅立叶变换是一个非常神圣而又优雅的数学方法,它的应用绝对远不止本文提到的这些,比如滤波,调制等等,由于笔者学通信出生,对这方面的内容还是很有兴趣的,但我想每一个学EE的同学都应该把傅立叶变换熟记于心,同时不至于其公司的简单形式,更应知道其适用范围和数学内涵,我想这对于我们以后的研究和学习都大有裨益

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  • 聚类算法之核函数

    2022-02-12 14:10:21
    即高斯平滑滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的 【2】高斯核函数是单值函数,这表明高斯滤波器用像素领域的加权平均值来代替该点的像素值 【3】高斯核函数傅里叶变换频谱是单瓣的,这一推论是由高斯核函数的...

    一:监督学习与无监督学习
    1,监督学习
    监督学习就是人们常说的分类,通过训练已有样本得到一个最优模型,利用该模型将输入转化成输出,对输出进行判断,从而实现分类,也就是具有了对未知数据进行分类的能力。
    2,无监督学习
    他与监督学习最大的区别在于事先没有任何的训练样本,直接对数据进行建模,典型的例子就是聚类算法
    3,如何选择监督学习还是无监督学习
    首先看是否有训练数据,也就是是否有标签,如果有,就用监督学习(分类),否则就用无监督学习。
    其次,看数据条件是否可改善。如果可以将数据进行改善,就用监督学习,否则无监督
    最后,看样本是否独立分布。对于有训练样本的情况,有监督总比无监督好。
    二:机器学习之核函数
    1,核函数的定义
    在机器学习中,线性可分的情况我们都可用svm/lr/感知机等进行清楚的分析,但是在实际生产中我们的数据基本是高维且不可分的,通常的办法是选用一个∮(x),将x映射到另一个高维空间中,使其线性可分。这里的核心就是如何选用∮(x),一般有三种方法
    【1】:通过现有核函数,例如径向基函数(rbf)。如果∮(x)有足够高的维度,我们总有足够的能力来拟合训练集,但在测试集上的泛化能力往往不佳,因为常用的特征映射只是基于局部光滑原则,并没有将足够的先验信息进行编码来解决高级问题
    【2】:通过手动设计∮(x)。在深度学习以前,各个行业对于不同的任务都只能自己设置∮(x),但消耗时间巨大,且不同的行业不同任务之间的∮(x)难以变迁。
    【3】采用深度学习的方式直接学习∮(x)
    同时学习函数参数+权重参数,唯一放弃凸性的方法,利大于弊,通用:只需要一个广泛的函数族,不用太精确,可控:专家知识辅助泛化,只需要找函数族∮(x)
    2,核函数的原理
    我们要进行高维空间线性可分,首先要将原始空间的点通过核函数∮(x)映射到高维空间中,然后进行学习,所谓的学习就是计算高维空间中点的距离和夹角。然后完成线性任务、。核函数的技巧就是不显示定义的映射函数,而直接在高维空间中使用核函数计算。所谓的计算,就是直接先进行内积,然后使用核函数。
    3,核函数的要求
    核函数的要求是其核矩阵必须是半正定的,所谓核矩阵就是每个点之间的高维映射之后的内积构成的矩阵。
    4,常用的核函数

    1. 径向基函数核(RBF kernel)
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    三:高斯函数

    1,定义:高斯核函数又称为径向基函数,是一种常用的核函数,他可以将由县委数据映射到高维空间。
    数学定义:
    在这里插入图片描述
    上述公式涉及到两个向量欧氏距离的计算,而且,高斯核函数是两个向量欧氏距离的单值函数,σ 是带宽,是控制径向作用范围,换句话说,σ 控制的是高斯核函数的局部作用范围。当x和x’的欧氏距离处于某一个区间范围内的时候,假设x’固定,那么k(x,x’)随着x的变化 而变化,且效果相当明显。
    一维情况
    σ = 1
    在这里插入图片描述
    σ = 5
    在这里插入图片描述

    我们看到,随着x 与x′的距离的距离的增大,其高斯核函数值在单调递减。并且,σ越大,那么高斯核函数的局部影响范围就会越大。
    二维情况
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    二维可以更加明显的看出高斯核函数局部作用的范围随带通的变化情况。带通越大,高斯核函数的局部影响的范围就越大。在超出这个范围之后,核函数的值几乎不变。
    2,高斯核将数据映射到高维甚至无穷维的原理。
    为了方便推导,我们令分母为1
    在这里插入图片描述
    可以看出公式中的的泰勒展开式其实是0-n维的多项式核函数的和。我们知道多项式核函数将低维数据映射到高维(维度是有限的),那么 对于无限个 不同维的多项式核函数之和 的高斯核,其中也包括 无穷维度 的 多项式核函数。而且我们也找得到 使该等式
    在这里插入图片描述
    3,高斯核函数的五个性质
    【1】二维高斯核函数具有旋转对称性。即高斯平滑滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的
    【2】高斯核函数是单值函数,这表明高斯滤波器用像素领域的加权平均值来代替该点的像素值
    【3】高斯核函数的傅里叶变换频谱是单瓣的,这一推论是由高斯核函数的傅里叶变换等于高斯核函数本身而来
    【4】高斯滤波器的宽度(即)平化程度是由*决定的。*越大高斯滤波器的频带就越宽,平滑程度就越高。
    【5】由于高斯核函数的可分离性,大高斯滤波器可以得以实现,二维高斯函数卷积可以分两步来实现。

    四:GMM聚类

    一、正态分布
    在了解高斯混合模型之前,我们先来看看什么是高斯分布,高斯分布大家应该都比较熟悉了,就是我们平时所说的正态分布,也叫高斯分布。正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。

    正态分布的特点
    集中性:正态曲线的高峰位于正中央,即均数所在的位置。
    对称性:正态曲线以均数为中心,左右对称,曲线两端永远不与横轴相交。
    均匀变动性:正态曲线由均数所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降。

    若随机变量服从一个数学期望为μ、方差为σ^{2}的正态分布,记为在这里插入图片描述
    。其中期望值μ决定了其位置,标准差σ决定了分布的幅度。当 当μ = 0,σ = 1时时,正态分布是标准正态分布。
    在这里插入图片描述
    正态分布有极其广泛的实际背景,生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如,在生产条件不变的情况下,产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标;同一种生物体的身长、体重等指标;同一种种子的重量;测量同一物体的误差;弹着点沿某一方向的偏差;某个地区的年降水量;以及理想气体分子的速度分量,等等。一般来说,如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果,那么就可以认为这个量具有正态分布(见中心极限定理)。从理论上看,正态分布具有很多良好的性质 ,许多概率分布可以用它来近似;还有一些常用的概率分布是由它直接导出的,例如对数正态分布、t分布、F分布等。

    二、高斯模型
    高斯模型有单高斯模型(SGM)和混合高斯模型(GMM)两种。

    1、单高斯模型(SGM)
    概率密度函数服从上面的正态分布的模型叫做单高斯模型,具体形式如下:

    当样本数据 是一维数据(Univariate)时,高斯模型的概率密度函数为:
    在这里插入图片描述
    其中:μ为数据的均值,\sigma为数据的标准差。
    当样本数据x 是多维数据(Univariate)时,高斯模型的概率密度函数为:
    在这里插入图片描述
    其中:μ为数据的均值,\Sigma为协方差,d为数据维度。
    2、高斯混合模型(GMM)
    高斯混合模型(GMM)是单高斯概率密度函数的延伸,就是用多个高斯概率密度函数(正态分布曲线)精确地量化变量分布,是将变量分布分解为若干基于高斯概率密度函数(正态分布曲线)分布的统计模型。

    用通俗一点的语言解释就是,个单高斯模型混合在一起,生成的模型,就是高斯混合模型。这 个子模型是混合模型的隐变量(Hidden variable)。一般来说,一个混合模型可以使用任何概率分布,这里使用高斯混合模型是因为高斯分布具备很好的数学性质以及良好的计算性能。

    GMM是工业界使用最多的一种聚类算法。它本身是一种概率式的聚类方法,假定所有的样本数据X由K个混合多元高斯分布组合成的混合分布生成。

    高斯混合模型的概率密度函数可以表示为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    3,GMM聚类模型实现步骤
    在这里插入图片描述

    四:参数估计
    GMM的实现过程使用了极大似然估计思想,极大似然估计的思想是:随机试验有多个可能的结果,但在一次试验中,有且只有一个结果会出现,如果在某次试验中,结果w出现了,则认为该结果发生的概率最大。
    极大似然估计求解参数步骤:
    在这里插入图片描述
    1,单高斯模型的参数估计
    对于单高斯模型,可以使用极大似然估计(MLE)来求解出参数的值。
    在这里插入图片描述
    3,高斯混合模型的参数估计
    高斯混合模型的参数估计用到了em算法,因为极大似然估计的方法直接求导无法计算出参数,如下
    在这里插入图片描述
    图12和图13梳理了高斯分布和混合高斯分布参数估计的逻辑流程图
    在这里插入图片描述
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    相比于高斯分布的参数估计,混合高斯分布的参数估计更加复杂。主要原因在于隐变量的存在,混合高斯分布的参数估计之所以要进行多次迭代循环,是因为em算法中对于y的估计利用的是初始化或者第i步的参数。这对于样本的分类划分是有误差的,所以只能通过多次迭代优化寻找更加的参数来抵消误差。

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  • 我们表明,通过简单的傅立叶特征映射传递输入点使多层感知器(MLP)能够学习低维问题域中的高频函数。这些结果揭示了计算机视觉和图形学的最新进展,这些进展通过使用MLP表示复杂的3D对象和场景来实现了最新的结果。...
  • 探讨了径向基核函数(RBF)支持向量机(RBF-SVR)建立定量分析模型时主要参数的优选方法及其在近红外光谱分析畜禽粪便堆肥产品含水率、挥发性固体含量和碳氮比中的应用,并与偏最小二乘回归法所建近红外定量分析模型的...
  • 卷积和傅立叶分析

    2020-08-25 16:27:07
    区别在于,傅立叶级数是针对周期函数傅立叶变换可以处理非周期函数。 Fourier Series 如下图2,随着正弦波数量的增加,叠加效果越来越趋近于矩形。 不仅是矩形,任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。那么...
  • 一维高斯核函数公式: 二维高斯函数公式: 高斯核函数的优点: 高斯卷积核是实现尺度变换的唯一...高斯函数的傅立叶变换还是它本身,于是其频谱图是一个单瓣,既能保留低频分量,又能保留高频分量,因此能比较好
  • 全面解析傅立叶变换(非常详细)

    万次阅读 2020-12-21 11:17:05
    前言第一部分、 DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换(Real DFT)从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换前言:“关于傅立叶变换,无论是书本还是在...
  • 傅立叶相关的变换

    2020-11-13 04:05:59
    离散余弦变换(discrete cosine transform,DCT...由于DCT和DST是根据正弦和余弦“核函数”定义的,与DFT有着密切的关系,所以将在本章加以介绍。首先讨论DOT的DST的定义和属性,然后给出实现DOT的类似FFT的快速计算算
  • SVM核函数

    千次阅读 2018-02-21 18:46:37
    感想今天做了几道SVM的题目,发现自己还做错了,想当年我还是...problem下列不是SVM核函数的是:A 多项式核函数B logistic核函数C 径向基核函数D Sigmoid核函数正确答案是:Banalysis支持向量机是建立在统计学习理...
  • 核函数详解

    千次阅读 2018-08-14 15:48:12
    核函数包括线性核函数、多项式核函数、高斯核函数等,其中高斯核函数最常用,可以将数据映射到无穷维,也叫做径向基函数(Radial Basis Function 简称 RBF),是某种沿径向对称的标量函数。通常定义为空间中任一点x...
  • SVM核函数的分类

    千次阅读 2017-10-27 11:28:21
    下列不是SVM核函数的是:多项式核函数logistic核函数径向基核函数Sigmoid核函数这道题的答案是logistic核函数。不要把这里的sigmoid和logistic混淆了,为什么?看下面解释:支持向量机是建立在统计学习理论基础之上...
  • SVM 的核函数选择和调参

    千次阅读 2019-03-12 16:03:47
    版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。...1. 什么是核函数 2. 都有哪些 & 如何选择 3. 调参 1. 什么是核函数 核函数形式 K(x, y) = <f(x), f(y)>, 其中 x, y 为 n 维,f...
  • 支持向量机的核函数及其选择

    万次阅读 多人点赞 2018-07-26 21:55:54
    目录  一、支持向量机与核函数 二、几种常用的核函数: 1.线性核(Linear Kernel) 2.多项式核(Polynomial Kernel) 3.径向基核函数(Radial Basis Function)/ 高斯核...6.傅立叶核 7.样条核 三、核函...
  • 支持向量机核函数

    千次阅读 2019-02-27 14:07:25
    一、支持向量机与核函数 支持向量机的理论基础(凸二次规划)决定了它最终求得的为全局最优值而不是局部最优值,也保证了它对未知样本的良好泛化能力。 支持向量机是建立在统计学习理论基础之上的新一代机器学习...
  • SVM 核函数的选择

    2016-11-09 01:14:00
    SVM 核函数的选择 1、经常使用的核函数 核函数的定义并不困难,根据泛函的有关理论,只要一种函数K(xi,xj)满足Mercer条件,它就对应某一变换空间的内积.对于判断哪些函数是核函数到目前为止也取得了重要的突破,...
  • 机器学习--支持向量机(五)核函数详解

    千次阅读 多人点赞 2018-10-20 17:54:51
    核函数算式一种近似,和数学中的泰勒级数以及傅里叶变换性质差不多,就是一种近似,然后这种近似并不是无条件的的,他需要满足一定的条件,这个条件是Mercer定理,下面开始从核函数的有效性进行讲解。 核函数有效...
  • 基于快速傅里叶变换的蝶形公式,对于N元待转换信号,蝶形公式为logN层级的子运算,每层的子运算中,运算因子在同层中互不干扰,因此只要利用好CUDA的__syncthreads()函数,在此基础上便可进一步利用GPU的单个线程来...
  •  傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换、短时傅里叶变换。。。这些理解和应用都非常难,网上的文章有两个极端:“Esay” Or “Boring”!如果单独看一两篇文章就弄懂傅里叶,那说明你真的是大神了。  本博文是...
  • 根据分数傅立叶变换的生成序列的多样性,构造不同的分数傅立叶变换的核函数,利用各级的生成序列、二维变换阶次以及相位编码时使用的随机矩阵作为算法中的密钥,对相位编码后的图像进行3次不同的分数傅立叶变换,...
  • 如何通俗地理解傅立叶变换?

    万次阅读 多人点赞 2018-12-14 15:37:01
    声明下,下面都是用傅立叶级数来阐述,文章最后会说明下傅立叶级数和傅立叶变换之间的关系。 让我们从比较容易懂的解释开始吧。 1 直观解释 1666年牛顿发现太阳光经三棱镜的折射后可呈现彩色光,称为光的色散现象...
  • 高斯核函数简介

    千次阅读 2019-05-04 20:06:17
    所谓径向基函数 (Radial Basis Function 简称 RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。 通常定义为空间中任一点...最常用的径向基函数是高斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||2/(2*σ2) } 其中xc为核函数中心...
  • 理解离散傅立叶变换

    千次阅读 2017-06-04 20:27:05
    理解离散傅立叶变换(一)  ------傅立叶变换的由来  关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的...
  • 核函数选取

    千次阅读 2015-07-29 15:52:35
    支持向量机是建立在统计学习理论基础之上的新一代机器学习算法,支持向量机的优势主要体现在解决线性不可分问题,它通过引入核函数,巧妙地解决了在高维空间中的内积运算,从而很好地解决了非线性分类问题。...
  • 卷积和傅立叶变换

    千次阅读 2017-09-24 18:11:33
    卷积和傅立叶变换

空空如也

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傅里叶核函数

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