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  • §11.9 正弦级数和余弦级数 一、奇函数偶函数傅立叶级数 一般说来,一个函数傅立叶级数既含有正弦项,又含有余弦项。但是,有些函数傅立叶级数只含有正弦项或只含有余弦项,究其原因,它与所给函数奇偶性...

    §11.9  正弦级数和余弦级数

    一、奇函数偶函数的傅立叶级数

    一般说来,一个函数的傅立叶级数既含有正弦项,又含有余弦项。但是,有些函数的傅立叶级数只含有正弦项或只含有余弦项,究其原因,它与所给函数的奇偶性有关。

    定理】以为周期的奇函数展开成傅立叶级数时,它的傅立叶系数适合:

    而以为周期的偶函数展开成傅立叶级数时,它的傅立叶系数适合:

    证 是以为周期的偶函数,则,从而

    又因上的奇函数,故

    类似地可证明定理的第二部分。

    该定理告诉我们:

    1、如果为奇函数,那么它的傅立叶级数是只含有正弦项,不含常数项和余弦项的正弦级数

    2、如果为偶函数,那么它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项,不含正弦项的余弦级数

    【例1】设是周期为的周期函数,它在上的表达式为,将它展开成傅立叶级数。

    解:函数的图形如下:

    是周期为的奇函数,因此

    在点  不连续,据收敛定理,的傅立叶展开式为

    二、函数展开成正弦级数或余弦级数

    如果仅给出函数上的定义,如何将它展开成正弦级数或余弦级数呢?

    解决该问题的具体步骤如下:

    1、上重新定义新函数,且上成为奇函数(或偶函数),这种定义的方式称为是对奇延拓(或偶延拓)。

    2、为周期进行周期延拓,所得函数的傅立叶展开式必为正弦级数(或余弦级数)。

    3、的傅立叶展开式的成立区间,限制属于中的某一个,此时,这样便得到了的正弦级数(或余弦级数)。

    【例2】将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。

    解:进行奇延拓,得函数

    其傅立叶系数如下:

    傅立叶级数为  ,据收敛定理有:

    处,它收敛于

    处,它收敛于

    内,它收敛于

    的傅立叶正弦级数展开式为

    进行偶延拓,可得函数

    其傅立叶系数为

    傅立叶级数为  , 据收敛定理有:

    处,它收敛于

    内,它收敛于

    的傅立叶余弦级数展开式为





    §11.10  周期为2L的周期函数的傅里叶级数

    对于周期为的周期函数的傅立叶级数展开,根据已有的结论,借助变量替换,可得到下面定理。

    定理】设周期为的周期函数满足收敛定理的条件,则它的傅立叶级数展开式为

    其中系数的计算式为

    如果为奇函数,则有

    其中系数  

    如果为偶函数,则有

    其中系数  

    证:作变量替换,当时,,函数可重新表示成,从而是周期为的周期函数且满足收敛定理的条件,因此,可以展开成为傅立叶级数

    其傅立叶系数的计算表达式为

    由于,上式可分别改写成

    类似地,可以证明定理的其余部分。

    【例1】设是周期为的周期函数,它在上的表达式为

    将它展开成傅立叶级数。

    解:的图象如下

    其傅立叶系数为

    据收敛定理,有

    因此,的傅立叶展开式为

    这里,

    【例2】将函数展开成正弦级数和余弦级数。

    解:作奇延拓,得到函数,且

    再将以4为周期进行周期延拓,便可获到一个以4为周期的周期函数,其图象如下:

    其傅立叶系数为

    由于函数在处间断,故的正弦级数展开式为

    这里:  

    再将作偶延拓,得到函数,且

    以4为周期进行周期延拓,便可获到一个以4为周期的周期函数,其图象如下:

    其傅立叶系数为

    由于函数在上连续,故的余弦级数展开式为

    这里:  

    如果令,得

    对定义在任意区间上的函数,若它满足收敛定理所要求的条件,也可将它展开成傅立叶级数,其方法如下:

    作变量替换 ,即 

    时,,将函数改写成

    是定义在上,且满足收敛定理条件的函数,从而可将其展开成傅立叶级数。

    【例3】将函数展开成傅立叶级数。

    解:作变量替换  ,当时,则 ,而

    为周期进行周期延拓,可得到一个周期函数,其图象如下:

    其傅立叶系数为

    显然,点是函数的间断点,函数在其它点均连续,故的傅立叶展开式为

    代入上式,得





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  • 证明性质2,系数公式傅里叶系数傅里叶级数定义1,傅里叶级数奇偶性,余弦级数,正弦级数傅里叶级数的计算例题1例题2 问题引入 矩形波函数可以表示成,由三角函数构成的函数项级数。我们把这样的一种级数称为三角...

    问题引入

    在这里插入图片描述

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    矩形波函数可以表示成,由三角函数构成的函数项级数。我们把这样的一种级数称为三角级数。

    对应任何一个周期函数,如何将它表示成为三角级数的形式呢?这就是接下来要研究的问题。

    《热的解析理论》

    在这里插入图片描述

    三角函数系的正交性

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    三角函数的正交性

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    三角级数系数求法。

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    证明

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    性质2,系数公式

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    傅里叶系数与傅里叶级数

    定义1,傅里叶级数

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    奇偶性,余弦级数,正弦级数

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    傅里叶级数的计算

    例题1

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    奇函数,只需要计算bk.

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    例题2

    在这里插入图片描述
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  • 【通信技术基础第13讲】这篇文章可能会枯燥一点,因为我们会一上来就给出离散傅里叶级数的的公式。如果你是第一次进入此系列文章,并且有学习的需求(考研、期末考试种种),建议您看看班长之前的文章,并强烈推荐您...
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    【通信技术基础第13讲】

    这篇文章可能会枯燥一点,因为我们会一上来就给出离散傅里叶级数的的公式。

    如果你是第一次进入此系列文章,并且有学习的需求(考研、期末考试种种),建议您看看班长之前的文章,并强烈推荐您观看班长自制视频:傅里叶的直观解释,无公式

    我们都知道,一个时间上连续的周期函数,可以分解为多个正弦信号,就如图1所示:

    d2c3cc02656cfe483e67ba7b58bd7dd7.png

    图1:矩形信号分解成正弦信号

    这是一个矩形信号,我们可以用多个不同频率的正弦信号进行叠加表示;如果以频率为横坐标轴,那么每个频率处以正弦信号的振幅(强度值)作为纵坐标,可以画出频域的表达式。

    2e9baded0d5b76ec6892f8ee098ee82a.png

    图2:高矮胖瘦的傅里叶级数,来源网络

    这是时间连续的情况,那么如果对于离散的数据呢?比如说我们想用计算机来处理傅里叶变换,那怎么办?

    39e7e87737c8e8229246d5a873bf6051.png

    图3 傅里叶级数时域频域

    很明显,最简单的办法就是对图3进行采样,得到图4,这样不就可以得出离散的傅里叶级数了吗?

    这样的想法是对的,但是如果想要更为精确的推导,可能我们还需要经过“傅里叶变换

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  • 通过傅里叶级数展开,将周期信号分解为一系列“加权”的正弦信号的叠加,对傅里叶级数展开各个频率分量的系数CnC_nCn​,通过将周期信号的周期趋近无穷大,进而得到了非周期信号的傅里叶变换F(jω)F(j\omega)F(jω)...

    在之前的分析中,通过傅里叶级数可以将周期信号展开为一系列“加权”正弦信号的叠加,而对傅里叶级数展开各个频率分量的系数CnC_n,通过将周期信号的周期趋近无穷大,进而得到了非周期信号的傅里叶变换F(jω)F(j\omega)

    那么傅里叶变换是否可以用于周期信号呢?这样便可以将信号的分析方式统一起来,下面将对这个问题进行分析。

    1. 如何得到周期信号的傅里叶变换?

    首先,在求解非周期信号的傅里叶变换时,通过对周期信号的傅里叶级数的展开系数CnC_n进行分析和求解,进而得到非周期信号的傅里叶变换F(jω)F(j\omega)。而周期信号的傅里叶变换则是通过对傅里叶级数展开式f(t)=n=+CnejnΩtf(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n\cdot e^{jn\Omega t}两边同时求傅里叶变换得到。如何理解这样的求解方式呢?

    在分析和求解周期信号的傅里叶变换之前,首先应了解下述两个问题:

    1. 周期信号和非周期信号的相对性:傅里叶变换的由来是通过将周期信号的周期趋于无穷大而得到的,也就是说,周期和非周期信号可以理解为一个有限周期的周期信号和一个无限周期的周期信号。因此,非周期信号也可以看做是一种特殊的周期信号,反过来说,非周期信号也可以说是一种特殊的周期信号。因此傅里叶变换实际上也可以应用于对周期信号。这保障了傅里叶变换对周期信号进行变换的合理性
    2. 回顾Direchlet的第一个条件:信号要在单个周期内或一段有限的时间范围内绝对可积,即t1t2f(t)dt<\int_{t_1}^{t_2}|{f(t)|}dt<\infty。傅里叶级数的求和范围是单个周期T或有限的时间区间[t1,t2][t_1, t_2],并且通过傅里叶级数将信号展开为谐波分量进行研究,而傅里叶变换是的积分范围是从[,+][-\infty, +\infty],因此无法对周期信号进行傅里叶变换,不具备可行性。

    为了解决上述的第二个问题,这里引入两个措施:

    1. 傅里叶变换具备一个重要性质:线性特性

      • 线性特性:信号的和的傅里叶变换等于傅里叶变换的和:即:F{Af1(t)+Bf2(t)}=AF[f1(t)]+BF[f2(t)]F\{A\cdot f_1(t)+B\cdot f_2(t)\}=A\cdot F[f_1(t)]+B\cdot F[f_2(t)]
    2. 复指数信号的傅里叶变换为:F[ejωct]2πδ(ωωc)F[e^{j\omega_c t} ] \rightarrow2\pi \cdot\delta(\omega-\omega_c),冲激函数可以实现将功率信号实现傅里叶变换。

    一个满足Direchlet条件的周期信号一定可以展开为傅里叶级数,即:
    f(t)=n=+CnejnΩt f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n\cdot e^{jn\Omega t}
    其中系数Cn=1T+f(t)ejnΩtdtC_n = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\cdot e^{-jn\Omega t}dtΩ=2πT\Omega =\frac{2\pi}{T}

    将周期信号看为相对的非周期信号,通过傅里叶变换的线性特性,可以将每一个ejnΩte^{jn\Omega t}求出傅里叶变换并乘以CnC_n,再叠加,便可得到原周期信号的傅里叶变换,如下:
    F[f(t)]=n=+Cn2πδ(ωnΩ) F[f(t)]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n\cdot 2\pi \cdot \delta(\omega-n\Omega)
    上式即周期函数的傅里叶变换。

    通过上式可知:

    1. 周期信号的傅里叶变换是一系列间隔均匀的冲激序列。
    2. 幅度频谱仅出现在频域ω=nΩ\omega =n\Omega的点上.
    3. 幅度的大小和信号对应傅里叶级数展开的系数CnC_n成正比,即2πCn2\pi \cdot C_n

    所以,如果可以得到一个周期函数的额傅里叶级数展开式,那么这个周期函数的傅里叶变换,就是将原傅里叶级数展开频谱图上各个分量幅值乘以2π2\pi

    问题:傅里叶级数和傅里叶变换对周期信号的分析有什么区别?

    首先列出傅里叶级数和傅里叶变换的形式:

    周期信号的傅里叶级数 周期信号的傅里叶变换
    f(t)=n=+[Cnej(nΩt)]f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}] F[f(t)]=n=+Cn2πδ(ωnΩ)F[f(t)]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n\cdot 2\pi \cdot \delta(\omega-n\Omega)
    Cn=1Tt1t2f(t)ejnΩtdtC_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt Cn=1Tt1t2f(t)ejnΩtdtC_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt
    幅度频谱中各个分量的幅值为CnC_n 幅度频谱中各个分量的幅值为2πCn2\pi \cdot C_n

    观察上式,我认为主要区别如下:

    1. 变换前后信号的域不同

      • 周期信号的傅里叶级数是对周期性信号在时域的正交分解,所以傅里叶级数是一种时域到时域的分解,因此傅里叶级数本身并没有发生域的转化。
      • 周期信号的傅里叶变换是对周期性信号表达方式的一种转化,将时域中信号的信息,反映在频域中。所以,周期性信号的傅里叶变换是一种时域到频域的转化
    2. 分析的重点不同:

      • 周期信号的傅里叶级数展开本质上是将一个信号通过正交函数集进行表示,表示的方式是利用线系统的叠加性和齐次性,对组成信号的子信号进行加权和叠加。而其系数CnC_n关于nΩn\Omega的关系才是频域。因此傅里叶级数展开和傅里叶级数展开的频谱是两个概念。这里分析的重点是”展开“,而频谱只是对这种展开的一种表现形式,因为它可以很好体现展开式中的分量幅值、相位等信息。
      • 周期信号的傅里叶变换本质上是构成信号的分量的幅值关于频率的函数,这对应于傅里叶级数中CnC_n关于nΩn\Omega的关系。因此,周期信号的傅里叶变换,分析的重点是”变换“,即通过频域来体现一个信号的特点。
    3. 频谱上的幅值不同:

      • 周期信号的傅里叶级数,信号的各个频率分量出现在nΩn\Omega的点上,其各个频率分量的幅值为傅里叶级数展开的系数CnC_n
      • 周期信号的傅里叶变换,信号的各个频率分量出现在nΩn\Omega的点上,但其各个频率分量的幅值为傅里叶级数展开的系数CnC_n2π2\pi倍,即2πCn2\pi \cdot C_n

    问题:周期信号的傅里叶变换、非周期信号的傅里叶变换,傅里叶级数有什么联系和区别?

    1. 两者都是信号的各个频率分量幅值在频率上的体现。

    2. 非周期信号的傅里叶变换是通过对周期信号的傅里叶级数展开的系数CnC_n进行分析和变化得到的。而周期信号的傅里叶变换,由于无法对TT取极限通过CnC_n求得,所以利用了傅里叶变换的线性性质,对傅里叶级数两边同时求傅里叶变换而得到的。

    3. 周期信号的傅里叶级数的频谱是离散频谱,在除nΩn\Omega之外的部分没有意义,而周期信号的傅里叶变换是连续频谱,在nΩn\Omega上的频率有幅值,而在除nΩn\Omega之外的部分为0,有意义。

    问题:如何理解”对f(t)f(t)进行傅里叶级数展开,或对f(t)f(t)进行傅里叶变换“这句话?

    1. f(t)f(t)进行傅里叶级数展开,是将f(t)f(t)用一系列正交函数(正弦函数)进行表示。
    2. f(t)f(t)进行傅里叶变换,是体现构成f(t)f(t)的各个频率分量的幅值在关于频率的关系,可以理解为特定条件和极限下的傅里叶级数展开系数的”变体“。

    2. 周期延拓的信号的傅里叶变换

    其实,周期延拓的信号的傅里叶变换,和周期信号的傅里叶变换是一样的,如果原非周期函数为f(t)f(t),经过周期为TT的周期延拓,变为fT(t)f_T(t),如果没有发生重叠的话,fT(t)f_T(t)傅里叶变换为:
    fT(t)=n+CnejnΩt2πn+[Cnδ(ωnΩ)] \begin{aligned} &f_T(t)=\sum_{n-\infty}^{+\infty}C_n \cdot e^{jn\Omega t} \\&\rightarrow 2\pi \sum_{n-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot \delta(\omega-n\Omega )] \end{aligned}

    问题:周期延拓后的fT(t)f_T(t)的傅里叶变换和原信号f(t)f(t)的傅里叶变换有什么关系?

    通过对系数CnC_n进行计算,如下:
    Cn=1TT2+T2fT(t)ejnΩtdt=1T+f(t)ejnΩtdt=F(jnΩ)T \begin{aligned} C_n &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f_T(t)\cdot e^{-jn\Omega t}dt \\&= \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cdot e^{-jn\Omega t}dt \\&=\frac{F(jn\Omega)}{T} \end{aligned}
    所以:
    fT(t)=n+CnejnΩt2πn+[Cnδ(ωnΩ)]2πTn+[F(jnΩ)δ(ωnΩ)]Ωn+[F(jnΩ)δ(ωnΩ)] \begin{aligned} &f_T(t)=\sum_{n-\infty}^{+\infty}C_n \cdot e^{jn\Omega t} \\&\rightarrow 2\pi \sum_{n-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot \delta(\omega-n\Omega )] \\&\rightarrow \frac{2\pi}{T} \sum_{n-\infty}^{+\infty}[F(jn\Omega)\cdot \delta(\omega-n\Omega )] \\&\rightarrow \Omega \sum_{n-\infty}^{+\infty}[F(jn\Omega)\cdot \delta(\omega-n\Omega )] \end{aligned}
    也就是说,周期化的信号的傅里叶变换,是原信号的频谱的幅值乘以Ω\Omega,即F(jnΩ)ΩF(jn\Omega)\cdot \Omega,再以nΩn\Omega等间距对原信号频谱进行取样,如下图所示:

    3. 傅里叶级数,周期信号的傅里叶变换,非周期信号的傅里叶变换的求法

    通过上述分析可知:

    1. 非周期信号的傅里叶变换 – 直接计算或者查找傅里叶变换表得到F(jω)F(j\omega)
    2. 周期信号的傅里叶变换 – 看为非周期信号f(t)f(t)的延拓fT(t)f_T(t),通过F[fT(t)]Ωn+[F(jnΩ)δ(ωnΩ)]F[f_T(t)]\rightarrow \Omega \sum_{n-\infty}^{+\infty}[F(jn\Omega)\cdot \delta(\omega-n\Omega )]求得,其中F(jnΩ)F(jn\Omega)为非周期信号f(t)f(t)的傅里叶变换,并且在nΩn\Omega取值。
    3. 利用Cn=F(jnΩ)TC_n =\frac{F(jn\Omega)}{T}求得周期信号的傅里叶级数。

    所以,只需要知道非周期信号的傅里叶变换,便可以求得周期信号的傅里叶变换和傅里叶级数展开。

    傅里叶变换和傅里叶级数的主要内容至此已经完成,下一部分将简略说明傅里叶变换的性质。感谢阅读,如有不当之处,欢迎批评指正!

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  • 参考资料:《信号与系统(第二版)》 杨晓非 何丰 周期信号的频谱 ...三角频谱是指正弦余弦形式的傅里叶级数的振幅An随角频率nw0变化的规律,称为振幅频谱;傅里叶系数的相位Φn随角频率nw0变化的规律...

空空如也

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傅里叶正弦级数的系数